1、曲靖市曲靖市 20192019- -20202020 年高三年级第二次教学质量监测年高三年级第二次教学质量监测数学（文科）试数学（文科）试卷卷 一、选择题一、选择题 1设集合0Ax x， 2 2150,Bx xxxZ，则AB （ ） A1,2 B1,2,3 C1,2,3,4 D1,2,3,4,5 2设复数z满足12zi，则z （ ） A1 B2 C3 D2 3已知 4 cos 45 ，则sin 4 （ ） A 4 5 B 1 5 C 1 5 D 4 5 4执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A7 B9 C10 D11 5已知向量, a b，2a ，cos ,sinbR，若22 3ab
2、，则a与b夹角是（ ） A 5 6 B 2 3 C 3 D 6 6函数 2 3 ln1x f x x 的大致图象是（ ） A B C D 7已知实数, a b满足01a，01b，则函数 322 1f xxaxb x存在极值的概率为（ ） A 1 6 B 3 6 C 1 3 D 3 3 8在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi no）.如图，网格纸上小正方 形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ） A6 B21 C27 D54 9已知实数, x y满足 20 20 80 x y xy ，0zaxby ab的最大值为2，则直线10axby 过定点
3、（ ） A3,1 B1,3 C1,3 D3,1 10设函数 ln x f xex，满足 0f a f b f cabc，若 f x存在零点 0 x，则下列选项中 一定错误的是（ ） A 0 ,xa c B 0 ,xa b C 0 ,xb c D 0 ,xc 11若双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近线被圆 2 2 24xy所截得的弦长为2，则C的 离心率为（ ） A 2 3 3 B2 C3 D2 12 已 知ABC的 三 个 内 角, ,A B C所 对 的 边 分 别 为, ,a b c， 若1a ，3abc ， 且 3 s i nc o ss i nc o s 2
4、 cABaBCa，则ABC的面积为（ ） A 3 4 或 3 3 4 B 3 3 4 C 2 3 3 D 3 4 二、填空题二、填空题 13若抛物线 2 20ypx p的准线经过直线1yx与坐标轴的一个交点，则p _. 14 将容量为n的样本数据分成5组， 绘制频率分布直方图， 若第1至第5个矩形的面积之比为2:4:6:2:1， 且最后两组数据的频数之和等于20，则n的值等于_. 15关于函数 4sin 2 3 f xxxR ，有下列命题： 由 12 0f xf x可得 12 xx必是的整数倍； yf x在区间 5 , 13 13 上单调递增； yf x的图象关于点,0 6 对称； yf x的
5、图象关于直线 6 x 对称.其中正确的命题的序号是_. （把你认为正确的命题序号都填 上） 16在几何体PABC中，PAB是正三角形，平面PAB 平面ABC，且2ABBC，ABBC， 则几何体PABC外接球的表面积等于_. 三、解答题三、解答题 17某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验. 为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如下的茎 叶图： （）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出 具体值，给出结论即可） ； （）若规定分数在90,110的为良
6、好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出4位 同学参加座谈会，要再从这4位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同班的概率. 18已知正项数列 n a的前n项和 n S满足 2 42 nnn Saa. （）求数列 n a的通项公式； （）记 2 1 1 n n b a ，设数列 n b的前n项和为 n T. 求证： 1 2 n T . 19如图所示，平面PAB 平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，90APB，,M N分 别是,CD PB的中点. （）证明：CN平面PAM； （）若60PAB，求四棱锥PABCM的体积. 20已知ABC的两个顶点坐标是 2 3,0B ，
7、 2 3,0C，ABC的周长为84 3，O是坐标原 点，点M满足2OAOM. （）求点M的轨迹E的方程； （）若互相平行的两条直线l， l 分别过定点 3,0和 3,0，且直线l与曲线E交于,P Q两点，直 线 l 与曲线E交于,R S两点，若四边形PQRS的面积为 8 6 5 ，求直线l的方程. 21已知函数 lnf xxx， 2 1 2 g xx. （）求函数 f x在 2 1 ,e e 上的最值； （）若对0ba，总有 m g bg af bf a 成立，求实数m的取值范围. 22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 3 2 1 2 xt yt （t为参数） ，在以坐标原点O
8、为极点、 以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos. （）若直线l与曲线C交于,A B两点，求线段AB的中点P的直角坐标； （）设点M是曲线C上任意一点，求MAB面积的最大值. 23已知不等式21211xxm 对于任意的xR恒成立. （）求实数m的取值范围； （）若m的最大值为M，且正实数, ,a b c满足abcM . 求证： 13 23 22abbc . 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 ABDBC ABCAC DD 二、填空题二、填空题 132 14100 15 16 28 3 三、解答题三、解答题 17解： （）根据茎叶图得： 甲班抽出同学数学分数的中位数：1
9、22 114118 2 ， 乙班抽出同学数学分数的中位数：128 128128 2 . 乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平； 甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度. （）根据茎叶图可知： 甲、乙两班数学成绩为良好的人数分别为6、2， 若用分层抽样法抽出4人，则应从甲、乙两班各抽出3人、1人. 设“4位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同班的同学”为事件A. 将甲班选出的3人记为：a、b、c，乙班选出的1人记为：d.则共有“ab、ac、ad、bc、bd、cd” 6种选法，事件A包含“ad、bd、cd”3种.故， 31 62 P A .
