1、2020 年上海市杨浦区中考数学二模试卷年上海市杨浦区中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 12020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 2下列计算中，正确的是（ ） Aa2a4a8 B （a3）4a7 C （ab）4ab4 Da6a3a3 3若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中1 与2 的数量关系是（ ） A122 B132 C1+2180 D1+22180 4已知两圆的半径分别为 2 和 5，如果这两圆内含，那么圆心距 d 的取值范围是（ ） A0d3 B0d7 C3d7 D0d3 5如果正十边形的边长为 a，那么它的半径是（ ） A B C D
2、 6已知在四边形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，那么下列条件中能判 定这个四边形是矩形的是（ ） AADBC，ACBD BACBD，BADBCD CAOCO，ABBC DAOOB，ACBD 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 7分解因式：2mx6my 8函数中自变量 x 的取值范围是 9 从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 这七个数中， 任意抽取一个数， 那么抽到素数的概率是 10一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是 11不等式组的解集是 12方程x 的根是 13已知关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个不相等的实数
3、根，那么 m 的取值范围 是 14在ABC 中，D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，DE 经过ABC 的重心，如果 ， ，那么 （用 、 表示） 15如图，已知在 55 的正方形网格中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上，如果小正方形 的边长都为 1，那么点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 16如图，已知在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限内，反比例 函数 y的图象经过OAB 的顶点 B 和边 AB 的中点 C，如果OAB 的面积为 6，那么 k 的值是 17定义：对于函数 yf（x） ，如果当 axb 时，myn，且满足 nmk（ba） （k 是常数
4、） ，那么称此函数为“k 级函数” 如：正比例函数 y3x，当 1x3 时，9 y3，则3（9）k（31） ，求得 k3，所以函数 y3x 为“3 级函数” 如 果一次函数 y2x1（1x5）为“k 级函数” ，那么 k 的值是 18如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB10，BC15，tanA，点 P 是边 AD 上 一点，联结 PB，将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ，如果点 Q 恰好落在 平行四边形 ABCD 的边上，那么 AP 的值是 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19先化简，再求值： （+），其中 a+1 20解方程组： 21如图，有一拱桥的桥
5、拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度 AB（弧所对的弦的长）为 8 米， 拱高 CD（弧的中点到弦的距离）为 2 米 （1）求桥拱所在圆的半径长； （2）如果水面 AB 上升到 EF 时，从点 E 测得桥顶 D 的仰角为 ，且 cot3，求水面上 升的高度 22 某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解， 鼓励社区居民在线参与作答 2020 年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷） 试卷（满分 100 分） ，社区 管理员随机从该社区抽取 40 名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分 析，过程如下： 收集数据 85 65 95 100 90 95 85 65 75 85
6、 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90 整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值） 分组（分） 频数 频率 6070 4 0.1 7080 a b 8090 10 0.25 90100 c d 100110 8 0.2 分析数据 （1）填空：a ，b ，c ，d ； （2）补全频率分布直方图； （3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在 （分）范围内的人数最多； （4）如果该社区共有 800 人参与答卷，那么可估计该社区成绩在 90 分及以上约
