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2020届全国Ⅱ卷高考压轴数学文科试卷(含答案解析)

1、2020 新课标 2 高考压轴卷数学(文) 一、选择题(本大题共 12 小题. 每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 Ax N 0x3 ,BxR2x2则 AB( ) A. 0,1 B. 1 C. 0,1 D. 0,2) 2.已知复数 z 的共轭复数 1 12 i z i ,则复数 z 的虚部是( ) A. 3 5 B. 3 5 i C. 3 5 - D. 3 5 i 3.下列有关命题的说法正确的是( ) A. 命题“若 2 1x ,则1x ”的否命题为:“若 2 1x ,则1x ” B. “1x”是“ 2 560xx ”必要不充分条件

2、 C. 命题“xR ,使 2 10xx ”的否定是:“xR 均有 2 10xx ” D. 命题“若x y ,则sinsinxy”的逆否命题为真命题 4.角的终边在直线 2yx 上,则 sincos sincos ( ) A. 1 3 B. 1 C. 3 D. 1 5. 已知向量1,1a ,1,bm,若向量a 与b a 的夹角为 4 ,则实数 m =( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 6.设变量想 x、y 满足约束条件为 26 0 0 xy x y 则目标函数 3zxy 的最大值为( ) A. 0 B. -3 C. 18 D. 21 7.一空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体

3、积为( ) A. 1 B. 3 C. 6 D. 2 8.执行如下的程序框图,则输出的 S 是( ) A. 36 B. 45 C. 36 D. 45 9.我国古代数学典籍 九章算术 第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题: 有厚墙 5 尺, 两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一 天也进一尺,以后每天减半。问两鼠在第几天相遇?( ) A. 第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 10. 已知函数 2 1 cos 4 f xxx, fx是函数 f x的导函数,则 fx的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 11.双曲线 C:

4、22 2 1 9 xy b 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 在双曲线 C 上,且 12 PFF 是 等腰三角形,其周长为 22,则双曲线 C 的离心率为( ) A. 8 9 B. 14 9 C. 8 3 D. 14 3 12.若定义在 R 上的函数 f x 满足 2f xf x 且 1,1x 时, f xx ,则方程 3 logf xx 的根的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题(本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 0, ,且 2 sin() 410 ,则tan2_ 14.现有 7 名志愿者,其中只会俄语的有 3 人,既会俄语又会英语的有

5、4 人.从中选出 4 人担 任“一带一路”峰会开幕式翻译工作,2 人担任英语翻译,2 人担任俄语翻译,共有_ 种不同的选法。 15.已知直线 l: 330mxym 与圆 22 12xy 交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 l 的垂线与 y 轴交于 C、D 两点,若| | 2 3AB ,则| |CD _ 16.已知三棱锥 PABC,PA平面 ABC,ACBC,PA2,ACBC1,则三棱锥 P ABC 外接球的体积为_ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题 12 分) 已知数列an满足 1 2a , 1 24 nn aa

6、 (1)证明:4 n a 是等比数列; (2)求数列an的前 n 项和 Sn 18. (本小题 12 分) 如图所示,在三棱柱 ABC - A1B1C1中,侧棱 1 AA 底面 ABC,AB BC ,D 为 AC 的中 点, 1 2,3AAABBC . (1)求证: 1 AB /平面 1 BC D; (2)求 AB1与 BD 所成角的余弦值 19. (本小题 12 分) 某科研课题组通过一款手机APP软件, 调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量 (简 称“周跑量”) ,得到如下的频数分布表 周 跑 量 (k m/ 周) 10 15, 15 20, 20 25, 25 30, 30 3

7、5, 35 40, 40 45, 45 50, 50 55, 人 数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 (1)在答题卡上补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图: 注:请先用铅笔画,确定后再用黑色水笔描黑 (2) 根据以上图表数据计算得样本的平均数为 28.5km, 试求样本的中位数 (保留一位小数) , 并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点 (3)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成以下三类,不同类别的跑者购买的装备 的价格不一样,如下表: 周跑量 小于20公里 20 公里到 40 公 里 不小于 40 公里 类别

