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2019-2020学年陕西省宝鸡、西安等五校高三(上)第一次联考数学试卷(文科)含详细解答

1、经过原点并且与直线 x+y20 相切于点(2,0)的圆的标准方程是( ) A (x1)2+(y+1)22 B (x+1)2+(y1)22 C (x1)2+(y+1)24 D (x+1)2+(y1)24 5 (5 分)已知向量若向量,则实数 m 等于( ) A3 B3 C D 6 (5 分)如图在程序框图中,若输入 n6,则输出 k 的值是( ) 第 2 页(共 22 页) A2 B3 C4 D5 7 (5 分)如图,正三棱柱 ABCA1B1C1中,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( ) ACC1与 B1E 是异面直线 BAC平面 ABB1A1 CAE,B1C1为异面直线,且 AEB1C1

2、 DA1C1平面 AB1E 8 (5 分)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元 222 年,赵爽为周碑算经一 书作序时,介绍了“勾股圆方图” ,亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的) 类比“赵爽弦图” ,可类似地 构造如图所示的图形,它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个 大等边三角形,设 DF2AF2,若在大等边三角形内部(含边界)随机取一点,则此 点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是( ) A B C D 9 (5 分)等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,当首项 a1和 d 变化时,a

3、3+a7+a11是 一个定值,则下列各数也为定值的是( ) AS7 BS8 CS13 DS15 10 (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(1+x)f(1x) ,且当 0x2 时,f (x)x3x,则在区间0,6上函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的个数为( ) A6 B7 C8 D9 第 3 页(共 22 页) 11 (5 分)已知点 P 是双曲线右支上一点,F1是双曲线的 左焦点,且双曲线的一条渐近线恰是线段 PF1的中垂线,则该双曲线的离心率是( ) A B C2 D 12 (5 分)函数若 a0b,且 f(a)f(b) ,则 f(a+b)的取值 范围是( ) A

4、(,0 B1,+) C1,0 D (,1 二填空题(本大题共二填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知函数,则 f(f(2) ) 14 (5 分)甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“庆国庆 70 周年,爱国主义知识大赛”活动, 决出第 1 名到第 5 名的名次甲乙两名同学去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩 比乙好,但是你俩都没得到第一名” ;对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析, 丙是第一名的概率是 15 (5 分)若变量 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最大值 16 (5 分)已知 A、B 是球 O 球面上的两点

5、,AOB90,C 为该球面上的动点,若三 棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 三解答题(本题共三解答题(本题共 5 小题,共小题,共 70 分,请在指定位置写出解答过程)分,请在指定位置写出解答过程) 17 (12 分)已知函数 f(x)a(2cos2+sinx)+b (1)当 a1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 a0,且 x0,时,f(x)的值域是3,4,求 a,b 的值 18 (12 分)交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为 T,其 范围为0,10,分别有五个级别:T0,2)畅通;T2,4)基本畅通;T4,6)轻度 拥堵;T6

6、,8)中度拥堵;T8,10严重拥堵晚高峰时段(T2) ,从某市交通指挥 中心选取了市区 20 个交通路段,依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示 ()用分层抽样的方法从交通指数在4,6) ,6,8) ,8,10的路段中共抽取 6 个路 段,求依次抽取的三个级别路段的个数; 第 4 页(共 22 页) ()从()中抽出的 6 个路段中任取 2 个,求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率 19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,ABCD,且BAPCDP90 (1)证明:平面 PAB平面 PAD; (2)若 PAPDABDC,APD90,且四棱锥 PABCD 的体积为,求该四棱 锥的侧面

7、积 20 (12 分)已知函数 f(x)exax2,曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y bx+1 ()求 a,b 的值; ()求 f(x)在0,1上的最大值 21 (12 分)如图,已知椭圆:1(ab0)经过点 A(2,0) ,离心率 e ()求椭圆的方程; ()设点 B 为椭圆与 y 轴正半轴的交点,点 C 为线段 AB 的中点,点 P 是椭圆上的 动点(异于椭圆顶点)且直线 PA,PB 分别交直线 OC 于 M,N 两点,问|OM|ON|是否 为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由 第 5 页(共 22 页) 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果

