1、20202020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题） 1.已知集合0 2Axx，13Bxx，则AB （ ） A.03xx B.23xx C.01xx D.12xx 2.已知复数2zii（i 是虚数单位），则z （ ） A.1 B.2 C. 5 D.3 3.函数 sin2 cos2f xxx的最小正周期是（ ） A. 2 B. C.2 D.4 4.已知 f x为定义在 R 上的奇函数，且 12f，下列一定在函数 f x图象上的点是（ ） A.1, 2 B.1, 2 C.1,2 D.2,1 5.已知 a，3，b，9，c 成等比数列，且0a ，则
2、33 loglogbc等于（ ） A.1 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 6.已知抛物线 2 2ypx（0p ）的焦点与双曲线 2 2 1 3 x y的右焦点重合，则p （ ） A. 2 B.2 C.2 2 D. 4 7.在 6 1 2x x 的展开式中，常数项是（ ） A.160 B.20 C.20 D.160 8.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点cos ,sinA，cos,sin 33 B .则 OAOB（ ） A.1 B. 3 C.2 D.与有关 9.若0a ，0b ，则“1ab”是“ 2ab”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不
3、充分也不必要条件 10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“ n a（1a ， * nN）是几位数”，他以2n（ * nN）为例做 研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表： 2nN （0n） lgN N 的位数 1 2 lg2 一位数 2 2 lg4 一位数 3 2 lg8 一位数 4 2 1 lg1.6 两位数 5 2 1 lg3.2 两位数 6 2 1 lg6.4 两位数 7 2 2lg1.28 三位数 8 2 2lg2.56 三位数 9 2 2lg5.12 三位数 10 2 3lg1.024 四位数 试用该同学的研究结论判断 50 4 是几位数（参考数据lg20.3010）
4、（ ） A.101 B.50 C.31 D.30 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11.已知向量1, 2a ，3,bm ，其中mR .若a，b共线，则 m 等于_. 12.圆 2 2 11xy的圆心到直线310xy 的距离为_. 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于_. 14.中国古代数学著作 孙子算经 中有这样一道算术题： “今有物不知其数， 三三数之余二， 五五数之余三， 问物几何？”， 将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 n a， 则 1 a _； n a _. （注： 三三数之余二是指此
5、数被 3 除余 2，例如“5”） 15.给出下列四个函数， 2 1yx；12yxx ；21 x y ； 2 cosyxx，其中值域 为1,的函数的序号是_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.已知ABC，满足7a ，2b，_，判断ABC的面积2S 是否成立？说明理由. 从 3 A ， 21 cos 7 B 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17.2019 年 1 月 1 日， 我国开始施行
6、个人所得税专项附加扣除操作办法 ， 附加扣除的专项包括子女教育、 继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人. 某单位有老年员工 140 人，中年员工 180 人， 青年员工 80 人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取 20 人，调查享受个人所得税专项附加扣除 的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表： 专项员工人数 子女教 育 继续教育 大病医疗 住房贷款利 息 住房租金 赡养老人 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 （）在抽取的 20 人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人； （）从上表享
7、受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取 2 人，记 X 为选出的中年员工的人数，求 X 的分 布列和数学期望. 18.如图，已知四边形ABCD为菱形，且60A ，取AD中点为 E. 现将四边形EBCD沿BE折起至 EBHG，使得90AEG. （）求证：AE 平面EBHG； （）求二面角A GHB的余弦值； （）若点 F 满足AF AB ，当EF平面AGH时，求的值. 19.已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为 2 2 ，点0,1A在椭圆 C 上. （）求椭圆 C 的方程； （）设 O 为原点，过原点的直线（不与 x 轴垂直）与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线AM、
