1、设集合 Ax|x240，Bx|，则 AB（ ） Ax|x2 Bx|x2 Cx|x2 或 x2 Dx|x 2 （5 分）下列函数 f（x）中，满足“对任意的 x1，x2（，0） ，当 x1x2时，总有 f （x1）f（x2） ”的是（ ） Af（x）（x+1）2 Bf（x）ln（x1） C Df（x）ex 3 （5 分）函数的递增区间是（ ） A （，1） B （2，+） C D 4 （5 分）函数 f（x）的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 5（5 分） 已知曲线 y在点 （3， 2） 处的切线与直线 ax+y+10 垂直， 则 a 的值为 （ ） A2 B C D2 6 （5 分）在
2、ABC 中， “A30”是“sinA”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也必要条件 7（5 分） 已知 ab、 ab0 给出下列不等式： a2b2； 2a2b； ； ； 其中恒成立的不等式的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 8 （5 分），则（ ） A1a B Ca1 Da 第 2 页（共 20 页） 9 （5 分）如果方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg50 的两根为 、，则 的值是（ ） Alg7lg5 Blg35 C35 D 10 （5 分）若函数 f（x）log2（x+1）且 abc0，则、的大小关 系是（ ） A B C
3、D 11 （5 分）已知函数 f（x）x4+，x（0，4） ，当 xa 时，f（x）取得最小值 b， 则函数 g（x）（）|x+b|的图象为（ ） A B C D 12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+1）f（1x）且在1，+）上是增 函数， 不等式 f （ax+2） f （x1） 对任意 x， 1恒成立， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A3，1 B2，0 C5，1 D2，1 二、填空题二、填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）2sin（） ，x，0的单调递减区间为 14 （5 分）设 f
4、（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x2，若对任意 xa， a+2，不等式 f（x+a）f（3x+1）恒成立，则实数 a 的取值范围是 15 （5 分）已知函数 yf（x1）的图象关于点（1，0）对称，且当 x（，0）时，f （x）+xf（x）0 成立，若 a（30.3） f（30.3） ，b（log3） f（log3） ，c（log3） f（log3） ，则 a，b，c 的从大到小排列是 第 3 页（共 20 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表f（x）的导函数 yf （x）的图象如图所示 x 1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1
5、下列关于函数 f（x）的命题： 函数 yf（x）是周期函数；函数 f（x）在0，2上是减函数；如果当 x1，t 时 f（x）的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4；当 1a2 时，函数 yf（x）a 有 4 个零点其中真命题的序号是 三、解答题：本大三、解答题：本大题共题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分） （1）已知 tan2，求 4sin23sincos5cos2值； （2）若 lg（x2+1）+lg（y2+4）lg（8x）+lgy，求值 18 （12 分）已知：ABC 中，三边 a，b，c
6、的对角为 A，B，C，且， （）求 sinB 的值； （）若，且 ac，求ABC 的面积 19 （12 分）已知函数 f（x）在（1，1）上有定义，当 0x1 时，f（x）0，且对任意 x，y（1，1）都有 f（x）+f（y）f（） ，试证明： （1）f（x）为奇函数； （2）f（x）在（1，1）上单调递减 20 （12 分）已知函数 f（x）lg（a21）x2+（a+1）x+1 （1）若 f（x）的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； （2）若 f（x）的值域为 R，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2+（a1）2x+a（a1）2ex （其中 aR） 若 x0
