1、理科数学试题 第 1 页（共 4 页） 长春市长春市 2020 届高三质量监测（四）届高三质量监测（四） 理科数学 本试卷共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、弄
2、皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 2 |1Ax x?， |0Bx x?，则() R AB ? A. |1x x B. |1x x ? C. |1 01x xx? ?或 D. |1 01x xx?或 2. 在等比数列? ? n a中， 3 3a ?， 6 6a ?，则 9 a ? A. 1 9 B. 1 12 C. 9 D. 12 3. 设复数izxy?（, x y?R），下列说法正确的是 A. z的虚部是i y ； B. 22 |zz?； C. 若0x ?，则
3、复数z为纯虚数； D. 若z满足| i| 1z ? ?，则z在复平面内对应点( , )x y的轨迹是圆. 4. 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4 名男生，2 名女生，现从 中选出 4 人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有 A.8 种 B. 9 种 C. 12 种 D. 14 种 5. 若 1 sin() 83 ? ?，则sin(2) 4 ? ? A. 2 9 ? B. 2 9 C. 7 9 ? D. 7 9 6. 田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次 试跳成功即完成本轮比赛. 在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过 现
4、有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过 这个高度的概率为 0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概 率是 A. 0.832 B. 0.920 C. 0.960 D. 0.992 理科数学试题 第 2 页（共 4 页） 7. 已知 5 log 2a?， 0.5 log0.2b?，ln(ln2)c ?，则a，b，c的大小关系是 A. abc? B. acb? C. bac? D. cab? 8. 已知直线a和平面?、?有如下关系：? ? ，? ?/ ，a ? ，a?/ ，则 下列命题为真的是 A. ? B. ? C.? D.? 9. 如图，为测量某公园
5、内湖岸边 A，B 两处的距离，一无人机在空中 P 点处测得 A，B 的俯角分别为?，?，此时无人机的高度为h，则AB的距离为 A. 22 112cos() sinsinsinsin h ? ? ? ? B. 22 112cos() sinsinsinsin h ? ? ? ? C. 22 112cos() coscoscoscos h ? ? ? ? D. 22 112cos() coscoscoscos h ? ? ? ? 10. 过抛物线 2 :2C xpy?（0p?）的焦点F作直线与该抛物线交于A,B两点，若 3 AFBF?，O为坐标原点，则 | | AF OF ? A. 4 3 B.
6、3 4 C. 4 D. 5 4 11. 函数( )sin()f xx?的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与( )f x的图象交 于,M N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是 函数( )f x的图象关于点 4 ( ,0) 3 成中心对称； 函数( )f x在 11 (,) 26 ?上单调递增； 圆C的面积为 31 36 ?. A. B. C. D. 12. 函数 2 ( ) mxmx f xeexmx ? ?（m?R） 的图象在点 11 ( ,()A xf x， 11 (,()Bxfx? 处两条切线的交点 00 (,)P xy一定满足 A. 0 0x ? B. 0 xm? C. 0 0y
7、 ? D. 0 ym? 理科数学试题 第 3 页（共 4 页） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知双曲线 22 22 1 xy ab ?（ 0,0ab?）的离心率为 2，则双曲线的渐近线方程为_. 14. 执行如图所示的程序框图，若输入 1,3t? ?，则输出 s的取值范围是_. 15. 已知向量(0,1)AB ? ? ? ，|7AC ? ? ， 1AB BC? ? ? ? ? ，则 ABC面积为_. 16. 已知正方体 1111 ABCDA BC D?的棱长为2，点MN，分别 是棱BC， 1 CC的中点，则二面角CAMN?的余弦值为 _；若动点P在正方
8、形 11 BCC B（包括边界）内 运动，且 1 PA /平面AMN，则线段 1 PA的长度范围是 _. （本小题第一空2分，第二空3分） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为 必考题，每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （12分） 已知数列 n a是等比数列，且公比q不等于1，数列 n b满足2 n b n a ?. （）求证：数列 n b是等差数列； （）若 1 2a ?， 324 32aaa?，求数列 21 1 log nn ba ? 的前n项和 n S. 18.
