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2019-2020学年山东省德州市高三(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、已知向量 , 满足,则 与 的夹角 为( ) A B C D 5 (3 分) 已知 2a32b 1, ,则实数 a,b,c 的大小关系是( ) Aabc Bbac Ccba Dacb 6 (3 分)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种,现有十二生肖的吉祥物各一 个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛、马和羊,乙同学喜欢牛、 兔、 狗和羊, 丙同学哪个吉祥物都喜欢, 则让三位同学选取的礼物都满意的概率是 ( ) A B C D 7 (3 分)双曲线(a0,b0)的右焦点为,点 A 的坐标为(0,

2、 1) ,点 P 为双曲线左支上的动点,且APF1周长的最小值为 8,则双曲线的离心率为 ( ) A B C2 D 8(3 分) 对于数列an, 规定an为数列an的一阶差分数列, 其中anan+1an(nN*) , 对自然数 k(k2) ,规定kan为数列an的 k 阶差分数列,其中kank 1a n+1 k1an若 a11,且2anan+1+an2n(nN*) ,则数列an的通项公式为( ) 第 2 页(共 24 页) A B C D 二、多项选择题:二、多项选择题: 9 (3 分)已知点 A 是直线上一定点,点 P、Q 是圆 x2+y21 上的动点,若 PAQ 的最大值为 90,则点 A

3、 的坐标可以是( ) A B C D 10 (3 分) 已知 f (x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x0 时, 有 f (x+1) f (x) , 且当 x0, 1)时,f(x)log2(x+1) ,下列命题错误的是( ) Af(2019)+f(2020)0 B函数 f(x)在定义域上是周期为 2 的函数 C直线 yx 与函数 f(x)的图象有 2 个交点 D函数 f(x)的值域为1,1 11 (3 分)针对时下的“抖音热” ,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次 调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢 抖音的人数占女生人数,若有 95%的

4、把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中 男生可能有( )人 附表: P(K2k0) 0.050 0.010 k 3.841 6.635 附: A25 B45 C60 D75 12 (3 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,直线的斜率为且经过点 F,直 线 l 与抛物线 C 交于点 A、B 两点(点 A 在第一象限) ,与抛物线的准线交于点 D,若|AF| 8,则以下结论正确的是( ) Ap4 B C|BD|2|BF| D|BF|4 三、填空题:三、填空题: 13 (3 分)随机变量 X 的取值为 0、1、2,P(X0)0.2,DX0.4,则 EX 第 3 页(共 24 页)

5、 14 (3 分)已知函数 f(x)Asin(x+)的最大值为, 其相邻两个零点之间的距离为,且 f(x)的图象关于直线对称,则当 时,函数 f(x)的最小值为 15 (3 分)的展开式中,常数项为 ;系数最大的项是 16 (3 分)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就, 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角 三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知 PA平面 ABCE,四边形 ABCD 为正方形,若鳖臑 PADE 的外接球的体积为 ,则阳马 PABCD 的外接球的表面积等于 四、解四、解答题:答题: 1

6、7已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 an0,4Snan2+2an (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn,求数列bn的前 n 项和 Tn 18已知 a,b,c 分别为ABC 内角 A,B,C 的对边,若ABC 同时满足下列四个条件中 的三个:;cos2A+2cos21;a;b2 (1)满足有解三角形的序号组合有哪些? (2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应ABC 的面积 (若所选条件出现多种可能,则按计算的第一种可能计分) 19如图(1) ,边长为 2 的正方形 ABEF 中,D,C 分别为 EF、AF 上的点,且 EDCF, 现沿 DC 把CDF 剪切、拼接成如图(2)的图形

7、,再将BEC,CDF,ABD 沿 BC, CD,BD 折起,使 E、F、A 三点重合于点 A,如图(3) 第 4 页(共 24 页) (1)求证:BACD; (2)求二面角 BCDA最小时的余弦值 20顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面 积为的菱形 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相切于点 A,过点 O 作 OMl,垂足为 M,求AMO 面积的最 大值 21已知函数 f(x)lnx+ax2(a+2)x+2(a 为常数) (1)若 f(x)在(1,f(1) )处的切线与直线 x+3y0 垂直,求 a 的值; (2)若 a0,讨论函数 f(x)的单调性;

