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2018-2019学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、D1,2 2 (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x0 时,f(x)x2,则 f(2)( ) A B C D 3 (5 分)若 cos(),则 cos2( ) A B C D 4 (5 分)双曲线 C:(0) ,当 变化时,以下说法正确的是( ) A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线不变 D离心率变化 5 (5 分)若实数 x,y 满足,则 zx2y 的最大值是( ) A2 B1 C1 D4 6 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A B16 C D 7 (5 分)若将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度,则平移后所得图象对应函 数的单调增区间是(

2、 ) 第 2 页(共 26 页) A+k,+k(kZ) B+k,+k(kZ) C+k,+k(kZ) D+k,+k(kZ) 8 (5 分)已知函数 f(x),则不等式|f(x)|1 的解集为( ) A (, B (,02,+) C0,2,+) D (,2,+) 9 (5 分)四色猜想是世界三大数学猜想之一,1976 年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明,称 为四色定理其内容是: “任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上 不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总 可以用 1,2,3,4 四个数字之一标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图,

3、网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线围成的各区域上分别标有数字 1,2,3,4 的四色 地图符合四色定理,区域 A 和区域 B 标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点,则 恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中,最大的是( ) A B C D 10 (5 分)已知抛物线 y24x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点,A(1,1) ,当PAF 周长 最小时,PF 所在直线的斜率为( ) A B C D 11 (5 分)由国家公安部提出,国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阀值与检验标准(GB/T195222010) 于 2011 年 7 月 1 日正式实施车辆 驾

4、驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表 1 经过反复试验, 一般情况 第 3 页(共 26 页) 下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图 1,且图 1 表示的 函数模型 f(x),则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长 时间才可以驾车(时间以整小时计算)?(参考数据:ln152.71,ln303.40) ( ) 驾驶行为类别 阀值(mg/100mL) 饮酒后驾车 20,80 醉酒后驾车 80 表 1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值 A5 B6 C7 D8 12 (5 分)已知偶函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)f(x) ,当 x0,1时 f (x)x,

5、g(x)4x2x2 方程|g(x)|1 有 2 个不等实根; 方程 g(f(x)0 只有 1 个实根; 当 x(,2时,方程 f(g(x)0 有 7 个不等实根; 存在 x00,1使 g(x0)g(x0) 正确的序号是( ) A B C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)设向量 (3,2) , (1,1) ,若( +) ,则实数 14 (5 分)二项式(x2+)5的展开式中,x7的系数为 (用数字填写答案) 15 (5 分)已知圆台的上、下底面都是球 O 的截面,若圆台的高为 6,上、下底面的半径 分别为 2,

6、4,则球 O 的表面积为 第 4 页(共 26 页) 16 (5 分)锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2c2bc,则 的取值范围是 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 2,an,Sn成等差数列 (1)求数列an的通项公式;

7、(2)数列bn满足 bnlog2a1+log2a2+log2an,求数列的前 n 项和 Tn 18 (12 分)如图,正方形 CDEF 所在平面与等腰梯形 ABCD 所在平面互相垂直,已知 AB CD,AB2AD,BAD60 (1)求证:平面 ADE平面 BDE; (2)求平面 ABF 与平面 BDE 所成锐二面角的余弦值 19 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 的 长轴长与焦距之比为:1,过 F2(3,0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点 (1)当 l 的斜率为 1 时,求F1AB 的面积; (2)当线段 AB 的垂直平分线在 y 轴上的截

8、距最小时,求直线 l 的方程 20 (12 分)某钢铁加工厂新生产一批钢管,为了了解这批产品的质量状况,检验员随机抽 取了 100 件钢管作为样本进行检测,将它们的内径尺寸作为质量指标值,由检测结果得 如下频率分布表和频率分布直方图: 分组 频数 频率 25.0525.15 2 0.02 25.1525.25 25.2525.35 18 第 5 页(共 26 页) 25.3525.45 25.4525.55 25.5525.65 10 0.1 25.6525.75 3 0.03 合计 100 1 (1)求 a,b; (2)根据质量标准规定钢管内径尺寸大于等于 25.75 或小于 25.15 为