9、（12分） 如图，四棱锥PABCD?中，底面ABCD为梯形， ABDC/，90BAD? ? ，点E为PB的中点，且 224CDADAB?，点F在CD上，且 1 3 DFFC?. （）求证：EF/平面PAD； （） 若平面PAD?平面ABCD，PAPD?且PAPD?， 求直线PA与平面PBF 所成角的正弦值. 19. （12分） 已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy?与x轴正半轴交于点A，与y轴交于B、C两点. （）求过,A B C三点的圆E的方程； （）若O为坐标原点，直线l与椭圆C和（）中的圆E分别相切于点P和点Q （,P Q不重合），求直线OP与直线EQ的斜率之积. A D B C E F
10、 P D1C1 B1 A1 N M C D AB P 输入 开始 t 结束 否是 1?t ? 1t se ? ?3 logst? 输出s 理科数学试题 第 4 页（共 4 页） 20. （12分） 武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员 检测，彻底摸清武汉市的详细情况. 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有1000（n ? ?N）份血液样 本，有以下两种检验方式： 方案：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次. 方案：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检 验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的
11、血就只需检验一次（这 时认为每个人的血化验 1 k 次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一 次化验.这样，该组k个人的血总共需要化验1k?次.假设此次检验中每个人的血样化验 呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立. （）设方案中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列； （）设0.1p ?.试比较方案中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数； 并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数）. 21. （12分） 已知函数 2 ( )ln2 x e f xaxe?，a?R. （）若函数( )f x在 2 e
12、 x ?处有最大值，求a的值； （）当ae时，判断( )f x的零点个数，并说明理由. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的 第一题计分. 22. 选修4-4 坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y ? ? ? ? ? ? ? （?为参数） ，以坐 标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线 1 C上的动点，点B在 线段OA 的延长线上，且满足| | 8OAOB?，点B的轨迹为 2 C. （）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （）设点M的极坐标为 3 (
13、2,) 2 ? ，求ABM面积的最小值. 23. 选修4-5 不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |23|23|f xxx?. （）解不等式( )8f x； （）设x?R时，( )f x的最小值为M.若实数, ,a b c满足2a bcM? ?，求 222 abc?的最小值. 理科数学答案 第 1 页（共 4 页） 长春市长春市 2020 届高三质量监测（四）届高三质量监测（四） 理科数学参考答案与评分细则理科数学参考答案与评分细则 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. D 3. D 4. D 5. C 6. D 7. D 8. C 9. A 1
14、0. A 11. B 12. A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分） 13. yx? ? 14. 0,1 15. 3 2 16. 2 3 ， 3 2 , 5 2 三、解答题 【题号】17 【参考答案与评分细则】 （）已知数列 n b满足2 n b n a ?，则 2 log nn ba?， 1 121222 loglogloglog n nnnn n a bbaaq a ? ? ?， 即数列 n b为等差数列. （6 分） （）由 1 2a ?， 324 32aaa?可得 23 3 22 22qqq?， 解得2q ?或1q ?
15、（舍），即2n n a ?. 设 21 1111 log(1)1 n nn c ban nnn ? ? ? ， 即数列 21 1 log nn ba ? 的前n项和为 1 1 11 n n S nn ? ? ? . （12 分） 【题号】18 【参考答案与评分细则】 （）取PA的中点M，连结DM、EM. EFDM EFPAD DMPAD ? ? ? ? ? 平面 平面 / /. （6 分） （）取AD中点N，BC中点H，连结PN、NH. PADABCD PNABCD PNAD ? ? ? ? ? 平面平面 平面，又ADNH?. 以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空
16、间坐标系. (0,0,1)P，(1,0,0)A，(1,2,0)B，( 1,1,0)F ? 在平面PBF中，( 1, 2,1)BP ? ? ? ? ? ，( 2, 1,0)BF ? ? ? ? ，则法向量(1, 2, 3)n ? ? ； 又(1,0, 1)PA? ? ? ； |42 7 |cos,|= 7| | |214 PA n PA n PAn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 即直线PA与平面PBF所成角的正弦值为 2 7 7 .（12 分） 理科数学答案 第 2 页（共 4 页） 【题号】19 【参考答案与评分细则】 （）点( 2,0)A，(0,1)B，(1,0)C，设点(
