1、已知 x，y 满足不等式组，则 z2x+y 的最大值为（ ） A2 B2 C1 D1 7 （5 分）函数的部分图象大致为（ ） A B C D 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 n 的值为（ ） 第 2 页（共 19 页） A32 B33 C31 D34 9 （5 分）若曲线 f（x）（ax1）ex 2 在点（2，f（2） ）处的切线过点（3，3） ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A （0，+） B （，0） C （2，+） D （，2） 10 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S101，S307，则 S40（ ） A5 B10 C15 D20 11 （5
2、分）向量，且，则 与所成角的余弦 值是（ ） A B C D0 12 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 D，若满足：f（x）在 D 内是单调函数； 存在m， nD（nm） ，使得 f（x）在m，n上的值域为m，n，那么就称 yf（x）是定义域为 D 的“成功函数“，若函数 g（x）loga（a2x+t） （a0，a1）是定义域为 R 的“成功 函数” ，则 t 的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）若，则 a 14 （5 分）某校高三年级有 400 名学生，在一次数
3、学测试中，成绩都在80，130（单位： 分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于 100 分的人数为 第 3 页（共 19 页） 15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，tanC 7，则 b 16 （5 分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他 们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如 图实心点个数 1，5，12，22，被称为五角形数，其中第 1 个五角形数记作 a11， 第2个五角形数记作a25， 第3个五角形数记作a312， 第4个五角形数记作a422， ， 第
4、n 个五角形数记作 an，已知 anan13n2（n2） ，则前 n 个五角形数中，实心点 的总数为 参考公式： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17已知 P：函数 f（x）x2（2a+4）x+6 在（1，+）上是增函数，q：xR，x2+ax+2a 30，若 p（q）是真命题，求实数 a 的取值范围 18已
5、知， （1）若 ，求 sinx（cosx+3sinx）的值； （2）若，将函数 f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到 g（x） 的图象，求 g（x）及 g（x）的最小正周期 19 在平面直角坐标系xOy中， 设ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 且， 2sin2C3sinAsinB （1）求 C； 第 4 页（共 19 页） （2）设 P（1，cosA） ，Q（cosA，1） ，且 AC，与的夹角为 ，求 cos 的值 20已知数列an为等差数列 （1）求证： （an+1）2anan+2； （2）设 an2n1，且其前 n 项和 Sn，的前 n 项和为 Tn，求证：T
6、n2 21已知函数 f（x）aex 1ex （1）若 ae，试判断函数 f（x）是否存在零点，并说明理由； （2）若 ae，x1，对tR，f（t）（x+1）tet+y 恒成立，求（x+1）y 的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的普通
7、方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若 A、B 是直线 l 上的动点，且|AB|2，M（0，1） ，求MAB 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|ax+1|+|2x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）2x+1 的解集； （2）证明：当 a（0，1） ，x（0，+）时，f（x）1 恒成立 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年陕西省安康市高三（上）学年陕西省安康市高三（上）12 月段考数学试卷（理月段考数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，个小题，每小题每小
8、题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若复数，则|z|（ ） A B C1 D2 【分析】先求出复数1，由此能求出|z| 【解答】解：复数1， |z|1 故选：C 【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 2 （5 分）设集合 A2，2，4，Bx|x24，则 AB（ ） A4 B2 C2，4 D2，2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A2，2，4， Bx|x242，2， AB2，2 故选：D 【点评】
9、本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3 （5 分） 西游记 三国演义 水浒传 红楼梦我国古典小说四大名著若在这四大名 著中，任取 2 种进行阅读，则取到红楼梦的概率为（ ） 第 6 页（共 19 页） A B C D 【分析】任取两种共有6 个基本事件，而取到红楼梦包含3 个基本事件，代入 公式即可 【解答】解：依题意，任取 2 种名著进行阅读，包含的基本事件个数为6 个， 而取到红楼梦包含3 个基本事件， 所以取到红楼梦的概率为 P， 故选：B 【点评】本题考查了计数原理，组合数的计算，古典概型的概率计算，属于基础题 4 （5 分）若 是第二象限角，且