8、AN与 x 轴分 别交于点 E、F.问：y 轴上是否存在定点 G，使得OGEOFG？若存在，求点 G 的坐标；若不存在， 说明理由. 20.已知函数 x f xxa exa，设 g xfx. （）求 g x的极小值； （）若 0f x 在0,上恒成立，求 a 的取值范围. 21.用 x表示一个小于或等于 x 的最大整数.如： 22，4.14，3.14. 已知实数列 0 a， 1 a， 对于所有非负整数 i 满足 1iiii aaaa ，其中 0 a是任意一个非零实数. （）若 0 2.6a ，写出 1 a， 2 a， 3 a； （）若 0 0a ，求数列 i a的最小值； （）证明：存在非负整
9、数 k，使得当ik时， 2ii aa . 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1.已知集合0 2Axx，13Bxx，则AB （ ） A.03xx B.23xx C.01xx D.12xx 【分析】利用交集定义能求出AB. 解：集合02Axx，13Bxx， 12ABxx. 故选：D. 2.已知复数2zii（i 是虚数单位），则z （ ） A.1 B.2 C. 5 D.3 【分析】根据复数的基本运算法则进行化
10、简即可 解：因为复数21 2ziii ，所以 2 2 125z ， 故选：C. 3.函数 sin2 cos2f xxx的最小正周期是（ ） A. 2 B. C.2 D.4 【分析】函数 y 解析式提取 2变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的 值代入周期公式即可求出最小正周期. 解：函数 2 sin2cos22sin 2 2 yxxx ， 2，T. 故选：B. 4.已知 f x为定义在 R 上的奇函数，且 12f，下列一定在函数 f x图象上的点是（ ） A.1, 2 B.1, 2 C.1,2 D.2,1 【分析】根据 f x是奇函数即可得出12f ，从而得出点1, 2
11、 在 f x的图象上. 解： f x是定义在 R 上的奇函数，且 12f， 12f ， 1, 2 一定在函数 f x的图象上. 故选：B. 5.已知 a，3，b，9，c 成等比数列，且0a ，则 33 loglogbc等于（ ） A.1 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出. 解：a，3，b，9，c 成等比数列， 则81bc ， 2 27b ， 2 1 3 bb bcc ， 333 loglog 1 1 3 logbc ， 故选：A. 6.已知抛物线 2 2ypx（0p ）的焦点与双曲线 2 2 1 3 x y的右焦点重合，则p （ ） A.
12、 2 B.2 C.2 2 D. 4 【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线 2 2ypx的焦点坐标,0 2 p ，可得2 2 p ， 得4p . 解：双曲线 2 2 1 3 x y中 2 3a ， 2 1b 22 2cab ，得双曲线的右焦点为2,0F 因此抛物线 2 2ypx的焦点,0 2 p 即2,0F 2 2 p ，即4p 故选：D. 7.在 6 1 2x x 的展开式中，常数项是（ ） A.160 B.20 C.20 D.160 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项. 解： 6 1 2x x 展开式的通项公式为 6 6
13、6 2 166 2112 rrr rrrrr r TCxxCx ， 令620r，可得3r ，故 6 1 2x x 展开式的常数项为 3 6 8160C ， 故选：A. 8.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点cos ,sinA，cos,sin 33 B .则 OAOB（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D.与有关 【分析】根据题意，求出向量OA、OB的坐标，进而可得OA OB 的坐标，由向量模的公式以及和角公 式计算可得答案. 解：根据题意，cos ,sinA，cos,sin 33 B . 则cos ,sinOA，cos,sin 33 OB ， 则有coscos,sinsin 33
14、OAOB ， 故 22 2 coscossinsin 33 OAOB 22coscos2sinsin22cos3 333 ， 则3OAOB； 故选：B. 9.若0a ，0b ，则“1ab”是“ 2ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】0a ，0b ，利用基本不等式的性质可得：2abab，可由1ab，得出2ab.反之 不成立. 解：0a ，0b ，2abab， 若1ab，则2ab. 反之不成立，例如取5a ， 1 10 b . “1ab”是“ 2ab”的充分不必要条件. 故选：A. 10.某同学在数学探究活动中确定研究主题
