1、双曲线的一条渐近线与直线 2x+y+30 垂直，则双曲 线的离心率为（ ） A B C D2 7 （5 分）已知圆（x2）2+y21 上的点到直线的最短距离为，则 b 的值为 （ ） A2 或 2 B C D 8 （5 分）已知函数 f（x），g（x）ex（e 是自然对数的底数） ，若关于 x 的方程 g （f （x） ） m0 恰有两个不等实根 x1、 x2， 且 x1x2， 则 x2x1的最小值为 （ ） A（1ln2） B+ln2 C1ln2 D（1+ln2） 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，
2、有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 第 2 页（共 21 页） 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）如表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是（ ） A该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C该公司 2018
3、年度净利润主要由空调类电器销售提供 D剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 10 （5 分）下列命题中，是真命题的是（ ） A已知非零向量 B若 p：x（0，+） ，x1lnx，则p：x0（0，+） ，x01lnx0 C在ABC 中 “sinA+cosAsinB+cosB”是“AB”的充要条件 D若定义在 R 上的函数 yf（x）是奇函数，则 yf（f（x） ）也是奇函数 11 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 D，xD，yD，使得 f（y）f（x）成立，则称 f（x）为“美丽函数” 下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） Ayx2 B
4、Cyln（2x+3） Dy2x+3 12 （5 分）如图，在棱长均相等的四棱锥 PABCD 中，O 为底面正方形的中心，M，N 分 别为侧棱 PA，PB 的中点，有下列结论正确的有（ ） APA平面 OMN B平面 PCD平面 OMN C直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90 DONPB 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 3 页（共 21 页） 13 （5 分）已知点 M（1，2）在抛物线 C：y22px（p0）上，则 p ；点 M 到 抛物线 C 的焦点的距离是 14 （5 分）已知，则的值为 15 （5 分）为了
5、提高命题质量，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题 这 3 种题型进行改编，每个教师只参与一道题目的改编，则每种题型至少指派一名教师 的不同分派方法种数为 种 16 （5 分）三棱锥 PABC 的 4 个顶点在半径为的球面上，PA平面 ABC，ABC 是边 长为的正三角形，则点 A 到平面 PBC 的距离为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知数列an中，a11，其前 n 项的和为 Sn，且当 n2 时，满足 an （）求证：数列是等差数列；
6、 （）证明：S12+S22+Sn2 18 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 3（sin2B+sin2C） 4A （1）求 tanA 的值； （2）若，且ABC 的面积 SABC2，求 c 的值 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAC 为等边三角形，AB AC，D 是 BC 的中点 （）证明：ACPD； （）若 ABAC2，求二面角 DPAB 平面角的余弦值 20 （12 分）某公司为了预测下月产品销俜情况，找出了近 7 个月的产品销售量 y（单位： 万件）的统计表： 月份代码 t 1 2 3 4 5 6 7 第
7、4 页（共 21 页） 销售量 y （万件） y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 但其中数据污损不清，经查证yi9.32，tiyi40.17，0.55 （）请用相关系数说明销售量 y 与月份代码 t 有很强的线性相关关系； （）求 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ； （）公司经营期间的广告宣传费（单位：万元） （i1，2，7） ，每件产 品的销售价为 10 元，预测第 8 个月的毛利润能否突破 15 万元，请说明理由 （毛利润等 于销售金额减去广告宣传费） 参考公式及数据：2.646，相关系数 r，当|r|0.75 时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程 ybt+
8、a 中斜率和截距的最小二乘估 计公式分别为 ， 21 （12 分）已知椭圆 C：过点，且离心率 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知斜率为的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同点 A，B，点 P 的坐标为（2，1） ，设 直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为 ，证明：+ 22 （12 分）已知函数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）对任意的 a3，5，x1，x21，3（x1x2） ，恒有|f（x1）f（x2）|x1x2|， 求实数 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年山东省临沂市郯城县高三（上）期末数学试卷学年山东省临沂市郯城县高三（上）期末数学试卷 参考答
