1、已知集合 Ax|x1，By|4y1，则（ ） AABx|x1 BABR CABx|x0 DAB 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 z 满足（1+）z（）2，则|z|为（ ） A4 B1 C D2 3 （5 分）某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动，则抽到 2 名学生性别 相同的概率是（ ） A B C D 4 （5 分）已知 a0，b0，若不等式+恒成立，则 m 的最大值为（ ） A9 B12 C18 D24 5 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a6+a8+a103，则 S15（ ） A9 B18 C15 D27 6 （5 分）如图在平行四
2、边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且2，则 （ ） A B C D 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 n2018，则输出的 S（ ） 第 2 页（共 26 页） A B C D 8 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组，则 zx+y 的最小值是（ ） A13 B15 C1 D7 9 （5 分） 九章算术是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题： “今有刍 甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”意思为： “今有底面为 矩形的屋脊形状的多面体（如图） ” ，下底面宽 AD3 丈，长 AB4 丈，上棱 EF2 丈， EF平面 AB
3、CDEF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈，问它的体积是（ ） A4 立方丈 B5 立方丈 C6 立方丈 D8 立方丈 10 （5 分）已知函数 f（x），g（x）f（x）+x+a若 g（x）存在 2 个零 点，则 a 的取值范围是（ ） A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 11 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y28x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） 第 3 页（共 26 页） A32 B24 C16 D12 12 （5 分）若对于任意的实数
4、t，函数 f（x）（xt）3+（xet）33ax 在 R 上都是增函 数，则实数 a 的取值范围是（ ） A （ B （） C （ D （） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）4sin（2x+） （0） ，若函数 F（x）f（x）a 恰有 3 零点，分别为 x1，x2，x3（x1x2x3） ，则 x1+2x2+x3的值为 14 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的表面积是 15 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双 曲线 C 上与 A，B，不重合的动点，若 kPAkPB
5、2，求双曲线的离心率 16 （5 分）已知函数 yf（x）为定义在 R 上的奇函数，且在0，+）单调递减，当 x+y 2019 时，恒有 f（x）+f（2019）f（y）成立，则 x 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 ac，若 atanB2bsin （B+C） （1）求角 B 的大小； （2）若 b，且ABC 的面积为，求 sinA 的值 18 （12 分）某校高三一次模拟考试后，要对学生各科成绩进行统计分析其中，某班对数 学、英语单科各前 20 名的学生成绩进行统计，得到如下频数分布表，并
6、规定成绩在 120 分（含 120 分）为优秀 表 1：数学成绩 第 4 页（共 26 页） 成绩 94 95 97 100 102 104 107 109 112 113 116 118 120 130 135 140 频数 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 表 2：英语成绩 成绩 93 95 96 101 102 103 110 113 115 118 123 130 132 136 频数 1 1 1 1 1 2 5 1 1 1 1 2 1 1 （1） 班主任为了对数学、英语两科各前 20 名同学的成绩进行对比分析，绘制了如下茎 叶图，请完成以下问题 在茎叶图
7、中的方框内填上恰当数字（把数字写在答题卡上） ； 求表中数学成绩的中位数和英语成绩的平均数； （2）从数学成绩优秀的学生中随机地抽取 2 名，若这两名学生中至少有一名学生英语成 绩优秀的概率为，求数学和英语成绩都优秀的人数 19 （12 分）如图示，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，AD PD，E、F 分别 CD、PB 的中点 （）求证：EF平面 PAD； （）求证：EF平面 PAB； （）设 ABBC2，求三棱锥 PAEF 的体积 20 （12 分）已知曲线 E 上的点到 F（0，1）的距离比它到 x 轴的距离大 1 （1）求曲线 E 的方程； （2）过