15、是“ n a（1a ， * nN）是几位数”，他以2n（ * nN）为例做 研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表： 2nN （0n） lgN N 的位数 1 2 lg2 一位数 2 2 lg4 一位数 3 2 lg8 一位数 4 2 1 lg1.6 两位数 5 2 1 lg3.2 两位数 6 2 1 lg6.4 两位数 7 2 2lg1.28 三位数 8 2 2lg2.56 三位数 9 2 2lg5.12 三位数 10 2 3lg1.024 四位数 试用该同学的研究结论判断 50 4 是几位数（参考数据lg20.3010）（ ） A.101 B. 50 C. 31 D. 30 【
16、分析】 因为 50100 42 ， 所以 100 2N ， 则 100 lglg2100lg230lg1.26N ， 由表中数据规律可知， N 的位数是 31 位数. 解： 50100 42 ， 100 2N ， 则 1000.10 lglg2100lg230.10300.1030lg1030lg1.26N ， 由表中数据规律可知，N 的位数是 31 位数， 故选：C. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11.已知向量1, 2a ，3,bm ，其中mR .若a，b共线，则 m 等于 6. 【分析】因为a，b共线，即a b ，
17、根据两向量平行的坐标表示列式求解即可. 解：若a，b共线，即a b ， 1, 2a ，3,bm ， 123m ， 6m. 故答案为：6. 12.圆 2 2 11xy的圆心到直线310xy 的距离为 1. 【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果. 解：圆 2 2 11xy的圆心坐标为1,0， 所以圆 2 2 11xy的圆心到直线310xy 的距离 2 2 1 1 1 13 d ， 故答案为：1. 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于16 3 3 . 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积. 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为
18、三棱锥体. 如图所示： 所以： 1116 3 4 2 34 323 V . 故答案为：16 3 3 . 14.中国古代数学著作 孙子算经 中有这样一道算术题： “今有物不知其数， 三三数之余二， 五五数之余三， 问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 n a，则 1 a 8； n a 157n.（注： 三三数之余二是指此数被 3 除余 2，例如“5”） 【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列 n a的公差为 15，首项为 8.利用通项公式即可得出. 解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列 n a的公差为 15，首项为 8. 1 8a ，8 151157 n a
19、nn . 故答案为：8，157n. 15.给出下列四个函数， 2 1yx；12yxx ；21 x y ； 2 cosyxx，其中值域 为1,的函数的序号是. 【分析】 由 2 0x ， 得 2 1 1x ， 由此得出结论； 由绝对值不等式的性质即可得出结论； 由20 x ， 得2 1 1 x ，由此得出结论；由函数 2 cosf xxx的奇偶性及单调性即可得出结论. 解： 2 0x ， 2 1 1x ， 故值域为1,，符合题意； 12121yxxxx ，故值域为1,，符合题意； 2 0 x ， 2 1 1 x ， 故值域为1,，不合题意； 函数 2 cosf xxx为偶函数，且 2sinfxx
20、x， 2cos0fxx，故 fx在 R 上单调 递增， 又 00 f ，故当0,x时， f x单调递增，则当,0x 时， f x单调递减， 又 01f，故其值域为1,，符合题意. 故答案为：. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.已知ABC，满足7a ，2b，_，判断ABC的面积2S 是否成立？说明理由. 从 3 A ， 21 cos 7 B 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【分析】选，先利用
21、余弦定理可解得3c ，从而求得三角形面积为 3 3 2 ，由此作出判断； 选， 先利用余弦定理可得 3c ， 结合已知条件可知ABC是 A 为直角的三角形， 进而求得面积为3， 此时2S 不成立. 解：选，ABC的面积2S 成立，理由如下： 当 3 A 时， 2 147 cos 22 2 c A c ， 所以 2 230cc ，所以3c ， 则ABC的面积 113 sin2 3 sin3 2232 SbcA ， 因为 327 342 24 ， 所以2S 成立. 选，ABC的面积2S 不成立，理由如下： 当 21 cos 7 B 时， 222 21 cos 27 acb B ac ， 即 2 7
22、421 72 7 c c ，整理得， 2 2 330cc ，所以 3c ， 因 2 7a ， 22 437bc ， 所以ABC是 A 为直角的三角形， 所以ABC的面积 11 2332 22 Sbc ， 所以不成立. 17. 2019 年 1 月 1 日， 我国开始施行 个人所得税专项附加扣除操作办法 ， 附加扣除的专项包括子女教育、 继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工 140 人，中年员工 180 人， 青年员工 80 人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取 20 人，调查享受个人所得税专项附加扣除 的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计
