1、2020 年高考数学年高考数学(文科文科) 终极冲刺卷终极冲刺卷 全国卷全国卷 I 1.复数 2 1i z 的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知集合 2 |280, |Px xxQx x a，若P Q R，则实数a的取值范围是 ( ) A.(, 2 B.(4,) C. (, 2) D.4,) 3.已知向量 5,ma ，2, 2b ，若abb ，则实数m ( ) A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 4.在等差数列 n a 中， 23 2,4aa ，则 10 a ( ) A.12 B.14 C.16 D.18 5
2、.某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，种植了两种中药材甲和乙，现分别抽取 6 户的 收入（单位：万元），制成下表： 中药材甲种 植户收入 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 中药材乙种 植户收入 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 已知 12 ,x x的平均数为 1.35， 3456 ,x xx x的平均数为 1.125， 123 ,y yy的平均数为 1.2， 456 ,yyy 的平均数为 1.22，则种植中药材甲和乙收入的平均数分别为( ) A.1.2375，1.21 B.1.2，1.21 C.0.4125，0.403 D.2.475，2.42 6.函数 2 (
3、)ln 1 x f x x 的图象大致是( ) A. B. C. D. 7.设l表示直线 , , ，表示不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. 若/ /l且 ，则l B. 若/ /且/ /，则/ / C. 若/ /l且 / /l，则/ / D. 若 且 ，则 / / 8.如图所给的程序运行结果为41S ，那么判断框中应填入的关于k的条件是( ) A.6k B.5k C. 6k D. 7k 9.记 n S为等比数列 n a 的前 n 项和，若 2 3 8 9 a a ， 5 16 3 a ，则（ ） A 2 3 n n a B 1 3n n a C 31 2 n n S D 21 3 n
4、n S 10.关于函数 ( )sin 2 4 f xx 有下列四个结论： ( )f x是偶函数 ( )f x的最小正周期为 2 ( )f x在 3 , 88 上单调递增 ( )f x的一条对称轴方程为 3 8 x 其中所有正确结论的编号是( ) A. B. C. D. 11.已知 12 ,F F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、 右焦点，P是双曲线E右支上一点， M是线段 1 FP的中点，O是坐标原点， 若 1 OFM 周长为3ca（ c 为双曲线的半焦距） ， 1 3 FMO，则双曲线E的渐近线方程为（ ） A 2yx B 1 2 y x C 2yx D 2 2
5、 yx 12.设函数 ( )3cos x f x m ，若存在 f x的极值点 0 x满足 2 22 00 ()xf xm，则m的取值 范围是( ) A( , 2)(2,) B( ,3)( 3,) C(,2)( 2, ) D( , 1)(1,) 13.已知, a b为实数，直线 2yxa 与曲线e1 x b y 相切，则ab_. 14.如图，矩形的长为 6，宽为 3，在矩形内随机地撒了 300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为 125 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为_. 15.已知 12 ,F F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点.P 为椭圆 C
6、上的一点，Q 是 线段 1 PF上靠近点 1 F的三等分点， 2 PQF 为正三角形，则椭圆 C 的离心率为_. 16.已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC满足 6BABC， 2 ABC，若该三棱锥体积的最大值为 3 其外接球的体积为_. 17.在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知 2 AC， 2sinsin2sin3sinBAAC . （1）求角 B 的大小； （2）若4c ，D 是线段BC上一点，且4BCBD，求线段AD的长. 18.中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地 人参加的中国传统文化知识大
7、赛， 为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况， 从参赛的人 员中随机抽取 n 名人员的成绩（满分 100 分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出 频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在50,60内的频数为 3. （1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）； （2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在80,90和90,100女士人数都为 2 人，现从成绩 在 80,90和90,100的抽取的人员中各随机抽取 1 人，求这两人恰好都为女士的概率. 19.在多面体ABCDE中，ABCD为菱形， 3 DCB ，BCE为正三角形. （1）求证：DEBC； （2）若平面A
