1、 1 安徽省蚌埠市安徽省蚌埠市 2020 届高三第四次教学质量检查考试数学试卷（理科）届高三第四次教学质量检查考试数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1. 已知 z i2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知集合 A6，3，2，1，2，3，5，Bx|5x6x2，xZ，则 AB A6，3，2 B2，3) C1，5 D1，2，3，5 3. 已知命题 p：x(0， 2 )，xsinx，则p为 Ax(0， 2 )，xsinx Bx(0， 2 )，xsinx Cx0(0， 2 )，x0sinx0
2、Dx0(0， 2 )，x0sinx0 4. 已知 alog3 1 3 ，b2log1 3 2，c3 0.3，则 Aabc Bacb Ccab Dbca 5. 2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强 的韧性。今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力 营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力 取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，右图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述 错误的是 A这五年，2015 年出口额最少 B这五年，出口总额比进口总额多
3、C这五年，出口增速前四年逐年下降 D这五年，2019 年进口增速最快 6. 函数 f(x)(tanxx)ln|x|在( 2 ，0)(0， 2 )内的图象大致是 7. 已知双曲线 C：x2 y b 2 2 1(b0)右焦点为 F，圆 x2y21 与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点 为 M，OMF 面积为2，则双曲线 C 的渐近线方程为 Ay 2x2 Byx2 Cyx 2 2 Dyx 2 4 8. 在ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为线段 AD 的中点，若 2BDDC，且BExAByAC，则 xy 2000 4000 6000 8000 0 0% 20% 40% 60% 20% 201
4、5 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年 出口额 进口额 出口增率 进口增率 A x y O 1 -1 B x y O 1 -1 C x y O 1 -1 D x y O 1 -1 2 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 3 9. 北京 2022 年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁蓝、长城灰、瑞雪白；间色 包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿；辅助色包括墨、金、银。若各赛事纪念品的色彩设计要求：主 色至少一种、至多两种，间色两种、辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰蓝、 银色这三种颜色的概率为 A 8 225 B 2 45 C 1
5、 15 D 2 15 10. 已知函数 f(x)sin x3cosx(xR)，将 yf(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不 变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动 6 个单位长度，得到 yg(x)的图象，则以下关于函数 y g(x)的结论正确的是 A若 x1，x2是 g(x)的零点，则 x1x2是 2 的整数倍 B函数 g(x)在区间 4 ， 4 上单调递增 C点( 3 4 ，0)是函数 g(x)图象的对称中心 Dx 3 是函数 g(x)图象的对称轴 11. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 4，P 是 AA1中点，过点 D1作平面 ，满足 CP平面 ，则
6、平面 与正方体 ABCDA1B1C1D1的截面周长为 A4562 B122 C828 D85 12. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y22px 上一点，A 到焦点 F 的距离为 4，若点 M 为抛物线 C 准线上的 动点，给出以下命题： 当MAF 为正三角形时，p 的值为 2； 存在 M 点，使得MAMF0； 若MF3FA，则 p 等于 3； |OM|MA|的最小值为 213，则 p 等于 4 或 12。 其中正确的是 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 若直线 yxa 是曲线 yln(2x)的切线，则实数 a_。 14. (x1)( x2
7、020 1 x1)8的展开式中，x3的系数为_(用数字回答)。 15. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)f(2x)，且在1，2上的表达式为 f(x) x 22，则函数 f(x) 与 g(x) log xx xx 2 ，0 ，0 的图象的交点的个数为_。 16. 在ABC 中，设角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 sinB sinsinAC 2 ，则 sin A 1 sinC 1 的最小值 为_。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)
8、必考题：共 60 分。 17. (12 分)已知数列an和bn，a12， n b 1 n a 1 1， n a 12bn， (1)证明： n b 1 2是等比数列； A1 D1 C1 B1 B C D A 3 (2)若 cn nn b b 1 2 ，求数列cn的前 n 项和 Sn。 18. (12 分)某省为迎接新高考， 拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分， 再按赋分后的分数从高分 到低分划 A、B、C、D、E 五个等级，考生实际得分经赋分后的分数在 30 分到 100 分之间。在等级赋 分科学性论证时，对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析，随机抽取 2000 名学生
9、的该学科赋分后的成绩，得到如下频率分布直方图：(不考虑缺考考生的试卷) 附：若 XN(，2)，则 P(X)0.6826， P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974， 21314.59，(xix)2pi213 (1)求这 2000 名考生赋分后该学科的平均x(同一组中数据用该组区间中点作代表)； (2)由频率分布直方图可以认为，学生经过赋分以后的成绩 X 服从正态分布 XN(，2)，其中 近似为样本平均数x，2近似为样本方差 s2： (i)利用正态分布，求 P(50.41X79.59)； (ii)某市有 20000 名高三学生，记 Y 表示这 20000 名高三学生中赋分后该学科等级为
10、 A 等(即 得分大于 79.59)的学生数，利用(i)的结果，求 EY。 19. (12分)如图， 等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直， ACAB， P 是弧 AB 上一点，且PAB30 。 (1)证明：平面 BCP平面 ACP； (2)若 Q 是弧 AP 上异于 A、P 的一个动点，当三棱锥 CAPQ 体积 最大时，求二面角 APQC 的余弦值。 20. (12 分)已知 M 是椭圆 C： x a 2 2 y b 2 2 1(ab0)上一点，F1、F2分别为椭圆 C 的左、 右焦点，且|F1F2|2，F1MF2 3 ，F1MF2的面积为3。 (1)求椭圆 C 的方程；
11、 (2)直线 l 过椭圆 C 右焦点 F2，交该椭圆于 A、B 两点，AB 中点为 Q，射线 OQ 交椭圆于 P，记 AOQ 的面积为 S1，BPQ 的面积为 S2，若 S23S1，求直线 l 的方程。 21. (12 分)已知函数 f(x) x e1asinx(aR)。 (1)当 x0，时，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 a1 时，数列an满足：0an1， n a 1f(an)，求证：an是递减数列。 (参考数据：sin10.84) A C B P Q 4 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 【选修 44：坐标系与参数方程】(10 分) 在直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是正方形，其中 A(2，0)、C(0，2)，以 O 为极点，x 轴的非负半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 2cos。 (1)求曲线 E 的直角坐标方程和直线 AC 的极坐标方程； (2)点 Q 是曲线 E 上的动点，求|QA|2|QC|2的取值范围。 23. 【选修 45：不等式选讲】(10 分) 已知函数 f(x)|2x1|2|xa|。 (1)若 a1，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)20 恒成立，求 a 的范围。 5 6 7 8