23、如表： 专项员工人 数 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利 息 住房租金 赡养老人 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 （）在抽取的 20 人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人； （）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取 2 人，记 X 为选出的中年员工的人数，求 X 的分 布列和数学期望. 【分析】（）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年 员工的数量即可. （）随机变量 X 的可取值为 0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个 X 的取值所对应的概
24、率即可得分布列，进而求得数学期望. 解：（）该单位员工共140 180 80400人， 抽取的老年员工 20 1407 400 人， 中年员工 20 1809 400 人， 青年员工 20 804 400 人. （）X 的可取值为 0，1，2， 2 3 2 8 3 0 28 C P X C ， 11 35 2 8 15 1 28 CC P X C ， 2 5 2 8 10 0 28 C P X C . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 3 28 15 28 10 28 数学期望 315105 012 2828284 E X . 18.如图，已知四边形ABCD为菱形，且60A ，取AD中
25、点为 E. 现将四边形EBCD沿BE折起至 EBHG，使得90AEG. （）求证：AE 平面EBHG； （）求二面角A GHB的余弦值； （）若点 F 满足AF AB ，当EF平面AGH时，求的值. 【分析】（）只需证明GEAE，BEAE，GEBEE，由线面垂直的判定定理可得证明； （）以 E 为原点，EA，EB，EG所在直线分别为 x，y，z 轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG 的法向量.设二面角A GHB的大小为（90），即可得到所求值； （）由AF AB ，则1, 3 ,0F，由 0n EF .计算可得所求值. 解：（）证明：在左图中，ABD为等边三角形，E 为AD中点 所以BEA
26、D，所以BEAE. 因为90AEG， 所以GEAE. 因为GEAE，BEAE，GEBEE 所以AE 平面EBHG. （）设菱形ABCD的边长为 2， 由（）可知GEAE，BEAE，GEBE. 所以以 E 为原点，EA，EB，EG所在直线分别为 x，y，z 轴， 建立如图空间坐标系 可得1,0,0A，0, 3,0B，0,0,1G，0, 3,2H. 1,0,1AG ，1, 3,2AH 设平面AGH的法向量为, ,nx y z， 所以 0 0 n AG n AH ，即 0 320 xz xyz . 令1x ，则 3 1,1 3 n . 平面EBHG的法向量为1,0,0EA. 设二面角A GHB的大小
27、为（90） 21 coscos, 7 n EA . （）由AF AB ，则1, 3 ,0F， 所以1, 3 ,0EF. 因为EF平面AGH，则 0n EF . 即1 20. 所以 1 2 . 19.已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为 2 2 ，点0,1A在椭圆 C 上. （）求椭圆 C 的方程； （）设 O 为原点，过原点的直线（不与 x 轴垂直）与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线AM、AN与 x 轴分 别交于点 E、F.问：y 轴上是否存在定点 G，使得OGEOFG？若存在，求点 G 的坐标；若不存在， 说明理由. 【分析】（）利用椭圆的离心率结合1b，求出
28、a，得到椭圆方程. （）设 00 ,M xy，由题意及椭圆的对称性可知 00 ,Nxy（ 0 1y ），求出AM，AN的方程，求 出 E 的坐标，F 的坐标，假设存在定点0,Gn使得OGEOFG，得到 OEOG OGOF ，求出 n，即可. 说明存在点 G 坐标为0,2满足条件. 解：（）由题意得 2 2 c e a ， 1b， 又 222 abc 解得 2a ，1c ， 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y. （）设 00 ,M xy，由题意及椭圆的对称性可知 00 ,Nxy（ 0 1y ）， 则直线AM的方程为 0 0 1 1 y yx x ， 直线AN的方程为 0 0 1 1 y yx
