1、北京市西城区2 0 2 0年6月高三数学试卷 第1 页( 共6页) 西 城 区 高 三 模 拟 测 试 数 学 2 0 2 0 . 6 本试卷共6页,1 5 0分。考试时长1 2 0分钟。考生务必将条形码贴在答题卡规定 处,并将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一 并交回。 第卷( 选择题 共4 0分) 一、选择题:本大题共1 0小题,每小题4分,共4 0分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1.设全集U=R,集合A=x|xc,则 ( A)a-bb-c ( B) 1 a am”是 “ an为递增数列”的 ( A)充分而不必要条件 ( B)必要而
2、不充分条件 ( C)充分必要条件 ( D)既不充分也不必要条件 1 0.佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功 效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目. 图1的A B C D由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面 体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱A B与C D所在直线的位置关系为 图1图2 ( A)平行 ( B)相交 ( C)异面且垂直 ( D)异面且不垂直 北京市西城区2 0 2 0年6月高三数学试卷 第3 页( 共6页) 第卷( 非选择题 共1 1 0分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5
3、分,共2 5分. 1 1.在 (1+5x) 6 的展开式中,x的系数为 . 1 2.在等差数列 an 中,若a1+a2=1 6,a5=1,则a1= ;使得数列 an 前n项 的和Sn取到最大值的n= . 1 3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 . 1 4.能说明 “ 若m(n+2)0,则方程x 2 m + y 2 n+2=1表示的曲 线为椭圆或双曲线”是错误的一组m,n的值是 . 1 5.已知函数f(x) 的定义域为R, 满足f(x+ 2)= 2f(x) , 且当x(0,2 时,f(x)= 2 x- 3 . 有以下三个结论: f(-1)=-1 2; 当a( 1 4, 1 2时
4、,方程f( x)=a在区间 -4,4上有三个不同的实根; 函数f(x)有无穷多个零点,且存在一个零点bZ. 其中,所有正确结论的序号是 . 北京市西城区2 0 2 0年6月高三数学试卷 第4 页( 共6页) 三、解答题:本大题共6小题,共8 5分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 1 6.( 本小题满分1 4分) 如图,在三棱柱A B C-A1B1C1中,C C1底面A B C,A CB C,D是A1C1的 中点,且A C=B C=A A1=2. ()求证:B C1平面A B1D; ()求直线B C与平面A B1D所成角的正弦值. 1 7.( 本小题满分1 4分) 已知函数f(
5、 x)=As i n( x+)(A0,0,0b 0) 经过点C(0,1) ,离心率为 3 2 .O为坐标原点. ()求椭圆E的方程; () 设A,B分别为椭圆E的左、 右顶点,D为椭圆E上一点 ( 不在坐标轴上) , 直线C D 交x轴于点P,Q为直线A D上一点,且O P O Q = 4 ,求证:C,B,Q三点共线. 2 1.( 本小题满分1 4分) 如图,表1是 一 个 由4 02 0个 非 负 实 数 组 成 的4 0行2 0列 的 数 表, 其 中 am,n(m=1,2,4 0;n=1,2,2 0)表示位于第m行第n列的数.将表1中每一 列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列 ( 不
6、改变该数所在的列的位置) ,得到 表2( 即b i,jbi+1,j,其中i=1,2,3 9;j=1,2,2 0). 表1表2 a1,1a1,2 a1,2 0 a2,1a2,2 a2,2 0 a4 0,1a4 0,2 a4 0,2 0 b1,1b1,2 b1,2 0 b2,1b2,2 b2,2 0 b4 0,1b4 0,2 b4 0,2 0 ()判断是否存在表1,使得表2中的b i,j(i=1,2,4 0;j=1,2,2 0)等于 1 0 0-i-j? 等于i+2 -j呢? ( 结论不需要证明) ()如果b 4 0,2 0= 1, 且对于任意的i= 1,2, ,3 9;j= 1,2, ,2 0,
7、都有bi,j-bi+1,j 1 成立,对于任意的m= 1,2, ,4 0;n=1,2, ,1 9,都有bm, n-bm,n+12成立, 证明:b 1,1 7 8; ()若a i,1+ai,2+ai,2 0 1 9(i= 1,2, ,4 0) , 求最小的正整数k, 使得任给ik, 都有b i,1+bi,2+bi,2 01 9成立. 北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 1页（共 7页） 西 城 区 高 三 模 拟 测 试 数学参考答案2020.6 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 1D2A3D4C5. B