8、休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格(单位:元) 2500 4000 4500 根据以上数据,估计该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要花费多少元? 20. (本小题 12 分) 已知点0, 2A,椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 2 , 2 F是椭圆 E 的右焦点, 直线 AF 的斜率为 2,O 为坐标原点 (1)求 E 的方程; (2) 设过点03P,且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两 M、 N, 且 8 2 | 7 MN , 求 k 的值. 21. (本小题 12 分) 已知函数 1 x f xxae (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设

9、12 ,x x是 f(x)的两个零点,证明: 12 4xx 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. (本小题 10 分) 已知曲线 C: 2 2 2 8 1 2(1) 1 k x k k y k (k 为参数)和直线 l: 2cos 1sin xt yt (t 为参数) (1)将曲线 C 的方程化为普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 P(2,1)为弦 AB 的中点,求弦 AB 所在的直 线方程 23. (本小题 10 分) 设函数( )1f xxx 的最大值为 m. (1)

10、求 m 的值; (2)若正实数 a,b 满足abm,求 22 11 ab ba 的最小值. 新课标 2 高考压轴卷数学(文)Word 版含解析 参考答案参考答案 1. 【答案】A 【解析】 可解出集合 A,然后进行交集的运算即可 【详解】A0,1,2,3,BxR|2x2; AB0,1 故选:A 2. 【答案】A 【解析】 11 211 313 12121 2555 iiii zi iii ,则 13 55 zi ,则复数z的虚部是 3 5 . 故选:A. 3. 【答案】D 【解析】 A命题“若 2 1x ,则1x ”的否命题为:“若 2 1x ,则1x ”,则A错误 B由 2 560xx,解得

11、6x或1x,则“1x”是“ 2 560xx ”的充分不必 要条件,故B错误 C命题“xR 使得 2 10xx ”的否定是:“xR 均有 2 1 0xx ”,故C错误 D 命题“若x y , 则s i ns i n xy”为真命题, 则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y , 则sinsinxy”的逆否命题为真命题,故D正确 故选:D 4. 【答案】C 【解析】 角的终边在直线2yx上,tan2, 则 sincossin sincossincos cso sincostan1 3 sincostan1 ,故选:C。 5. 【答案】B 【解析】 由题意得:1, 1a ,2,1bam 2a , 2

12、 41bam 2 212 cos 42 241 aba m aba m ,解得:1m 本题正确选项:B 6. 【答案】C 【解析】 画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数3zxy在点6,0A处取得最大值,且最 大值为3 6 0 18z .故选 C. 7. 【答案】D 【解析】 由三视图可知,几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个直角梯形, 直角梯形的上底是 1,下底是 2,垂直于底边的腰是 2, 一条侧棱与底面垂直,这条侧棱长是 2. 四棱锥的体积是 1221 22 32 . 故选:D. 8. 【答案】A 【解析】 1 8i 满足,执行第一次循环, 1 2 0111S ,1 12i ; 28

13、i 成立,执行第二次循环, 2 2 1123S ,2 13i ; 38i 成立,执行第三次循环, 3 2 3136S ,3 14i ; 48i 成立,执行第四次循环, 4 2 61410S ,4 15i ; 58i 成立,执行第五次循环, 5 2 101515S ,5 16i ; 68i 成立,执行第六次循环, 6 2 151621S ,6 17i ; 78i 成立,执行第七次循环, 7 2 211728S ,7 1 8i ; 88i 成立,执行第八次循环, 8 2 281836S ,8 19i ; 98i 不成立,跳出循环体,输出S的值为36,故选:A. 9. 【答案】B 第一天:大老鼠 1