7、为 人 23如图，已知在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 M 在线段 OD 上，联结 AM 并延长交边 DC 于点 E，点 N 在线段 OC 上，且 ONOM，联结 DN 与线段 AE 交于 点 H，联结 EN、MN （1）如果 ENBD，求证：四边形 DMNE 是菱形； （2）如果 ENDC，求证：AN2NCAC 24如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+4 经过点 A（3，0）和点 B （3，2） ，与 y 轴相交于点 C （1）求这条抛物线的表达式； （2）点 P 是抛物线在第一象限内一点，联结 AP，如果点 C 关于直线 AP 的对
8、称点 D 恰 好落在 x 轴上，求直线 AP 的截距； （3）在（2）小题的条件下，如果点 E 是 y 轴正半轴上一点，点 F 是直线 AP 上一点当 EAO 与EAF 全等时，求点 E 的纵坐标 25如图，已知在ABC 中，ACB90，AC4，BC8，点 P 是射线 AC 上一点（不 与点 A、C 重合） ，过 P 作 PMAB，垂足为点 M，以 M 为圆心，MA 长为半径的M 与 边 AB 相交的另一个交点为点 N，点 Q 是边 BC 上一点，且 CQ2CP，联结 NQ （1）如果M 与直线 BC 相切，求M 的半径长； （2）如果点 P 在线段 AC 上，设线段 APx，线段 NQy，求
9、 y 关于 x 的函数解析式及 定义域； （3） 如果以 NQ 为直径的O 与M 的公共弦所在直线恰好经过点 P， 求线段 AP 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 12020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：2020 的相反数是：2020 故选：B 2下列计算中，正确的是（ ） Aa2a4a8 B （a3）4a7 C （ab）4ab4 Da6a3a3 【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和除法的概念和运算法则进行求解 即可 【解答】解：A、a2a4a6a8，本选项
10、错误； B、 （a3）4a12a7，本选项错误； C、 （ab）4a4b4ab4，本选项错误； D、a6a3a3，本选项正确 故选：D 3若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中1 与2 的数量关系是（ ） A122 B132 C1+2180 D1+22180 【分析】由折叠可得，2ABC，再根据平行线的性质，即可得出1ABD2 2 【解答】解：如图，由折叠可得，2ABC， ABCD， 1ABD22， 故选：A 4已知两圆的半径分别为 2 和 5，如果这两圆内含，那么圆心距 d 的取值范围是（ ） A0d3 B0d7 C3d7 D0d3 【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据
11、数量关系与两圆位置关 系的对应情况便可直接得出答案 【解答】解：由题意知， 两圆内含，则 0d52， 即如果这两圆内含，那么圆心距 d 的取值范围是 0d3， 故选：D 5如果正十边形的边长为 a，那么它的半径是（ ） A B C D 【分析】设 AB 是圆内接正十边形的边长，连接 OA、OB，过 O 作 OCAB 于 C，解直 角三角形即可得到结论 【解答】解：设 AB 是圆内接正十边形的边长， 连接 OA、OB，过 O 作 OCAB 于 C， 则AOB36， 18，ACAB， OA， 故选：C 6已知在四边形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，那么下列条件中能判
12、 定这个四边形是矩形的是（ ） AADBC，ACBD BACBD，BADBCD CAOCO，ABBC DAOOB，ACBD 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题 【解答】解：A、ABDC，ADBC，无法得出四边形 ABCD 是平行四边形，故无法判 断四边形 ABCD 是矩形故错误； B、ABCD， BAD+ABCADC+BCD180， BADBCD， ABCADC， 得出四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD， 四边形 ABCD 是矩形故正确； C、AOCO，ABBC， BDAC，ABDCBD， ABCD， ABDCDB， CBDCDB， BCCD， ABCD， 四边形 ABC
13、D 是菱形，无法判断四边形 ABCD 是矩形故错误； D、AOOB，ACBD 可无法判断四边形 ABCD 是矩形，故错误； 故选：B 二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题） 7分解因式：2mx6my 2m（x3y） 【分析】原式提取公因式即可得到结果 【解答】解：原式2m（x3y） 故答案为：2m（x3y） 8函数中自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可 以求出 x 的范围 【解答】解：根据题意得：x10， 解得：x1 故答案为：x1 9从 1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概
14、率是 【分析】根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率 【解答】解：1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数有 4 个素数是 2，3，5，7； 抽到素数的概率是 故答案为： 10一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是 【分析】先求出这组数据的平均数，然后根据方差公式计算得出答案 【解答】解： （2+2+5+5+6）4， S2（42）2+（42）2+（45）2+（45）2+（46）2， 故答案为： 11不等式组的解集是 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解：， 解不等式，得 x； 解不等式，得 x3； 所以原不等式组的解集为：， 故答案为： 1