8、6. B7. C8. B9. C10. B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 1130 129，5134 54+ 14 答案不唯一. 如3m ，1n 15 注注：第 12 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他 得 3 分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16 （本小题满分 14 分） 解： （）如图，连接 1 AB. 设 11 ABABE，并连接DE
9、. 由三棱柱 111 ABCA B C，得 1 AEBE. 2 分 又因为D是 11 AC的中点， 所以 1/ BCDE. 4 分 又因为 1 BC 平面 1 AB D，DE 平面 1 AB D， 所以 1/ BC平面 1 AB D. 6 分 （）因为 1 CC 底面ABC，ACBC， 所以CA，CB， 1 CC两两垂直，故分别以CA，CB， 1 CC为x轴，y轴，z轴，如 图建立空间直角坐标系， 7 分 则 (0,0,0)C ， (0,2,0)B ， (2,0,0)A ， 1(0,2,2) B，(1,0,2)D， 所以 1 ( 2,2,2)AB ， 1 (1, 2,0)B D ，(0, 2,
10、0)BC ， 8 分 D C A1B1 C1 AB E y x z 北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 2页（共 7页） 设平面 1 AB D的法向量( , , )x y zn， 由 1 0AB n， 1 0B D n，得 2220, 20, xyz xy 令1y，得(2,1,1)n.11 分 设直线BC与平面 1 AB D所成的角为， 则 6 sin|cos,| | 6| | BC BC BC n n n ， 所以直线BC与平面 1 AB D所成角的正弦值为 6 6 . 14 分 17 （本小题满分 14 分） 解： （）若函数 ( )f x满足条件， 则 (0)sin1f
11、A. 这与 0,0 2 A矛盾，故( )f x不能满足条件， 所以函数 ( )f x只能满足条件，. 2 分 由条件，得 2 | ， 又因为0，所以2. 4 分 由条件，得2A . 5 分 由条件，得 ()2sin()0 63 f， 又因为 0 2 ，所以 3 . 所以 ( )2sin(2) 3 f xx. 8 分 （）由 2+ 232 22xkk，kZ， 10 分 得 5 + 1212 xkk ， 12 分 所以函数 ( )f x的单调递增区间为 5 + 1212 kk,，kZ. 14 分 （注：单调区间写成开区间亦可. ） 北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 3页（共 7
12、页） 18 （本小题满分 14 分） 解： （）根据数据，可得软件 A，B，C，D，E，F 的使用率 A 91 0.9 96 t ， B 84 0.9 91 t ， C 69 0.9 85 t ， D 54 0.9 74 t ， E 64 0.9 69 t ， F 63 0.9 65 t . 所以软件 A，B，E，F 为“有效下载软件”. 2 分 记事件M为“在 6 款软件中任取 1 款，该款软件是有效下载软件” ， 3 分 则事件M的概率 42 () 63 P M . 4 分 （）随机变量X的可能取值为 2，3，4. 5 分 则 22 42 4 6 C C2 (2) C5 P X ， 31
13、42 4 6 C C8 (3) C15 P X ， 4 4 4 6 C1 (4) C15 P X . 8 分 所以随机变量X的分布列为： X234 P 2 5 8 15 1 15 9 分 所以随机变量X的数学期望 2818 234 515153 EX . 10 分 （）不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”. 12 分 理由如下： 若根据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的 频率，即是用样本估计总体. 用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取. 但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排 名前 6 名”的软件，不是
14、从所有软件中随机抽取 6 款作为样本. 故不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”. 14 分 19 （本小题满分 15 分） 解： （）由 ( )lnf xaxx ，得( )lnfxaxa ， 2 分 北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 4页（共 7页） 则 (1)0f ，(1)fa . 所以曲线 ( )yf x 在点(1, (1)f 处的切线为 (1)ya x . 4 分 将点(3,2)代入切线方程，得1a . 5 分 （）由题意，得 ( )lnf xxx ，( )ln1fxx . 令( )0fx ，得 1 e x . 7 分 随着x变化，( )fx 与 ( )f x的