8、BCD 平面BCE，2AB ，求点C到平面BDE的距离. 20.抛物线 2 :20C ypx p （），斜率为k的直线l经过点 4,(),0 lP 与C有公共点, A B，当 1 2 k 时，A与B重合 （1）求C的方程； （2）若A为PB的中点，求AB 21.已知函数 2 ( ) x f xeax， ( )(ln)g xaxxx ，其中常数Ra (1)当 (0,)x时，不等式( )0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)若 2 (0, 2 e a，且0x ，求证： ( )( )f xg x 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1 4cos : 3sin xt C yt
9、（t 为参数）， 2 8cos : 3sin x C y （为参数）. (1)把 1 C， 2 C的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 1 C上的点 P 对应的参数为 2 t ，Q为 2 C上的动点，求PQ的中点 M 到直线 3 32 : 2 xt C yt （t 为参数）距离的最小值. 23.已知函数 ( ) |6|2|f xxx ，若 , ( )xf xM R. （1）求实数 M 的取值范围； （2）若 M 的最小值为 11 ,0,0,m abm ab ，证明：1ab . 参考答案及解析参考答案及解析 1.答案：A 解析： 2 1i2 1i 1i1i 1i z ， 1
10、iz ， 则复数 2 1i z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为1,1，所在象限为第一象限。 故选：A. 2.答案：A 解析：由 2 280,xx得4x 或2x ，所以 |4Px x 或 2x ，因为 , |PQQx x aR ，所以2a . 3.答案：B 解析：5,2, 2am b， 3,2abm， abb， 则 3 2220m ， 1m . 故选：B. 4.答案：D 解析：等差数列 n a 中， 23 2,4aa 所以 ， 32 2 32 aa d ， 103 (103)18aad ，故 选 D. 5.答案：B 解析： 种植中药材甲的 6 户的平均数为： 123456 1.3 1. 2
11、 521.1254 66 xxxxxx ； 种植中药材乙的 6 户的平均数为： 123456 1.231.223 1.21 66 yyyyyy ，故选 B. 6.答案：C 解析：因为 2 0 1 x x ，所以10x 或1x ，排除选项 A，D， 因为当1x 时， 2 1 x y x 为减函数，所以 2 ( )ln 1 x f x x 为减函数， 排除选项 B. 7.答案：B 解析：解：由l表示直线表示不同的平面，知： 在 A 中，若/ /l且 ，则l与相交、平行或l ，故 A 错误； 在 B 中，若 / /且/ /，则由面面平行的性质得/ /，故 B 正确； 在 C 中，若/ /l且 / /
12、l，则与相交或平行，故 C 错误； 在 D 中，若 且 ，则 与相交或平行，故 D 错误 故选：B 8.答案：A 解析：解:由题意可知输出结果为41S ，第 1 次循环，11,9Sk ， 第 2 次循环，20,8Sk ， 第 3 次循环，28,7Sk ， 第 4 次循环，35,6Sk ， 第 5 次循环，41,5Sk ，此时S满足输出结果， 退出循环，所以判断框中的条件为6k .故选 A. 9.答案：D 解析：设公比为 q，有 23 1 4 1 8 , 9 16 , 3 a q a q 解得 1 1 , 3 2, a q 则 1 (12 ) 21 3 123 n n n S 10.答案：B 解
13、析：法一： 2 1cos 4 2 ( )sin 2sin2 442 x f xxx 1sin4 2 x .由 ( )()f xfx ， 得 ( )f x不是偶函数， 故错误； 因为sin4x的最小正周期为 2 42 ， 所以 ( )f x 的最小正周期为 2 ， 故正确； 由 2 42 () 22 kxkk剟Z， 得 2828 kk x剟()kZ， 则 ( )f x在 , 8 8 上单调递增，同理， ( )f x在 3 , 88 上单调递减，故错误；由 4() 2 xkkZ， 得 () 48 k xkZ， 则当1k 时，( )f x的一条对称轴方程为 3 8 x ， 故正确. 法二：先画出 s
14、in 2 4 yx 的图象，将其在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴的上方，即得 ( )sin 2 4 f xx 的图象，据此可判断正确. 11.答案：C 解析： 连接 2 PF， 因为M是线段 1 FP的中点， 由三角形中位线定理知 22 1 |,/ 2 OMPFOM PF， 由双曲线定义知 12 | 2PFPFa ，因为 1 OFM 周长为 1112 11 |3 22 OFOMFMcPFPFca，所以 12 | 6PFPFa ， 解得 12 | 4 ,| 2PFa PFa ，在 12 PFF 中， 由余弦定理得 222 12121212 |2|cosFFPFPFPFPFFPF， 即 222