8、E 作斜率为 k 的直线交曲线 E 于 A、B 两点； 若，求直线 l 的方程； 过 A、B 两点分别作曲线 E 的切线 l1、l2，求证：l1、l2的交点恒在一条定直线上 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ax+1aR 第 5 页（共 26 页） （1）求函数 f（x）的极值； （2）若函数 f（x）的两个零点为 x1，x2且 x2e2x1求证： （x1x2） f（x1+x2） 选修选修 4-4，坐标系与参数方程，坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系中 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数， t0） 以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线
9、 l 的极坐标方程为 sin （） （1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 t时，求点 P 到直线 l 的距离的最大值； （2）若曲线 C 上所有的点均在直线 l 的右下方，求 t 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+2|x+1|+1 （1）求不等式 f（x）8 的解集； （2）若xR，函数 f（x）log2a 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 26 页） 2018-2019 学年山西省太原五中高三 （上）学年山西省太原五中高三 （上） 12 月月考数学试卷 （文月月考数学试卷 （文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题
10、解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题只有一个正确答案）分，每小题只有一个正确答案） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1，By|4y1，则（ ） AABx|x1 BABR CABx|x0 DAB 【分析】可求出集合 B，然后进行交集、并集的运算即可 【解答】解：By|y0，Ax|x1； ABx|0x1，ABR 故选：B 【点评】考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算 2 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 z 满足（1+）z（）2，则|z|为（ ） A4 B1 C D2 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解 【解答】解：（1
11、+）z（）2， z，则|z| 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动，则抽到 2 名学生性别 相同的概率是（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n10，抽到 2 名学生性别相同包含的基本事件个数 m 4，由此能求出抽到 2 名学生性别相同的概率 【解答】解：某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动， 基本事件总数 n10， 第 7 页（共 26 页） 抽到 2 名学生性别相同包含的基本事件个数 m4， 抽到 2 名学生性别相同的概率是 p 故选：B
12、【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题 4 （5 分）已知 a0，b0，若不等式+恒成立，则 m 的最大值为（ ） A9 B12 C18 D24 【分析】变形利用基本不等式即可得出 【解答】 解： a0， b0， 不等式+恒成立， 6+12，当且仅当 a3b 时取等号 m 的最大值为 12 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题 5 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a6+a8+a103，则 S15（ ） A9 B18 C15 D27 【分析】根据等差数列的定义和性质，前 n 项和公式
13、即可求出 【解答】解：a6+a8+a103， 3a83，即 a81， S1515a815， 故选：C 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，前 n 项和公式的应用，属于基础题 6 （5 分）如图在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且2，则 （ ） A B C D 第 8 页（共 26 页） 【分析】由平面向量的基本定理得：（） ，得解 【解答】解：（）， 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属简单题 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 n2018，则输出的 S（ ） A B C D 【分析】了解程序框图的功能，利用裂项法进行求解即可 【
14、解答】解：（） ， 当 n2018 时，程序计算的是 S+ （1+）（1）， 故选：D 【点评】本题主要考查程序框图的应用，了解程序的功能，利用裂项法进行求和是解决 本题的关键 8 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组，则 zx+y 的最小值是（ ） A13 B15 C1 D7 第 9 页（共 26 页） 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数 z2x+y 对应的直线进行平移，可得当 xy1 时，z2x+y 取得最小值 【解答】解：作出实数 x，y 满足不等式组表示的平面区域： 得到如图的阴影部分，由， 解得 B（11，2）设 zF（x，y）x+y，
