1、D1，2 2 （5 分）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）x2，则 f（2）（ ） A B C D 3 （5 分）若 cos（），则 cos2（ ） A B C D 4 （5 分）双曲线 C：（0） ，当 变化时，以下说法正确的是（ ） A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线不变 D离心率变化 5 （5 分）若实数 x，y 满足，则 zx2y 的最大值是（ ） A2 B1 C1 D4 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B16 C D 7 （5 分）若将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函 数的单调增区间是（
2、 ） 第 2 页（共 26 页） A+k，+k（kZ） B+k，+k（kZ） C+k，+k（kZ） D+k，+k（kZ） 8 （5 分）已知函数 f（x），则不等式|f（x）|1 的解集为（ ） A （， B （，02，+） C0，2，+） D （，2，+） 9 （5 分）四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称 为四色定理其内容是： “任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上 不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总 可以用 1，2，3，4 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，
3、网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线围成的各区域上分别标有数字 1，2，3，4 的四色 地图符合四色定理，区域 A 和区域 B 标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则 恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ） A B C D 10 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点，A（1，1） ，当PAF 周长 最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A B C D 11 （5 分）由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T195222010） 于 2011 年 7 月 1 日正式实施车辆 驾
4、驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表 1 经过反复试验， 一般情况 第 3 页（共 26 页） 下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图 1，且图 1 表示的 函数模型 f（x），则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长 时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln152.71，ln303.40） （ ） 驾驶行为类别 阀值（mg/100mL） 饮酒后驾车 20，80 醉酒后驾车 80 表 1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值 A5 B6 C7 D8 12 （5 分）已知偶函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时 f （x）x，
5、g（x）4x2x2 方程|g（x）|1 有 2 个不等实根； 方程 g（f（x）0 只有 1 个实根； 当 x（，2时，方程 f（g（x）0 有 7 个不等实根； 存在 x00，1使 g（x0）g（x0） 正确的序号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设向量 （3，2） ， （1，1） ，若（ +） ，则实数 14 （5 分）二项式（x2+）5的展开式中，x7的系数为 （用数字填写答案） 15 （5 分）已知圆台的上、下底面都是球 O 的截面，若圆台的高为 6，上、下底面的半径 分别为 2，
6、4，则球 O 的表面积为 第 4 页（共 26 页） 16 （5 分）锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2c2bc，则 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2，an，Sn成等差数列 （1）求数列an的通项公式；
7、（2）数列bn满足 bnlog2a1+log2a2+log2an，求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，正方形 CDEF 所在平面与等腰梯形 ABCD 所在平面互相垂直，已知 AB CD，AB2AD，BAD60 （1）求证：平面 ADE平面 BDE； （2）求平面 ABF 与平面 BDE 所成锐二面角的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 的 长轴长与焦距之比为：1，过 F2（3，0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点 （1）当 l 的斜率为 1 时，求F1AB 的面积； （2）当线段 AB 的垂直平分线在 y 轴上的截