10、sin，则 tan（ ） A B C D 【分析】利用同角三角函数基本关系式化简求解即可 【解答】解： 是第二象限角，且 sin， 可得 cos， 则 tan， 故选：D 【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识 的考查 5 （5 分）已知 alog30.5，blog0.50.6，c30.2，则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 【分析】容易得出，从而得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：log30.5log310，0log0.51log0.50.6log0.50.51，30.2301， abc 故选：A 【点评】考查对数函数、指数函数的单调
11、性，以及增函数和减函数的定义 第 7 页（共 19 页） 6 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z2x+y 的最大值为（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值 【解答】解：已知不等式组表示的区域如图，由目标函数的几何意义得到， 当直线 z2x+y 经过图中 A 时，在 y 轴的截距最大，即 z 最大，又 A（1，1） ， 所以 z 是最大值为21+11； 故选：D 【点评】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属 于中档题 7 （5 分）函数的部分图象大致为（ ） A B C D 【分析】当 x
12、0+时，y0，当 x0 时，y0，所以 CD 错；令 f（x）x+sinx，f（x） 1+cosx0 恒成立，f（x）min0，所以 f（x）0 在（0，+）恒成立，所以 A 错； 【解答】解：当 x0+时，y0，当 x0 时，y0，所以 CD 错； 令 f（x）x+sinx，f（x）1+cosx0 恒成立，f（x）min0，所以 f（x）0 在（0， +）恒成立，所以 A 错； 第 8 页（共 19 页） 故选：B 【点评】考查符合函数图象的判断，函数的增减性，极值点，排除法； 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 n 的值为（ ） A32 B33 C31 D34 【分析】直接利用程序
13、框图的循环结构和对数的运算的应用求出结果 【解答】解：根据程序框图得程序框图的功能是计算 S1+log2+log2+log2+ log2的值， 由题意，可得：S1+log2+log2+log2+log2log2log2 （n+1）5， 解得：n+132，可得 n31， 所以模拟程序的运行，可得当 S5 时，退出循环，输出 n 的值为 33 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用，循环结构的应用，主要考察学生的运 算能力和转换能力，属于基础题型 9 （5 分）若曲线 f（x）（ax1）ex 2 在点（2，f（2） ）处的切线过点（3，3） ，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ）
14、A （0，+） B （，0） C （2，+） D （，2） 【分析】求得 f（2）的值，以及 x2 处 f（x）的切线斜率，根据求过两点的直线斜率的 第 9 页（共 19 页） 计算公式，求得 a 的值，从而判断 f（x）的单调性 【解答】解：f（2）（2a1）e2 22a1； f（x）aex 2+（ax1）ex2ex2（ax+a1） ； 则点（2，2a1）处的切线斜率为 f（2）3a1； 切线过点（3，3） ； ，解得 a1； f（x）xex 2； 令 f（x）0，解得 x0； 当 x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； f（x）的单
15、调增区间为（0，+） ； 故选：A 【点评】本题考查了利用导数求函数某点的切线斜率，判断函数的增减区间，属中档题 10 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S101，S307，则 S40（ ） A5 B10 C15 D20 【 分 析 】 推 导 出 S10， S20 S10， S30 S20， S40 S30成 等 比 数 列 ， 从 而 ，求出 S203，由此能求出 S40 【解答】解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，S101，S307， S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列， 1，S201，7S20，S307 成等比数列， ， 解得 S203（或
16、S202，舍） ， S10，S20S10，S30S20，S40S30分别为 1，2，4，8， S40S30+87+815 故选：C 【点评】本题考查等比数列的前 40 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 11 （5 分）向量，且，则 与所成角的余弦 第 10 页（共 19 页） 值是（ ） A B C D0 【分析】由题意，可得| | |，24，再由平面向量的夹 角公式即可求得余弦值 【解答】解：， （ + ） （ ）0，即| | | 向量， +2+3 6+3，即 +4， 24， ， 故选：B 【点评】本题考查平面向量的数量积，模长，夹角以及两向量垂直的条件
17、，考查运算求 解能力，属于基础题 12 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 D，若满足：f（x）在 D 内是单调函数； 存在m， nD（nm） ，使得 f（x）在m，n上的值域为m，n，那么就称 yf（x）是定义域为 D 的“成功函数“，若函数 g（x）loga（a2x+t） （a0，a1）是定义域为 R 的“成功 函数” ，则 t 的取值范围为（ ） A B C D 【分析】根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解 【解答】解答：解：依题意，函数 g（x）loga（a2x+t） （a0，a1）在定义域上为单 调递增函数，且 t0， 而 t0 时，g（x）2x 不
