1、东莞市东莞市 2020 届高三第二学期第一次统考（届高三第二学期第一次统考（5 月月）模拟考试）模拟考试 文科数学 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 2323 小题，满小题，满 分分 150150 分，考试用时分，考试用时 120120 分钟分钟 注注意事项：意事项： 2020.5 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3
2、. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1.已知R是实数集， 1 2 x xM ，1xyyN，则MCN R A.21， B.20， C.10， D.21， 2.复数z满足2 3ii z（其中i是虚数单位），则z的虚部为 A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 3.己知向量12,a, 2, xb.若b-aba2， 则实数x的值为 A. 9 4 B. 2 1 C. 4 9 D.2 4.希尔宾斯基三角形是一种分形， 它的原理是先作一个正三角形， 挖去一个 “中心三角形” （
3、即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ， 然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中 心三角形”，用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希 尔宾斯基三角形）。在下图（3）中的大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为 A. 5 2 B. 16 7 C. 5 3 D. 16 9 5.已知实数y, x满足 042 033 022 yx yx yx ，则yxz3的最小值是 A.7 B.6 C.1 D.6 6.设等差数列 n a前n项和为 n S，若 45 2aS， 7 14S ，则 10 a A.12 B.14 C.16 D.18 7. 若tan2,则cos(2 ) 2 A
4、. 2 5 或 2 5 B. 2 5 C. 4 5 或 4 5 D. 4 5 8.函数 12 12 cos x x xy 的部分图像大致是 A. B. C. D. 9.己知点A是抛物线 2 4xy的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线 上且满足PAm PB，当m取最大值时，点P恰好在以 BA, 为焦点的双曲线上，则双曲 线的离心率为 A. 21 B. 21 2 C.51 D. 51 2 10.ABC的内角CBA,所对的边分别是cba,，已知1coscosA a b C c b ，则Bcos的 取值范围是 A. ， 2 1 B. ， 2 1 C. 1 2 1， D. 1 2 1 ，
5、 11已知直三棱柱 111 ABCABC，90ABC， 1 2ABBCAA， 1 BB和 11 BC的中 点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为 A 3 5 B 15 5 C 2 5 D 4 5 12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点， 则实数 a的取值范围为 A B C D 二、填空题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分） 13.已知 e 为自然对数的底数，过原点与函数 exf x 图像相切的直线方程为 14.记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 3 1a ， 3 3S ，则 5 S _ )0( q 15.己知函数( ) k f xx x 在区间),
6、0( 上有最小值 4，则实数k 16.已知三棱锥ABCP中，1PA，7PB，22AB，5CBCA，面PBA 面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为 三、三、解答题解答题（共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须做答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答） （一）必考题（一）必考题（6060 分）分） 17.17.（1212 分）分） 某大型科学竞技真人秀节目挑选选手的方式为： 不但要对选手的空间感知、 照相式记忆 能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120 分以上才有机会入围。某重 点高校准备调查脑力测试成
7、绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各 100 名,然 后对这 200 名学生进行脑力测试。规定：分数不小于 120 分为“入围学生”， 分数小于 120 分为“未入围学生”。已知男生入围 24 人，女生未入围 80 人。 （1）根据题意,填写下面的 22 列联表,并根据列联表判断是否有 95%以上的把握认为脑力 测试后是否为“入围学生”与性别有关； 性别 入围人数 未入围人数 总计 男生 （2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取 11 名学生，求这 11 名学生中男、女生 人数；若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），分别求这 11 名 学生中女生测试分数平
8、均分的最小值。 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， 其中nabcd 1818（1212 分）分） 已知函数 ( )f x满足 1 (1)1 1 fx x ，数列 n a满足 1 2,a * 1 1 ()() n n afn a N （1）求证：数列 n a 是等差数列，并求出数列 n a 是的通项公式； （2）若 1 12 ,2 nnnn n baTbbb ，求 n T以及当 100 n T 时n的最小值。 ) 1( n 1919（1212 分）分） 如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，60ABC，ABCDAEFC面面， EF/AC，且EF
9、ACAE2, 1 （1）求证：AEFCBED面面 （2）若四边形AEFC为直角梯形，且ACEA，求点A到面FCD的距离。 女生 总计 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.01 0.005 0 k 2.706 3.841 6.635 7.879 2020（1212 分）分） 在平面直角坐标系xOy中,已知两定点)2 , 0(),2 , 2(BA ，动点P满足2 | | PB PA （1）求动点P的轨迹C的方程 （2）轨迹C上有两动点FE,，它们关于直线04: ykxl对称， 且满足4OFOE，求OEF的面积. 2121（1212 分）分） 设函数 2 2eR x f xxaa，e为自然
10、对数的底数. （1）若 f x在0,上单调递增，求a的取值范围； （2）证明：若0,ln221xa ，则 0f x （二）选考题（二）选考题（1010 分，请考生在第分，请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分）题计分） 22. 22. 【选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】（1010 分）分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 ty tx 6 （t为参数），以原点O为极 点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 222 32cos3 （1）写出曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）已知点P是曲线 2 C上动点，求点P到曲线 1 C的最小距离 23. 23. 【选修【选修 4 45 5：不等式选讲】：不等式选讲】 (10(10 分）分） 已知( ) |1|21|f xxx. （1）求不等式( )0f x 的解集； （2）若xR时，不等式( )f xxa恒成立，求a的取值范围.