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2020年北京市通州区高考数学一模试卷(含答案)

1、20202020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题)小题) 1.已知集合0 2Axx,13Bxx,则AB ( ) A.03xx B.23xx C.01xx D.12xx 2.已知复数2zii(i 是虚数单位),则z ( ) A.1 B.2 C. 5 D.3 3.函数 sin2 cos2f xxx的最小正周期是( ) A. 2 B. C.2 D.4 4.已知 f x为定义在 R 上的奇函数,且 12f,下列一定在函数 f x图象上的点是( ) A.1, 2 B.1, 2 C.1,2 D.2,1 5.已知 a,3,b,9,c 成等比数列,且0a ,则

2、33 loglogbc等于( ) A.1 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 6.已知抛物线 2 2ypx(0p )的焦点与双曲线 2 2 1 3 x y的右焦点重合,则p ( ) A. 2 B.2 C.2 2 D. 4 7.在 6 1 2x x 的展开式中,常数项是( ) A.160 B.20 C.20 D.160 8.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点cos ,sinA,cos,sin 33 B .则 OAOB( ) A.1 B. 3 C.2 D.与有关 9.若0a ,0b ,则“1ab”是“ 2ab”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不

3、充分也不必要条件 10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“ n a(1a , * nN)是几位数”,他以2n( * nN)为例做 研究,得出相应的结论,其研究过程及部分研究数据如表: 2nN (0n) lgN N 的位数 1 2 lg2 一位数 2 2 lg4 一位数 3 2 lg8 一位数 4 2 1 lg1.6 两位数 5 2 1 lg3.2 两位数 6 2 1 lg6.4 两位数 7 2 2lg1.28 三位数 8 2 2lg2.56 三位数 9 2 2lg5.12 三位数 10 2 3lg1.024 四位数 试用该同学的研究结论判断 50 4 是几位数(参考数据lg20.3010)

4、( ) A.101 B.50 C.31 D.30 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分. 11.已知向量1, 2a ,3,bm ,其中mR .若a,b共线,则 m 等于_. 12.圆 2 2 11xy的圆心到直线310xy 的距离为_. 13.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积等于_. 14.中国古代数学著作 孙子算经 中有这样一道算术题: “今有物不知其数, 三三数之余二, 五五数之余三, 问物几何?”, 将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 n a, 则 1 a _; n a _. (注: 三三数之余二是指此

5、数被 3 除余 2,例如“5”) 15.给出下列四个函数, 2 1yx;12yxx ;21 x y ; 2 cosyxx,其中值域 为1,的函数的序号是_. 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 85 分分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.已知ABC,满足7a ,2b,_,判断ABC的面积2S 是否成立?说明理由. 从 3 A , 21 cos 7 B 这两个条件中任选一个,补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 17.2019 年 1 月 1 日, 我国开始施行

6、个人所得税专项附加扣除操作办法 , 附加扣除的专项包括子女教育、 继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人. 某单位有老年员工 140 人,中年员工 180 人, 青年员工 80 人,现采用分层抽样的方法,从该单位员工中抽取 20 人,调查享受个人所得税专项附加扣除 的情况,并按照员工类别进行各专项人数汇总,数据统计如表: 专项员工人数 子女教 育 继续教育 大病医疗 住房贷款利 息 住房租金 赡养老人 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 ()在抽取的 20 人中,老年员工、中年员工、青年员工各有多少人; ()从上表享

7、受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取 2 人,记 X 为选出的中年员工的人数,求 X 的分 布列和数学期望. 18.如图,已知四边形ABCD为菱形,且60A ,取AD中点为 E. 现将四边形EBCD沿BE折起至 EBHG,使得90AEG. ()求证:AE 平面EBHG; ()求二面角A GHB的余弦值; ()若点 F 满足AF AB ,当EF平面AGH时,求的值. 19.已知椭圆 C: 22 22 1 xy ab (0ab)的离心率为 2 2 ,点0,1A在椭圆 C 上. ()求椭圆 C 的方程; ()设 O 为原点,过原点的直线(不与 x 轴垂直)与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线AM、

8、AN与 x 轴分 别交于点 E、F.问:y 轴上是否存在定点 G,使得OGEOFG?若存在,求点 G 的坐标;若不存在, 说明理由. 20.已知函数 x f xxa exa,设 g xfx. ()求 g x的极小值; ()若 0f x 在0,上恒成立,求 a 的取值范围. 21.用 x表示一个小于或等于 x 的最大整数.如: 22,4.14,3.14. 已知实数列 0 a, 1 a, 对于所有非负整数 i 满足 1iiii aaaa ,其中 0 a是任意一个非零实数. ()若 0 2.6a ,写出 1 a, 2 a, 3 a; ()若 0 0a ,求数列 i a的最小值; ()证明:存在非负整