10、所以，选出的2人是来自不同班的同学的概率等于 1 2 . 18解： （）已知， 2 42 nnn Saa， 所以， 2 111 42 nnn Saa ， 得， 22 111 422 nnnnn aaaaa ，即 11 20 nnnn aaaa ； 因为 1 0 nn aa ，所以， 1 2 nn aa . 由 2 111 42Saa及0a 得， 1 2a ，故 n a为等差数列，公差2d . 因此，2122 n ann . （）因为， 2 11111 21 212 2121 21 n b nnnn n 所以， 111 111 11111 1. 232 352 572 2121 n T nn 1
11、11 2422n . 19解： （）证明：取线段AP的中点E，连接,EN EM， 则ENAB且 1 2 ENAB. 在正方形ABCD中，M是CD的中点， CMAB且 1 2 CMAB. CMEN，且CMEN，则四边形CNEM为平行四边形， CNEM. CN 平面PAM，EM 平面PAM， CN平面PAM. （）解：过P作POAB，垂足为O. 平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PO平面PAB， PO平面ABCD. 又60PAOPAB， 1 2 2 PAAB， 所以，四棱锥PABCM的高2sin603PO ， 故，四棱锥PABCM的体积为： 11 24434 3 32 P AB
12、CM V . 20解： （）由已知，得8ABACBC， 所以，点A的轨迹是以,B C为焦点的椭圆（不含左右顶点）. 因为，28a，2 3c ，所以，4a ，2b， 所以，点A的轨迹方程为 22 10 164 xy y. 设,M x y， 00 ,A x y.由2OAOM得， 0 0 2 2 xx yy ，又 22 00 1 164 xy . 故，点M的轨迹E的方程为 22 22 1 164 xy ，即 2 2 10 4 x yy. （）由题意可知，当直线l的斜率不存在时，易求得 1 3, 2 P ， 1 3, 2 Q ， 1 3, 2 R ， 1 3, 2 S .这时，四边形PQRS的面积为2
13、 3，不符合要求. 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为 3yk x， 则直线 l 的方程为 3yk x 由 2 2 3 , 1, 4 yk x x y 消去y得 2222 148 31240kxk xk， 设 11 ,P x y， 22 ,Q x y，则 2 12 2 8 3 14 k xx k ， 2 12 2 124 1 4 k x x k . 故， 2 2 22 121212 2 4 1 114 1 4 k PQkxxkxxx x k ， 又，两条平行直线l， l 间的距离 2 2 3 1 k d k . 由椭圆的对称性知：四边形PQRS为平行四边形，其面积 2 2 8 318 6
14、 1 45 kk SPQ d k ， 解得，1k 或 14 7 k . 故，直线l的方程为 3yx 或 14 3 7 yx . 21解： （）因为， ln1fxx单调递增；令 ln10fxx 得， 1 x e . 当 2 1 1 ,x ee 时， 0fx， f x单调递减； 当 1 ,xe e 时， 0fx， f x单调递增. 所以， min 11 f xf xf ee 极小值 ；又 22 12 f ee ， f ee； 故， min 11 fxf ee ， max f xf ee. （）因为， m g bg af bf a 等价于 mg bf bmg af a，令 2 ln 2 m h xm
15、g xf xxxx， 因为0ba，总有 m g bg af bf a 成立，所以， h x在0,上单调递增.问题化为 ln10h xmxx 对 0,x恒成立， 即 ln1x m x 对0,x恒成立. 令 ln1x x x ，则 2 ln x x x .由 2 ln 0 x x x 得，1x . 当0,1x时， 0x， x递增，当1,x时， 0x， x递减， max 11x，故m的取值范围是：1,. 22解： （）曲线C的直角坐标方程为 2 2 24xy，将直线l的参数方程 3 3 2 1 2 xt yt 代入曲线C的直角坐标方程得： 2 2 31 324 22 tt ，化简得 2 330tt，
16、 设,A B的参数分别为 12 ,t t，由韦达定理得： 12 3tt ， 于是 12 3 22 P tt t .设 00 ,P x y， 则 0 0 339 3 224 133 224 x y 故，点P的直角坐标为 93 , 44 P . （）由（）知： 12 3tt ， 12 3t t 所以， 2 12121 2 415ABtttttt 又直线l的普通方程为330xy，圆心2,0C到直线l的距离为 2 2 231 2 13 d ， 圆半径2r .所以，点M到直线l的距离的最大值为 max 5 2 hdr. 因此，MAB面积的最大值为： max 1155 15 15 2224 SAB h. 23解： （）因为， 212121212xxxx， 所以，12m ，解得，31m ， 故，m的取值范围是3,1. （）因为，1M ，所以，1abc ，配凑使用柯西不等式，得 2 131131 221323 222222 abbc abbcabbc