8、(3)若 a 为正整数,函数 f(x)恰好有两个零点,求 a 的值 22某公司为了了解年研发资金投人量 x(单位:亿元)对年销售额 y(单位:亿元)的影 响对公司近 12 年的年研发资金投入量 xi和年销售额 yi的数据,进行了对比分析,建立 了两个函数模型:y+x2,yex+t,其中 、t 均为常数,e 为自然对数的 底数并得到一些统计量的值令,vilnyi(i1,2,12) ,经计算得如下 数据: 第 5 页(共 24 页) 20 66 77 2 460 4.20 31250 215 3.08 14 (1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好? (2) ()根据(1)的选择及表中

9、数据,建立 y 关于 x 的回归方程; ()若下一年销售额 y 需达到 90 亿元,预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元? 附:相关系数, 回归直线中公式分别为:,; 参考数据:308477,e4.499890 第 6 页(共 24 页) 2019-2020 学年山东省德州市高三(上)期末数学试卷学年山东省德州市高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:一、单项选择题: 1 (3 分)已知全集 UR,Ax|x29,Bx|2x4,则 A(RB)等于( ) Ax|3x2 Bx|3x4 Cx|2x3 Dx|3x2 【分析】先求 A 和 B 的补集,再求结论

10、【解答】解:因为:全集 UR,Ax|x29,Bx|2x4, Ax|3x3;RBx|x4 或 x2 则 A(RB)x|3x2| 故选:D 【点评】不呢提考查集合之间的基本运算以及不等式的解法,属于基础题目 2 (3 分)已知复数 z 满足(其中 i 为虚数单位) ,则( ) A B C D 【分析】由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解 【解答】解:,|z|2, 则 故选:B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念与复数模的求法,是 基础题 3 (3 分) “x1,2,ax2+10”为真命题的充分必要条件是( ) Aa1 B Ca2 Da0 【分析】由x1,2,ax2+10,

11、得 ax21,从而 a0,进而 ax24a,a,由此得 到 a,由此能求出“x1,2,ax2+10”为真命题的充分必要条件 【解答】解:x1,2,ax2+10,ax21,a0, x1,2,ax24a,a, a, 第 7 页(共 24 页) “x1,2,ax2+10”“a“, “a”“x1,2,ax2+10” “x1,2,ax2+10”为真命题的充分必要条件是 a 故选:B 【点评】本题考查充分条件条件的求法,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题 4 (3 分)已知向量 , 满足,则 与 的夹角 为( ) A B C D 【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式,计算即可 【解

12、答】解:由, 则3+2 134+212cos13, 解得 cos, 又 0, 所以 , 即 与 的夹角为 故选:C 【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题,是基础题 5 (3 分) 已知 2a32b 1, ,则实数 a,b,c 的大小关系是( ) Aabc Bbac Ccba Dacb 【分析】先由 2a32b 1 得到:2a2b2a b 120ab0ab;再结合 log(x+1) 2+2log 21cb0cb;即可求出结 论 第 8 页(共 24 页) 【解答】解:因为 2a32b 1;所以:2a 2b2a b 120ab0ab; log(x+1)2+2log21cb0cb; 则实

13、数 a,b,c 的大小关系是:abc 故选:A 【点评】本题主要是考查不等式大小的比较,涉及到指数以及对数的运算,属于基础题 6 (3 分)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种,现有十二生肖的吉祥物各一 个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛、马和羊,乙同学喜欢牛、 兔、 狗和羊, 丙同学哪个吉祥物都喜欢, 则让三位同学选取的礼物都满意的概率是 ( ) A B C D 【分析】根据题意,按同学甲的选择分 3 种情况讨论,求出每种情况的选法数目,由加 法原理计算可得符合条件的个数,再求出总数即可

14、求出结论 【解答】解:根据题意,分 3 种情况讨论: 如果同学甲选牛,那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的 10 种中 任意选,此时的选法有30 种; 如果同学甲选羊,那么同学乙只能选兔、狗和牛中的一种,丙同学可以从剩下的 10 种中 任意选,此时的选法有30 种; 如果同学甲选马,那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的 10 种 中任意选,此时的选法有40 种 则不同的选法共有 30+30+40100 种, 而总数有:121110 种 故让三位同学选取的礼物都满意的概率是:P 故选:C 【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理的运用,属于中档题