15、2方程x 的根是 x2 【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程 x+2x2，解此一元二次方程得到 x12，x21，把它们分别代入原方程得到 x21 是原方程的增根，由此得到原方程 的根为 x2 【解答】解：方程两边平方得，x+2x2， 解方程 x2x20 得 x12，x21， 经检验 x21 是原方程的增根， 所以原方程的根为 x2 故答案为：x2 13已知关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围 是 m1 且 m0 【分析】 根据二次项系数非零及根的判别式0， 即可得出关于 m 的一元一次不等式组， 解之即可得出 m 的取值范围 【解答】
16、解：关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个不相等的实数根， ， 解得：m1 且 m0 故答案为：m1 且 m0 14在ABC 中，D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，DE 经过ABC 的重心，如果 ， ，那么 （用 、 表示） 【分析】由 DEBC 推出 AD：ABAG：AFDE：BC2：3，推出 DEBC，求出 即可解决问题 【解答】解：如图设 G 是重心，作中线 AF DEBC， AD：ABAG：AFDE：BC2：3， DEBC， +， ， （ ） 故答案为： 15如图，已知在 55 的正方形网格中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上，如果小正方形 的边长都为 1，那么
17、点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据每个小正方形的边长为 1，利用勾股定 理，可以得到 AC、CD、AD 的长，然后即可得到ACD 的形状，再利用等积法，即可求 得 CE 的长 【解答】解：连接 AD、AC，作 CEAD 于点 E， 小正方形的边长都为 1， AD2，AC3，CD， （2）2（3）2+（）2， ACD 是直角三角形，ACD90， ， 即， 解得，CE， 即点 C 到线段 AB 所在直线的距离是， 故答案为： 16如图，已知在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限内，反比例 函数 y的图象经过OAB 的顶点
18、 B 和边 AB 的中点 C，如果OAB 的面积为 6，那么 k 的值是 4 【分析】过 B 作 BDOA 于 D，设 B（m，n） ，根据三角形的面积公式得到 OA， 求得 A（，0） ，求得 C（，） ，列方程即可得到结论 【解答】解：过 B 作 BDOA 于 D， 点 B 在反比例函数 y的图象上， 设 B（m，n） ， OAB 的面积为 6， OA， A（，0） ， 点 C 是 AB 的中点， C（，） ， 点 C 在反比例函数 y的图象上， mn， mn4， k4， 故答案为：4 17定义：对于函数 yf（x） ，如果当 axb 时，myn，且满足 nmk（ba） （k 是常数） ，
19、那么称此函数为“k 级函数” 如：正比例函数 y3x，当 1x3 时，9 y3，则3（9）k（31） ，求得 k3，所以函数 y3x 为“3 级函数” 如 果一次函数 y2x1（1x5）为“k 级函数” ，那么 k 的值是 2 【分析】根据一次函数 y2x1（1x5）为“k 级函数”解答即可 【解答】解：因为一次函数 y2x1（1x5）为“k 级函数” ， 可得：k2， 故答案为：2 18如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB10，BC15，tanA，点 P 是边 AD 上 一点，联结 PB，将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ，如果点 Q 恰好落在 平行四边形 ABC
20、D 的边上，那么 AP 的值是 6 或 10 【分析】如图 1 中，当点 Q 落在 CD 上时，作 BEAD 于 E，QFAD 交 AD 的延长线 于 F设 PEx如图 2，当点 Q 落在 AD 上时，如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时， 作 BEAD 于 E，PFBC 于 F则四边形 BEPF 是矩形，根据旋转的性质和平行四边形 的性质以及三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：如图 1 中，当点 Q 落在 CD 上时，作 BEAD 于 E，QFAD 交 AD 的延 长线于 F设 PEx 在 RtAEB 中，tanA，AB10， BE8，AE6， 将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋
21、转 90得到线段 PQ， BPQ90， EBP+BPEBPE+FPQ90， EBPFPQ， PBPQ，PEBPFQ90， PBEQPF（AAS） ， PEQFx，EBPF8， DFAE+PE+PFADx1， CDAB， FDQA， tanFDQtanA， ， x4， PE4， ap6+410； 如图 2，当点 Q 落在 AD 上时， 将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ， BPQ90， APBBPQ90， 在 RtAPB 中，tanA，AB10， AP6； 如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时，作 BEAD 于 E，PFBC 于 F则四边形 BEPF 是矩形 在 R