8、距最小时，求直线 l 的方程 20 （12 分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽 取了 100 件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得 如下频率分布表和频率分布直方图： 分组 频数 频率 25.0525.15 2 0.02 25.1525.25 25.2525.35 18 第 5 页（共 26 页） 25.3525.45 25.4525.55 25.5525.65 10 0.1 25.6525.75 3 0.03 合计 100 1 （1）求 a，b； （2）根据质量标准规定钢管内径尺寸大于等于 25.75 或小于 25.15 为
9、不合格，钢管内径 尺寸在25.15， 25.35） 或25.45， 25.75） 为合格， 钢管内径尺寸在25.35， 25.45） 为优等 钢 管的检测费用为 2 元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布 （i） 若从这批钢管中随机抽取 3 根， 求内径尺寸为优等钢管根数 X 的分布列和数学期望； （ii）已知这批钢管共有 m（m100）根，若有两种销售方案： 第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除 100 根样品中的不合格钢管后，其余 所有钢管均以 50 元/根售出； 第二种方案：对该批剩余钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管 损失 20 元，合格等级的钢管
10、50 元/根，优等钢管 60 元/根 请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由 21 （12 分）已知 f（x）asinx（aR） ，g（x）ex （1）若 0a1，判断函数 G（x）f（1x）+lnx 在（0，1）的单调性； （2）证明：sin+sin+sin+sinln2， （nN+） ； （3）设 F（x）g（x）mx22（x+1）+k（kZ） ，对x0，m0，有 F（x）0 恒 成立，求 k 的最小值 第 6 页（共 26 页） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 已知在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以 x
11、轴的非负半轴为极轴，原点 O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单 位，若直线 和 （R）分别与曲线 C 相交于 A、B 两点（A，B 两点异于 坐标原点） （1）求曲线 C 的普通方程与 A、B 两点的极坐标； （2）求直线 AB 的极坐标方程及ABO 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xa|+|x+|（a0） （1）证明 f（x）4； （2）若不等式 f（x）|x+|4x 的解集为x|x2，求实数 a 的值 第 7 页（共 26 页） 2018-2019 学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理
12、科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x2，则 AB（ ） A2，1 B1，2 C1，1 D1，2 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：由 A 中不等式变形得： （x3） （x+1）0， 解得：x1 或 x3，即 A（，13，+） ， B2，2， AB2，1， 故选：A 【点评】此题考查
13、了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （5 分）已知函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）x2，则 f（2）（ ） A B C D 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（2）的值，结合函数的奇偶性可得 f（2） f（2） ，即可得答案 【解答】解：根据题意，当 x0 时，f（x）x2，则 f（2）4， 又由函数 f（x）为奇函数，则 f（2）f（2）； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇 4函数的性质进行分析 3 （5 分）若 cos（），则 cos2（ ） A B C D 【分析】由题意利用诱导公式求得 sin 的值，再利用二倍角公
14、式求得要求式子的值 【解答】解：cos（）sin，sin， 第 8 页（共 26 页） 则 cos212sin212， 故选：C 【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题 4 （5 分）双曲线 C：（0） ，当 变化时，以下说法正确的是（ ） A焦点坐标不变 B顶点坐标不变 C渐近线不变 D离心率变化 【分析】判断双曲线的焦点坐标，顶点坐标以及离心率，再求解渐近线方程，即可得到 结果 【解答】解：当 0 时，双曲线的焦点坐标以及顶点坐标在 x 轴上，离心率不变，渐近 线方程为：yx 不变 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 5
15、（5 分）若实数 x，y 满足，则 zx2y 的最大值是（ ） A2 B1 C1 D4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结 论 【解答】解：作出实数 x，y 满足对应的平面区域如图： 由 zx2y 得 yxz，平移直线 yxz，由图象可知当直线 yxz，经 过点 A 时， 直线 yxz，的截距最小，此时 z 最大， 由，解得 A（1，1） ，z1 故选：B 第 9 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B16