9、不合格,钢管内径 尺寸在25.15, 25.35) 或25.45, 25.75) 为合格, 钢管内径尺寸在25.35, 25.45) 为优等 钢 管的检测费用为 2 元/根,把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布 (i) 若从这批钢管中随机抽取 3 根, 求内径尺寸为优等钢管根数 X 的分布列和数学期望; (ii)已知这批钢管共有 m(m100)根,若有两种销售方案: 第一种方案:不再对该批剩余钢管进行检测,扣除 100 根样品中的不合格钢管后,其余 所有钢管均以 50 元/根售出; 第二种方案:对该批剩余钢管进行一一检测,不合格钢管不销售,并且每根不合格钢管 损失 20 元,合格等级的钢管

10、50 元/根,优等钢管 60 元/根 请你为该企业选择最好的销售方案,并说明理由 21 (12 分)已知 f(x)asinx(aR) ,g(x)ex (1)若 0a1,判断函数 G(x)f(1x)+lnx 在(0,1)的单调性; (2)证明:sin+sin+sin+sinln2, (nN+) ; (3)设 F(x)g(x)mx22(x+1)+k(kZ) ,对x0,m0,有 F(x)0 恒 成立,求 k 的最小值 第 6 页(共 26 页) 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22(10 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为( 为参数) , 以 x

11、轴的非负半轴为极轴,原点 O 为极点建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单 位,若直线 和 (R)分别与曲线 C 相交于 A、B 两点(A,B 两点异于 坐标原点) (1)求曲线 C 的普通方程与 A、B 两点的极坐标; (2)求直线 AB 的极坐标方程及ABO 的面积 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|xa|+|x+|(a0) (1)证明 f(x)4; (2)若不等式 f(x)|x+|4x 的解集为x|x2,求实数 a 的值 第 7 页(共 26 页) 2018-2019 学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷(理科)学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷(理

12、科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|x22x30,Bx|2x2,则 AB( ) A2,1 B1,2 C1,1 D1,2 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x3) (x+1)0, 解得:x1 或 x3,即 A(,13,+) , B2,2, AB2,1, 故选:A 【点评】此题考查

13、了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x0 时,f(x)x2,则 f(2)( ) A B C D 【分析】根据题意,由函数的解析式可得 f(2)的值,结合函数的奇偶性可得 f(2) f(2) ,即可得答案 【解答】解:根据题意,当 x0 时,f(x)x2,则 f(2)4, 又由函数 f(x)为奇函数,则 f(2)f(2); 故选:C 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,注意利用奇 4函数的性质进行分析 3 (5 分)若 cos(),则 cos2( ) A B C D 【分析】由题意利用诱导公式求得 sin 的值,再利用二倍角公

14、式求得要求式子的值 【解答】解:cos()sin,sin, 第 8 页(共 26 页) 则 cos212sin212, 故选:C 【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式,属于基础题 4 (5 分)双曲线 C:(0) ,当 变化时,以下说法正确的是( ) A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线不变 D离心率变化 【分析】判断双曲线的焦点坐标,顶点坐标以及离心率,再求解渐近线方程,即可得到 结果 【解答】解:当 0 时,双曲线的焦点坐标以及顶点坐标在 x 轴上,离心率不变,渐近 线方程为:yx 不变 故选:C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查 5

15、(5 分)若实数 x,y 满足,则 zx2y 的最大值是( ) A2 B1 C1 D4 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结 论 【解答】解:作出实数 x,y 满足对应的平面区域如图: 由 zx2y 得 yxz,平移直线 yxz,由图象可知当直线 yxz,经 过点 A 时, 直线 yxz,的截距最小,此时 z 最大, 由,解得 A(1,1) ,z1 故选:B 第 9 页(共 26 页) 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,通过数形结合是解决本题 的关键 6 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A B16

16、 C D 【分析】根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥,结合题意画出图形,由图中 数据计算该几何体的体积 【解答】解:根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥,如图所示; 第 10 页(共 26 页) 则该几何体的体积为 422224 故选:C 【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题,是基础题 7 (5 分)若将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度,则平移后所得图象对应函 数的单调增区间是( ) A+k,+k(kZ) B+k,+k(kZ) C+k,+k(kZ) D+k,+k(kZ) 【分析】根据函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的单调性,求得平移后 所