8、多做,则按所做的第一题记分两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修选修 4-4:坐标:坐标 系与参数方程系与参数方程 22 (10 分)已知直线 l:(t 为参数, 为 l 的倾斜角) ,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 为:26cos+50 (1)若直线 l 与曲线 C 相切,求 的值; (2)设曲线 C 上任意一点的直角坐标为(x,y) ,求 x+y 的取值范围 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23若实数 x,y,m 满足|xm|ym|,则称 x 比 y 接近 m ()若 2x 比 1 接近 3,求 x 的取值范围; ()已知 a,b

9、R,m0 且 ab,求证:比接近 0 第 6 页(共 22 页) 2019-2020 学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三(上)第学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三(上)第 一次联考数学试卷(文科)一次联考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 (5 分)已知集合 Py|y2x,Qx|y,则 PQ( ) A1,1 B0,+) C (,11,+) D (0,1 【分析】可以求出集合 P,Q,然后进行交集的运算即可 【解答】解:Py|y0,Qx|x1, PQ(0,1 故选:D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义,指数函数的值域,交集的运算,考查了计

10、算 能力,属于基础题 2 (5 分)计算(i 为虚数单位)等于( ) A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解: 故选:A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题 3 (5 分)已知一组数据点(x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x7,y7) ,用最小二乘法得 到其线性回归方程为, 若数据 x1, x2, x3, x7的平均数为 1, 则 ( ) A2 B11 C12 D14 【分析】由已知结合线性回归方程恒过样本点的中心求得 ,乘以 7 得答案 【解答】解:,且()在线性回归直线上, , 第 7 页(共

11、 22 页) 则 故选:D 【点评】本题考查线性回归方程,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础 题 4 (5 分)经过原点并且与直线 x+y20 相切于点(2,0)的圆的标准方程是( ) A (x1)2+(y+1)22 B (x+1)2+(y1)22 C (x1)2+(y+1)24 D (x+1)2+(y1)24 【分析】设出圆心坐标与半径,根据题意列出方程组,解方程组求出圆心与半径即可 【解答】解:设圆心的坐标为(a,b) , 则 a2+b2r2, (a2)2+b2r2, 1; 由组成方程组,解得 a1,b1,r22; 故所求圆的标准方程是 (x1)2+(y+1)22 故选:A 【

12、点评】本题考查了圆的标准方程以及直线与圆相切的位置关系,是基础题目 5 (5 分)已知向量若向量,则实数 m 等于( ) A3 B3 C D 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,求得 m 的值 【解答】解:向量,若向量, 则 3+m0, 则实数 m, 故选:A 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,属于基础题 6 (5 分)如图在程序框图中,若输入 n6,则输出 k 的值是( ) 第 8 页(共 22 页) A2 B3 C4 D5 【分析】 执行程序框图, 写出每次循环得到的 n, k 的值, 当 n111 时, 满足条件 n100, 输出 k

13、的值为 3 【解答】解:执行程序框图,有 n6,k0 n13,不满足条件 n100,k1; n27,不满足条件 n100,k2; n55,不满足条件 n100,k3; n111,满足条件 n100,输出 k 的值为 3 故选:B 【点评】本题主要考查了程序框图中的直到型型循环结构,直到型循环结构是先执行在 判断直到条件结束,循环结构主要用在一些规律的重复计算,如累加、累积等,在循环 结构中框图中,特别要注意条件应用,如计数变量和累加变量等,属于基本知识的考查 7 (5 分)如图,正三棱柱 ABCA1B1C1中,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( ) 第 9 页(共 22 页) ACC1与