15、将直线 l：zx+y 进行平移， 当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值， z最小值F（11，2）13 故选：A 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等 式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 9 （5 分） 九章算术是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题： “今有刍 甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈问积几何？”意思为： “今有底面为 矩形的屋脊形状的多面体（如图） ” ，下底面宽 AD3 丈，长 AB4 丈，上棱 EF2 丈， EF平面 ABCDEF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈，问它的体积是（ ）
16、A4 立方丈 B5 立方丈 C6 立方丈 D8 立方丈 【分析】过 E 作 EG平面 ABCD，垂足为 G，过 F 作 FH平面 ABCD，垂足为 H，过 第 10 页（共 26 页） G 作 PQAD，交 AB 于 Q，交 CD 于 P，过 H 信 MNBC，交 AB 于 N，交 CD 于 M， 则它的体积 VVEAQPD+VEPQFMN+VFNBCM，由此能求出结果 【解答】解：过 E 作 EG平面 ABCD，垂足为 G，过 F 作 FH平面 ABCD，垂足为 H， 过 G 作 PQAD，交 AB 于 Q，交 CD 于 P，过 H 信 MNBC，交 AB 于 N，交 CD 于 M， 则它的
17、体积： VVEAQPD+VEPQFMN+VFNBCM +SEPQNQ+ + 5（立方丈） 故选：B 【点评】本题考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法 的合理运用 10 （5 分）已知函数 f（x），g（x）f（x）+x+a若 g（x）存在 2 个零 点，则 a 的取值范围是（ ） A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 【分析】由 g（x）0 得 f（x）xa，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个 数与函数零点之间的关系进行转化求解即可 【解答】解：由 g（x）0 得 f（x）xa， 作出函数 f（x）和 yxa 的图象如图： 当直线 yxa 的截距a1，
18、即 a1 时，两个函数的图象都有 2 个交点， 即函数 g（x）存在 2 个零点， 故实数 a 的取值范围是1，+） ， 故选：C 第 11 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的 图象的交点问题是解决本题的关键 11 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y28x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A32 B24 C16 D12 【分析】方法一：设直线 l1，l2的方程，则 k1k21，将直线方程代入椭圆方程
19、，利用 韦达定理及抛物线的焦点弦性质，即可求得|AB|+|DE|，利用基本不等式的性质，即可求 得|AB|+|DE|的最小值； 方法二：设直线 l1的倾斜角为 ，则 l2的倾斜角为+，焦点弦长公式可得|AB| ，|DE|，根据二倍角公 式及正弦函数的性质，即可求得|AB|+|DE|的最小值； 方法三：设直线 l1：，代入抛物线的方程，根据抛物线的弦长公式，即可 求得丨 AB 丨丨 t1t2丨，同理求得丨 DE 丨，利 用基本不等式的性质，即可求得|AB|+|DE|的最小值； 方法四： 根据题意可判断当 A 与 D， B， E 关于 x 轴对称， 即直线 DE 的斜率为 1， |AB|+|DE|
20、 最小，根据弦长公式计算即可 方法五：根据抛物线的定义及性质丨 AF 丨，丨 BF 丨，则丨 AB 丨丨 AF 丨+丨 BF 丨，同理可得丨 DE 丨， 第 12 页（共 26 页） 则|AB|+|DE|+，利用柯西不等式即可求得|AB|+|DE|的最小值 【解答】解：方法一：抛物线 C：y28x 的焦点 F（2，0） ，设直线 l1：yk1（x2） ， 直线 l2：yk2（x2） ， 由 l1l2，则 k1k21， 则，整理得：k12x2（4k12+8）x+4k120， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x24+， 设 D（x1，y1） ，E（x2，y2） ，同理可得：x
21、3+x44+， 由抛物线的性质可得：丨 AB 丨x1+x2+p8+，丨 DE 丨x3+x4+p8+， |AB|+|DE|8+8+16+232， |AB|+|DE|的最小值 32， 故选 A 方法二：设直线 l1的倾斜角为 ，则 l2的倾斜角为+， 根据焦点弦长公式可得|AB|，|DE| ， |AB|+|DE|+， 0sin221， 当 45时，|AB|+|DE|的最小，最小为 32， 故选 A 方法三：抛物线 C：y28x 的焦点 F（2，0） ，设直线 l1：， 代入抛物线 C：y28x，整理得：sin2t28cost160， 则 t1+t2，t1t2， 第 13 页（共 26 页） 丨 A
22、B 丨丨 t1t2丨， 由 l1l2，直线 l2的倾斜角为+，|DE|， |AB|+|DE| + （+） （ sin2+cos2 ） 16+16+232， 当且仅当时，即 sincos 时，即 时，等号成立， |AB|+|DE|的最小值 32， 故选 A 方法四：l1l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则 A 与 D，B，E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l2过点（2，0） ， 则直线 l2的方程为 yx2， 联立方程组，则 y28y160， y1+y28，y1y216， |DE|y1y2|