7、 为 f（x）的极值点解不等式 f（x）（x1） （x2+x+1） 第 4 页（共 20 页） 22 （12 分）设 a0，函数 f（x）x2+a|lnx1| （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2）当 x1，+）时，求函数 f（x）的最小值 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年山西大学附中高三（上）学年山西大学附中高三（上）9 月月考数学试卷月月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中
8、，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 Ax|x240，Bx|，则 AB（ ） Ax|x2 Bx|x2 Cx|x2 或 x2 Dx|x 【分析】先根据不等式的性质，化简集合 A、B，再根据交集的定义求出 AB 【解答】解：Ax|x240x|x2 或 x2 Bx|x|x2 ABx|x2 故选：B 【点评】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴 2 （5 分）下列函数 f（x）中，满足“对任意的 x1，x2（，0） ，当 x1x2时，总有 f （x1）f（x2） ”的是（ ） Af（x）（x+1）2 Bf（x）ln（x1） C Df（
9、x）ex 【分析】根据题目所给条件，说明函数 f（x）在（，0）上应为减函数，其中选项 A 是二次函数，C 是反比例函数，D 是指数函数，图象情况易于判断，B 是对数型的，从定 义域上就可以排除 【解答】 解： 函数满足 “对任意的 x1， x2 （， 0） ， 当 x1x2时， 总有 f （x1） f （x2） ” ， 说明函数在（，1）上为减函数 f（x）（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 x1，所 以函数在（，1）单调递减，在（1，+）单调递增，不满足题意 函数 f（x）ln（x1）的定义域为（1，+） ，所以函数在（，0）无意义 对于函数 f（x），设 x1
10、x20，则 f（x1）f（x2），因为 x1， 第 6 页（共 20 页） x2（，0） ，且 x1x20，x2x10，则，所以 f（x1）f（x2） ，故函数 f（x）在（，0）上为减函数 函数 f（x）ex在（，+）上为增函数 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（ ，0）上的减函数 3 （5 分）函数的递增区间是（ ） A （，1） B （2，+） C D 【分析】由 x23x+20 得 x1 或 x2，由于当 x（，1）时，f（x）x23x+2 单调递减，由复合函数单调性可知 ylog 0.5（x23x+2）在（，1）上是单调递增的， 在
11、（2，+）上是单调递减的 【解答】解：由 x23x+20 得 x1 或 x2， 当 x（，1）时，f（x）x23x+2 单调递减， 而 01， 由复合函数单调性可知 ylog 0.5（x23x+2）在（，1）上是单调递增的， 在（2，+）上是单调递减的 故选：A 【点评】本题考查了对数函数的单调区间，同时考查了复合函数的单调性，在解决对数 问题时注意其真数大于 0，是个基础题 4 （5 分）函数 f（x）的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】题目中条件： “函数的零点个数”转化为方程 lnx x22x 的根的个数问题及一次函数 2x+10 的根的个数问题，分别画出方程 lnxx2
12、 2x 左右两式表示的函数图象即得 【解答】解：对于函数 f（x）lnxx2+2x 的零点个数 第 7 页（共 20 页） 转化为方程 lnxx22x 的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图 由图象可得两个函数有两个交点 又一次函数 2x+10 的根的个数是：1 故函数的零点个数为 3 故选：D 【点评】函数的图象直观地显示了函数的性质在判断方程是否有解、解的个数及一次 方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题体现了数形结合的数 学思想 5（5 分） 已知曲线 y在点 （3， 2） 处的切线与直线 ax+y+10 垂直， 则 a 的值为 （ ） A2 B C D2 【
13、分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到 a 的值 【解答】解：y， y， 曲线 y在点（3，2）处的切线的斜率 k， 曲线 y在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+10 垂直， 直线 ax+y+10 的斜率 ka1，即 a2 故选：D 【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细 第 8 页（共 20 页） 解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用 6 （5 分）在ABC 中， “A30”是“sinA”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也必要条件 【分析】要注意三角形内角和是 180 度，不要丢