9、数 k,使得当ik时, 2ii aa . 参考答案参考答案 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的要求的. 1.已知集合0 2Axx,13Bxx,则AB ( ) A.03xx B.23xx C.01xx D.12xx 【分析】利用交集定义能求出AB. 解:集合02Axx,13Bxx, 12ABxx. 故选:D. 2.已知复数2zii(i 是虚数单位),则z ( ) A.1 B.2 C. 5 D.3 【分析】根据复数的基本运算法则进行化

10、简即可 解:因为复数21 2ziii ,所以 2 2 125z , 故选:C. 3.函数 sin2 cos2f xxx的最小正周期是( ) A. 2 B. C.2 D.4 【分析】函数 y 解析式提取 2变形,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出的 值代入周期公式即可求出最小正周期. 解:函数 2 sin2cos22sin 2 2 yxxx , 2,T. 故选:B. 4.已知 f x为定义在 R 上的奇函数,且 12f,下列一定在函数 f x图象上的点是( ) A.1, 2 B.1, 2 C.1,2 D.2,1 【分析】根据 f x是奇函数即可得出12f ,从而得出点1, 2

11、 在 f x的图象上. 解: f x是定义在 R 上的奇函数,且 12f, 12f , 1, 2 一定在函数 f x的图象上. 故选:B. 5.已知 a,3,b,9,c 成等比数列,且0a ,则 33 loglogbc等于( ) A.1 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出. 解:a,3,b,9,c 成等比数列, 则81bc , 2 27b , 2 1 3 bb bcc , 333 loglog 1 1 3 logbc , 故选:A. 6.已知抛物线 2 2ypx(0p )的焦点与双曲线 2 2 1 3 x y的右焦点重合,则p ( ) A.

12、 2 B.2 C.2 2 D. 4 【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标,结合抛物线 2 2ypx的焦点坐标,0 2 p ,可得2 2 p , 得4p . 解:双曲线 2 2 1 3 x y中 2 3a , 2 1b 22 2cab ,得双曲线的右焦点为2,0F 因此抛物线 2 2ypx的焦点,0 2 p 即2,0F 2 2 p ,即4p 故选:D. 7.在 6 1 2x x 的展开式中,常数项是( ) A.160 B.20 C.20 D.160 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数项. 解: 6 1 2x x 展开式的通项公式为 6 6

13、6 2 166 2112 rrr rrrrr r TCxxCx , 令620r,可得3r ,故 6 1 2x x 展开式的常数项为 3 6 8160C , 故选:A. 8.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点cos ,sinA,cos,sin 33 B .则 OAOB( ) A. 1 B. 3 C. 2 D.与有关 【分析】根据题意,求出向量OA、OB的坐标,进而可得OA OB 的坐标,由向量模的公式以及和角公 式计算可得答案. 解:根据题意,cos ,sinA,cos,sin 33 B . 则cos ,sinOA,cos,sin 33 OB , 则有coscos,sinsin 33

14、OAOB , 故 22 2 coscossinsin 33 OAOB 22coscos2sinsin22cos3 333 , 则3OAOB; 故选:B. 9.若0a ,0b ,则“1ab”是“ 2ab”的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】0a ,0b ,利用基本不等式的性质可得:2abab,可由1ab,得出2ab.反之 不成立. 解:0a ,0b ,2abab, 若1ab,则2ab. 反之不成立,例如取5a , 1 10 b . “1ab”是“ 2ab”的充分不必要条件. 故选:A. 10.某同学在数学探究活动中确定研究主题

15、是“ n a(1a , * nN)是几位数”,他以2n( * nN)为例做 研究,得出相应的结论,其研究过程及部分研究数据如表: 2nN (0n) lgN N 的位数 1 2 lg2 一位数 2 2 lg4 一位数 3 2 lg8 一位数 4 2 1 lg1.6 两位数 5 2 1 lg3.2 两位数 6 2 1 lg6.4 两位数 7 2 2lg1.28 三位数 8 2 2lg2.56 三位数 9 2 2lg5.12 三位数 10 2 3lg1.024 四位数 试用该同学的研究结论判断 50 4 是几位数(参考数据lg20.3010)( ) A.101 B. 50 C. 31 D. 30 【