29、 x ， 则 E 点坐标为 0 0 ,0 1 x y ，F 点坐标为 0 0 ,0 1 x y . 假设存在定点0,Gn使得OGEOFG， 即tantanOGEOFG（也可以转化为斜率来求）， 即 OEOG OGOF 即 2 OGOE OF， 即 2 2 0 2 0 2 1 x n y 所以 2n ， 所以存在点 G 坐标为0,2满足条件. 20.已知函数 x f xxa exa，设 g xfx. （）求 g x的极小值； （）若 0f x 在0,上恒成立，求 a 的取值范围. 【分析】（）求出导函数得到 11 x g xxae，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的 单调性，求解函数的极
30、值求解即可. （）由（）得 2 1 a fxg xe ，通过2a时，当2a 时，判断函数的单调性，求和函数的最 值，推出结果即可. 解：（） 11 x fxxae， 由题意可知 11 x g xxae， 所以 2 x gxxae， 当2xa时 0gx ， g x在2,a上单调递增； 当2xa时 0gx ， g x在,2a上单调递减， 所以 g x在2xa处取得极小值，为 2 21 a g ae . （）由（）得 2 1 a fxg xe 当2a时 2 10 a fxe ， 所以 f x在单调递增，所以 00f xf， 即2a时 0f x 在0,恒成立. 当2a 时 0020fga ， 又 10
31、 a fag ae ， 又由于 fx 在2,a上单调递增；在0,2a上单调递减； 所以在0,a上一定存在 0 x使得 0 0fx， 所以 f x在 0 0,x递减，在 0, x 递增， 所以 0 00f xf， 所以在0,存在 0 x，使得 0 0f x， 所以当2a 时， 0f x 在0,上不恒成立 所以 a 的取值范围为,2. 21.用 x表示一个小于或等于 x 的最大整数. 如： 22，4.14，3.14. 已知实数列 0 a， 1 a， 对于所有非负整数 i 满足 1iiii aaaa ，其中 0 a是任意一个非零实数. （）若 0 2.6a ，写出 1 a， 2 a， 3 a； （）
32、若 0 0a ，求数列 i a的最小值； （）证明：存在非负整数 k，使得当ik时， 2ii aa . 【分析】（）由 0 2.6a ，代入可得 1000 1.2aaaa ，同理可得： 2 a， 3 a. （） 由 0 0a ， 可得 0 0a， 1000 0aaaa， 设 0 i a ，1i ， 可得 1 0 iiii aaaa ， 因此 0 i a ，0i . 又因 01 ii aa， 则 1iiiii aaaaa ， 可得 1ii aa ，0i . 假 设0i ，都有 0 i a 成立，可得： 1 1 ii aa ，0i ，利用累加求和方法可得 0n aan， 1n ，则当 0 na时，
33、0 n a，得出矛盾，因此存在k一、选择题，0 k a. 从而 i a的最小 值为 0. （）当 0 0a 时，由（2）知，存在kN，0 k a，可得 1 0 k a ， 1 0 k a ，可得0 i a ，ik ， 成立.当 0 0a 时，若存在kN，0 k a ，则0 i a ，ik ，得证；若0 i a ，0i ，则 1 i a ， 则 1iiiii aaaaa ，可得 1ii aa ，0i ，可得数列 i a单调不减. 、由于 i a是负整 数，因此存在整数 m 和负整数 c，使得当im时， i ac.所以，当im时， 1ii ac ac ，转化为 22 1 11 ii cc ac a
34、 cc ， 令 2 1 ii c ba c ， 即 1ii bcb ，im.经过讨论： 当0 m b 时， 得证.当0 m b 时，0 i b ，im， i m im bcb ，im，当im时， i ac，则,1 i ac c，则 i b有界，进而证 明结论. 解：（） 0 2.6a ， 1000 32.631.2aaaa ， 同理可得： 2 1.6a 、 3 0.8a （）因 0 0a ，则 0 0a， 所以 1000 0aaaa， 设 0 i a ，1i ，则 1 0 iiii aaaa ， 所以 0 i a ，0i . 又因 01 ii aa， 则 1iiiii aaaaa ，则 1ii
35、 aa ，0i . 假设0i ，都有 0 i a 成立， 则 1iiiii aaaaa ， 则 1ii aa ，0i ，即 1 1 ii aa ，0i ， 则 0n aan，1n ， 则当 0 na时，0 n a， 这与假设矛盾，所以 0 i a ，0i 不成立， 即存在kN，0 k a. 从而 i a的最小值为 0. （）证明：当 0 0a 时，由（2）知，存在kN，0 k a， 所以 1 0 k a ，所以 1 0 k a ， 所以0 i a ，ik ，成立. 当 0 0a 时，若存在kN，0 k a ，则0 i a ，ik ，得证； 若0 i a ，0i ，则 1 i a ， 则 1ii
36、iii aaaaa ， 则 1ii aa ，0i ， 所以数列 i a单调不减. 由于 i a是负整数， 所以存在整数 m 和负整数 c，使得当im时， i ac. 所以，当im时， 1ii ac ac ， 则 22 1 11 ii cc ac a cc ，令 2 1 ii c ba c ， 即 1ii bcb ，im. 当0 m b 时，则0 i b ，im，则 2 1 i c a c ，im，得证. 当0 m b 时，0 i b ，im， i m im bcb ，im， 因当im时， i ac，则,1 i ac c ），则 i b有界， 所以1c ，所以负整数1c . 111 11 222 i mi m imm aba （im）， 则 ,2, , 4, 11,3, m i m aim mm a aimm 令km，满足当ik时， 2ii aa . 综上，存在非负整数 k，使得当ik时， 2ii aa .