15、7 (3 分)双曲线(a0,b0)的右焦点为,点 A 的坐标为(0, 第 9 页(共 24 页) 1) ,点 P 为双曲线左支上的动点,且APF1周长的最小值为 8,则双曲线的离心率为 ( ) A B C2 D 【分析】由题意可得|AF1|3,可得|PA|+|PF1|的最小值为 4,设 F2为双曲线的右焦点,由 双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a 的最小值为 4,当 A,P,F2三点共线时,取得最小值, 可得 a1,由离心率公式可得所求值 【解答】解:由右焦点为,点 A 的坐标为(0,1) ,|AF1|3,三 角形 APF1的周长的最小值为 8, 可得|PA|+|PF1|的最小值为 5

16、, 又 F2为双曲线的左焦点,可得|PF1|PF2|+2a, 当 A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF1|取得最小值,且为|AF2|3, 即有 3+2a5,即 a1,c2, 可得 e2 故选:D 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要是离心率的求法,考查三点共线取 得最小值的性质,考查方程思想和运算能力,属于中档题 8(3 分) 对于数列an, 规定an为数列an的一阶差分数列, 其中anan+1an(nN*) , 对自然数 k(k2) ,规定kan为数列an的 k 阶差分数列,其中kank 1a n+1 k1an若 a11,且2anan+1+an2n(nN*) ,则数列an的通项

17、公式为( ) A B C D 【 分 析 】 根 据 题 中 定 义 结 合 等 式, 可 得 第 10 页(共 24 页) ,等式两边同时除以 2n+1,得出,从而得到数列是 以为首项,以为公差的等差数列,然后求出数列的通项公式,即可得出 an 【解答】解:根据题中定义,可得 , 即,即, 等式两边同时除以 2n+1,得, 且, 数列是以为首项,以为公差的等差数列, , 故选:B 【点评】本题考查利用构造法求数列的通项公式,涉及数列的新定义以及等差数列的定 义,考查运算求解能力,属于中等题 二、多项选择题:二、多项选择题: 9 (3 分)已知点 A 是直线上一定点,点 P、Q 是圆 x2+y

18、21 上的动点,若 PAQ 的最大值为 90,则点 A 的坐标可以是( ) A B C D 【分析】利用直线与圆的方程画出图图形,利用排除法判断 A 的位置即可得到选项 【解答】解:设点 A 坐标为(t,t) ,当 AP、AQ 均为圆切线时,PAQ90, 此时四边形 PAQO 为正方形,则|OA|,即 t2+(t)22, 解得 t0,t, 故 A(0,) ,B(,0) , 故选:AC 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用,考查转化思想以及数形结合思想的应用 第 11 页(共 24 页) 10 (3 分) 已知 f (x) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x0 时, 有 f (x+1) f (x

19、) , 且当 x0, 1)时,f(x)log2(x+1) ,下列命题错误的是( ) Af(2019)+f(2020)0 B函数 f(x)在定义域上是周期为 2 的函数 C直线 yx 与函数 f(x)的图象有 2 个交点 D函数 f(x)的值域为1,1 【分析】根据题意,分析函数的图象,据此分析选项,综合即可得答案 【解答】解:根据题意,当 x0 时,有 f(x+1)f(x) ,且当 x0,1)时,f(x) log2(x+1) , 又由 f(x)为奇函数,则 f(x)的大致图象如图: 据此依次分析选项: 对于 A,当 x0 时,有 f(x+1)f(x) ,则 f(x+2)f(x+1)f(x) ,

20、即有 f(x+2) f(x) , 又由当 x0,1)时,f(x)log2(x+1) ,则 f(0)log210, 同时 f(1)f(0)0, 又由 f(2019)f(1)0,f(2020)f(0)0, 又由 f(x)为奇函数,则 f(2020)f(2020)0, 故 f(2019)+f(2020)0;A 正确; 对于 B,函数 f(x)在定义域上不是周期为 2 的函数,B 错误; 对于 C,直线 yx 与函数 f(x)的图象有 1 个交点,即(0,0) ; C 错误; 对于 D,函数 f(x)的值域为(1,1) ,D 错误; 故选:BCD 【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用,涉及函数的

21、解析式,属于基础题 11 (3 分)针对时下的“抖音热” ,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次 调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢 抖音的人数占女生人数,若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中 男生可能有( )人 附表: P(K2k0) 0.050 0.010 第 12 页(共 24 页) k 3.841 6.635 附: A25 B45 C60 D75 【分析】设男生可能有 x 人,依题意填写列联表,由 K23.841 求出 x 的取值范围,从而 得出正确的选项 【解答】解:设男生可能有 x 人,依题意可得列联表如下;