14、 B1E 是异面直线 BAC平面 ABB1A1 CAE,B1C1为异面直线,且 AEB1C1 DA1C1平面 AB1E 【分析】通过图形中的直线与直线,直线以及平面的位置关系判断选项的正误即可 【解答】解:CC1与 B1E 是异面直线,是相交直线,不正确; 因为 AC 与 AB 不垂直,所以 AC平面 ABB1A1,不正确; AE,B1C1为异面直线,且 AEB1C1,正确; 因为 AC 与平面 AB1E 相交,A1C1AC,所以 A1C1平面 AB1E,不正确; 故选:C 【点评】本题考查命题的真假的判断,考查空间几何体的异面直线的判断,直线与平面 的位置关系的判断,是基本知识的考查 8 (

15、5 分)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元 222 年,赵爽为周碑算经一 书作序时,介绍了“勾股圆方图” ,亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的) 类比“赵爽弦图” ,可类似地 构造如图所示的图形,它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个 大等边三角形,设 DF2AF2,若在大等边三角形内部(含边界)随机取一点,则此 点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是( ) 第 10 页(共 22 页) A B C D 【分析】由几何概型中的面积型得:P(A), 由余弦定理得:AC2AF2+FC22AFFC52,结

16、合三角形的面积公式可得 解, 【解答】解:由题意有:AF2,EF4,AFC,FC6, 再AFC 中,由余弦定理得:AC2AF2+FC22AFFC52, 设事件 A 为”此点取自小等边三角形(阴影部分) “, 由几何概型中的面积型可得:P(A), 故选:A 【点评】本题考查了几何概型中的面积型及余弦定理、三角形的面积公式,属简单题 9 (5 分)等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,当首项 a1和 d 变化时,a3+a7+a11是 一个定值,则下列各数也为定值的是( ) AS7 BS8 CS13 DS15 【分析】利用等差数列的性质、求和公式即可得出 【解答】解:a3+a7+a113a

17、7是一个定值, 只有:S1313a7是一个定值, 故选:C 【点评】本题考查了等差数列的性质、求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 10 (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(1+x)f(1x) ,且当 0x2 时,f (x)x3x,则在区间0,6上函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的个数为( ) 第 11 页(共 22 页) A6 B7 C8 D9 【分析】由条件可得周期为 T2,当 0x2 时,f(x)x3x0 解得 x0 或 x1, 由周期性可求得区间0,6)上解的个数,再考虑 x6 时的函数值即可 【解答】解:因为 f(x)是 R 上偶函数,且满足 f

18、(1+x)f(1x) , 满足 f(1+x)f(1x)f(x1) , 令 x+1t,则 xt1,f(t)f(t2) ; f(x)是最小正周期为 2 的周期函数, 当 0x2 时,f(x)x3x0 解得 x0 或 x1, 故 f(x)0 在区间0,6)上解的个数为 6, 又因为 f(6)f(0)0,故 f(x)0 在区间0,6上解的个数为 7, 即函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为 7 故选:B 【点评】本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用,考查利用所学知识解决 问题的能力,属于中档题 11 (5 分)已知点 P 是双曲线右支上一点,F1是双曲线的 左焦点,且

19、双曲线的一条渐近线恰是线段 PF1的中垂线,则该双曲线的离心率是( ) A B C2 D 【分析】由题意,PF1F2是直角三角形,PF2的斜率为,设|PF1|m,|PF2|n,则 ,利用双曲线的定义,结合几何量之间的关系,即可得出结论 【解答】解:由题意,PF1F2是直角三角形,PF2的斜率为, 设|PF1|m,|PF2|n,则, mn2a,m2+n24c2, m2b,n2a, mn2b2, b2a, ca, e 第 12 页(共 22 页) 故选:D 【点评】本题考查双曲线的离心率,考查学生分析解决问题的能力,确定PF1F2是直 角三角形,PF2的斜率为是关键 12 (5 分)函数若 a0b

20、,且 f(a)f(b) ,则 f(a+b)的取值 范围是( ) A (,0 B1,+) C1,0 D (,1 【分析】设 f(a)f(b)t,用 t 表示 a,b,然后计算 a+b 的范围,再次代入分段函 数进行求解即可 【解答】解:设 f(a)f(b)t, 作出 f(x)的图象, 由图象知,t0, 由 f(a)a2t,得 a, 由 f(b)2b3t,得 b, 则 a+b+t+ (1)21, t0,0, 则 m(1)211, 即 ma+b1, 此时 f(a+b)f(m)2m3231, 即 f(a+b)的取值范围是1,+) , 故选:B 第 13 页(共 22 页) 【点评】本题主要考查分段函数