17、得图象对应函数的单调增区间 【解答】 解: 将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度, 可得 ysin (2x) 的图象 令 2k2x2k+,求得 kxk+, 可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为+k,+k(kZ) , 故选:A 【点评】本题主要考查函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的单调性,属 于基础题 8 (5 分)已知函数 f(x),则不等式|f(x)|1 的解集为( ) A (, B (,02,+) C0,2,+) D (,2,+) 【分析】去掉绝对值,解各个区间上的 x 的范围,取并集即可 【解答】解:|f(x)|1,即 f(x)1 或 f(x)1, 由1,解

18、得:x0, 第 11 页(共 26 页) 由 log2x1,解得:x2, 由1,无解, 由 log2x1,解得:0x, 故不等式的解集是(,2,+) , 故选:D 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,转化思想,考查指数函 数以及对数函数的性质,是一道常规题 9 (5 分)四色猜想是世界三大数学猜想之一,1976 年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明,称 为四色定理其内容是: “任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上 不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总 可以用 1,2,3,4 四个数字之一标记,而不会使相邻的两个区域得到相

19、同的数字”如图, 网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线围成的各区域上分别标有数字 1,2,3,4 的四色 地图符合四色定理,区域 A 和区域 B 标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点,则 恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中,最大的是( ) A B C D 【分析】当区域 A 标记的数字是 2,区域 B 标记的数字是 1 时,恰好取在标记为 1 的区 域的概率所有可能值最大 【解答】解:当区域 A 标记的数字是 2,区域 B 标记的数字是 1 时, 恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值最大, 此时所在的小方格个数 n5630, 标记为 1 的区域中小方格的个数 m10, 恰好

20、取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中,最大的是 P 故选:C 第 12 页(共 26 页) 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 10 (5 分)已知抛物线 y24x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点,A(1,1) ,当PAF 周长 最小时,PF 所在直线的斜率为( ) A B C D 【分析】求PAF 周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值设点 P 在准线上的射影为 D, 则根据抛物线的定义,可知|PF|PD|因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值,根据平面 几何知识,当 D、P、A 三点共线时|PA|+|PD|最小,由此即可求出 P

21、 的坐标,然后求解 PF 所在直线的斜率 【解答】解:求PAF 周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值, 设点 P 在准线上的射影为 D, 根据抛物线的定义,可知|PF|PD| 因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值 根据平面几何知识,可得当 D,P,A 三点共线时|PA|+|PD|最小, 因此的最小值为 xA(1)1+12, |AF|1,此时 P(,1) ,F(1,0)PF 所在直线的斜率为: 故选:A 【点评】考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当 D,P,A 三点共 线时|PA|+|PD|最小,是解题的关键 11 (5 分)由国家公安部提出,

22、国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阀值与检验标准(GB/T195222010) 于 2011 年 7 月 1 日正式实施车辆 驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表 1 经过反复试验, 一般情况 下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图 1,且图 1 表示的 第 13 页(共 26 页) 函数模型 f(x),则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长 时间才可以驾车(时间以整小时计算)?(参考数据:ln152.71,ln303.40) ( ) 驾驶行为类别 阀值(mg/100mL) 饮酒后驾车 20,80 醉酒后驾车 80 表 1 车辆驾驶人

23、员血液酒精含量阀值 A5 B6 C7 D8 【分析】由图知车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车,此时 x2; 令 90e 0.5x+1420,解得 x 的取值范围,结合题意求得结果 【解答】解:由图知 0x2 时,函数 f(x)取得最大值, 此时 f(x)40sin(x)+13, x2 时,函数 f(x)90e 0.5x+14; 当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车,此时 x2; 由 90e 0.5x+1420,得 e0.5x , 两边取自然对数,得 lne 0.5xln , 即0.5xln15,解得 x5.42, 所以喝啤酒后需 6 个小时后才可

24、以合法驾车 注:如果根据图象可猜出 6 个小时 故选:B 【点评】本题考查了散点图的应用问题,也考查了分段函数与不等式的应用问题,是中 第 14 页(共 26 页) 档题 12 (5 分)已知偶函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)f(x) ,当 x0,1时 f (x)x,g(x)4x2x2 方程|g(x)|1 有 2 个不等实根; 方程 g(f(x)0 只有 1 个实根; 当 x(,2时,方程 f(g(x)0 有 7 个不等实根; 存在 x00,1使 g(x0)g(x0) 正确的序号是( ) A B C D 【分析】由 g(x)1,g(x)1 解方程可判断;设 tf(x) ,g(