14、+小老鼠 1=2; 第二天:大老鼠 2+小老鼠 1.5=3.5 第三天:大老鼠 4+小老鼠 1.75=5.75 相遇 10. 【答案】A 【解析】由题意得: 1 sin 2 fxxx 1 sin 2 fxxxfx f x为奇函数,图象关于原点对称 可排除,B D 又当 2 x 时,10 24 f ,可排除C 本题正确选项:A 11. 【答案】B 【解析】 双曲线 22 2 1 9 xy C b :,可得 a3, 因为 12 PFF是等腰三角形,当 211 =PF FF时, 由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|, 在F1PF2中,2c+2c+|PF2|22, 即 6c2a22, 即 c 14

15、 3 , 解得 C 的离心率 e 14 9 , 当 221 =PFFF时,由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|=2a+2c, 在F1PF2中,2a+2c +2c+2c22, 即 6c222a=16, 即 c 8 3 , 解得 C 的离心率 e 8 9 1(舍) , 故选:B 12. 【答案】A 【解析】 因为函数 f x满足 2f xf x,所以函数 f x是周期为2的周期函数. 又 1,1x 时, |f xx,所以函数 f x的图象如图所示. 再作出 3 logyx的图象,易得两图象有4个交点,所以方程 3 ( )log |f xx有4个零 点故应选 A 13. 【答案】 24 7 【解

16、析】 由 2 sin() 410 得: 221 sincossincos 2105 解方程组: 22 1 sincos 5 sincos1 得: 4 sin 5 3 cos 5 或 3 sin 5 4 cos 5 因为0,,所以sin0,所以 3 sin 5 4 cos 5 不合题意,舍去 所以 4 tan 3 ,所以22 4 2 2tan24 3 tan2 1tan7 4 1 3 ,答案应填: 24 7 . 14. 【答案】60 【解析】 因为英语翻译只能从多面手中选,所以有 (1)当选出的多面手 2 人从事英语翻译,没人从事俄语翻译,所以有 22 43 18C C 种选法; (2) 当选出

17、的多面手 2 人从事英语翻译, 1 人从事俄语翻译, 所以有 121 342 36C C C 种选法; (3)当选出的多面手 2 人从事英语翻译,2 人从事俄语翻译,所以有 2 4 6C 种选法; 共有 18+36+6=60 种选法。 15. 【答案】4 【解析】 因为2 3AB ,且圆的半径为 2 3r ,所以圆心0,0到直线330mxym的 距离为 2 2 3 2 AB r ,则由 2 33 3 1 m m ,解得 3 3 m ,代入直线l的方程,得 3 2 3 3 yx,所以直线l的倾斜角为 30 ,由平面几何知识知在梯形ABDC中, 4 cos30 AB CD 故答案为 4 16. 【

18、答案】6 【解析】如图所示,取 PB 的中点 O,PA平面 ABC,PAAB,PABC,又 BC AC,PAACA,BC平面 PAC,BCPC.OA 1 2 PB,OC 1 2 PB, OAOBOCOP,故 O 为外接球的球心又 PA2,ACBC1,AB 2, PB 6 ,外接球的半径 R 6 2 . V球 4 3 R3 4 3 ( 6 2 )3 6,故填6. 三、解答题(本大题共 6 道题,其中 17 题 10 分,其余每题 12 分,共计 70 分,请将准确 的答案写在答题卡相应的区域内.) 17. 【答案】 (1)见解析; (2) 1 242 n n Sn 【解析】 (1)由题意,数列

19、n a满足 1 2a ,所以 1 42a 又因为 1 24 nn aa ,所以 1 42824 nnn aaa ,即 1 4 2 4 n n a a , 所以4 n a 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 (2)由(1) ,根据等比数列的通项公式,可得42n n a ,即24 n n a , 所以 22 12 2424242224 nn nn Saaan 1 2 12 4224 12 n n nn , 即 1 242 n n Sn 18. 【答案】 (1)证明见解析; (2) 26 13 . 【解析】 (1)证明:如图,连接 1 BC,设 1 BC与 1 BC相交于点 O,连接 OD. 四