16、 C D 【分析】根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，结合题意画出图形，由图中 数据计算该几何体的体积 【解答】解：根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，如图所示； 第 10 页（共 26 页） 则该几何体的体积为 422224 故选：C 【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题 7 （5 分）若将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函 数的单调增区间是（ ） A+k，+k（kZ） B+k，+k（kZ） C+k，+k（kZ） D+k，+k（kZ） 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得平移后 所
17、得图象对应函数的单调增区间 【解答】 解： 将函数 ysin2x 的图象向右平移个单位长度， 可得 ysin （2x） 的图象 令 2k2x2k+，求得 kxk+， 可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为+k，+k（kZ） ， 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属 于基础题 8 （5 分）已知函数 f（x），则不等式|f（x）|1 的解集为（ ） A （， B （，02，+） C0，2，+） D （，2，+） 【分析】去掉绝对值，解各个区间上的 x 的范围，取并集即可 【解答】解：|f（x）|1，即 f（x）1 或 f（x）1， 由1，解
18、得：x0， 第 11 页（共 26 页） 由 log2x1，解得：x2， 由1，无解， 由 log2x1，解得：0x， 故不等式的解集是（，2，+） ， 故选：D 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查指数函 数以及对数函数的性质，是一道常规题 9 （5 分）四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称 为四色定理其内容是： “任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上 不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总 可以用 1，2，3，4 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相
19、同的数字”如图， 网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线围成的各区域上分别标有数字 1，2，3，4 的四色 地图符合四色定理，区域 A 和区域 B 标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则 恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ） A B C D 【分析】当区域 A 标记的数字是 2，区域 B 标记的数字是 1 时，恰好取在标记为 1 的区 域的概率所有可能值最大 【解答】解：当区域 A 标记的数字是 2，区域 B 标记的数字是 1 时， 恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值最大， 此时所在的小方格个数 n5630， 标记为 1 的区域中小方格的个数 m10， 恰好
20、取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是 P 故选：C 第 12 页（共 26 页） 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 10 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点，A（1，1） ，当PAF 周长 最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A B C D 【分析】求PAF 周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值设点 P 在准线上的射影为 D， 则根据抛物线的定义，可知|PF|PD|因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面 几何知识，当 D、P、A 三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出 P
21、 的坐标，然后求解 PF 所在直线的斜率 【解答】解：求PAF 周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值， 设点 P 在准线上的射影为 D， 根据抛物线的定义，可知|PF|PD| 因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值 根据平面几何知识，可得当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小， 因此的最小值为 xA（1）1+12， |AF|1，此时 P（，1） ，F（1，0）PF 所在直线的斜率为： 故选：A 【点评】考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当 D，P，A 三点共 线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键 11 （5 分）由国家公安部提出，