14、掉这个大前提 【解答】解：在ABC 中，A+B+C180 A30 30A180 0sin A1 可判读它是 sinA的必要而不充分条件 故选：B 【点评】此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分 7（5 分） 已知 ab、 ab0 给出下列不等式： a2b2； 2a2b； ； ； 其中恒成立的不等式的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】取 a1，b2，即可判断出； 考察指数函数 y2x在 R 上单调性，即可判断出； 取 a1，b2，即可判断出； 考察幂函数在 R 上单调性，即可判断出； 考察指数函数在 R 上单调性，即可判断出 【解答】解：取 a1，b2，虽然满足12，但是（1）
15、2（2）2不成 立，因此 a2b2不正确； 考察指数函数 y2x在 R 上单调递增，ab，2a2b，因此正确； 取 a1，b2，虽然满足 12，但是不成立，因此不正确； 考察幂函数在 R 上单调递增，ab，正确； 考察指数函数在 R 上单调递减，ab，因此正确 第 9 页（共 20 页） 综上可知：只有三个正确 故选：B 【点评】本题考查了指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题 8 （5 分），则（ ） A1a B Ca1 Da 【分析】利用对数的运算法则，能导出 log5（+1）+log2（1）+log5（1） +log2（+1 ） 1 ， 再 由， 能 求 出 【解答】解：，
16、log5（+1）+log2（1）+log5（1）+log2（+1） log5（+1） （1）+log2（1） （+1） log55+log21 1， 1a 故选：A 【点评】本题考查对数的运算法则的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 9 （5 分）如果方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg50 的两根为 、，则 的值是（ ） Alg7lg5 Blg35 C35 D 【分析】由题意知，lg，lg 是一元二次方程 x2+（lg7+lg5）x+lg7lg50 的两根，依据 根与系数的关系得 lg+lg（lg7+lg5） ，再根据对数的运算性质可求得 的值 【解答】方程 lg2x+
17、（lg7+lg5）lgx+lg7lg50 的两根为 、， lg，lg 是一元二次方程 x2+（lg7+lg5）x+lg7lg50 的两根， lg+lg（lg7+lg5） ， lglg35， 的值是 故选：D 【点评】本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力， 第 10 页（共 20 页） 本题容易出现的错误是，误认为方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg50 的两根为 、，则 lg7lg5，导致错选 A 10 （5 分）若函数 f（x）log2（x+1）且 abc0，则、的大小关 系是（ ） A B C D 【分析】把、分别看作函数 f（x）log2（x
18、+1）图象上的点（a，f （a） ） ， （b，f（b） ） ， （c，f（b） ）与原点连线的斜率，对照图象可得答案 【解答】解：由题意可得，、分别看作函数 f（x）log2（x+1）图 象上的点（a，f（a） ） ， （b，f（b） ） ， （c，f（b） ）与原点连线的斜率 结合图象可知当 abc 时， 故选：B 【点评】本题主要考查了利用对数函数的图象与直线斜率的关系，体现了数形结合的数 形思想在解题中的应用 11 （5 分）已知函数 f（x）x4+，x（0，4） ，当 xa 时，f（x）取得最小值 b， 则函数 g（x）（）|x+b|的图象为（ ） A B 第 11 页（共 20 页
19、） C D 【分析】变形利用基本不等式即可得出 a2，b1，利用函数 g（x）（）|x+b|为函 数 g（x）（）|x+1|，关于直线 x1 对称，即可得出结论 【解答】解：x（0，4） ，x+11 f（x）x4+x+1+5251， 当且仅当 x2 时取等号，f（x）的最小值为 1 a2，b1， 函数 g（x）（）|x+b|为函数 g（x）（）|x+1|，关于直线 x1 对称 故选：B 【点评】本题考查了变形利用基本不等式，考查数形结合的数学思想，属于中档题 12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+1）f（1x）且在1，+）上是增 函数， 不等式 f （ax+2） f
20、（x1） 对任意 x， 1恒成立， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A3，1 B2，0 C5，1 D2，1 【分析】由题意，经考察四个选项，0 不存在于 A，C 两个选项的集合中，B 中集合是 D 中集合的子集，故可通过验证 a 的值取 0 与 1 时两种情况得出正确选项 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+1）f（1x）且在1，+）上是增 函数，可得出函数图象关于 x1 对称，且函数在（，1）上减，由此得出自变量离 1 越近，函数值越小， 综合考虑四个选项，四个选项中的集合中都有1，0 不存在于 A，C 两个选项的集合中， B 中集合是 D 中集合的子集，故可通过验证