25、t)0,结合 f (x)的周期性可判断; 设 mg(x) ,则 f(m)0,可得 m 为偶数,再由 g(x)的值域,可判断; 由 g(x0)g(x0) ,结合二次函数和指数函数的单调性,可判断 【解答】解:对于,g(x)4x2x2,由 g(x)1 可得 2x或 2x (舍去) , 即 xlog2;由 g(x)1 可得 2x或 2x(舍去) ,故正确; 对于,方程 g(f(x)0,设 tf(x) ,即 g(t)0,解得 t1,即 f(x)1, 由 f(x+2)f(x)f(x) ,可得 f(x)为周期为 2 的函数, f(x)1 的根为 x2k1,kZ,故错误; 对于,当 x(,2时,方程 f(g

26、(x)0, 可设 mg(x) ,则 f(m)0,可得 m2k,kZ, 由 g(x)在 x2 的值域为,10,可得 m2,0,2,4,6,8,10,有 7 个不等 实根,故正确; 对于由 g(x0)g(x0) ,即 4x02x02+4 x02x020,可设 t2x0+2x0, 则 t2t60,解得 t3,由 2x0+2 x03,即 4x032x0+10, 由3245,可得 2x02,即 x01,或故 2x01,即 x00, 错误 故选:B 第 15 页(共 26 页) 【点评】本题考查函数的性质和运用,主要是周期性和值域的求法,考查方程思想和运 算能力,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:

27、本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)设向量 (3,2) , (1,1) ,若( +) ,则实数 13 【分析】 可求出, 根据即可得出, 进行数量积的坐标运算即可求出 的值 【解答】解:; ; ; 解得 13 故答案为:13 【点评】考查向量垂直的充要条件,向量加法、数乘和数量积的坐标运算 14 (5 分)二项式(x2+)5的展开式中,x7的系数为 10 (用数字填写答案) 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 7,求出 r 的值,即可求得 x7 的系数 【解答】解:二项式(x2+)5的展开式中通项公式为 Tr+1, 令 107

28、,求得 r2,故 x7的系数为10, 故答案为:10 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题 15 (5 分)已知圆台的上、下底面都是球 O 的截面,若圆台的高为 6,上、下底面的半径 分别为 2,4,则球 O 的表面积为 80 【分析】在轴截面等腰梯形中计算出 sinA 与 BD,然后利用正弦定理计算出ABD 的外 接圆半径,即为球 O 的半径,再利用球体的表面积公式可得出球 O 的表面积 【解答】解:如下图所示, 第 16 页(共 26 页) 设圆台的一个轴截面为等腰梯形 ABCD,则 AB8,CD4, 过点 C、D 分别作 CEAB、D

29、FAB,垂足分别为点 E、F, 则, 且 CEDF6, 所以, 在 RtADF 中, 设球 O 的半径为 R,则 2R 为ABD 外接圆的直径, 由正弦定理可得, 因此,球 O 的表面积为 故答案为:80 【点评】本题考查球体的表面积的计算,解决本题的关键在于计算球体的半径长,考查 计算能力与转化能力,属于中等题 16 (5 分)锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2c2bc,则 的取值范围是 (1,) 【分析】由已知及余弦定理可得 bc(1+2cosA) ,从而可求,由 A 的范 围,利用正弦函数的图象和性质可求 sinA 的范围,化简所求即可得解 【解答】解:A

30、BC 中,a2c2+bc, 又由余弦定理可得:a2b2+c22bccosA, c2+bcb2+c22bccosA,整理可得:bc(1+2cosA) , a2c2+c2(1+2cosA)c2(2+2cosA) , 0, 由利用正弦定理可得:sinBsinC+2sinCcosAsinCcosA+sinAcosC, 第 17 页(共 26 页) 可得:sin(AC)sinC, 可得:ACC,或 AC+C(舍去) , A2C, 又A+B+C,A,B,C 均为锐角,由于:3C+B,02C,0C,0 3C, 可得:B,可得:C, 在锐角ABC 中,A(,) ,sinA(,1) , (1,) , (1,)

31、故答案为: (1,) 【点评】此题考查了正弦定理,余弦定理,正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用, 熟练掌握定理是解本题的关键,考查了计算能力和转化思想,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 2,an,Sn成等差数列 (1)求数列an的通项公式