22、国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T195222010） 于 2011 年 7 月 1 日正式实施车辆 驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表 1 经过反复试验， 一般情况 下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图 1，且图 1 表示的 第 13 页（共 26 页） 函数模型 f（x），则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长 时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln152.71，ln303.40） （ ） 驾驶行为类别 阀值（mg/100mL） 饮酒后驾车 20，80 醉酒后驾车 80 表 1 车辆驾驶人
23、员血液酒精含量阀值 A5 B6 C7 D8 【分析】由图知车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 x2； 令 90e 0.5x+1420，解得 x 的取值范围，结合题意求得结果 【解答】解：由图知 0x2 时，函数 f（x）取得最大值， 此时 f（x）40sin（x）+13， x2 时，函数 f（x）90e 0.5x+14； 当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 x2； 由 90e 0.5x+1420，得 e0.5x ， 两边取自然对数，得 lne 0.5xln ， 即0.5xln15，解得 x5.42， 所以喝啤酒后需 6 个小时后才可
24、以合法驾车 注：如果根据图象可猜出 6 个小时 故选：B 【点评】本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数与不等式的应用问题，是中 第 14 页（共 26 页） 档题 12 （5 分）已知偶函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x+2）f（x） ，当 x0，1时 f （x）x，g（x）4x2x2 方程|g（x）|1 有 2 个不等实根； 方程 g（f（x）0 只有 1 个实根； 当 x（，2时，方程 f（g（x）0 有 7 个不等实根； 存在 x00，1使 g（x0）g（x0） 正确的序号是（ ） A B C D 【分析】由 g（x）1，g（x）1 解方程可判断；设 tf（x） ，g（
25、t）0，结合 f （x）的周期性可判断； 设 mg（x） ，则 f（m）0，可得 m 为偶数，再由 g（x）的值域，可判断； 由 g（x0）g（x0） ，结合二次函数和指数函数的单调性，可判断 【解答】解：对于，g（x）4x2x2，由 g（x）1 可得 2x或 2x （舍去） ， 即 xlog2；由 g（x）1 可得 2x或 2x（舍去） ，故正确； 对于，方程 g（f（x）0，设 tf（x） ，即 g（t）0，解得 t1，即 f（x）1， 由 f（x+2）f（x）f（x） ，可得 f（x）为周期为 2 的函数， f（x）1 的根为 x2k1，kZ，故错误； 对于，当 x（，2时，方程 f（g
26、（x）0， 可设 mg（x） ，则 f（m）0，可得 m2k，kZ， 由 g（x）在 x2 的值域为，10，可得 m2，0，2，4，6，8，10，有 7 个不等 实根，故正确； 对于由 g（x0）g（x0） ，即 4x02x02+4 x02x020，可设 t2x0+2x0， 则 t2t60，解得 t3，由 2x0+2 x03，即 4x032x0+10， 由3245，可得 2x02，即 x01，或故 2x01，即 x00， 错误 故选：B 第 15 页（共 26 页） 【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是周期性和值域的求法，考查方程思想和运 算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：
27、本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设向量 （3，2） ， （1，1） ，若（ +） ，则实数 13 【分析】 可求出， 根据即可得出， 进行数量积的坐标运算即可求出 的值 【解答】解：； ； ； 解得 13 故答案为：13 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算 14 （5 分）二项式（x2+）5的展开式中，x7的系数为 10 （用数字填写答案） 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 7，求出 r 的值，即可求得 x7 的系数 【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为 Tr+1， 令 107
28、，求得 r2，故 x7的系数为10， 故答案为：10 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 15 （5 分）已知圆台的上、下底面都是球 O 的截面，若圆台的高为 6，上、下底面的半径 分别为 2，4，则球 O 的表面积为 80 【分析】在轴截面等腰梯形中计算出 sinA 与 BD，然后利用正弦定理计算出ABD 的外 接圆半径，即为球 O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出球 O 的表面积 【解答】解：如下图所示， 第 16 页（共 26 页） 设圆台的一个轴截面为等腰梯形 ABCD，则 AB8，CD4， 过点 C、D 分别作 CEAB、D
29、FAB，垂足分别为点 E、F， 则， 且 CEDF6， 所以， 在 RtADF 中， 设球 O 的半径为 R，则 2R 为ABD 外接圆的直径， 由正弦定理可得， 因此，球 O 的表面积为 故答案为：80 【点评】本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于计算球体的半径长，考查 计算能力与转化能力，属于中等题 16 （5 分）锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2c2bc，则 的取值范围是 （1，） 【分析】由已知及余弦定理可得 bc（1+2cosA） ，从而可求，由 A 的范 围，利用正弦函数的图象和性质可求 sinA 的范围，化简所求即可得解 【解答】解：A