15、(2 )(4 )(2 )242 cos 3 caaaa，整理得， 22 3ca，所以 2222 2bcaa，所以 双曲线E的渐近线方程为2yx ，故选 C. 12.答案：B 解析：函数 3cos x f x m ， 可得 3sinfxx mm ， 0 x是 f x的极值点， 0 0fx ， 即 0 3 sin0 x mm ，得 0 ,k x kZ m ，即 0 ,xmk kZ， 2 22 00 xf xm 可转化为： 2 2 2 3cos,mkmkm kZ m ， 即 222 3,k mm kZ，即 2 2 3 1,kkZ m ， 要使原问题成立，只需存在kZ，使 2 2 3 1k m 成立即
16、可， 又 2 k的最小值为 0， 2 3 10 m ，解得 3m 或 3m ， 故选：B. 13.答案：2 解析：由e1 x b y 得ex by ，因为 2yxa 与曲线e1 x b y 相切，所以令e1 x b ， 则xb 代入e1 x b y ，得 0y ，所以切点为( ,0)b ，则20ba ，所以2ab. 14.答案：15 2 解析：阴影部分的面积 12515 (6 3) 3002 S . 15.答案： 7 5 解析：由椭圆定义知， 12 2PFPFa ，由题意得， 2 3 2 2 PQPFa，又 2 PQF 为正三 角形，所以 2 4 5 a PF ， 1 6 5 a PF ，在
17、12 PFF 中，由余弦定理，得 222 163646 42cos60 252555 aa caa，得 2 2 2 7 25 c e a ，又01e，所以 7 5 e . 16.答案： 32 3 解析：如图所示： 设球心为O，ABC所在圆面的圆心为 1 O，则 1 OO 平面ABC；因为 6BABC， 2 ABC， 所以ABC是等腰直角三角形， 所以 1 O是AC中点； 所以当三棱锥体积最大时， P为射线 1 OO与球的交点，所以 1 1 3 p ABCABC VPOS ；因为 1 663 2 ABC S ，设球的 半径为R， 所以 222 111 3POPOOORRAORR， 所以 2 1
18、333 3 RR， 解得：2R ，所以球的体积为： 3 432 33 R . 17.答案：（1）因为 ,() 2 ACABC ，所以sin cossin()ACBC ，因为 2sinsin2sin3sinBAAC，所以2sincos2sin()3sinBCBCC，所以 2sincos2sincos2cossin3sinBCBCBCC，所以2cossin3sinBCC，又因为 (0,)C ，所以 3 cos 2 B ，故 6 B . （2） 由 （1） 知， 6 B ， 又因为 2 AC， 所以 2 , 36 AC， 因为4c ， 所以 4 3BC ， 因为4BCBD，所以3BD ， 所以 22
19、2 3 4( 3)2437 2 AD ，故线段AD的长为7. 18.答案：（1）由频率分布直方图知，成绩在50,60)频率为 1 (0.04000.03000.01250.0100) 100.075 ， 成绩在50,60内频数为 3，抽取的样本容量 3 40 0.075 n ， 参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75. （2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在80,90的人数为0.0125 10405， 成绩在90,100的人数为0.0100 10404， 设抽取的 40 人中成绩在80,90之间男士为 123 ,A A A，女士为 12 ,
20、B B， 成绩在90,100之间的男士为 45 ,A A，女士为 35 ,B B， 从成绩在80,90，90,100的被抽取人员中各随机选取 1 人， 有 1 A， 4 A， 1 A， 5 A， 1 A， 3 B， 1 A， 4 B， 2 A， 4 A， 2 A， 5 A， 2 A， 3 B， 2 A， 4 B， 3 A， 4 A， 3 A， 5 A， 3 A， 3 B， 3 A， 4 B， 1 B， 4 A， 1 B， 5 A， 1 B， 4 B， 1 B， 3 B， 2 B， 4 A， 2 B， 5 A， 2 B， 4 B， 2 B， 3 B， 共有 20 种不同取法， 其中选中的 2 人
21、中恰好都为女士的取法有 1 B， 4 B， 1 B， 3 B， 2 B， 4 B， 2 B， 3 B共 4 种不同取法， 故选中的 2 人中恰好都为女士的概率为 41 205 . 19.答案：（1）取BC的中点为O，连接 ,EO DO BD， BCE为正三角形，EOBC， ABCD为菱形， 3 DCB ，BCD为正三角形，DOBC， DOEOO，BC 平面DOE，BCDE. （2）由（1）知，DOBC， 平面ABCD 平面BCE，DO 平面BCE， 在等边BCE和BCD中，3DOOE， 在RtDOE中， 2222 336EDDOEO（） （） ， 在DBE中， 222222 22( 6)1 c
22、os 22224 BDBEDE DBE BD BE ， 2 15 sin1cos 4 DBEDBE， 11515 22 242 DBE S ， 设C到平面DBE的距离为d， CDBED BCE VV ， 11 33 DBEBCE SdSDO ，即 2 115123 3 3234 d ， 解得 2 15 5 d ，C到平面DBE的距离为 2 15 5 . 20.答案：（1）当 1 2 k 时，直线 1 :(4) 2 l yx即240xy. 此时，直线l与抛物线C相切，由 2 240 2 xy ypx 得 2 480ypyp， 由0 即 2 16320pp，得 2p ， 所以C的方程为 2 4 .