32、; (2)数列bn满足 bnlog2a1+log2a2+log2an,求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 (1)由题意可得 2an2+Sn,运用数列的递推式:当 n1 时,a1S1,n2 时, anSnSn1,结合等比数列的定义和通项公式,即可得到所求通项; (2)求得 log2anlog22nn,bnn(n+1) ,2() ,由数列 的裂项相消求和,化简整理,可得所求和 【解答】解: (1)2,an,Sn成等差数列,可得 2an2+Sn, 当 n1 时,a1S12a12,解得 a12, n2 时,anSnSn12an22an1+2, 化为 an2an1, 第 18 页(共 26 页) 可得

33、数列an为首项为 2,公比为 2 的等比数列, 即有 an2n,nn*; (2)log2anlog22nn, bnlog2a1+log2a2+log2an1+2+nn(n+1) , 2() , 即有前 n 项和 Tn2(1+) 2(1) 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等比数列的定义和 通项公式,考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档 题 18 (12 分)如图,正方形 CDEF 所在平面与等腰梯形 ABCD 所在平面互相垂直,已知 AB CD,AB2AD,BAD60 (1)求证:平面 ADE平面 BDE; (2)求平面 ABF 与平面

34、BDE 所成锐二面角的余弦值 【分析】 (1)推导出 DE平面 ABCD,DEBD,BDAD,从而 BD平面 ADE,由此 能证明平面 ADE平面 BDE (2)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DB 为 y 轴,DE 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出平面 ABF 与平面 BDE 所成锐二面角的余弦值 【解答】证明: (1)平面 CDEF平面 ABCD,平面 CDEF平面 ABCDCD, DECD, DE平面 ABCD,DEBD, 在ABD 中,AB2AD,BAD60, 由余弦定理得 BDAD,AB2AD2+BD2, ADB90,BDAD, 第 19 页(共 26 页) AD

35、平面 ADE,DE平面 ADE,ADDED, BD平面 ADE, 又 BD平面 BDE,平面 ADE平面 BDE 解: (2)四边形 ABCD 是等腰梯形,BAD60, 又由(1)知ADB90,CBDCDB30, ADBCCD, 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DB 为 y 轴,DE 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AD1,由 DB,A(1,0,0) ,B(0,0) , 由 CDCB,CDB30,得 C(,0) , F(,1) ,() ,() , 设平面 ABF 的法向量 (x,y,z) , 则,取 z1,得 (1,1) , 平面 BDE 的法向量 (1,0,0) , 设平面 ABF

36、与平面 BDE 所成锐二面角为 , 则 cos, 平面 ABF 与平面 BDE 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 第 20 页(共 26 页) 19 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 的 长轴长与焦距之比为:1,过 F2(3,0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点 (1)当 l 的斜率为 1 时,求F1AB 的面积; (2)当线段 AB 的垂直平分线在 y 轴上的截距最小时,求直线 l 的方程 【分析

37、】 (1)先由已知条件得出 c3,再由离心率得出 a 的值,然后求出 b 的值,从而 可得出椭圆的方程,然后写出直线 l 的方程,将直线方程与椭圆方程联立,求出交点坐 标,然后利用三角形的面积可求出F1AB 的面积; (2)设直线 l 的方程为 yk(x1) ,将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立,列出韦达 定理,求出线段 AB 中点 H 的坐标,然后求出 AB 中垂线与 y 轴交点的纵坐标,利用基本 不等式求出截距的最小值,利用等号成立求出 k 的值,从而求出直线 l 的方程 【解答】解: (1)依题意,因,又 c3,所以,b3,所以,椭圆 C 的标准方程为 设点 A(x1,y1) 、B

38、(x2,y2) ,当 k1 时,直线 l 的方程为 yx3, 将直线与椭圆的方程联立得,消去 x 得,y2+2y30,解得 y13,y2 1,则|y1y2|4, 所以,; (2)设直线 l 的斜率为 k,由题意可知 k0, 由,消去 y 得, (2k2+1)x212k2x+18(k21)0, 0 恒成立,由韦达定理得, 设线段 AB 的中点为 H(x0,y0) ,则, 设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 D(0,m) ,则 kDHkAB1,得 第 21 页(共 26 页) , 整理得 m (2k2+1)3k,等号成立时 故当截距 m 最小为时,此时,直线 l 的方程为 【点评】本题考