9、案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 Ax|y，Bx|（x+1） （x3）0，则（RA）B（ ） A1，3） B （1，3） C （1，01，3） D （1，0（1，3） 【分析】化简集合 A、B，根据补集与交集的定义写出（RA）B 【解答】解：集合 Ax|yx|1x0x|x1（+，1； 集合 Bx|（x+1） （x3）0x|1x3（1，3） ， 则RA（1，+） ； 所
10、以（RA）B（1，3） 故选：B 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题 2 （5 分）复数 z（其中 i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 ，得到其坐标得答案 【解答】解：由 z+i； z+i，对应的点为（，）在第二象限 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义， 是基础题 3 （5 分）已知向量 （1，1） ，2 + （4，3） ， （x，2） ，若 ，则 x 的值为 （ ） A4 B4 C2 D2 【分析】可求出，从而根据得出
11、x+40，解出 x4 第 6 页（共 21 页） 【解答】解：； ； x+40； x4 故选：B 【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系 4 （5 分）已知 xlog52，ylog2，z，则下列关系正确的是（ ） Axzy Bxyz Czxy Dzyx 【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出 【解答】解：xlog52，ylog21，z（，1） xzy 故选：A 【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 5 （5 分）展开式的常数项为（ ） A56 B28 C56 D28 【分析】 由二项式定理及展开式通项公式得： Tr+1x8 r
12、（） r （1）r x， 令0，解得 r6，即展开式的常数项为（1）628，得解 【解答】解：由展开式的通项 Tr+1x8 r（ ） r（1）r x， 令0， 解得 r6， 即展开式的常数项为（1）628， 第 7 页（共 21 页） 故选：D 【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题 6 （5 分）双曲线的一条渐近线与直线 2x+y+30 垂直，则双曲 线的离心率为（ ） A B C D2 【分析】根据题意，由双曲线的方程计算可得其渐近线方程为 y，进而由直线垂 直的性质分析可得有列出方程，然后求解双曲线的离心率即可 【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为 y， 又由双曲线
13、的一条渐近线与直线 2x+y+30 即 y2x3 垂直， 则有， 即 a2b， 则双曲线的离心率 e； 故选：C 【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键掌握双曲线的渐近线方程 7 （5 分）已知圆（x2）2+y21 上的点到直线的最短距离为，则 b 的值为 （ ） A2 或 2 B C D 【分析】设圆的半径为 r，则 r1，设圆（x2）2+y21 圆心到直线的距离 为 d，圆（x2）2+y21 上的点到直线的最短距离为，所以 dr列 方程求解即可得到 b 【解答】解：依题意，设圆的半径为 r，则 r1，设直线到圆（x2）2+y21 圆心的距离为 d， 圆（x2）2+y21 上的点到直线的最短
14、距离为， 所以 dr即1，解得 b2 或 b4 故选：D 第 8 页（共 21 页） 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆上的点到直线的最小距离，点到直线的距 离公式等属于中档题 8 （5 分）已知函数 f（x），g（x）ex（e 是自然对数的底数） ，若关于 x 的方程 g （f （x） ） m0 恰有两个不等实根 x1、 x2， 且 x1x2， 则 x2x1的最小值为 （ ） A（1ln2） B+ln2 C1ln2 D（1+ln2） 【分析】化简方程为 f（x）lnm，作函数 f（x） ，ylnm 的图象，结合图象可知，存在 实数 m（0m1） ，使 x2m，可得 x1x2mlnm，令
15、 g（m）mlnm， 利用导数可得 g（m）g（）， 【解答】解：f（x），f（x）0 恒成立； gf（x）ef （x）m，f（x）lnm； 作函数 f（x） ，ylnm 的图象如下， 结合图象可知，存在实数 m（0m1） ，使 x2m 故 x1x2mlnm，令 g（m）mlnm，则 g（m）1， 故 g（m）在（0，递减，在（，1）递增，g（m）g（）， 故选：D 【点评】本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最值问 题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每
