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江西省九江市2020届高考第三次模拟考试数学试题(理科)含答案解析

1、2020 年高考数学三模试卷(理科)年高考数学三模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题). 1复数 z 的虚部为( ) A i B C i D 2若集合 , ,则 AB( ) Ax|x5 Bx|2x4 Cx|2x5 Dx|1x4 3 若数列an为等比数列, 则 “a2, a4是方程 x23x+10 的两根” 是 “a31” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4抛物线 yax2上一点 , 到其准线的距离为( ) A B C D 5若 a,b 为正实数,直线 2x+(2a3)y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直,则 ab 的最 大值为(

2、) A B C D 6 如图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温 () 的折线统计图: 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83,则下列结论错误的是( ) A每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关 B月温差(月最高气温月最低气温)的最大值出现在 10 月 C912 月的月温差相对于 58 月,波动性更大 D每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 7 2019 年 11 月 26 日, 联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为 “国际数学日” (昵称: day) , 2020 年 3 月 14 日是第一个“国

3、际数学日”圆周率 是圆的周长与直径的比值,是一 个在数学及物理学中普遍存在的数学常数 有许多奇妙性质,如莱布尼兹恒等式 ,即为正奇数倒数正负交错相加等小红设计了如图所示的程序 框图,要求输出的 T 值与 非常近似,则、中分别填入的可以是( ) AS(1)i 1 ,ii+2 BS(1)i 1 ,ii+1 CSS+(1)i 1, ii+2 DSS+(1)i 1 ,ii+1 8 在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、 形状、 手感完全相同的小球, 分别标有数字 1, 2, 3,4现每次有放回地从中任意取出一个小球,直到标有偶数的球都取到过就停止小 明用随机模拟的方法估计恰好在第 4 次停止摸球的概率

4、,利用计算机软件产生随机数, 每 1 组中有 4 个数字,分别表示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下 21 组随机数: 由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为( ) 1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234 A B C D 9函数 f(x)e|x|xsinx1 的图象大致是( ) A B C D 10设双曲线 : , 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F2的直线分 别交双曲线左、右两支于点 P,Q,点 M 为线段 P

5、Q 的中点,若 P,Q,F1都在以 M 为 圆心的圆上,且 ,则双曲线 C 的离心率为 A B2 C D2 11如图所示,三棱锥 S 一 ABC 中,ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形,二面角 A BCS 的大小为 , 若 S, A, B, C 四点都在球 O 的表面上, 则球 O 的表面积为 ( ) A B C D3 12已知函数 , , ,若不等式 恰有两个整数解,则 m 的个数为( ) A6 B7 C8 D9 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知向量 , , , ,若 与 共线,则实数 x 的值为 14若二项式 的展开式中各项系数和为 256,

6、则展开式中的常数项为 15设等差数列an满足:a13,公差 d (0,10),其前 n 项和为 Sn若数列 也 是等差数列,则 的最小值为 16在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 M,N 分别是棱 B1C1,C1D1的中点,过 A,M,N 三点作正方体的截面,将截面多边形向平面 ADD1A1作投影,则投影图形的面 积为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17在ABC 中,三内角 A,B,C 满足 ()判断ABC 的形状; ()若点 D 在线段 AC 上,且 CD2DA, ,求 tanA 的值 18已知正;ABC 边长为 3,

7、点 M,N 分别是 AB,AC 边上的点,ANBM1,如图 1 所示将AMN 沿 MN 折起到PMN 的位置,使线段 PC 长为 ,连接 PB,如图 2 所 示 ()求证:平面 PMN平面 BCNM; ()若点 D 在线段 BC 上,且 BD2DC,求二面角 MPDC 的余弦值 19如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E: 1(ab0)的离心率 为 ,A 为椭圆 E 上位于第一象限上的点,B 为椭圆 E 的上顶点,直线 AB 与 x 轴相交 于点 C,|AB|AO|,BOC 的面积为 6 ()求椭圆 E 的标准方程; ()设直线 l 过椭圆 E 的右焦点,且与椭圆 E 相交于 M