30、BC 中，a2c2+bc， 又由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA， c2+bcb2+c22bccosA，整理可得：bc（1+2cosA） ， a2c2+c2（1+2cosA）c2（2+2cosA） ， 0， 由利用正弦定理可得：sinBsinC+2sinCcosAsinCcosA+sinAcosC， 第 17 页（共 26 页） 可得：sin（AC）sinC， 可得：ACC，或 AC+C（舍去） ， A2C， 又A+B+C，A，B，C 均为锐角，由于：3C+B，02C，0C，0 3C， 可得：B，可得：C， 在锐角ABC 中，A（，） ，sinA（，1） ， （1，） ， （1，）
31、故答案为： （1，） 【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用， 熟练掌握定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2，an，Sn成等差数列 （1）求数列an的通项公式
32、； （2）数列bn满足 bnlog2a1+log2a2+log2an，求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）由题意可得 2an2+Sn，运用数列的递推式：当 n1 时，a1S1，n2 时， anSnSn1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项； （2）求得 log2anlog22nn，bnn（n+1） ，2（） ，由数列 的裂项相消求和，化简整理，可得所求和 【解答】解： （1）2，an，Sn成等差数列，可得 2an2+Sn， 当 n1 时，a1S12a12，解得 a12， n2 时，anSnSn12an22an1+2， 化为 an2an1， 第 18 页（共 26 页） 可得
33、数列an为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 即有 an2n，nn*； （2）log2anlog22nn， bnlog2a1+log2a2+log2an1+2+nn（n+1） ， 2（） ， 即有前 n 项和 Tn2（1+） 2（1） 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义和 通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档 题 18 （12 分）如图，正方形 CDEF 所在平面与等腰梯形 ABCD 所在平面互相垂直，已知 AB CD，AB2AD，BAD60 （1）求证：平面 ADE平面 BDE； （2）求平面 ABF 与平面
34、BDE 所成锐二面角的余弦值 【分析】 （1）推导出 DE平面 ABCD，DEBD，BDAD，从而 BD平面 ADE，由此 能证明平面 ADE平面 BDE （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出平面 ABF 与平面 BDE 所成锐二面角的余弦值 【解答】证明： （1）平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCDCD， DECD， DE平面 ABCD，DEBD， 在ABD 中，AB2AD，BAD60， 由余弦定理得 BDAD，AB2AD2+BD2， ADB90，BDAD， 第 19 页（共 26 页） AD
35、平面 ADE，DE平面 ADE，ADDED， BD平面 ADE， 又 BD平面 BDE，平面 ADE平面 BDE 解： （2）四边形 ABCD 是等腰梯形，BAD60， 又由（1）知ADB90，CBDCDB30， ADBCCD， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AD1，由 DB，A（1，0，0） ，B（0，0） ， 由 CDCB，CDB30，得 C（，0） ， F（，1） ，（） ，（） ， 设平面 ABF 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （1，1） ， 平面 BDE 的法向量 （1，0，0） ， 设平面 ABF
36、与平面 BDE 所成锐二面角为 ， 则 cos， 平面 ABF 与平面 BDE 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 第 20 页（共 26 页） 19 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 的 长轴长与焦距之比为：1，过 F2（3，0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点 （1）当 l 的斜率为 1 时，求F1AB 的面积； （2）当线段 AB 的垂直平分线在 y 轴上的截距最小时，求直线 l 的方程 【分析
37、】 （1）先由已知条件得出 c3，再由离心率得出 a 的值，然后求出 b 的值，从而 可得出椭圆的方程，然后写出直线 l 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出交点坐 标，然后利用三角形的面积可求出F1AB 的面积； （2）设直线 l 的方程为 yk（x1） ，将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达 定理，求出线段 AB 中点 H 的坐标，然后求出 AB 中垂线与 y 轴交点的纵坐标，利用基本 不等式求出截距的最小值，利用等号成立求出 k 的值，从而求出直线 l 的方程 【解答】解： （1）依题意，因，又 c3，所以，b3，所以，椭圆 C 的标准方程为 设点 A（x1，y1） 、B