16、小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）如表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 第 9 页（共 21 页） 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是（ ） A该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C
17、该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项 【解答】解：根据表中数据知，该公司 2018 年度冰箱类电器销售净利润所占比为0.48， 是亏损的，A 正确； 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误； 该公司 2018 年度净利润空调类电器销售所占比为 95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后， 该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低， D 正确 故选：ACD 【点评
18、】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，是基础题 10 （5 分）下列命题中，是真命题的是（ ） A已知非零向量 B若 p：x（0，+） ，x1lnx，则p：x0（0，+） ，x01lnx0 C在ABC 中 “sinA+cosAsinB+cosB”是“AB”的充要条件 D若定义在 R 上的函数 yf（x）是奇函数，则 yf（f（x） ）也是奇函数 【分析】化简条件看是否得到结论，再判断命题的真假 【解答】解：A 中|，两边平方得， （ ） 2+（ ）2+2 （ ）2+（ ）2+2 0 ，所以 A 正确； B 是写全称命题的否定，条件中将符合改成符合，结论否定即可，所以 B 正确； C 中AB
19、C 中， sinA+cosAsinB+cosBsin （A+） sin （B+） A+B+ 第 10 页（共 21 页） 或 A+（B+）AB 或 AB+，所以 C 不正确； D 中，因为 yf（x）在 R 上是奇函数，即 f（x）f（x） ，f（f（x） ）f（f（x） ） f（f（x） ） ，所以 yf（f（x） ）也是奇函数，所以 D 正确 故选：ABD 【点评】此题是考查命题的真假，需要化简条件 11 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 D，xD，yD，使得 f（y）f（x）成立，则称 f（x）为“美丽函数” 下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） Ayx2 B Cyln（2
20、x+3） Dy2x+3 【分析】由题意知“美丽函数”的值域关于原点对称，分别求出各函数的值域即可 【解答】解：若xD，yD，使得 f（y）f（x）成立， f（x）的值域关于原点对称 对于 A，函数 yx2的值域为0，+） ，不关于原点对称； 对于 B，函数 y的值域为y|y0，关于原点对称； 对于 C，函数 f（x）ln（2x+3）的值域为 R，关于原点对称； 对于 D，函数 y2x+3 的值域为 R，关于原点对称 其中是“美丽函数”的是 BCD 故选：BCD 【点评】本题考查了对新定义的理解，基本初等函数的值域，属于中档题 12 （5 分）如图，在棱长均相等的四棱锥 PABCD 中，O 为底
21、面正方形的中心，M，N 分 别为侧棱 PA，PB 的中点，有下列结论正确的有（ ） APA平面 OMN B平面 PCD平面 OMN C直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90 DONPB 【分析】直接利用线线平行的判定和线线的夹角的应用，及勾股定理逆定理的应用和线 第 11 页（共 21 页） 线垂直的应用求出结果 【解答】解：如图所示： 根据设棱长均相等的四棱锥 PABCD 中，各个棱长为 a，O 为底面正方形的中心，M， N 分别为侧棱 PA，PB 的中点， 所以：PA 与平面 MON 相交故选项 A 错误 对于选项 B：由于 ONPD，MNABCD，所以平面 PCD平面 OMN，故
22、选项 B 正 确 对于选项 C：由于各个棱长都相等，所以直线 PD 与直线 MN 所成角即直线 PD 与直线 CD 所夹得角，由于PCD 为等边三角形，所以角的大小为 60，故选项 C 错误 对于选项 D：在平面 PBD 中，ONPD，由于 PDPBa，BD，所以 PD2+PB2 BD2，所以 PDPB，故 ONPB，选项 D 正确 故选：BD 【点评】本题考查的知识要点：线面平行和线线夹角的应用，线线垂直的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知点
23、 M（1，2）在抛物线 C：y22px（p0）上，则 p 2 ；点 M 到抛 物线 C 的焦点的距离是 2 【分析】通过点的坐标满足方程求解 p；求出焦点坐标，利用两点间距离公式求解即可 【解答】解：点 M（1，2）在抛物线 C：y22px（p0）上， 可得 42p，解得 p2； 抛物线方程为：y24x，抛物线的焦点坐标（1，0） ， 点 M 到抛物线 C 的焦点的距离是：2 故答案为：2；2 第 12 页（共 21 页） 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 14 （5 分）已知，则的值为 【分析】由已知利用诱导公式可得 sin（x+），利用三角函数恒等变换的应用化 简所