8、,N 两点(M,N 在直线 OA 的 同侧),若CAMOAN,求直线 l 的方程 20已知函数 ,存在极小值点 x0,f(x0)0 ()求 a 的取值范围; ()设 m,n0,且 mn,求证: 21为筛查在人群中传染的某种病毒,现有两种检测方法: (1)抗体检测法:每个个体独立检测,每一次检测成本为 80 元,每个个体收取检测费 为 100 元 (2)核酸检测法:先合并个体,其操作方法是:当个体不超过 10 个时,把所有个体合 并在一起进行检测 当个体超过 10 个时,每 10 个个体为一组进行检测若该组检测结果为阴性(正常), 则只需检测一次;若该组检测结果为阳性(不正常),则需再对每个个体

9、按核酸检测法 重新独立检测,共需检测 k+1 次(k 为该组个体数,1k10,k N*)每一次检测成 本为 160 元 假设在接受检测的个体中, 每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立, 且每个个体是阳性结果的概率均为 p(0p1) ()现有 100 个个体采取抗体检测法,求其中恰有一个检测出为阳性的概率; ()因大多数人群筛查出现阳性的概率很低,且政府就核酸检测法给子检测机构一定 的补贴, 故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下: 无论是检测一次还是 k+1 次, 每组所有个体共收费 700 元(少于 10 个个体的组收费金额不变)已知某企业现有员工 107 人,准备进行全员检测,拟准

10、备 9000 元检测费,由于时间和设备条件的限制,采用 核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数,请设计一个合理的的检 测安排方案; ()设 ,现有 n(n N *且 2n10)个个体,若出于成本考虑,仅采用一 种检测方法, 试问检测机构应采用哪种检测方法? (ln31.099, ln41.386, ln51.609, ln61.792) 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(本小题满分 5 分)选 修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴

11、建立极坐标系 ()写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程; ()M,N 为曲线 C上两点,若 OMON,求|MN|的最小值 选修 4-5:不等式选讲 23定义区间(x1,x2)(x2x1)的长度为 x2x1,已知不等式|xm| |x1|+1x(m R) 的解集区间长度为 1 ()求 m 的值; ()若 a,b R,ab0,a+bm,求 的最小值及此时 a,b 的值 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1复数 z 的虚部为( ) A i B C i D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解

12、:z , 复数 z 的虚部为 故选:D 2若集合 , ,则 AB( ) Ax|x5 Bx|2x4 Cx|2x5 Dx|1x4 【分析】求出集合 A 和 B,由此能求出 AB 解:集合 , , Ax|1x5,Bx|2x4, ABx|2x5 故选:C 3 若数列an为等比数列, 则 “a2, a4是方程 x23x+10 的两根” 是 “a31” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】“a2,a4是方程 x23x+10 的两根” 1“a31”;反之, 满足“a31”的一元二次方程有无数个 解:数列an为等比数列, “a2,a4是方程 x23x+1

13、0 的两根”, 1,“a31”; 反之,满足“a31”的一元二次方程有无数个, “a2,a4是方程 x23x+10 的两根”是“a31”的充分不必要条件 故选:A 4抛物线 yax2上一点 , 到其准线的距离为( ) A B C D 【分析】求出 a,然后利用抛物线的定义转化求解即可 解:抛物线 yax2上一点 , ,可得: ,解得 a2; 抛物线 y2x2,即 x2 ,准线方程为:y 抛物线 y2x2上一点 , 到其准线的距离为: 故选:B 5若 a,b 为正实数,直线 2x+(2a3)y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直,则 ab 的最 大值为( ) A B C D 【分析】由两直线

14、垂直求出 2a+b3,再利用基本不等式求出 ab 的最大值 解:由直线 2x+(2a3)y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直, 所以 2b+2(2a3)0, 即 2a+b3; 又 a、b 为正实数,所以 2a+b2 , 即 2ab ,当且仅当 a ,b 时取“”; 所以 ab 的最大值为 故选:B 6 如图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温 () 的折线统计图: 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83,则下列结论错误的是( ) A每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关 B月温差(月最高气温月最低气温)的最大值出