22、喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 x x x 女生 x x x 总计 x x 2x 若有 95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关,则 K23.841, 由 K23.841,解得 x40.335, 由题意知 x0,且 x 是 5 的整数倍,所以 45,60,和 75 都满足题意 故选:BCD 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,也考查了运算求解能力,是基础 题 12 (3 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,直线的斜率为且经过点 F,直 线 l 与抛物线 C 交于点 A、B 两点(点 A 在第一象限) ,与抛物线的准线交于点 D,若|AF| 8,则以下结论正确的是(

23、) Ap4 B C|BD|2|BF| D|BF|4 【分析】由题意画出图形,写出直线方程,与抛物线方程联立,求得 A 的坐标,再由焦 半径公式求 p,进一步求出|BF|,|BD|的值,逐一判断四个选项得答案 【解答】解:如图,F(,0) ,直线 l 的斜率为,则直线方程为 y(x) , 联立,得 12x220px+3p20 第 13 页(共 24 页) 解得:,P, 由|AF|+2p8,得 p4 抛物线方程为 y28x xBp,则|BF|+2; |BD|,|BD|2|BF|, |BD|+|BF|+8,则 F 为 AD 中点 运算结论正确的是 A,B,C 故选:ABC 【点评】本题考查抛物线的简

24、单性质,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方 法,是中档题 三、填空题:三、填空题: 13 (3 分)随机变量 X 的取值为 0、1、2,P(X0)0.2,DX0.4,则 EX 1 【分析】设 P(X1)a,则 P(X2)0.8a,0a0.8,则 EX00.2+a+2(0.8 a)1.6a,从而 DX(a1.6)20.2+(a0.6)2a+(a+0.4)2(0.8a)0.4, 解得 a0.6,由此能求出 EX 【解答】解:随机变量 X 的取值为 0、1、2,P(X0)0.2,DX0.4, 设 P(X1)a,则 P(X2)0.8a,0a0.8, 则 EX00.2+a+2(0.8a)1.6a

25、, DX(a1.6)20.2+(a0.6)2a+(a+0.4)2(0.8a)0.4, 整理,得:a20.2a0.240, 第 14 页(共 24 页) 解得 a0.6 或 a0.4(舍) , EX1.6a1.60.61 故答案为:1 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法,考查随机变量的分布列、数学期 望、方差的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 14 (3 分)已知函数 f(x)Asin(x+)的最大值为, 其相邻两个零点之间的距离为,且 f(x)的图象关于直线对称,则当 时,函数 f(x)的最小值为 【分析】根据由 yAsin(x+)的部分图象确定其解析式求出函数 f(x)

26、的解析式, 进而根据正弦函数的图象和性质可求函数的最小值 【解答】解:函数 f(x)Asin(x+)中,A, T,2, f(x)sin(2x+) , 又 f(x)的图象关于直线对称, 2()+k+,kZ,解得 k+,kZ, |, ; f(x)sin(2x+) ; ,2x+,可得 sin(2x+),1, f(x)min 故答案为: 【点评】本题考查了由 yAsin(x+)的部分图象确定其解析式,以及正弦函数的图 象和性质的应用问题,是中档题 15 (3 分)的展开式中,常数项为 60 ;系数最大的项是 240x6 【分析】在二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可

27、求得展 第 15 页(共 24 页) 开式中的常数项的值再根据二项式展开式的通项公式,求得系数最大的项 【解答】解:展开式的通项公式为 Tr+1(2x2)6 r ( )r26 r x12 3r,令 123r0,则 r4, T52260,故展开式的常数项为:60 (2)若设第 r+1 项的系数最大,则有: 解得:2r,rZ,r2,T326 2 x12 32240x6; 系数最大项:240x6 故答案为:60,240x6 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公 式,求展开式中某项的系数,属于中档题 16 (3 分)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、

28、汉时期的数学成就, 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角 三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知 PA平面 ABCE,四边形 ABCD 为正方形,若鳖臑 PADE 的外接球的体积为 ,则阳马 PABCD 的外接球的表面积等于 20 【分析】先把鳖臑 PADE 补成一个长方体,由已知条件即可求出 PA 的长,再把阳马 P ABCD 补成一个长方体,则长方体的外接球即为阳马 PABCD 的外接球,求出阳马 P ABCD 的外接球的半径,从而求出阳马 PABCD 的外接球的表面积 【解答】解:鳖臑 PADE 可以看成如图所示的长方体的