22、tAEB 中，tanA，AB10， BE8，AE6， PFBE8， BPQ 是等腰直角三角形，PFBQ， PFBFFQ8， PBPQ8，BQPB1615（不合题意舍去） ， 综上所述，AP 的值是 6 或 10， 故答案为：6 或 10 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19先化简，再求值： （+），其中 a+1 【分析】先化简分式，然后将中 a+1 代入求值 【解答】解：原式 当 时， 原式 20解方程组： 【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方 程，即可组成方程组，即可求解 【解答】解：由（2）得（xy） （x2y）0 xy0 或 x2y0
23、（4 分） 原方程组可化为（4 分） 解这两个方程组，得原方程组的解为（2 分） 另解：由（1）得 x122y （3） （2 分） 把（3）代入（2） ，得（122y）23（122y）y+2y20 （2 分） 整理，得 y27y+120 （2 分） 解得 y14，y23 （2 分） 分别代入（3） ，得 x14，x26 （1 分） 原方程组的解为（1 分） 21如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度 AB（弧所对的弦的长）为 8 米， 拱高 CD（弧的中点到弦的距离）为 2 米 （1）求桥拱所在圆的半径长； （2）如果水面 AB 上升到 EF 时，从点 E 测得桥顶 D 的仰角为 ，
24、且 cot3，求水面上 升的高度 【分析】 （1）联结 OA，设半径 OAODR，OCODDCR2，在 RtACO 中， 利用勾股定理构建方程求解即可 （2） 设水面上升的高度为 x 米， 即 CGx， 则 DG2x， EG63x， 在 RtEGO 中， 根据 EG2+OG2OE2，构建方程求解即可 【解答】解： （1），DCAB， ACBC，DC 经过圆心， 设拱桥的桥拱弧 AB 所在圆的圆心为 O， AB8， ACBC4， 联结 OA，设半径 OAODR，OCODDCR2， ODAB， ACO90， 在 RtACO 中，OA2AC2+OC2， R2（R2）2+42， 解之得 R5 答：桥拱
25、所在圆的半径长为 5 米 （2）设 OD 与 EF 相交于点 G，联结 OE， EFAB，ODAB， ODEF， EGDEGO90， 在 RtEGD 中， EG3DG， 设水面上升的高度为 x 米，即 CGx，则 DG2x， EG63x， 在 RtEGO 中，EG2+OG2OE2， （63x）2+（3+x）252， 化简得 x23x+20，解得 x12（舍去） ，x21， 答：水面上升的高度为 1 米 22 某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解， 鼓励社区居民在线参与作答 2020 年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷） 试卷（满分 100 分） ，社区 管理员随机从该社
26、区抽取 40 名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分 析，过程如下： 收集数据 85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90 整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值） 分组（分） 频数 频率 6070 4 0.1 7080 a b 8090 10 0.25 90100 c d 100110 8 0.2 分析数据 （1）填空：a 6 ，b 0.15 ，c 12 ，d 0.3
27、 ； （2）补全频率分布直方图； （3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在 90100 （分）范围内的人数最多； （4）如果该社区共有 800 人参与答卷，那么可估计该社区成绩在 90 分及以上约为 400 人 【分析】 （1） 根据题中数据即可求得 a、 c 的值， 再根据频率频数数据总数列式计算， 即可求得 b、d 的值； （2）根据（1）中计算结果即可补全频率分布直方图； （3）根据频率分布直方图可知第四组人数最多，利用样本估总体求解即可； （4）利用样本估总体，用 800 乘以样本中成绩在 90 分及以上的频率即可 【解答】解： （1）由题意可知： 第二组的频数 a6，第四组的频数 c1
28、2， 第二组的频率为：6400.15，第四组的频率为：12400.3 故答案为：6，0.15，12，0.3； （2）如下图即为补全的频率分布直方图； （3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在 90100（分）范围内的人数最多 故答案为：90100； （4）800（0.3+0.2）400（人） 答： 如果该社区共有 800人参与答卷， 那么可估计该社区成绩在 90 分及以上约为400 人 故答案为：400 23如图，已知在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 M 在线段 OD 上，联结 AM 并延长交边 DC 于点 E，点 N 在线段 OC 上，且 ONOM，联结 DN 与
29、线段 AE 交于 点 H，联结 EN、MN （1）如果 ENBD，求证：四边形 DMNE 是菱形； （2）如果 ENDC，求证：AN2NCAC 【分析】（1） 由四边形 ABCD 是正方形， 推出， 所以 MNCD， 再根据 ENBD， 推出四边形 DMNE 是平行四边形，再证明AOMDON，推出OMAOND，由 OAM+OMA90，OAM+OND90得出AHN90，即 DNME，所以 四边形 DMNE 是菱形； （2）由 MNCD，推出，由四边形 ABCD 是正方形，推出 ABDC，ABDC， ADC90，即 ADDC，根据 ENDC，得出 ENAD，所以，根据 AB DC，推出，所以，最后