23、yx （2）直线: 4(),()0l yk xk ，设 1122 (,), (,)A x yB xy ， 由 2 (4) 4 yk x yx 得： 2 4 160yy k ，则 12 12 4 16 yy k y y 又A为PB的中点，得： 12 1 2 yy ， 由得： 2 2 9 k ， 所以 22 2 1212 22 4 (1)(14)1 (1)()42 11 kk AByyy y kk . 21.答案：解：（1）由题意知当 (0,)x时，不等式 2 ( )0 x f xeax恒成立， 即 2 x e a x 恒成立 设 2 ( )(0) x e h xx x ，则 3 (2) ( )
24、x xe h x x . 当 (0 2)x，时，( )0h x ，函数( ) h x单调递减； 当 (2)x， 时， ( )0h x ，函数( ) h x单调递增， 所以( ) h x的最小值为 2 (2) 4 e h，故实数 a 的取值范围为 2 () 4 e ， （2）要证 ( )( )f xg x ，即证ln x eaxx . 当01x时，得1 x e ， ln0axx ，( )( )f xg x显然成立； 当1x时，则ln0xx ，结合已知 2 0 2 e a，可得 2 0lnln 2 e axxxx 于是问题可转化为证明 2 ln 2 x e exx，即证明 2 2 ln0 x e
25、x x 令 2 2 ( )ln (1) x e F xx x x ，则 2 2 2(1) ( ) x exx F x x .令 2 ( )2(1) x G xexx ， 则 2 ( )21 x G xxe ，易得( )G x 在(1, )上单调递增 因为 2 (1)10G e ， (2)30 G ，所以存在 0 (12)x ，使得 0 ()0G x ， 即 0 2 0 21 x x e 所以 ( )G x在区间 0 (1)x， 上单调递减，在区间 0 ()x ， 上单调递增， 又 (1)10G ， (2)0G ，所以当 (1,2)x 时， ( )0F x ， ( )F x单调递减； 当 (2)
26、x， 时， ( )0F x ， ( )F x单调递增， 所以 ( )(2)1 ln20F xF ，故 ( )0F x ，问题得证. 22.答案： (1) 22 1:( 4)(3)1Cxy， 1 C为圆心是( 4,3)，半径是 1 的圆； 22 2: 1 649 xy C， 2 C为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆. (2)当 2 t 时，( 4,4)P ，因为(8cos ,3sin )Q，所以 3 24cos ,2sin 2 M . 3 C的普通方程为270xy，M 到 3 C的距离 5 |4cos3sin13| 5 d 从而当 4 cos 5 ， 3 sin 5 时，d 取得最小值 8 5 5 . 23.答案：（1） 4,2 ( ) |6|2|82 ,26 4,6 x f xxxxx x ， 所以 ( ) 4f x ，故实数 M 的取值范围为4, ). （2）由（1）知，M 的最小值为 4，即4m ，所以 11 4 ab ， 所以 11 4()() 2224 ab abab abba 厖? ，所以 1ab .