23、816， |AB|+|DE|的最小值为 2|DE|32， 故选 A 方法五：不妨设直线 AB 的倾斜角 ，0， 由直线 DE 与直线 AB 垂直，故直线 DE 的倾斜角+， 设抛物线的准线与 x 轴的交于点 G，作 AK1垂直准线，垂足为 K1，AK2垂直 x 轴于 K2， 易知丨 AF 丨 cos+丨 GF 丨丨 AK1丨，丨 AK1丨丨 AF 丨，丨 GF 丨p， 丨 AF 丨 cos+p丨 AF 丨，则丨 AF 丨， 第 14 页（共 26 页） 同理丨 BF 丨，丨 AB 丨丨 AF 丨+丨 BF 丨+ ， 同理丨 DE 丨， |AB|+|DE|+32， 当且仅当 sincos 时，即
24、 时，等号成立， |AB|+|DE|的最小值 32， 故选：A 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式， 考查基本不等式，正弦函数的性质及柯西不等式的应用，考查转化思想，属于中档题 12 （5 分）若对于任意的实数 t，函数 f（x）（xt）3+（xet）33ax 在 R 上都是增函 数，则实数 a 的取值范围是（ ） A （ B （） C （ D （） 【分析】利用 f（x）（xt）3+（xet）33ax 在 R 上都是增函数，可得 f（x）3 （xt）2+3（xet）23a0 在 R 上恒成立，分离参数 a（xt）2+（xet）2，再求 出右边的最小值
25、，即可得出结论 【解答】解：f（x）（xt）3+（xet）33ax 在 R 上都是增函数， f（x）3（xt）2+3（xet）23a0 在 R 上恒成立， 第 15 页（共 26 页） a（xt）2+（xet）2， （xt）2+（xet）22（x）2+， 令 ytet，则 y1et， （，0）上，y0， （0，+）上，y0， t0 时，ymax1， 的最小值为， a， 故选：A 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关 键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）4sin（2x+） （0） ，
26、若函数 F（x）f（x）a 恰有 3 零点，分别为 x1，x2，x3（x1x2x3） ，则 x1+2x2+x3的值为 【分析】先作出三角函数 f（x）4sin（2x+） （0）的图象，再结合图象的 对称性即可得解 【解答】解：函数 F（x）f（x）a 恰有 3 零点， 等价于函数 yf（x）的图象与直线 ya 恰有 3 个交点， 函数 yf（x）的图象与直线 ya 的位置关系如图所示， 由图可知：x1+x22，x2+x32， 所以 x1+2x2+x3， 故答案为： 第 16 页（共 26 页） 【点评】本题考查了函数的零点个数与函数图象的交点个数及三角函数的图象的性质， 重点考查了数形结合的思
27、想方法，属中档题 14 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的表面积是 10+ 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的 表面积公式求出几何体的表面积 【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，是正方体的一部分： 底面是一个边长为 2，1，高为 2 的梯形，且四棱锥的高为 2，PCD 中，PC3，CD ，PD，cosPCD， SPCD3， 几何体的表面积为：222+12+3+10+， 故答案为：10 第 17 页（共 26 页） 【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键， 考查空间想象能力 15 （5 分）已知
28、双曲线 C：（a0，b0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双 曲线 C 上与 A，B，不重合的动点，若 kPAkPB2，求双曲线的离心率 【分析】设 P（x0，y0） ，A1（a，0） ，A2（a，0） ，根据 kPAkPB2，可得 y022x02 2a2，再根据1，由可得（b22a2）x02a2（b22a2） ，可 得 ca，即可求出离心率 【解答】解：设 P（x0，y0） ，A1（a，0） ，A2（a，0） ， kPAkPB2， 2，即 y022x022a2， 又1， 由可得（b22a2）x02a2（b22a2） ， x0a， b22a20， b22a2c2a2， ca， 即 e， 故
29、答案为： 第 18 页（共 26 页） 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础 题和易错题 16 （5 分）已知函数 yf（x）为定义在 R 上的奇函数，且在0，+）单调递减，当 x+y 2019 时，恒有 f（x）+f（2019）f（y）成立，则 x 的取值范围是 （，0） 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（x）在 R 上为减函数且 f（0）0，据此对 x 进行分情况讨论，分析 f（x）+f（2019）f（y）是否成立，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 yf（x）为定义在 R 上的奇函数，则有 f（0）0， 又由 f（x）在0，+）单调