20、边形 11 BCC B是平行四边形 点 O 为 1 BC的中点 D 为 AC 的中点, OD 为 1 ABC的中位线, 1 / /ODAB OD平面 1 BC D, 1 AB 平面 1 BC D, 1/ / AB平面 1 BC D . (2)由(1)可知,ODB为 1 AB与BD所成的角或其补角 在Rt ABC中,D 为 AC 的中点,则 13 22 AC BD 同理可得, 13 2 OB 在OBD中, 222 26 cos 213 ODBDOB ODB OD BD 1 AB与 BD 所成角的余弦值为 26 13 . 19. 【答案】(1)见解析;(2) 中位数为 29.2,分布特点见解析;

21、(3)3720 元 【解析】 (1)补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图,如下: (2)中位数的估计值: 由5 0.02 5 0.024 5 0.0260.350.5 ,0.35 5 0.0360.530.5 所以中位数位于区间25 30,中, 设中位数为x,则0.35250.0360.5x, 解得29.2x,因为28.529.2, 所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数 (3)依题意可知,休闲跑者共有5 0.02 5 0.0241000220 人, 核心跑者5 0.026 5 0.036 5 0.044 5 0.0301000680 人, 精英跑者1000 2

22、20 680 100人, 所以该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要 220 2500680 4000 100 4500 3720 1000 元 20. 【答案】 (1) 2 2 1 2 x y; (2) 3k 或 3 . 【解析】 解: (1)由离心率 e 2 2 c a ,则 a2 c, 直线 AF 的斜率 k 02 0c 2,则 c1,a 2 , b2a2c21, 椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y; (2)设直线 l:ykx 3,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 2 2 3 1 2 ykx x y ,整理得: (1+2k2)x24 3kx+40, (4 3k)24

23、4(1+2k2)0,即 k21, x1+x2 2 4 3 12 k k ,x1x2 2 4 12k , 22 2 22 121212 2 411 8 2 114 127 kk MNkxxkxxx x k , 即 42 1732570kk , 解得: 2 3k 或 19 17 (舍去) k 3, 21. 【答案】 (1)见解析(2)见解析 【解析】 (1) 1 x fxae, 当0a时, 0fx ,则 f x在R上单调递增 当0a时,令 0fx ,得 1 lnx a ,则 f x的单调递增区间为 1 ,ln a , 令 0fx ,得 1 lnx a ,则 f x的单调递减区间为 1 ln, a

24、(2)证明:由 0f x 得 1 x x a e ,设 1 x x g x e ,则 2 x x gx e 由 0g x ,得2x;由 0g x ,得2x 故 2 min 1 20g xg e 的最小值 当1x 时, 0g x ,当1x时, 0g x , 不妨设 12 xx,则 12 1,2 ,2,xx, 12 4xx等价于 21 4xx, 1 42x且 g x2,上单调递增, 要证: 12 4xx,只需证 21 4g xgx, 12 g xg xa, 只需证 11 4g xgx,即 11 11 4 13 xx xx ee , 即证 1 24 11 310 x exx ; 设 24 31,1,

25、2 x h xexxx , 则 24 251 x h xex , 令 m xh x ,则 24 42 x m xex , 1,2 ,0xm x , m x在1,2上单调递减,即 h x 在1,2上单调递减, 20h xh , h x在1,2上单调递增, 1 24 11 20,310 x h xhexx , 从而 12 4xx得证 22. 【答案】 (1), (2)x+2y40 【解析】(1)由,得,即,又,两 式相除得, 代入,得,整理得,即为 C 的普通方程 (2)将代入, 整理得(4sin2+cos2)t2+(4cos+8sin)t80 由 P 为 AB 的中点,则 cos+2sin0,即,故,即, 所以所求的直线方程为 x+2y40 23. 【答案】(1) m1 (2) 1 3 【解析】 (1)f(x)|x1|x| 由 f(x)的单调性可知,当 x1 时,f(x)有最大值 1 所以 m1 (2)由(1)可知,ab1, ()(b1)(a1) a2b2 (a2b22) (ab)2 当且仅当 ab时取等号 即的最小值为