21、的应用,根据函数值相等,设出相同变量 t,并表示出 a, b,求出 a+b 的范围是解决本题的关键 二填空题(本大题共二填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知函数,则 f(f(2) ) 2 【分析】推导出 f(2)4(2)+19,从而 f(f(2) )f(9) ,由此能求出 结果 【解答】解:函数, f(2)4(2)+19, f(f(2) )f(9)log392 故答案为:2 【点评】本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基 础题 14 (5 分)甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加“庆国庆 70 周年,

22、爱国主义知识大赛”活动, 决出第 1 名到第 5 名的名次甲乙两名同学去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩 比乙好,但是你俩都没得到第一名” ;对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析, 丙是第一名的概率是 【分析】第一名只可能是丙、丁或戊,又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响, 从而得到这三个人获得第一名是等可能事件,由此给求出结果 【解答】解:甲和乙都不可能是第一名, 第一名只可能是丙、丁或戊, 第 14 页(共 22 页) 又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响, 这三个人获得第一名是等概率事件, 丙是第一名的概率是 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查等可能事件概率计

23、算公式等基础知识,考查运算求 解能力,考查函数与方程思想,是基础题 15 (5 分)若变量 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最大值 10 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案 【解答】解:由约束条件作出可行域如图, 化目标函数 z2x+y 为 y2x+z, 由图可知,当直线过 B(4,2)时直线在 y 轴上的截距最大,z 最大, 为 z24+210 故答案为:10 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题 16 (5 分)已知 A、B 是球 O 球面上的两点,AOB90,C

24、 为该球面上的动点,若三 棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 144 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 OABC 的体积最大,利用三 棱锥 OABC 体积的最大值为 36,求出半径,即可求出球 O 的表面积 第 15 页(共 22 页) 【解答】解:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 OABC 的体 积最大,设球 O 的半径为 R,此时 VOABCVCAOB36, 故 R6,则球 O 的表面积为 4R2144, 故答案为:144 【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点 C 位于垂直于面 AOB 的

25、 直径端点时,三棱锥 OABC 的体积最大是关键 三解答题(本题共三解答题(本题共 5 小题,共小题,共 70 分,请在指定位置写出解答过程)分,请在指定位置写出解答过程) 17 (12 分)已知函数 f(x)a(2cos2+sinx)+b (1)当 a1 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)当 a0,且 x0,时,f(x)的值域是3,4,求 a,b 的值 【分析】 (1)当 a1 时,利用三角恒等变换(辅助角公式)可得 f(x)sin(x+) +b+1,再利用正弦函数的单调性即可求得 f(x)的单调递增区间; (2) x0, x+, 利用正弦函数的单调性质即可求得 f (x) b,()

26、a+b,又 f(x)的值域是3,4,从而可求得 a 与 b 的值 【解答】解: (1)当 a1 时,f(x)2cos2+sinx+b1+cosx+sinx+bsin(x+) +b+1 由 2kx+2k+(kZ)得:2kx2k+(kZ) , 所以 f(x)的单调递增区间为2k,2k+(kZ) ; (2)因为,f(x)a(2cos2+sinx)+ba(1+cosx+sinx)+basin(x+)+b+a, x0,x+,sin(x+),1asin(x+)a,a, 所以,f(x)b, ()a+b,又 f(x)的值域是3,4, 第 16 页(共 22 页) 所以 b3,a 【点评】本题考查三角恒等变换,