30、递减，则 f（x）在（，0上也为减函数， 则 f（x）在 R 上为减函数，则 f（2019）0， 当 x0 时，y2019x2019，即 f（x）f（2019）f（y） ，则恒有 f（x）+f（2019） f（y）成立， 当 x0 时，y2019，此时 f（x）+f（2019）f（2019）f（y） ，f（x）+f（2019）f （y）不成立， 当 x0 时，y2019x2019，此时不能满足 f（x）+f（2019）f（y）恒成立， 故 x 的取值范围为（，0） ； 故答案为： （，0） 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意奇函数的性质，属于综合题 三、解答题（共三、解答题（
31、共 70 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 ac，若 atanB2bsin （B+C） （1）求角 B 的大小； （2）若 b，且ABC 的面积为，求 sinA 的值 【分析】 （1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知，结合 sinA0，sinB0， 第 19 页（共 26 页） 可求 cosB，结合范围 0B，可得 B 的值 （2）由已知利用三角形的面积公式可求 ac 的值，由余弦定理得 a+c4，联立解得 a，c 的值，由正弦定理即可解得 sinA 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）在ABC 中，sin（B+
32、C）sinA， 由正弦定理和已知条件得：sinA tanB2sinB sinA， 由于 sinA0，sinB0， 则有：cosB， 又 0B， 所以，B （4 分） （2）由题可知：SABCacsinBac sin，可得：ac3， 在ABC 中由余弦定理得：b2a2+c22ac cos，即有：7a2+c2ac， 整理得： （a+c）23ac7， 代入得： （a+c）216，可得：a+c4， 解方程组， 又 ac，得：a3，c1， 由正弦定理得：， sinA （12 分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余 弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和
33、转化思想，属于中档题 18 （12 分）某校高三一次模拟考试后，要对学生各科成绩进行统计分析其中，某班对数 学、英语单科各前 20 名的学生成绩进行统计，得到如下频数分布表，并规定成绩在 120 分（含 120 分）为优秀 表 1：数学成绩 成绩 94 95 97 100 102 104 107 109 112 113 116 118 120 130 135 140 频数 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 第 20 页（共 26 页） 表 2：英语成绩 成绩 93 95 96 101 102 103 110 113 115 118 123 130 132 136
34、频数 1 1 1 1 1 2 5 1 1 1 1 2 1 1 （1） 班主任为了对数学、英语两科各前 20 名同学的成绩进行对比分析，绘制了如下茎 叶图，请完成以下问题 在茎叶图中的方框内填上恰当数字（把数字写在答题卡上） ； 求表中数学成绩的中位数和英语成绩的平均数； （2）从数学成绩优秀的学生中随机地抽取 2 名，若这两名学生中至少有一名学生英语成 绩优秀的概率为，求数学和英语成绩都优秀的人数 【分析】 （1）由题可知（）处为 9； （）处为 2 由数学成绩的茎叶图能求出数学成绩的中位数和英语成绩的平均数 （2）由题意知：数学成绩优秀的人数为 5 人，从数学成绩优秀的学生中随机和地抽出 2
35、 人，共有 n种情形；数学成绩和英语成绩均优秀的人数 x 可能为：1，2，3，由 此分类讨论，能求出数学和英语成绩都优秀的人数 【解答】解： （1）由题可知： （）处为 9； （）处为 2（2 分） 由数学成绩的茎叶图可知：数学成绩的中位数为 108（4 分） 英语成绩的平均数为 （93+95+96+101+102+1032+1105+113+115+118+123+1302+132+136） 1（12 分） （6 分） （2）由题意知：数学成绩优秀的人数为 5 人， 从数学成绩优秀的学生中随机和地抽出 2 人，共有 n种情形； 第 21 页（共 26 页） 数学成绩和英语成绩均优秀的人数 x
36、 可能为：1，2，3， 当 x1 时，则这两名学生英语成绩均不优秀只有 6 种情形， 故至少有一名学生英语成绩优秀的概率 p11，不符题意； 当 x2 时，则这两名学生英语成绩均不优秀只有 3 种情形， 故至少有一名学生英语成绩优秀的概率 p21，符合题意； 当 x3 时，则这两名学生英语成绩均不优秀只有 1 种情形， 故至少有一名学生英语成绩优秀的概率 p21，不符合题意； 综上可知：数学和英语成绩都优秀的人数为 3 人（12 分） 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 19 （12 分）如图示，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD
37、，底面 ABCD 是矩形，AD PD，E、F 分别 CD、PB 的中点 （）求证：EF平面 PAD； （）求证：EF平面 PAB； （）设 ABBC2，求三棱锥 PAEF 的体积 【分析】 （）取 PA 的中点 G，连 FG，推导出四边形 DEFG 为平行四边形，从而 EF DG，由此能证明 EF平面 PAD （）推导出平面 PAD平面 ABCD，BAAD，BA平面 PAD，从而平面 PAB平面 PAD，推导出 DGPA，从而 DG平面 PAB，由 EFDG，能证明 EF平面 PAB （）VPAEF，由此能求出三棱锥 PAEF 的体积 【解答】证明： （）取 PA 的中点 G，连 FG，由题可