39、查直线与椭圆的综合问题,考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用,同 时考查计算能力与推理能力,属于中等题 20 (12 分)某钢铁加工厂新生产一批钢管,为了了解这批产品的质量状况,检验员随机抽 取了 100 件钢管作为样本进行检测,将它们的内径尺寸作为质量指标值,由检测结果得 如下频率分布表和频率分布直方图: 分组 频数 频率 25.0525.15 2 0.02 25.1525.25 25.2525.35 18 25.3525.45 25.4525.55 25.5525.65 10 0.1 25.6525.75 3 0.03 合计 100 1 (1)求 a,b; (2)根据质量标准规定钢管内径尺寸

40、大于等于 25.75 或小于 25.15 为不合格,钢管内径 尺寸在25.15, 25.35) 或25.45, 25.75) 为合格, 钢管内径尺寸在25.35, 25.45) 为优等 钢 管的检测费用为 2 元/根,把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布 (i) 若从这批钢管中随机抽取 3 根, 求内径尺寸为优等钢管根数 X 的分布列和数学期望; (ii)已知这批钢管共有 m(m100)根,若有两种销售方案: 第一种方案:不再对该批剩余钢管进行检测,扣除 100 根样品中的不合格钢管后,其余 所有钢管均以 50 元/根售出; 第 22 页(共 26 页) 第二种方案:对该批剩余钢管进行一一检

41、测,不合格钢管不销售,并且每根不合格钢管 损失 20 元,合格等级的钢管 50 元/根,优等钢管 60 元/根 请你为该企业选择最好的销售方案,并说明理由 【分析】 (1)由频率分布直方图先求出 b,由此列方程能求出 a (2) (i)钢管内径尺寸为优等的概率为 0.3,X 所有可能的取值为 0,1,2,3,分别求 出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 E(X) (ii)按第一种方案:y150(m2)20050m300,按第二种方案:y20.68m 50+0.3m602m0.02m2049.6m,y1y2(50m300)49.6m0.4m 300,由此根据 m 的取值范围能求出结果 【解答

42、】解: (1)由题意知 b1.8, (a+2.3+1.8+1.4+1+0.3+0.2)0.11, 解得 a3 (2) (i)由(1)知钢管内径尺寸为优等的概率为 0.3,X 所有可能的取值为 0,1,2,3, P(X0)0.343, P(X1)0.441, P(X2)0.189, P(X3)0.027, X 的分布列为: X 0 1 2 3 第 23 页(共 26 页) P 0.343 0.441 0.189 0.027 E(X)00.343+10.441+20.189+30.0270.9 (ii)按第一种方案:y150(m2)20050m300, 按第二种方案:y20.68m50+0.3m6

43、02m0.02m2049.6m, y1y2(50m300)49.6m0.4m300, 若 m750 时,y1y2,则按第一种方案; 若 m750 时,y1y2,则第一、第二种方案均可; 若 100m750 时,y1y2,由按第二种方案 【点评】本题考查频率、概率的求法及应用,考查频率分布表、频率分布直方图、二项 分布等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 21 (12 分)已知 f(x)asinx(aR) ,g(x)ex (1)若 0a1,判断函数 G(x)f(1x)+lnx 在(0,1)的单调性; (2)证明:sin+sin+sin+sinln2, (nN+) ; (3)设 F(x)g(x)

44、mx22(x+1)+k(kZ) ,对x0,m0,有 F(x)0 恒 成立,求 k 的最小值 【分析】 (1)由题意:G(x)asin(1x)+lnx,G(x)acos(1x) ,证明 当 0x1,0a1 时,G(x)0 恒成立即可证明结论 (2)当 a1 时,G(x)sin(1x)+lnx 在(0,1)单调增,推出 sinln ln,然后证明即可 (3)化简 F(x)exmx22x+k20 即:F(x)min0,求出导数 F(x)ex 2mx2, 二次导数 F(x)ex2m 判断导函数的符号, 推出函数的单调性, 求出最值, 列出不等式,k(1)e+x0+2,x0(0,ln2)恒成立,构造函数,利用函数的 导数,求解最值,然后推出最小整数 k 的值 【解答】 (1)解:由题意:G(x)asin(1x)+lnx,G(x)acos(1x)+, 当 0x1,0a1 时,1,cosx1,G(x)0 恒成立, 函数 G(x)f(1x)+g(x)在区间(0,1)上是增函数; (2)证明:由(1)知,当 a1 时,G(x)sin(1x)+lnx