16、分析】 因为 50100 42 , 所以 100 2N , 则 100 lglg2100lg230lg1.26N , 由表中数据规律可知, N 的位数是 31 位数. 解: 50100 42 , 100 2N , 则 1000.10 lglg2100lg230.10300.1030lg1030lg1.26N , 由表中数据规律可知,N 的位数是 31 位数, 故选:C. 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分. 11.已知向量1, 2a ,3,bm ,其中mR .若a,b共线,则 m 等于 6. 【分析】因为a,b共线,即a b ,

17、根据两向量平行的坐标表示列式求解即可. 解:若a,b共线,即a b , 1, 2a ,3,bm , 123m , 6m. 故答案为:6. 12.圆 2 2 11xy的圆心到直线310xy 的距离为 1. 【分析】先求出圆的圆心坐标,再利用点到直线距离公式即可算出结果. 解:圆 2 2 11xy的圆心坐标为1,0, 所以圆 2 2 11xy的圆心到直线310xy 的距离 2 2 1 1 1 13 d , 故答案为:1. 13.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积等于16 3 3 . 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积. 解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为

18、三棱锥体. 如图所示: 所以: 1116 3 4 2 34 323 V . 故答案为:16 3 3 . 14.中国古代数学著作 孙子算经 中有这样一道算术题: “今有物不知其数, 三三数之余二, 五五数之余三, 问物几何?”,将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 n a,则 1 a 8; n a 157n.(注: 三三数之余二是指此数被 3 除余 2,例如“5”) 【分析】由三三数之余二,五五数之余三,可得数列 n a的公差为 15,首项为 8.利用通项公式即可得出. 解:由三三数之余二,五五数之余三,可得数列 n a的公差为 15,首项为 8. 1 8a ,8 151157 n a

19、nn . 故答案为:8,157n. 15.给出下列四个函数, 2 1yx;12yxx ;21 x y ; 2 cosyxx,其中值域 为1,的函数的序号是. 【分析】 由 2 0x , 得 2 1 1x , 由此得出结论; 由绝对值不等式的性质即可得出结论; 由20 x , 得2 1 1 x ,由此得出结论;由函数 2 cosf xxx的奇偶性及单调性即可得出结论. 解: 2 0x , 2 1 1x , 故值域为1,,符合题意; 12121yxxxx ,故值域为1,,符合题意; 2 0 x , 2 1 1 x , 故值域为1,,不合题意; 函数 2 cosf xxx为偶函数,且 2sinfxx

20、x, 2cos0fxx,故 fx在 R 上单调 递增, 又 00 f ,故当0,x时, f x单调递增,则当,0x 时, f x单调递减, 又 01f,故其值域为1,,符合题意. 故答案为:. 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 85 分分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.已知ABC,满足7a ,2b,_,判断ABC的面积2S 是否成立?说明理由. 从 3 A , 21 cos 7 B 这两个条件中任选一个,补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【分析】选,先利用

21、余弦定理可解得3c ,从而求得三角形面积为 3 3 2 ,由此作出判断; 选, 先利用余弦定理可得 3c , 结合已知条件可知ABC是 A 为直角的三角形, 进而求得面积为3, 此时2S 不成立. 解:选,ABC的面积2S 成立,理由如下: 当 3 A 时, 2 147 cos 22 2 c A c , 所以 2 230cc ,所以3c , 则ABC的面积 113 sin2 3 sin3 2232 SbcA , 因为 327 342 24 , 所以2S 成立. 选,ABC的面积2S 不成立,理由如下: 当 21 cos 7 B 时, 222 21 cos 27 acb B ac , 即 2 7

22、421 72 7 c c ,整理得, 2 2 330cc ,所以 3c , 因 2 7a , 22 437bc , 所以ABC是 A 为直角的三角形, 所以ABC的面积 11 2332 22 Sbc , 所以不成立. 17. 2019 年 1 月 1 日, 我国开始施行 个人所得税专项附加扣除操作办法 , 附加扣除的专项包括子女教育、 继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工 140 人,中年员工 180 人, 青年员工 80 人,现采用分层抽样的方法,从该单位员工中抽取 20 人,调查享受个人所得税专项附加扣除 的情况,并按照员工类别进行各专项人数汇总,数据统计

23、如表: 专项员工人 数 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利 息 住房租金 赡养老人 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 ()在抽取的 20 人中,老年员工、中年员工、青年员工各有多少人; ()从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取 2 人,记 X 为选出的中年员工的人数,求 X 的分 布列和数学期望. 【分析】()先算出该单位的所有员工数量,再根据分层抽样的特点,逐一求解样本中老年、中年、青年 员工的数量即可. ()随机变量 X 的可取值为 0,1,2,结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个 X 的取值所对应的概