15、变化情况如下表所示： 所以函数 ( )f x在 1 (0, ) e 上单调递减，在 1 ( ,+) e 上单调递增. 9 分 所以函数 ( )f x存在极小值，且极小值为 11 ( ) ee f ；函数( )f x不存在极大值. 10 分 （） “ 2 ( ) ee x x f x ”等价于“ 2 ln0 ee x x xx ”. 11 分 由（） ，得 1 ( )ln e f xxx-（当且仅当 1 e x 时等号成立）. 所以 21 ln eeee xx xx xx. 故只要证明 1 0 eex x 即可（需验证等号不同时成立）. 12 分 设 1 ( ) eex x g x ， (0,+
16、)x，则 1 ( ) ex x g x . 13 分 因为当 (0,1)x 时， 1 ( )0 ex x g x ；当(1,)x时， 1 ( )0 ex x g x ， 所以函数 ( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,+) 上单调递增. 所以( )(1)0g xg（当且仅当1x 时等号成立）. 因为两个不等式中的等号不同时成立， 所以当 (0,)x时， 2 ( ) ee x x f x . 15 分 x 1 (0, ) e 1 e 1 ( ,+) e ( )fx0 ( )f x 极小值 北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 5页（共 7页） 20 （本小题满分 14 分）
17、 解： （）由题意，得1b， 3 2 c a . 2 分 又因为 222 abc， 3 分 所以2a ，3c . 故椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y. 5 分 （） ( 2,0)A ， (2,0)B . 设 0000 (,) (0)D xyx y ，则 2 20 0 1 4 x y. 6 分 所以直线CD的方程为 0 0 1 1 y yx x ， 7 分 令 0y ，得点P的坐标为 0 0 (,0) 1 x y . 8 分 设 (,) QQ Q xy ，由4OP OQ ，得 0 0 4(1) Q y x x （显然 2 Q x ）. 9 分 直线AD的方程为 0 0 (2) 2 y yx
18、 x ， 10 分 将 Q x 代入，得 000 00 (442) (2) Q yyx y xx ，即 0000 000 4(1)(442) (,) (2) yyyx Q xxx . 11 分 故直线BQ的斜率存在，且 000 000 (442) 2(2)(442) Q BQ Q y yyx k xxyx 12 分 2 0000 2 0000 22 424 yyx y xx yy 2 0000 2 0000 221 4242 yyx y yx yy . 13 分 又因为直线BC的斜率 1 2 BC k ， 所以 BCBQ kk ，即 ,C B Q三点共线. 14 分 北京市西城区 2020 年
19、 6 月高三数学参考答案第 6页（共 7页） 21 （本小题满分 14 分） 解： （）存在表 1，使得 , 100 i j bij ；不存在表 1，使得 , i j b 等于2 j i . 3 分 （）因为对于任意的 1,2,391,2,20ij； ，都有 ,1, 1 i jij bb， 所以 1,202,20 1bb， 2,203,20 1bb， 39,2040,20 1bb， 所以 1,202,202,203,2039,2040,20 (39bbbbbb)+()+() ， 即 1,2040,20 3940bb . 6 分 又因为对于1,2,401,2,19mn；，都有 ,1 2 m nm
20、 n bn ， 所以 1,11,2 2bb ， 1,21,3 2bb ， 1,191,20 2bb ， 所以 1,11,21,21,31,191,20 (38bbbbbb)+()+() ， 所以 1,11,20 38403878bb . 即 1,1 78b . 8 分 （）当表 1 如下图时： 其中，每行恰好有 1 个 0 和 19 个 1；每列恰好有 2 个 0 和 38 个 1；因此每行的和均 为 19. 符合题意. 重新排序后，对应表 2 中，前 38 行中每行各数均为 1，每行的和均为 20；后 2 行各 数均为 0，因此39k. 10 分 以下先证：对于任意满足条件的表 1，在表 2
21、 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一 011 11 011 11 101 11 101 11 110 11 110 11 111 01 111 01 111 10 111 10 北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 7页（共 7页） 行（设为第r行）的全部实数（即包含 ,1,2,20 , rrr aaa ）. 假设表 2 的前 39 行中，不能包含原表 1 中任一行的全部实数. 则表 2 的前 39 行中至多含有表 1 中的40 19760个数， 这与表 2 中前 39 行中共有3920780个数矛盾. 所以表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第r行）的全部实数. 12 分 其次，在表 2 中，根据重排规则得：当39i时， ,39,i jjr j bba1,2,20j （，）， 所以 ,1,2,20,1,2,20 19 iiirrr abbbaa. 所以39k. 综上，39k . 14 分