29、一部分: 则长方体的外接球即为鳖臑 PADE 的外接球, 又鳖臑 PADE 的外接球的体积为, 第 16 页(共 24 页) 鳖臑 PADE 的外接球的半径 R, ,PA, 阳马 PABCD 可以看成如图所示的长方体的一部分: 则长方体的外接球即为阳马 PABCD 的外接球, 阳马 PABCD 的外接球的半径 R, 阳马 PABCD 的外接球的表面积为 4520, 故答案为:20 【点评】本题主要考查了三棱锥与四棱锥的外接球,是中档题 四、解答题:四、解答题: 17已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 an0,4Snan2+2an (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn,求数列bn的前

30、 n 项和 Tn 【分析】 (1)由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式可得所求; 第 17 页(共 24 页) (2)运用等差数列的求和公式求得 bn,再由数列的裂项 相消求和,计算可得所求和 【解答】解: (1)an0,4Snan2+2an, 当 n1 时,4a1a12+2a1,解得 a12, n2 时,4Sn1an12+2an1,又 4Snan2+2an, 两式相减可得 4anan2+2anan122an1, 化为(an+an1) (anan12)0, 由 an0 可得 anan12, 则 an2+2(n1)2n; (2)Snn(2+2n)n(n+1) , 则 bn, 可得 Tn1+n

31、 1nn 【点评】本题考查数列的递推式的运用,考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的 运用,数列的裂项相消求和,化简运算能力,属于中档题 18已知 a,b,c 分别为ABC 内角 A,B,C 的对边,若ABC 同时满足下列四个条件中 的三个:;cos2A+2cos21;a;b2 (1)满足有解三角形的序号组合有哪些? (2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应ABC 的面积 (若所选条件出现多种可能,则按计算的第一种可能计分) 【分析】 (1),利用余弦定理化为:cosB可得B cos2A+2cos21,化为:cosA,A(0,) ,解得 A于是判断出不能 同时出现作为条件即可得出满足有解三

32、角形的序号组合 (2)取利用正弦定理可得:sinB1,可得 B,进而得出ABC 的面积 【解答】解: (1),化为:cosB由 第 18 页(共 24 页) ,可得B cos2A+2cos21,化为:cosA,A(0,) ,解得 A 可得不能同时出现作为条件 满足有解三角形的序号组合有:, (2)取 由正弦定理可得:,解得 sinB1,B(0,) ,B c,ABC 的面积 S 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、三角形面积计算公式,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题 19如图(1) ,边长为 2 的正方形 ABEF 中,D,C 分别为 EF、AF 上的点,且 EDCF, 现沿 D

33、C 把CDF 剪切、拼接成如图(2)的图形,再将BEC,CDF,ABD 沿 BC, CD,BD 折起,使 E、F、A 三点重合于点 A,如图(3) (1)求证:BACD; (2)求二面角 BCDA最小时的余弦值 【分析】 (1)通过折叠前与折叠后直线与直线的垂直,证明 BA平面 ACD,然后证 明 BACD (2)作 AECD 交 CD 于点 E,连结 BE,由 BACD,从而AEB 为二面角 B CDA的平面角,由此能求出二面角 BCDA最小时的余弦值 【解答】解: (1)证明:折叠前,BEEC,BAAD, 折叠后 BAAC,BAAD, 又 ACADA, 所以 BA平面 ACD, 第 19

34、页(共 24 页) 因为 CD平面 ACD,所以 BACD (2)解:作 AECD 交 CD 于点 E,连结 BE, BACD,AEB 为二面角 BCDA的平面角, 令 ACa,ADb,a+b2, 由题意得 CAAD,AE, tan2 2 二面角 BCDA最小时的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的最小值的求法,考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面 积为的菱形 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相切于点 A,过点 O 作 OMl,垂足为 M,求AM

35、O 面积的最 大值 第 20 页(共 24 页) 【分析】 (1)根据题意即 a 与 b 和 c 的关系,求得 a 和 b 的值,求得椭圆方程; (2)设直线 l 的方程,联立方程组,利用0,求得 k 与 t 的关系,求得 A 及 M 点坐 标,根据两点之间的距离公式求得|AM|及|OM|,利用三角形的面积公式和基本不等式即 可求得AMO 面积的最大值 【解答】解: (1)由题意知:a2+b2()27,4,解得:a24,b2 3, 所以椭圆的标准方程为:; (2)显然直切线的的斜率存在且不为 0,设直线 l:ykx+t, 联立方程组,消去 y,整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2120,