21、a 的值取 0 与 1 时两种情况得出正确选项 当 a0 时，不等式 f（ax+2）f（x1）变为 f（2）f（x1） ，有函数 f（x）图象特 征可得出|21|x11|，解得 x3 或 x1，满足，不等式 f（ax+2）f（x1）对任 意 x，1恒成立，由此排除 A，C 两个选项 当 a1 时，不等式 f（ax+2）f（x1）变为 f（x+2）f（x1） ，有函数 f（x）图象 第 12 页（共 20 页） 特征可得出|x+21|x11|，解得 x，不满足不等式 f（ax+2）f（x1）对任意 x，1恒成立，由此排除 D 选项 综上可知，B 选项是正确的 故选：B 【点评】本题考查抽象函数的
22、性质探究方法与应用，解答本题，直接求解难度较大，根 据正难则反的原则，采取排除法解答本题是最优的选项，借助四个选项中的特征找出切 入点，通过验证两个特殊值 0，1 来排除错误选项得出正确选项，此种技巧在解答一些正 面解答难度较大的选择题时有奇效，而将本题以填空与解答题的面目出现，则本题的解 答技巧就无法使用了 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）2sin（） ，x，0的单调递减区间为 【分析】利用三角函数的图象和性质以及复合函数单调性之间的关系即可得到结论 【解答】解：f（x）2sin（） ， f（x）
23、2sin（x） ， 函数 f（x）2sin（x）的递减期间即为 y2sin（x）递增区间， 由， 得，kZ， 当 k0，函数的递减区间为， 当 x，0的单调递减区间为， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数的图象性质，利用复合函数单调性之间单调性的关系是 解决本题的关键 14 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）x2，若对任意 xa， a+2，不等式 f（x+a）f（3x+1）恒成立，则实数 a 的取值范围是 （，5 【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可 【解答】解：当 x0 时，f（x）x2， 第 13 页（共 20 页） 此时函数
24、f（x）单调递增， f（x）是定义在 R 上的奇函数， 函数 f（x）在 R 上单调递增， 若对任意 xa，a+2，不等式 f（x+a）f（3x+1）恒成立， 则 x+a3x+1 恒成立， 即 a2x+1 恒成立， xa，a+2， （2x+1）max2（a+2）+12a+5， 即 a2a+5， 解得 a5， 即实数 a 的取值范围是（，5； 故答案为： （，5； 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查 函数的性质 15 （5 分）已知函数 yf（x1）的图象关于点（1，0）对称，且当 x（，0）时，f （x）+xf（x）0 成立，若 a（30.3） f（3
25、0.3） ，b（log3） f（log3） ，c（log3） f（log3） ，则 a，b，c 的从大到小排列是 cab 【分析】由 yf（x1）的图象关于点（1，0）对称，得到 f（x）关于原点对称，即函 数 f（x）为奇函数，然后构造函数 g（x）xf（x） ，利用导数判断函数 g（x）的单调性， 然后比较大小即可 【解答】解：函数 yf（x1）的图象关于点（1，0）对称， f（x）关于原点对称，即函数 f（x）为奇函数 设 g（x）xf（x） ，则 g（x）为偶函数， 当 x（，0）时， g（x）f（x）+xf（x）0，此时函数单调递减， 即 x（0，+）时，函数 g（x）单调递增 则
26、ag（30.3）（30.3） f（30.3） ， bg（log3）（log3） f（log3） ， 第 14 页（共 20 页） cg（log3）（log3） f（log3） ， 30.31，0log31，log32， g（log3）g（2）g（2） ， 230.3log3， g（2）g（30.3）g（log3） ， 即 cab 故答案为：cab 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及利用导数研究函数的单调性问 题，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强 16 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表f（x）的导函数 yf （x）的图象如图所示 x 1 0