27、着重考查正弦函数的单调性与最值,考查转化思想 18 (12 分)交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为 T,其 范围为0,10,分别有五个级别:T0,2)畅通;T2,4)基本畅通;T4,6)轻度 拥堵;T6,8)中度拥堵;T8,10严重拥堵晚高峰时段(T2) ,从某市交通指挥 中心选取了市区 20 个交通路段,依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示 ()用分层抽样的方法从交通指数在4,6) ,6,8) ,8,10的路段中共抽取 6 个路 段,求依次抽取的三个级别路段的个数; ()从()中抽出的 6 个路段中任取 2 个,求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率 【分析】

28、 ()由直方图求出这 20 个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别 为 6 个,9 个,3 个按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个,能求出这三个级别路段中分 别抽取的个数 ()记()中选取的 2 个轻度拥堵路段为 A1,A2,选取的 3 个中度拥堵路段为 B1, B2,B3,选取的 1 个严重拥堵路段为 C,则从 6 个路段选取 2 个路段,利用列举法能求 出所选 2 个路段中至少 1 个路段轻度拥堵的概率 【解答】解: ()由直方图可知: (0.1+0.2)1206, (0.25+0.2)209, (0.1+0.05)1203 所以这 20 个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵

29、路段分别为 6 个,9 个,3 个 拥堵路段共有 6+9+318 个,按分层抽样从 18 个路段中选出 6 个, 每种情况分别为:,1, 即这三个级别路段中分别抽取的个数为 2,3,1 ()记()中选取的 2 个轻度拥堵路段为 A1,A2,选取的 3 个中度拥堵路段为 B1, B2,B3, 选取的 1 个严重拥堵路段为 C,则从 6 个路段选取 2 个路段的可能情况如下: 第 17 页(共 22 页) (A1,A2) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,C) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,C) , (B1,B2) ,

30、 (B1,B3) , (B1,C) , (B2,B3) , (B2,C) , (B3,C) ,共 15 种可 能, 其中至少有 1 个轻度拥堵的有: (A1,A2) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,C) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,C) ,共 9 种可能, 所以所选 2 个路段中至少 1 个路段轻度拥堵的概率为 P 【点评】本题考查频数、概率的求法,考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础 知识,考查运算求解能力,是基础题 19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,ABCD,且BAPCDP90 (1)

31、证明:平面 PAB平面 PAD; (2)若 PAPDABDC,APD90,且四棱锥 PABCD 的体积为,求该四棱 锥的侧面积 【分析】 (1)推导出 ABPA,CDPD,从而 ABPD,进而 AB平面 PAD,由此能证 明平面 PAB平面 PAD (2)设 PAPDABDCa,取 AD 中点 O,连结 PO,则 PO底面 ABCD,且 AD ,PO,由四棱锥 PABCD 的体积为,求出 a2,由此能求出该四棱锥 的侧面积 【解答】证明: (1)在四棱锥 PABCD 中,BAPCDP90, ABPA,CDPD, 又 ABCD,ABPD, PAPDP,AB平面 PAD, AB平面 PAB,平面

32、PAB平面 PAD 解: (2)设 PAPDABDCa,取 AD 中点 O,连结 PO, PAPDABDC,APD90,平面 PAB平面 PAD, 第 18 页(共 22 页) PO底面 ABCD,且 AD,PO, 四棱锥 PABCD 的体积为, 由 AB平面 PAD,得 ABAD, VPABCD , 解得 a2,PAPDABDC2,ADBC2,PO, PBPC2, 该四棱锥的侧面积: S侧SPAD+SPAB+SPDC+SPBC + 6+2 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查四棱锥的侧面积的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力

33、, 考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题 20 (12 分)已知函数 f(x)exax2,曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y bx+1 ()求 a,b 的值; ()求 f(x)在0,1上的最大值 【分析】 ()先求导 f(x)ex2ax,由题设得 f(1)e2ab,f(1)ea b+1,解得 a,b ()由(1)知 f(x)exx2,所以 f(x)ex2x,f (x)ex2所以 f(x) 在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+)上单调递增,所以 f(x)f(ln2)2 2ln20,所以 f(x)在0,1上单调递增,进而求出 f(x)max 第 19 页(共 22