36、且64k2t2 4(3+4k2) (4t212)0, 得 t24k2+3,所以 xA, 联立,得 xM, 所以|OM|, 则|AM|, SAMO|AM|OM|, 当且仅当 k1 时,等号成立, 第 21 页(共 24 页) 故ABM 面积最大值为, 【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积公式的应 用,利用基本不等式求最值,考查计算能力,属于中档题 21已知函数 f(x)lnx+ax2(a+2)x+2(a 为常数) (1)若 f(x)在(1,f(1) )处的切线与直线 x+3y0 垂直,求 a 的值; (2)若 a0,讨论函数 f(x)的单调性; (3)若 a 为正

37、整数,函数 f(x)恰好有两个零点,求 a 的值 【分析】 (1)由题意得出 f(1)3,即可求出实数 a 的值; (2)由 a0,可得出,对与的大小关系进行分类讨论,分析导数的符号,可 得出函数 yf(x)的单调增区间和减区间; (3)分 a1、a2 和 a2 三种情况讨论,结合(2)中函数 yf(x)的单调性以及零 点存在定理来判断出函数 yf(x)的零点个数,可得出整数 a 的值 【解答】解: (1)由题意 x0,则 f(1) a1, 由于函数 yf(x)的图象在(1,f(1) )处的切线与直线 x+3y0 垂直, 则,f(1)a13,因此,a4; (2)a0,则若 0a2 时, 当或时

38、,f(x)0,时,f(x)0, yf(x)在和单调递增,在单调递减, 若 a2 时,对 x0,f(x)0 恒成立,yf(x)在(0,+)单调递增; 第 22 页(共 24 页) 若 a2 时,当或时,f(x)0,时,f(x) 0, yf(x)在和单调递增,在单调递减; (3)a 为正整数,若 0a2,则 a1,f(x)lnx+x23x+2, 由(2)知 yf(x)在和(1,+)单调递增,在单调递减, 又 f(1)0,yf(x)在区间内仅有 1 实根, 又 f(e 2)e43e2e2(e23)0,yf(x)在区间 内仅有 1 个实 根 此时 yf(x)在区间(0,+)内恰有 2 个实根; 若 a

39、2,yf(x)在(0,+)单调递增,至多有 1 个实根 若 a2, 令,则,ylntt+1, 由(2)知 yf(x)在单调递减,在和单调递增, ,yf(x)在(0,+)至多有 1 个实根 综上,a1 【点评】本题考查了利用切线斜率求参数、利用导数求含参数函数的单调区间以及利用 导数研究函数的零点问题,一般结合函数的单调性与零点存在定理来分析,考查分析问 题和解决问题的能力,属中档题 22某公司为了了解年研发资金投人量 x(单位:亿元)对年销售额 y(单位:亿元)的影 响对公司近 12 年的年研发资金投入量 xi和年销售额 yi的数据,进行了对比分析,建立 了两个函数模型:y+x2,yex+t,

40、其中 、t 均为常数,e 为自然对数的 底数并得到一些统计量的值令,vilnyi(i1,2,12) ,经计算得如下 数据: 第 23 页(共 24 页) 20 66 77 2 460 4.20 31250 215 3.08 14 (1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好? (2) ()根据(1)的选择及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; ()若下一年销售额 y 需达到 90 亿元,预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元? 附:相关系数, 回归直线中公式分别为:,; 参考数据:308477,e4.499890 【分析】 (1)由题意计算相关系数,比较它们的大小即可; (2

41、) (i)先建立 v 关于 x 的线性回归方程,再转化为 y 关于 x 的回归方程; (ii)利用回归方程计算 y90 时 x 的值即可 【解答】 解: (1) 由题意, r1 0.86, r20.91, 所以|r1|r2|,从相关系数的角度,模型 yex+t的拟合程度更好; (2) (i)先建立 v 关于 x 的线性回归方程, 由 yex+t,得 lnyt+x,即 vt+x;(6 分) 第 24 页(共 24 页) 由于 0.18, t 4.20.1823.84, 所以 v 关于 x 的线性回归方程为 0.18x+3.84, 所以 ln 0.18x+3.84,则 e0.18x+3.84; (ii)下一年销售额 y 需达到 90 亿元,即 y90, 代入 e0.18x+3.84,得 90e0.18x+3.84, 又 e4.499890,所以 4.49980.18x+3.84, 所以 x3.67; 所以预测下一年的研发资金投入量约是 3.67 亿元 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与利用问题,也考查了运算求解能力,是中档 题