17、,0)E m，因此可 得 22 1( 2)mm?， 2 4 m ?，即圆E的方程为 22 29 () 48 xy?.（4 分） （）由题意：可设l的方程为ykxm?（k存在且0k ?） ， 与椭圆C联立消去y可得 222 (12)4220kxkmxm?， 由直线l与椭圆C相切可设切点为 00 (,)xy，由判别式0? ?可得 22 12mk? ?. 解得 0 2k x m ? ?， 0 1 y m ?， 由圆E与直线l相切，即圆心到直线的距离等于半径，可得 22 4 2889kmkm?. 因此由 22 22 12 4 2889 mk kmkm ? ? ? ? ? ? 可得， 22 1 21 2
18、4 km? ?， 直线OP的斜率为 1 2 OP k k ? ?，直线EQ的斜率 1 EQ k k ? ?， 综上 2 1 24 2 OPEQ kk k ?.（12 分） 【题号】20 【参考答案与评分细则】 （）设每个人的血呈阴性反应的概率为q,则1qp? ?. 所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为 k q,呈阳性反应的概率为1 k q?. 依题意可知 11 1X kk ?，所以 X 的分布列为： X 1 k 1 1 k ? P k q 1 k q? （6 分） （）方案中，结合（1）知每个人的平均化验次数为： ? 111 (1) (1)1 kkk E Xqqq kkk ?. 所以当2k
19、?时,? 2 1 0.91=0.69 2 E X ?,此时 1000 人需要化验的总次数为 690 次, 3k ?时,? 3 1 0.910.6043 3 E X ? ?,此时 1000 人需要化验的总次数为 604 次, 4k ?时,? 4 1 0.91=0.5939 4 E X ?,此时 1000 人需要化验的次数总为 594 次, 即2k ?时化验次数最多, 3k ?时次数居中, 4k ?时化验次数最少. 而采用方案则需化验 1000 次，故在这三种分组情况下,相比方案， 当4k ?时化验次数最多可以平均减少 1000-594=406 次. （12 分） 理科数学答案 第 3 页（共 4
20、 页） 【题号】21 【参考答案与评分细则】 （） 2 ( )ln2 x e f xaxe?（0x ?） ， 2 2 ( ) x e a fxe xe ?，由条件可知， 2 e x ?时，( )0fx?， 即 22 0 a e ee ? ?，解得ae?. 则 2 ( )ln(2 ) x e f xexe?， 2 2 ( ) x e e fxe xe ?， 令( )( )xfx?，则 2 22 4 ( )0 x e e xe xe ? ?，则( )fx?为减函数， 又( )0 2 e f ? ?，则( )f x在(0, ) 2 e 上单调递增，在( ,) 2 e ?上单调递减， 即函数( )f
21、x在 2 e x ?处取得最大值. 综上ae?. （4分） （）令 2x t e ?，( )ln t g taate?（0t ?） ， 则( )g t与( )f x的零点个数相等， 当0a ?时，( )0 t g te? ?，即 2 ( )0 x e f xe? ?， 所以函数( )f x的零点个数为0； 当0a ?时，( )0 t a g te t ?，所以函数( )g t在(0,)?上为减函数， 即函数( )g t至多有一个零点，即( )f x至多有一个零点. 当 1 01 e a te ? ? ?时，lnln( )0 t aateaateg t?， 所以当 1 0 e a te ? ?
22、?时，( )0g t ?. 又(1)0gae?， 所以函数( )g t有且只有一个零点，即函数( )f x有且只有一个零点； 当0ae?时，令( )0g t?，即 t ate?， 令( ) t h tte?（0t ?） ，易知( ) t h tte?在(0,)?为增函数，且(1)he?， 故存在 0 (0,1t ?，使得 0 ( )0g t?，即 0 0 t a e t ?. 由以上可知，当 0 0tt? ?时，( )0g t?，( )g t为增函数； 当 0 tt?时，( )0g t?，( )g t为减函数； 所 0 max000 0 ( )( )lnln t a g tg taateaat
23、 t ?， 0 (0,1t ?. 令( )ln a F taat t ?，(0,1t?， 理科数学答案 第 4 页（共 4 页） 则 2 ( )0 aa F t tt ?，所以( )F t在(0,1上为增函数， 则( )(1)0F tF?，即 max ( ( )0g t，当且仅当1t ?，ae?时等号成立. 由以上可知，当ae?时，( )g t有且只有一个零点，即( )f x有且只有一个零点； 当0ae?时，无零点； 综上所述：当0ae?时，函数( )f x无零点； 当0a ?或ae?时，函数( )f x只有一个零点. （12分） 【题号】22 【参考答案与评分细则】 （）曲线 1 C的参数方
24、程为 1xcos ysin ? ? ? ? ? ? ? （?为参数） ，普通 方程为 22 (1)1xy?，化简可得 22 20xyx?，即曲线 1 C的极坐标方程为 1 2cos?，又 12 8? ?，可知 2 4 cos ? ? ?，即为曲线 2 C的极坐标方程. （5分） （）由 21 114 | |2 ()cos(2cos )cos 22cos ABMBA SOMxx? ? ? ? ， 得 2 42cos ABM S? ，因此 ABM S的最小值为2.（10分） 【题号】23 【参考答案与评分细则】 （） 3333 2222 2682 xxx xx ? ? ? ? ? ? ? 或或 ?| 22xx? （5分） （）( )|(23)(23)| 6f xxx?6M? 2222222 ()(112 )(2 )36abcabc?， 当且仅当22abc?时“?”成立， 222 6abc? ，所以最小值为6. （10分）