27、 4 5 f（x） 1 2 2 1 下列关于函数 f（x）的命题： 函数 yf（x）是周期函数；函数 f（x）在0，2上是减函数；如果当 x1，t 时 f（x）的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4；当 1a2 时，函数 yf（x）a 有 4 个零点其中真命题的序号是 【分析】观察函数 yf（x）的图象知，求出极值点，比较端点值，可以求出值域；在 区间1，0）和（2，4）内，f（x）0，在（0，2）上是减函数，由此能求出 f（x） 的单调递增区间；结合函数的图象和表格知：函数 f（x）的定义域1，5内，在 x0 处取极大值 f（0）2，在 x2 处取极小值 f（2） ，在 x4 处取极大值
28、f（4）2，再由 f（1）1f（5）1，由此即可求出 f（x）的最值；根据函数的单调性求出了 f（x） 的值域 yf（x）a 有零点，得 f（x）a，根据 a 的范围进行判断 【解答】解：f（x）的导函数 yf（x）的图象如图所示： 第 15 页（共 20 页） 观察图象知：在区间1，0）和（2，4）内，f（x）0， f（x）的单调递增区间是1，0和2，4； 在（0，2）和（4，5）有 f（x）0，f（x）为减函数； 故不正确，正确； 两个极大值点：0 和 4， 结合函数的图象知：函数 f（x）的定义域1，5内， 在 x0 处取极大值 f（0）2，在 x2 处取极小值 f（2） ， 在 x4
29、处取极大值 f（4）2，又f（1）1f（5）1， 当 x1，t时，f（x）的最大值是 2，那么 t 的最大值为 t5，故错误； 求函数 yf（x）a 的零点，可得 f（x）a，因为不知最小值的值，无法进行判断，故 错误 故答案为： 【点评】本题考查函数的单调区间和极大值的求法，解题时要认真审题，仔细观察图象， 熟练掌握导数的应用 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分） （1）已知 tan2，求 4sin23sincos5cos2值； （2）若 lg（x2+1）+l
30、g（y2+4）lg（8x）+lgy，求值 【分析】 （1）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解； （2）利用对数的运算性质把已知等式变形，可得（xy2）2+（2xy）20，从而得到 y2x，则答案可求 【解答】解： （1）由 tan2， 得 4sin23sincos5cos2 ； （2）由 lg（x2+1）+lg（y2+4）lg（8x）+lgy， 得 lg（4x2+y2+x2y2+4）lg（8xy） ， 4x2+y2+x2y2+48xy0，即（xy2）2+（2xy）20 xy2，且 y2x 第 16 页（共 20 页） ，则 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查对数的运算性质，是基础题
31、18 （12 分）已知：ABC 中，三边 a，b，c 的对角为 A，B，C，且， （）求 sinB 的值； （）若，且 ac，求ABC 的面积 【分析】 （）根据题意，由正弦定理可得，变形可得 sinBcosC 3sinAcosBsinCcosB，所以 sin（B+C）3sinAcosB，进而可得 sinA3sinAcosB，变形可 得答案； （）在ABC 中，由余弦定理可得，又 ac，解可得 a、c 的值， 由三角形面积公式计算可得答案 【解答】解： （）根据题意，ABC 中， 则， 即 sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，所以 sin（B+C）3sinAcosB， 又因为
32、A+B+C，sin（B+C）sinA，所以 sinA3sinAcosB， 因为 sinA0，所以， 又 0B，所以 （）在ABC 中，则有， 又 ac， 所以有，即 a224， 所以ABC 的面积为 【点评】本题考查三角形中几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，关键是掌握正弦、 余弦定理的形式 19 （12 分）已知函数 f（x）在（1，1）上有定义，当 0x1 时，f（x）0，且对任意 x，y（1，1）都有 f（x）+f（y）f（） ，试证明： （1）f（x）为奇函数； （2）f（x）在（1，1）上单调递减 第 17 页（共 20 页） 【分析】 （1）令 xy0 可得 f（0）0，令 yx，
33、可得 f（x）f（x） ，故得证； （2）由单调性的定义，任取 x1，x2（1，1） ，且 x1x2，由性质可得可得 f（x2）f（x1）f（） ，由已知可判 f（）0，进而得证 【解答】解： （1）由题意，令 xy0 代入已知式子可得： f（0）+f（0）f（0） ，解得 f（0）0， 令 yx，可得 f（x）+f（x）f（0）0， 即 f（x）f（x） ，故 f（x）为奇函数； （2）任取 x1，x2（1，1） ，且 x1x2， 故 f（x2）f（x1）f（x2）+f（x1）f（） x1，x2（1，1） ，且 x1x2， 0x2x12，01x2x12， 01，故 f（）0，即 f（x2）f