34、 页) 【解答】解: ()f(x)ex2ax, 由题设得 f(1)e2ab,f(1)eab+1,解得 a1,be2 ()由(1)知 f(x)exx2,所以 f(x)ex2x,f (x)ex2, 所以 f(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+)上单调递增, 所以 f(x)f(ln2)22ln20, 所以 f(x)在0,1上单调递增,所以 f(x)maxf(1)e1 【点评】本题考查导数的综合应用,属于中档题 21 (12 分)如图,已知椭圆:1(ab0)经过点 A(2,0) ,离心率 e ()求椭圆的方程; ()设点 B 为椭圆与 y 轴正半轴的交点,点 C 为线段 AB 的中点,点

35、P 是椭圆上的 动点(异于椭圆顶点)且直线 PA,PB 分别交直线 OC 于 M,N 两点,问|OM|ON|是否 为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由 【分析】 ()根据 a 和离心率以及 a2b2+c2的关系即可求出椭圆方程; ()分别设出点 P,M,N 的坐标,根据三点共线得到 y1,y2关于 x0和 y0的关系式, 再利用点 M 在椭圆上坐标满足椭圆方程,化简 y1y2的值为定值,从而得到|OM|ON|为定 值 【解答】解: ()由题意可知:,解得, 所以椭圆的方程:+y21; ()由已知,点 C 的坐标为(1,) ,得直线 OC 的方程为 x2y0, 设 P(x0,y0) ,M(

36、2y1,y1) ,N(2y2,y2) , 第 20 页(共 22 页) 因 P,A,M 三点共线,故 整理得 y1, 因 P,B,N 三点共线,故,整理得 y2, 因点 P 在椭圆 上,故 x02+4y024, 从而y1y2 , 所以|OM|ON|y1|y2|5|y1y2| 为定值 【点评】本题主要考差了椭圆方程,以及三点共线问题,是中档题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修选修 4-4:坐标:坐标 系与参数方程系与参数方程 22 (10 分)已知直线 l:(t 为参数, 为 l 的倾斜角)

37、,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 为:26cos+50 (1)若直线 l 与曲线 C 相切,求 的值; (2)设曲线 C 上任意一点的直角坐标为(x,y) ,求 x+y 的取值范围 【分析】 (1)求出圆的直角坐标方程,直线的直角坐标方程,利用直线 l 与曲线 C 相切, 列出关系式,即可求 的值; (2)曲线 C 上任意一点的直角坐标为(x,y) ,通过圆的参数方程,得到 x+y 的表达式, 利用三角函数化简,即可求解取值范围 【解答】解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y26x+50 即(x3)2+y24 曲线 C 为圆心为(3,0) ,半径为 2

38、 的圆 直线 l 的方程为:xsinycos+sin0(3 分) 直线 l 与曲线 C 相切 即(5 分) 0,)(6 分) 第 21 页(共 22 页) (2)设 x3+2cos,y2sin 则 x+y3+2cos+2sin(9 分) x+y 的取值范围是(10 分) 【点评】本题考查直线与圆的参数方程以及极坐标方程的应用,直线与圆的位置关系, 三角函数的化简求值,考查计算能力 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23若实数 x,y,m 满足|xm|ym|,则称 x 比 y 接近 m ()若 2x 比 1 接近 3,求 x 的取值范围; ()已知 a,bR,m0 且 ab,求证:比接近

39、 0 【分析】 ()根据定义有|2x3|13|,然后解不等式可得 x 的取值范围; ()利用分析法可知要证比接近 0,即证 2amb(a2+b2)m,由已 知条件可知 2amb(a2+b2)m 成立,从而证明结论 【解答】解: ()由已知得|2x3|13|2, 则22x32, x 的取值范围为 (II) 要证比接近 0, 只需证, 只需证 只需证(a+mb)2(a2+mb2) (m+1) , 即证 2amb(a2+b2)m a,bR,m0 且 ab,2amb(a2+b2)m 显然成立, 比接近 0 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用分析法证明不等式,考查了转化思想, 第 22 页(共 22 页) 属中档题