38、（x2，y2） ，当 k1 时，直线 l 的方程为 yx3， 将直线与椭圆的方程联立得，消去 x 得，y2+2y30，解得 y13，y2 1，则|y1y2|4， 所以，； （2）设直线 l 的斜率为 k，由题意可知 k0， 由，消去 y 得， （2k2+1）x212k2x+18（k21）0， 0 恒成立，由韦达定理得， 设线段 AB 的中点为 H（x0，y0） ，则， 设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 D（0，m） ，则 kDHkAB1，得 第 21 页（共 26 页） ， 整理得 m （2k2+1）3k，等号成立时 故当截距 m 最小为时，此时，直线 l 的方程为 【点评】本题考
39、查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同 时考查计算能力与推理能力，属于中等题 20 （12 分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽 取了 100 件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得 如下频率分布表和频率分布直方图： 分组 频数 频率 25.0525.15 2 0.02 25.1525.25 25.2525.35 18 25.3525.45 25.4525.55 25.5525.65 10 0.1 25.6525.75 3 0.03 合计 100 1 （1）求 a，b； （2）根据质量标准规定钢管内径尺寸
40、大于等于 25.75 或小于 25.15 为不合格，钢管内径 尺寸在25.15， 25.35） 或25.45， 25.75） 为合格， 钢管内径尺寸在25.35， 25.45） 为优等 钢 管的检测费用为 2 元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布 （i） 若从这批钢管中随机抽取 3 根， 求内径尺寸为优等钢管根数 X 的分布列和数学期望； （ii）已知这批钢管共有 m（m100）根，若有两种销售方案： 第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除 100 根样品中的不合格钢管后，其余 所有钢管均以 50 元/根售出； 第 22 页（共 26 页） 第二种方案：对该批剩余钢管进行一一检
41、测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管 损失 20 元，合格等级的钢管 50 元/根，优等钢管 60 元/根 请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由 【分析】 （1）由频率分布直方图先求出 b，由此列方程能求出 a （2） （i）钢管内径尺寸为优等的概率为 0.3，X 所有可能的取值为 0，1，2，3，分别求 出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） （ii）按第一种方案：y150（m2）20050m300，按第二种方案：y20.68m 50+0.3m602m0.02m2049.6m，y1y2（50m300）49.6m0.4m 300，由此根据 m 的取值范围能求出结果 【解答
42、】解： （1）由题意知 b1.8， （a+2.3+1.8+1.4+1+0.3+0.2）0.11， 解得 a3 （2） （i）由（1）知钢管内径尺寸为优等的概率为 0.3，X 所有可能的取值为 0，1，2，3， P（X0）0.343， P（X1）0.441， P（X2）0.189， P（X3）0.027， X 的分布列为： X 0 1 2 3 第 23 页（共 26 页） P 0.343 0.441 0.189 0.027 E（X）00.343+10.441+20.189+30.0270.9 （ii）按第一种方案：y150（m2）20050m300， 按第二种方案：y20.68m50+0.3m6
43、02m0.02m2049.6m， y1y2（50m300）49.6m0.4m300， 若 m750 时，y1y2，则按第一种方案； 若 m750 时，y1y2，则第一、第二种方案均可； 若 100m750 时，y1y2，由按第二种方案 【点评】本题考查频率、概率的求法及应用，考查频率分布表、频率分布直方图、二项 分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知 f（x）asinx（aR） ，g（x）ex （1）若 0a1，判断函数 G（x）f（1x）+lnx 在（0，1）的单调性； （2）证明：sin+sin+sin+sinln2， （nN+） ； （3）设 F（x）g（x）
44、mx22（x+1）+k（kZ） ，对x0，m0，有 F（x）0 恒 成立，求 k 的最小值 【分析】 （1）由题意：G（x）asin（1x）+lnx，G（x）acos（1x） ，证明 当 0x1，0a1 时，G（x）0 恒成立即可证明结论 （2）当 a1 时，G（x）sin（1x）+lnx 在（0，1）单调增，推出 sinln ln，然后证明即可 （3）化简 F（x）exmx22x+k20 即：F（x）min0，求出导数 F（x）ex 2mx2， 二次导数 F（x）ex2m 判断导函数的符号， 推出函数的单调性， 求出最值， 列出不等式，k（1）e+x0+2，x0（0，ln2）恒成立，构造函数，利用函数的 导数，求解最值，然后推出最小整数 k 的值 【解答】 （1）解：由题意：G（x）asin（1x）+lnx，G（x）acos（1x）+， 当 0x1，0a1 时，1，cosx1，G（x）0 恒成立， 函数 G（x）f（1x）+g（x）在区间（0，1）上是增函数； （2）证明：由（1）知，当 a1 时，G（x）sin（1x）+lnx