30、得出结论 【解答】证明： （1）如图 1， 四边形 ABCD 是正方形， OAOBOCOD，ACBD， ONOM， ， MNCD， 又ENBD， 四边形 DMNE 是平行四边形， 在AOM 和DON 中， AOMDON90，OAOD，OMON， AOMDON（SAS） ， OMAOND， OAM+OMA90， OAM+OND90 AHN90 DNME， 平行四边形 DMNE 是菱形； （2）如图 2， MNCD， ， 四边形 ABCD 是正方形， ABDC，ABDC，ADC90， ADDC， 又ENDC， ENAD， ， ABDC， ， ， AN2NCAC 24如图，已知在平面直角坐标系 xO
31、y 中，抛物线 yax2+bx+4 经过点 A（3，0）和点 B （3，2） ，与 y 轴相交于点 C （1）求这条抛物线的表达式； （2）点 P 是抛物线在第一象限内一点，联结 AP，如果点 C 关于直线 AP 的对称点 D 恰 好落在 x 轴上，求直线 AP 的截距； （3）在（2）小题的条件下，如果点 E 是 y 轴正半轴上一点，点 F 是直线 AP 上一点当 EAO 与EAF 全等时，求点 E 的纵坐标 【分析】 （1）把 A（3，0）和点 B（3，2）代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论； （2）如图 1，根据对称的性质得 ADAC5，可得 OD2，设 OHa，则 HCHD4 a，
32、在 RtHOD 中，根据勾股定理得 HD2OH2+OD2，列方程可得结论； （3）分两种情况：先说明AOE 是直角三角形，所以EAF 也是直角三角形，根据 EFA90，画图，由勾股定理列方程可解答 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+4 过点 A（3，0）和点 B（3，2） ， ， 解得， ； （2）如图 1，连接 AC，DH， 点 C 关于直线 AP 的对称点 D， ADAC， 与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A（3，0） ， AC5， AD5， 点 D（2，0） ， 设直线 AP 与 y 轴交于点 H，则 HCHD， 设 OHa，则 HCHD4a， 在 RtHO
33、D 中，HD2OH2+OD2， （4a）2a2+22， ， 直线 AP 的截距为； （3）点 E 是 y 轴正半轴上一点， AOE 是直角三角形，且AOE90 当EAO 与EAF 全等时，存在两种情况： 如图 2，当EFAAOE90，EFAAOE， EFOA， AHOEHF，AOHEFH90， AOHEFH（AAS） ， AHEH， 由（2）知：OH， EHAHOE， RtAHO 中，AH2AO2+OH2， （OE）232+， 解得：OE或（舍） ， 点 E 的纵坐标是； 如图 3，当EFAAOE90，EFAEOA， AFAO3，EFOE， RtAHO 中，AH， FH3，EHOE， RtEF
34、H 中，由勾股定理得：EH2FH2+EF2， （OE）2（3）2+OE2， 解得：OE36， 点 E 的纵坐标是 36； 综上，点 E 的纵坐标是或 36 25如图，已知在ABC 中，ACB90，AC4，BC8，点 P 是射线 AC 上一点（不 与点 A、C 重合） ，过 P 作 PMAB，垂足为点 M，以 M 为圆心，MA 长为半径的M 与 边 AB 相交的另一个交点为点 N，点 Q 是边 BC 上一点，且 CQ2CP，联结 NQ （1）如果M 与直线 BC 相切，求M 的半径长； （2）如果点 P 在线段 AC 上，设线段 APx，线段 NQy，求 y 关于 x 的函数解析式及 定义域；
35、（3） 如果以 NQ 为直径的O 与M 的公共弦所在直线恰好经过点 P， 求线段 AP 的长 【分析】 （1）先利用勾股定理求出 AB，进而表示出 BM，再判断出BHMBCA，即 可得出结论； （2）先表示出 BQ2x， 过 Q 作 QGAB，垂足为点 G，再用三角函数表示出，再用三 角函数表示出，进而得出，最后用勾股定理建 立方程，即可得出结论； （3）先判断出 P、E、N 在同一直线上，再要判断出PANANE 和NMOB，进 而判断出 QAQB，最后用勾股定理即可得出结论 【解答】 （1）解：如图 1，在 RtABC 中， ACB90，AC4，BC8， ， 设M 的半径长为 R，则， 过
36、M 作 MHBC，垂足为点 H， MHAC， MHAC， BHMBCA， ， M 与直线 BC 相切， MAMH， ， ， 即 （2）如图 2， APx， CP4x， CQ2CP， CQ82x， BQBCCQ8（82x）2x， 过 Q 作 QGAB，垂足为点 G， ， ， ， 同理：， PMAB， AMP90， ， APx， ， ， 在 RtQNG 中，根据勾股定理得，QN2NG2+QG2， ， （0x4） ； （3）当点 P 在线段 AC 上，如图 3， 设以 NQ 为直径的O 与M 的另一个交点为点 E，连接 EN，MO， 则 MOEN， NMO+ANE90， 以 NQ 为直径的O 与M 的公共弦所在直线恰好经过点 P， 即 P、E、N 在同一直线上， 又PMAB，MAMN， PNPA， PANANE， ACB90， PAN+B90， NMOB， 连接 AQ， M、O 分别是线段 AN、NQ 的中点， MOAQ NMOBAQ， BAQB， QAQB， 在 RtQAC 中，根据勾股定理得，QA2AC2+QC2， （2x）242+（82x）2， ， 同理：当点 P 在线段 AC 的延长线上， 即线段 AP 的长为或