24、求即可代入求值得解 【解答】解：cos（x）sin（x+）， cos（2x+）+sin2（x） cos（2x+）+ cos2xsin2x+cos2xsin2x cos（2x+）+ 12sin2（x+）+ （12）+ 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基 础题 15 （5 分）为了提高命题质量，命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题 这 3 种题型进行改编，每个教师只参与一道题目的改编，则每种题型至少指派一名教师 的不同分派方法种数为 150 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，将 5 人分成 3 组，分 2 种情况讨论
25、求出其分 组方法数目，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题 3 种题型，由分 步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将 5 人分成 3 组， 若分为 1、1、3 的三组，有10 种分组方法； 第 13 页（共 21 页） 若分为 1、2、2 的三组，15 种分组方法； 则有 10+1525 种分组方法； ，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题 3 种题型，有 A336 种情况， 则有 256150 种分派方法； 故答案为：150 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列 16 （5 分）三棱锥 PABC 的 4 个顶点在半径
26、为的球面上，PA平面 ABC，ABC 是边 长为的正三角形，则点 A 到平面 PBC 的距离为 【分析】补成三棱柱后找到球心，计算 PA，再利用等体积法可求得 【解答】解：将三棱锥 PABC 补成三棱柱，如图：上下底面中心 O1O2连线段的中点 O 为外接球的球心， ANAB，AO1AN1，OO1， PA2OO12， 设 A 到平面 PBC 的距离为 d， 则由 VAPBCVPABC得dSPBCPASABC， dBCPNPABCAN， d2， d， 故答案为： 【点评】本题考查了点、线、面间的距离的计算，属中档题 第 14 页（共 21 页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共
27、小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知数列an中，a11，其前 n 项的和为 Sn，且当 n2 时，满足 an （）求证：数列是等差数列； （）证明：S12+S22+Sn2 【分析】 （）当 n2 时，得到，说明构成以 1 为首项，1 为公差的等差数列 （）当 n2 时然后求 解数列的和，证明即可 法二：则当 B 时，利用裂项消项法求和证明不等式即可 【解答】解： （）当 n2 时， Sn1SnSnSn1，即， 从而构成以 1 为首项，1 为公差的等差数列 （）由（）可知， 则当 n2 时 故 当n 2时 又当
28、 n1 时，满足题意，故 法二：则当 B 时， 那么 又当 n1 时，当时，满足题意， 【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用，考查转化思想以及计 算能力，是中档题 第 15 页（共 21 页） 18 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 3（sin2B+sin2C） 4A （1）求 tanA 的值； （2）若，且ABC 的面积 SABC2，求 c 的值 【分析】（1） 利用正弦定理对已知等式角化边， 先求出 cosA， 再求出 sinA， 从而求出 tanA； （2）利用正弦定理对已知等式角化边得 b，再代入三角形面积公式即可求出 c 的
29、 值 【解答】解： （1）， 角化边得：3（b2+c2）4bc+3a2， 化简得：， ， ； （2）， 角化边得：，即， 又SABC， ，c28， 解得 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，是基础题 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PAC 为等边三角形，AB AC，D 是 BC 的中点 （）证明：ACPD； （）若 ABAC2，求二面角 DPAB 平面角的余弦值 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （）取 AC 中点 E，联结 DE、PE，证明 PEACEDAC得到 AC平面 PED，即可证明 ACPD （）以 E 为坐
30、标原点，EC，ED，EP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，求 出平面 PAD 法向量，平面 PAB 法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 DPAB 平 面角的余弦值 【解答】 （）证明：取 AC 中点 E，联结 DE、PE， PAC 为等边三角形，PEAC ABAC，D 是 BC 的中点，E 为 AC 中点，EDAC ACPED 面，PD平面 PAD， ACPD （）平面 PAC平面 ABC，PE平面 ABC，PEDE， PE，AC，ED 三线两两垂直，以 E 为坐标原点，EC，ED，EP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系 C（1，0，0） ，A（1，0，0
31、） ，B（1，2，0） ，D（0，1，0） ，P （0，0，） 设平面 PAD 的法向量为， ， ， ， 令，y3，x3， 平面 PAD 的法向量为 设平面 PAB 的法向量为， ， 第 17 页（共 21 页） ， 令，y0，x3， 平面 PAB 的法向量为 设二面角 DPAB 的平面角为 ， 二面角 DPAB 平面角的余弦值 【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真 审题，注意向量法的合理运用，是中档题 20 （12 分）某公司为了预测下月产品销俜情况，找出了近 7 个月的产品销售量 y（单位： 万件）的统计表： 月份代码 t 1 2 3 4 5 6 7