34、（x1） ， 所以 f（x）在（1，1）上单调递减 【点评】 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明， 给 x， y 赋值是解决问题的关键， 属基础题 20 （12 分）已知函数 f（x）lg（a21）x2+（a+1）x+1 （1）若 f（x）的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； （2）若 f（x）的值域为 R，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）因为 f（x）的定义域为 R，所以对数的真数一定大于 0 恒成立，讨论二次 项系数为 0 不成立，系数不为 0 时，得到系数大于 0 且根的判别式小于 0 求出 a 的范围 即可； （2）因为函数值域为 R，讨论二次项系数为 0 时，不成立
35、，系数不为 0 时，让系数大于 0 且根的判别式大于等于 0 求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）的定义域为 R（a21）x2+（a+1）x+10 恒成立 当 a210 时，得 a1，a1 不成立 第 18 页（共 20 页） 当 a210 时，解得或 a1 综上得或 a1 （2）当 a210 时，得 a1，a1 不成立 当 a210 时，解得 综上得 【点评】考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2+（a1）2x+a（a1）2ex （其中 aR） 若 x0 为 f（x）的极值点解不等式 f（x）（x1） （
36、x2+x+1） 【分析】由于 x0 为 f（x）的极值点，可得 f（0）0，得到 a0当 a0 时，f（x） （x1） （x2+x+1）（x1） ex，整理得（x1） 0令 g（x）ex，利用导数研究其单调性极值即 可得出 【解答】解：函数 f（x）ax2+（a1）2x+a（a1）2ex， f（x）ax2+（a2+1）x+aex， x0 为 f（x）的极值点， f（0）ae00，解得 a0 检验，当 a0 时，f（x）xex，当 x0 时，f（x）0，当 x0 时，f（x）0 x0 为 f（x）的极值点，故 a0 当 a0 时，f（x）（x1） （x2+x+1）（x1） ex， 整理得（x1）
37、0， 即或 令 g（x）ex，h（x）g（x）ex（x+1） ，h（x）ex1， 当 x0 时 h（x）ex10；当 x0 时，h（x）0 h（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增，h（x）h（0）0 第 19 页（共 20 页） 即 g（x）0，g（x）在 R 上单调递增，g（0）0 故0x1；0x0 原不等式的解集为x|x0 或 x1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了利用单调性解不等 式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 22 （12 分）设 a0，函数 f（x）x2+a|lnx1| （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2
38、）当 x1，+）时，求函数 f（x）的最小值 【分析】 （1）将 a1 代入，对函数 f（x）进行求导得到切线的斜率f（1） ，切点为（1， 2） ，从而得到切线方程 （2）分 xe 和 xe 两种情况讨论分别对函数 f（x）进行求导，根据导函数的正负判 断出函数 f（x）的单调性后可得到答案 【解答】解（1）当 a1 时，f（x）x2+|lnx1|，x0， 当 0xe 时，f（x）x2+1lnx， 当 xe 时，f（x）x2，f（x）2x， 当 xe 时，f（x）x2+lnx1， 令 x1 得 f（1）2，f（1）1，所以切点为（1，2） ，切线的斜率为 1， 所以曲线 yf（x）在 x1
39、处的切线方程为：xy+10 （2）当 xe 时，f（x）x2+alnxa，（xe） a0， f（x）0 恒成立 f（x）在e，+）上增函数 故当 xe 时，yminf（e）e2 当 1xe 时，f（x）x2alnx+a， （1xe） （i）当，即 0a2 时，f（x）在 x（1，e）时为正数， 所以 f（x）在区间1，e）上为增函数 故当 x1 时，ymin1+a，且此时 f（1）f（e） 第 20 页（共 20 页） （ii）当，即 2a2e2时， f（x）在时为负数，在间时为正数 所以 f（x）在区间上为减函数，在上为增函数 故当时， 且此时 （iii）当；即 a2e2时， f（x）在 x
40、（1，e）时为负数， 所以 f（x）在区间1，e上为减函数， 当 xe 时，yminf（e）e2 综上所述，当 a2e2时，f（x）在 xe 时和 1xe 时的最小值都是 e2 所以此时 f（x）的最小值为 f（e）e2； 当 2a2e2时，f（x）在 xe 时的最小值为， 而， 所以此时 f（x）的最小值为 当 0a2 时，在 xe 时最小值为 e2，在 1xe 时的最小值为 f（1）1+a， 而 f（1）f（e） ，所以此时 f（x）的最小值为 f（1）1+a 所以函数 yf（x）的最小值为 【点评】本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关 系当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减