24、率即可得分布列,进而求得数学期望. 解:()该单位员工共140 180 80400人, 抽取的老年员工 20 1407 400 人, 中年员工 20 1809 400 人, 青年员工 20 804 400 人. ()X 的可取值为 0,1,2, 2 3 2 8 3 0 28 C P X C , 11 35 2 8 15 1 28 CC P X C , 2 5 2 8 10 0 28 C P X C . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 3 28 15 28 10 28 数学期望 315105 012 2828284 E X . 18.如图,已知四边形ABCD为菱形,且60A ,取AD中

25、点为 E. 现将四边形EBCD沿BE折起至 EBHG,使得90AEG. ()求证:AE 平面EBHG; ()求二面角A GHB的余弦值; ()若点 F 满足AF AB ,当EF平面AGH时,求的值. 【分析】()只需证明GEAE,BEAE,GEBEE,由线面垂直的判定定理可得证明; ()以 E 为原点,EA,EB,EG所在直线分别为 x,y,z 轴,求得平面AGH的法向量和平面EBHG 的法向量.设二面角A GHB的大小为(90),即可得到所求值; ()由AF AB ,则1, 3 ,0F,由 0n EF .计算可得所求值. 解:()证明:在左图中,ABD为等边三角形,E 为AD中点 所以BEA

26、D,所以BEAE. 因为90AEG, 所以GEAE. 因为GEAE,BEAE,GEBEE 所以AE 平面EBHG. ()设菱形ABCD的边长为 2, 由()可知GEAE,BEAE,GEBE. 所以以 E 为原点,EA,EB,EG所在直线分别为 x,y,z 轴, 建立如图空间坐标系 可得1,0,0A,0, 3,0B,0,0,1G,0, 3,2H. 1,0,1AG ,1, 3,2AH 设平面AGH的法向量为, ,nx y z, 所以 0 0 n AG n AH ,即 0 320 xz xyz . 令1x ,则 3 1,1 3 n . 平面EBHG的法向量为1,0,0EA. 设二面角A GHB的大小

27、为(90) 21 coscos, 7 n EA . ()由AF AB ,则1, 3 ,0F, 所以1, 3 ,0EF. 因为EF平面AGH,则 0n EF . 即1 20. 所以 1 2 . 19.已知椭圆 C: 22 22 1 xy ab (0ab)的离心率为 2 2 ,点0,1A在椭圆 C 上. ()求椭圆 C 的方程; ()设 O 为原点,过原点的直线(不与 x 轴垂直)与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线AM、AN与 x 轴分 别交于点 E、F.问:y 轴上是否存在定点 G,使得OGEOFG?若存在,求点 G 的坐标;若不存在, 说明理由. 【分析】()利用椭圆的离心率结合1b,求出

28、a,得到椭圆方程. ()设 00 ,M xy,由题意及椭圆的对称性可知 00 ,Nxy( 0 1y ),求出AM,AN的方程,求 出 E 的坐标,F 的坐标,假设存在定点0,Gn使得OGEOFG,得到 OEOG OGOF ,求出 n,即可. 说明存在点 G 坐标为0,2满足条件. 解:()由题意得 2 2 c e a , 1b, 又 222 abc 解得 2a ,1c , 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y. ()设 00 ,M xy,由题意及椭圆的对称性可知 00 ,Nxy( 0 1y ), 则直线AM的方程为 0 0 1 1 y yx x , 直线AN的方程为 0 0 1 1 y yx

29、 x , 则 E 点坐标为 0 0 ,0 1 x y ,F 点坐标为 0 0 ,0 1 x y . 假设存在定点0,Gn使得OGEOFG, 即tantanOGEOFG(也可以转化为斜率来求), 即 OEOG OGOF 即 2 OGOE OF, 即 2 2 0 2 0 2 1 x n y 所以 2n , 所以存在点 G 坐标为0,2满足条件. 20.已知函数 x f xxa exa,设 g xfx. ()求 g x的极小值; ()若 0f x 在0,上恒成立,求 a 的取值范围. 【分析】()求出导函数得到 11 x g xxae,通过求解导函数判断导函数的符号,判断函数的 单调性,求解函数的极

30、值求解即可. ()由()得 2 1 a fxg xe ,通过2a时,当2a 时,判断函数的单调性,求和函数的最 值,推出结果即可. 解:() 11 x fxxae, 由题意可知 11 x g xxae, 所以 2 x gxxae, 当2xa时 0gx , g x在2,a上单调递增; 当2xa时 0gx , g x在,2a上单调递减, 所以 g x在2xa处取得极小值,为 2 21 a g ae . ()由()得 2 1 a fxg xe 当2a时 2 10 a fxe , 所以 f x在单调递增,所以 00f xf, 即2a时 0f x 在0,恒成立. 当2a 时 0020fga , 又 10