18、满足条件， t0 设存在m，n，使得 g（x）在m，n上的值域为m，n， 第 11 页（共 19 页） ， 即， m，n 是方程（ax）2ax+t0 的两个不等的实根， 设 yax，则 y0， 方程等价为 y2y+t0 的有两个不等的正实根， 即， ，解得 0， 故选：C 【点评】本题主要考查对数的基本运算，准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数 函数的性质和一元二次方程根的判别式是解决本题的关键综合性较强 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）若，则 a 1 【分析】根据定积分得到关于 a 的方程，解
19、方程即可得到 a 的值 【解答】解：依题意， 所以（ax）， 即（a）+a， 解得 a2 故答案为：2 【点评】本题考查了定积分的计算，找到被积函数的原函数是求定积分的关键本题属 于基础题 14 （5 分）某校高三年级有 400 名学生，在一次数学测试中，成绩都在80，130（单位： 分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于 100 分的人数为 220 第 12 页（共 19 页） 【分析】由频率分布直方图得（2a+0.040+0.030+0.020）101，求出 a0.005，由此 能求出这次测试数学成绩不低于 100 分的频率 【解答】解：由频率分布直方图得： （2a+0.0
20、40+0.030+0.020）101， 解得 a0.005， 这次测试数学成绩不低于 100 分的频率为： 1（0.005+0.040）100.55 这次测试数学成绩不低于 100 分的人数为：4000.55220 故答案为：220 【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，tanC 7，则 b 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosC，sinC 的值，根据三角形内角和 定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值，进而根据正弦定理
21、可求 b 的值 【解答】解：a2，tanC7， cosC，sinC， sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC（+）， 由正弦定理，可得 b 故答案为： 第 13 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，诱导公式，两 角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想， 属于基础题 16 （5 分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他 们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如 图实心点个数 1，5，12，22，被称为五角形数，其中第 1 个
22、五角形数记作 a11， 第2个五角形数记作a25， 第3个五角形数记作a312， 第4个五角形数记作a422， ， 第 n 个五角形数记作 an，已知 anan13n2（n2） ，则前 n 个五角形数中，实心点 的总数为 参考公式： 【分析】应用数列的恒等式：ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1） ，运用等 差数列的求和公式、以及前 n 个自然数的平方和公式，计算可得所求和 【解答】解：anan13n2（n2） ，且 a11， 可得 ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）1+4+7+（3n2）n（1+3n 2）n2n， 前 n 个五角形数中，实心点的总数为（12+2
23、2+n2）（1+2+n） n2（n+1） 故答案为：n2（n+1） 【点评】本题考查数列在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式和求和公式、前 n 个自然数的平方和公式的应用，考查化简运算能力，属于基础题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题：60 分分 17已知 P：函数 f（x）x2（2a+4）x+6 在（1，+）上是
24、增函数，q：xR，x2+ax+2a 30，若 p（q）是真命题，求实数 a 的取值范围 第 14 页（共 19 页） 【分析】分别求出 p，q 为真时的 a 的范围，从而求出复合命题的 a 的范围 【解答】解：p 真时，a+21，a1， q 真时，a24（2a3）a28a+120， 2a6， q 为真时，a2 或 a6， p（q）为真， p 与q 都为真， a1， 即 a（，1， 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题 18已知， （1）若 ，求 sinx（cosx+3sinx）的值； （2）若，将函数 f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到 g（x） 的图象，求
25、 g（x）及 g（x）的最小正周期 【分析】 （1）通过向量平行，转化求解正切函数值，然后通过“1”的代换，转化求解表 达式的值 （2）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的 周期 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由得cosx 2sinx 0 ， 则， （2）， ， 周期： 【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角函数化简求值，考查转化思想以及计算能 第 15 页（共 19 页） 力，是中档题 19 在平面直角坐标系xOy中， 设ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 且， 2sin2C3sinAsinB （1）求 C； （2）设 P（1，