38、知：BFFP，则 FGAB FGAB，又 CEED，可得：DEAB 且 DEAB， FGDE 且 FGDE，四边形 DEFG 为平行四边形，则 EFDG 且 EFDG，DG平面 PAD；EF平面 PAD，EF平面 PAD（4 分） （）由 PD平面 ABCD，PD平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD， 且交线为 AD，又底面 ABCD 是矩形，BAAD，BA平面 PAD， 平面 PAB平面 PAD，其交线为 PA， 又 PDAD，G 为 PA 的中点，DGPA， 第 22 页（共 26 页） DG平面 PAB，由（）知：EFDG， EF平面 PAB（8 分） 解： （）由 ABBC得：BC
39、1，AB，ADPD1， F 为 PB 的中点， VP AEF （12 分） 【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知曲线 E 上的点到 F（0，1）的距离比它到 x 轴的距离大 1 （1）求曲线 E 的方程； （2）过 E 作斜率为 k 的直线交曲线 E 于 A、B 两点； 若，求直线 l 的方程； 过 A、B 两点分别作曲线 E 的切线 l1、l2，求证：l1、l2的交点恒在一条定直线上 【分析】 （1）由题意可得 P 点的轨迹是以 F（ 0，1）为焦点，y1 为准
40、线的抛物线， 即可求出， （2）过 F 的斜率为 k 的直线方程为：ykx+1，由消 y 可得 x24kx40， 根据韦达定理和向量的关系即可求出 k，可得直线方程， 根据导数的几何意义求出，切线 l1、l2的方程，求出交点的坐标即可证明 【解答】解： （1）设曲线 E 上的点 P（x，y） ，由题可知：P 到 F（0，1）的距离与到直 线 y1 的距离相等， 所以，P 点的轨迹是以 F（ 0，1）为焦点，y1 为准线的抛物线， E 的方程为：x2 4y 第 23 页（共 26 页） （2）设：过 F 的斜率为 k 的直线方程为：ykx+1 由消 y 可得 x24kx40令 A（x1，y1）
41、，B（x2，y2） x1+x24k ，x1x24 由题可知：若，即： （x2 ，1y2 ）3（x1，y11） ，即得：x23x1 由消去 x1，x2得：k2， k， 所求直线 l 的方程为：yx+1 证明由题知：y，yx，令 A（x1，x12） ，A（x2，x22） ，设 l1与 l2相交 于点 Q l1方程为：yx12x1（xx1） ， l1方程为：yx22x2（xx2） ， 相减得：x2k， 代入相加得：2yk（x1+x2） （x12+x22）4k2（x1+x2） 22x1x24k2 （16k2+8）2， y1， Q（2k，1） ， ：l1、l2的交点恒在一条定直线 y1 上 【点评】本题
42、考查抛物线的方程和运用，直线和抛物线的位置关系，考查切线的方程的 求法，以及二次方程的韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档 题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ax+1aR （1）求函数 f（x）的极值； （2）若函数 f（x）的两个零点为 x1，x2且 x2e2x1求证： （x1x2） f（x1+x2） 【分析】 （1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可 （2） 根据函数零点和导数之间的关系， 构造函数， 研究函数的单调性进行转化求解即可 第 24 页（共 26 页） 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，由题知：f（x
43、）+a 当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上为单调递增函数，函数 f（x）没 有极值； 当 a0 时， 令 f（x）+a0 得：x， 若 x（0，）时，f（x）0，f（x）在（0，）上为增函数； 若 x（，+）时，f（x）0，f（x）在（，+）上为减函数； f（x）的极大值为 f（）ln（）+a （）+1ln（a）无极小值 （6 分） （2）由题可知：f（x1）lnx1+ax1+10 f（x2）lnx2+ax2+10 相减得：lnx1lnx2 +ax1ax20，即：lnx2lnx1a（x1x2） ， a， （x1x2） f （x1+x2） （x1x2） （+a ） （x1x2
44、） （+） ， +ln+ln，由题知：e2，令 t，则 te2， h（t）+lnt，h（t）0，函数 h（t）在（e2，+）上为增函数， h（t）h（e2）1+1+所以，原不等式成立 【点评】本题主要考查函数零点的判断以及函数极值与单调性之间的关系，利用导数是 解决本题的关键考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度 选修选修 4-4，坐标系与参数方程，坐标系与参数方程 22（10 分） 在直角坐标系中 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为（ 为参数， t0） 以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 sin 第 25 页（共 26 页） （） （1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 t时，求点 P 到直线 l 的距离的最大值； （2）若曲线 C 上所有的点均在直线 l 的右下方，求 t 的取值范围 【分析】1（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 （2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的极坐标方程为 sin（） 转换为直角坐标方程为：xy+20 依题意，设 P（） ， 则点 P 到直线 l 的距离 d 当时， （3）因为曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方， 所以：对aRtcossin+20 恒成立， 即：恒成立， 所以：