31、 a fag ae , 又由于 fx 在2,a上单调递增;在0,2a上单调递减; 所以在0,a上一定存在 0 x使得 0 0fx, 所以 f x在 0 0,x递减,在 0, x 递增, 所以 0 00f xf, 所以在0,存在 0 x,使得 0 0f x, 所以当2a 时, 0f x 在0,上不恒成立 所以 a 的取值范围为,2. 21.用 x表示一个小于或等于 x 的最大整数. 如: 22,4.14,3.14. 已知实数列 0 a, 1 a, 对于所有非负整数 i 满足 1iiii aaaa ,其中 0 a是任意一个非零实数. ()若 0 2.6a ,写出 1 a, 2 a, 3 a; ()

32、若 0 0a ,求数列 i a的最小值; ()证明:存在非负整数 k,使得当ik时, 2ii aa . 【分析】()由 0 2.6a ,代入可得 1000 1.2aaaa ,同理可得: 2 a, 3 a. () 由 0 0a , 可得 0 0a, 1000 0aaaa, 设 0 i a ,1i , 可得 1 0 iiii aaaa , 因此 0 i a ,0i . 又因 01 ii aa, 则 1iiiii aaaaa , 可得 1ii aa ,0i . 假 设0i ,都有 0 i a 成立,可得: 1 1 ii aa ,0i ,利用累加求和方法可得 0n aan, 1n ,则当 0 na时,

33、0 n a,得出矛盾,因此存在k一、选择题,0 k a. 从而 i a的最小 值为 0. ()当 0 0a 时,由(2)知,存在kN,0 k a,可得 1 0 k a , 1 0 k a ,可得0 i a ,ik , 成立.当 0 0a 时,若存在kN,0 k a ,则0 i a ,ik ,得证;若0 i a ,0i ,则 1 i a , 则 1iiiii aaaaa ,可得 1ii aa ,0i ,可得数列 i a单调不减. 、由于 i a是负整 数,因此存在整数 m 和负整数 c,使得当im时, i ac.所以,当im时, 1ii ac ac ,转化为 22 1 11 ii cc ac a

34、 cc , 令 2 1 ii c ba c , 即 1ii bcb ,im.经过讨论: 当0 m b 时, 得证.当0 m b 时,0 i b ,im, i m im bcb ,im,当im时, i ac,则,1 i ac c,则 i b有界,进而证 明结论. 解:() 0 2.6a , 1000 32.631.2aaaa , 同理可得: 2 1.6a 、 3 0.8a ()因 0 0a ,则 0 0a, 所以 1000 0aaaa, 设 0 i a ,1i ,则 1 0 iiii aaaa , 所以 0 i a ,0i . 又因 01 ii aa, 则 1iiiii aaaaa ,则 1ii

35、 aa ,0i . 假设0i ,都有 0 i a 成立, 则 1iiiii aaaaa , 则 1ii aa ,0i ,即 1 1 ii aa ,0i , 则 0n aan,1n , 则当 0 na时,0 n a, 这与假设矛盾,所以 0 i a ,0i 不成立, 即存在kN,0 k a. 从而 i a的最小值为 0. ()证明:当 0 0a 时,由(2)知,存在kN,0 k a, 所以 1 0 k a ,所以 1 0 k a , 所以0 i a ,ik ,成立. 当 0 0a 时,若存在kN,0 k a ,则0 i a ,ik ,得证; 若0 i a ,0i ,则 1 i a , 则 1ii

36、iii aaaaa , 则 1ii aa ,0i , 所以数列 i a单调不减. 由于 i a是负整数, 所以存在整数 m 和负整数 c,使得当im时, i ac. 所以,当im时, 1ii ac ac , 则 22 1 11 ii cc ac a cc ,令 2 1 ii c ba c , 即 1ii bcb ,im. 当0 m b 时,则0 i b ,im,则 2 1 i c a c ,im,得证. 当0 m b 时,0 i b ,im, i m im bcb ,im, 因当im时, i ac,则,1 i ac c ),则 i b有界, 所以1c ,所以负整数1c . 111 11 222 i mi m imm aba (im), 则 ,2, , 4, 11,3, m i m aim mm a aimm 令km,满足当ik时, 2ii aa . 综上,存在非负整数 k,使得当ik时, 2ii aa .