26、cosA） ，Q（cosA，1） ，且 AC，与的夹角为 ，求 cos 的值 【分析】 （1）由已知利用由正弦定理得，结合已知可求 a2+b2+2ab3c2，根据 余弦定理得 cosC 的值，进而可求 C 的值 （2） 由 （1） 知， 代入已知， 并结合正弦定理得 sinA 的值， 可求 A30， B90， 利用平面向量的坐标运算可求，进而根据平面向量数量积的运算可 求 cos 的值 【解答】解： （1）2sin2C3sinAsinB， ， 由正弦定理得， ， a2+b2+2ab3c2， 根据余弦定理得：， （2）由（1）知，代入已知，并结合正弦定理得：，解得 或 sinA1（舍去） ， 所
27、以 A30，B90， ， 而， 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积 第 16 页（共 19 页） 的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 20已知数列an为等差数列 （1）求证： （an+1）2anan+2； （2）设 an2n1，且其前 n 项和 Sn，的前 n 项和为 Tn，求证：Tn2 【分析】 （1）通过数列an为等差数列，得到 2an+1an+an+2利用基本不等式推出 或：设数列an的公差为d，则 ，推出结果即可 （2）求出数列的和，推出，n2 时：，利用放 缩法转化求解即可 【解答】证明： （1）因为数列an为等差数列，所以 2an
28、+1an+an+2 ， 即，故结论成立 或：设数列an的公差为d，则 ， 即，故结论成立 （2）， ，n2 时：， n1 时：， n2 时：， ， 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列与不等式相结合，考查转化思想以及 计算能力，是难题 21已知函数 f（x）aex 1ex （1）若 ae，试判断函数 f（x）是否存在零点，并说明理由； 第 17 页（共 19 页） （2）若 ae，x1，对tR，f（t）（x+1）tet+y 恒成立，求（x+1）y 的最大值 【分析】 （1）构造函数，y2ex，分 a0 及 0ae 讨论得解； （2）将 ae 代入，结合已知分析可得（x+1）y（x+1）
29、2（x+1）2ln（x+1） ，再构造 函数 t（m）m2m2lnm，求其最大值即可 【解答】解： （1）由 f（x）aex 1ex0 得 aex1ex， 令，y2ex， 当 a0 时，显然只有一个零点； 当 0ae 时，由于 x1 时，y2exe， y1y2， 而 x0 时，y2ex0， y1y2， 所以 x1 时，函数 f（x）存在零点； 综上，当 ae 时，函数 f（x）存在零点； （2）ae 时，f（x）exex， f（t）etet（x+1）tet+y，即 et（x+1）ty0， 令 h（t）et（x+1）ty，h（t）et（x+1） ， 当 x1 时，由 h（t）0tln（x+1）
30、， 由 h（t）0tln（x+1） ， h（t）在（，ln（x+1） ）上单调递减，在（ln（x+1） ，+）上单调递增 tln（x+1）时，h（t）min（x+1）（x+1）ln（x+1）y0， y（x+1）（x+1）ln（x+1） ， 则（x+1）y（x+1）2（x+1）2ln（x+1） ， 令 x+1m（m0） ， 则设 t（m）m2m2lnm，t（m）2m2mlnmmm（12lnm） ， 由， 由， t（m）在上单调递增，在上单调递减 当时， 第 18 页（共 19 页） 综上得当，时（x+1）y 取最大值为 【点评】本题考查函数零点，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查构造函数思
31、 想，转化思想及逻辑推理能力，运算求解能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参数方程数方程 22在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）若 A、B 是直线 l 上的动点，且|AB|2，M（0，1） ，求MAB 的面积 【分析】 （1）由曲线
32、C 的参数方程，能求出曲线 C 的普通方程，由直线 l 的极坐标方程， 能求出直线 l 的直角坐标方程 （2）求出直线 l 方程：xy30M 到 l 的距离，由此能求出MAB 的面积 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 曲线 C 的普通方程为， 直线 l 的极坐标方程为 直线 l 的方程可化为 cossin3， 直线 l 的直角坐标方程为 xy30 （2）A、B 是直线 l 上的动点，且|AB|2，M（0，1） ， 直线 l 方程：xy30M 到 l 的距离， 【点评】本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求 法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐
33、标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|ax+1|+|2x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）2x+1 的解集； （2）证明：当 a（0，1） ，x（0，+）时，f（x）1 恒成立 第 19 页（共 19 页） 【分析】 （1）a1 时 f（x）x 等价于|x+1|+|2x1|2x+1，利用分段讨论法去掉绝对值， 从而求出不等式的解集； （2）由题意得 f（x）ax+1+|2x1|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出 f（x）的最小 值，即可证明结论成立 【解答】 （1）解：a1 时，f（x）x 等价于|x+1|+|2x1|2x+1； 也等价于， 或， 或， 解得 x； 解得x； 解得x1； 所以原不等式的解集为x|x1 （2）证明：由题意得，f（x）ax+1+|2x1|； 则 f（x）在上是减函数，在上是增函数， 则， 所以成立 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是中档题