32、 销售量 y （万件） y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 但其中数据污损不清，经查证yi9.32，tiyi40.17，0.55 （）请用相关系数说明销售量 y 与月份代码 t 有很强的线性相关关系； （）求 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ； （）公司经营期间的广告宣传费（单位：万元） （i1，2，7） ，每件产 品的销售价为 10 元，预测第 8 个月的毛利润能否突破 15 万元，请说明理由 （毛利润等 于销售金额减去广告宣传费） 第 18 页（共 21 页） 参考公式及数据：2.646，相关系数 r，当|r|0.75 时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程
33、ybt+a 中斜率和截距的最小二乘估 计公式分别为 ， 【分析】 （）由已知数据利用相关系数公式求得 r，由 r0.75，可知销售量 y 与月份代 码 t 有很强的线性相关关系； （）求出 与 的值，即可得到 y 关于 t 的回归方程； （）在（）的回归方程中，取 t8，求得 y，进一步得到第 8 个月的毛利润，与 15 万元比较大小得结论 【解答】解： （）由表格中的数据和附注中的参考数据得， ， ， （2 分） ， 0.990.75， 销售量 y 与月份代码 t 有很强的线性相关关系；（4 分） （） 由及（），得 ，（6 分） ， 第 19 页（共 21 页） y 关于 t 的回归方程为
34、；（8 分） （）当 t8 时，代入回归方程得（万件） （10 分） 第 8 个月的毛利润为14.37215， 预测第 8 个月的毛利润不能突破 15 万元（12 分） 【点评】本题考查两个变量相关程度的判断，考查线性回归方程的求法，考查计算能力， 是中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：过点，且离心率 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知斜率为的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同点 A，B，点 P 的坐标为（2，1） ，设 直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为 ，证明：+ 【分析】 （1）由题意得解出 a，b； （2）只需证明 k1+k20，设出 A，B 两点坐标，设出直线 l 的方程与
35、椭圆方程联立，写 出韦达定理，将斜率化为 A，B 的坐标关系，再将得出的关系代入； 【解答】解： （1）由题意得 解得 a28，b22， 所以椭圆的方程为 （2）证明：设直线， 第 20 页（共 21 页） 由消去 y 得 x2+2mx+2m240，4m28m2+160， 解得2m2 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， 由题意，易知 PA 与 PB 的斜率存在，所以 设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1，k2， 则 tank1，tank2， 要证 +，即证 tantan（B）tan， 只需证 k1+k20， ， 故， 又， 所以 ， k1+k20， 故 + 【点评】本题考
36、查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，考查转化的方法，方程联立韦达 定理的这种设而不求的方法的应用，属于难题 22 （12 分）已知函数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）对任意的 a3，5，x1，x21，3（x1x2） ，恒有|f（x1）f（x2）|x1x2|， 求实数 的取值范围 【分析】 （1）求导后分类讨论解不等式即可得到单调性情况； （2）问题可转化为函数 h（x）f（x）+x（1x3）单调递增，即其导函数大于等于 第 21 页（共 21 页） 0 恒成立，分离变量后即可得解 【解答】解： （1）， 当 a1 时，所以 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a1 时，x（0，1）
37、或（a，+） ，f（x）0， 所以 f（x）在（0，1） ， （a，+）上单调递增；x（1，a） ，f（x）0， 所以 f（x）在（1，a）上单调递减 当 0a1 时，x（0，a）或（1，+） ，f（x）0， 所以 f（x）在（0，a） ， （1，+）上单调递增；x（a，1） ，f（x）0， 所以 f（x）在（a，1）上单调递减 当 a0 时，x（0，1） ，f（x）0， 所以 f（x）在（0，1）上单调递减；x（1，+） ，f（x）0， 所以 f（x）在（1，+）上单调递增 （2）因为 a3，5，由（1）得，f（x）在1，3上单调递减，不妨设 x1x2， 由|f（x1）f（x2）|x1x2|得 f（x1）f（x2）x2x1， 即 f（x1）+x1f（x2）+x2 令 h （x） f （x） +x （1x3） ， 只需 恒成立， 即（a3，5，x1，3）恒成立， 即， 即因为（当且仅当时取等号） ， 所以实数 的取值范围是 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，考查转化思想及 构造函数思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题