15、现在 10 月 C912 月的月温差相对于 58 月,波动性更大 D每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 【分析】由所给的折线图,可以进行分析得到 ABC 正确,D 错误 解:每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83,可知每月最低气温与最高气温有 较强的线性相关性,且二者为线性正相关, 由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温月最低气温)的最大值出现在 10 月,9 12 月的月温差相对于 58 月,波动性更大, 每月的最高气温与最低气温的平均值在前 5 个月逐月增加, 第六个月开始减少, 所以 ABC 正确,D 错误; 故选:D 7 2019 年 11 月 26 日,

16、 联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为 “国际数学日” (昵称: day) , 2020 年 3 月 14 日是第一个“国际数学日”圆周率 是圆的周长与直径的比值,是一 个在数学及物理学中普遍存在的数学常数 有许多奇妙性质,如莱布尼兹恒等式 ,即为正奇数倒数正负交错相加等小红设计了如图所示的程序 框图,要求输出的 T 值与 非常近似,则、中分别填入的可以是( ) AS(1)i 1 ,ii+2 BS(1)i 1 ,ii+1 CSS+(1)i 1, ii+2 DSS+(1)i 1 ,ii+1 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 T 4S 的值,模拟程序的运

17、行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 解:依题意,输出的 T4S4(1 ) 由题意可知循环变量 i 的初值为 1,终值为 2010,步长值为 1,循环共执行 2010 次,可 得中填入的可以是 ii+1, 又 S 的值为正奇数倒数正负交错相加,可得中填入的可以是 SS+(1)i 1 , 故选:D 8 在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、 形状、 手感完全相同的小球, 分别标有数字 1, 2, 3,4现每次有放回地从中任意取出一个小球,直到标有偶数的球都取到过就停止小 明用随机模拟的方法估计恰好在第 4 次停止摸球的概率,利用计算机软件产生随机数, 每 1 组中有 4 个数字,分别表

18、示每次摸球的结果,经随机模拟产生了以下 21 组随机数: 由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为( ) 1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234 A B C D 【分析】在 21 组随机数中,利用列举法求出代表“恰好在第 4 次停止摸球”的随机数共 6 组,由此能估计恰好在第 4 次停止摸球的概率 解:在 21 组随机数中,代表“恰好在第 4 次停止摸球”的随机数是: 1234,1224,3124,1224,4312,22

19、34,共 6 组, 恰好在第 4 次停止摸球的概率 P 故选:A 9函数 f(x)e|x|xsinx1 的图象大致是( ) A B C D 【分析】易知函数 f(x)为偶函数,且当 x (0,+)时,f(x)单调递增,结合指数 函数的图象及性质即可得解 解:函数 f(x)为偶函数,当 x0 时,由常见不等式 exx+1 可知,f(x)exsinx xcosxx+1sinxxcosxx(1cosx)+1sinx0, 函数 f(x)在(0,+)上单调递增, 又由指数函数增长性可知,选项 B 符合题意 故选:B 10设双曲线 : , 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F2的直线分 别交双曲线左、

20、右两支于点 P,Q,点 M 为线段 PQ 的中点,若 P,Q,F1都在以 M 为 圆心的圆上,且 ,则双曲线 C 的离心率为 A B2 C D2 【分析】判断 PQMF1,则|PF1|QF1|,说明三角形 PF1Q 是等腰直角三角形,设|PF1| t, 利用双曲线的定义求出|PF2| , 在 RtMF1F2中, 结合勾股定理推出 2 a 2c,即可求解双曲线 C 的离心率 解:以 PQ 为直径的圆经过点 F1,则 ,又 , 可知 PQMF1,则|PF1|QF1|,故三角形 PF1Q 是等腰直角三角形, 设|PF1|t,则|PQ| t, 由双曲线的定义可知:|PF2|t+2a,|QF2|t2a,

21、可得|PQ|4a, 则 t4a,即 t2 a,则:|PF2| , 在 RtMF1F2中,|MF1 | 2a,|MF2|PF1|PM|2 a, 由勾股定理可知|F1F2|2 a2c, 则双曲线 C 的离心率为:e 故选:C 11如图所示,三棱锥 S 一 ABC 中,ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形,二面角 A BCS 的大小为 , 若 S, A, B, C 四点都在球 O 的表面上, 则球 O 的表面积为 ( ) A B C D3 【分析】取线段 BC 的中点 D,连结 AD,SD,由题意得 ADBC,SDBC,ADS 是 二面角 ABCS 的平面角,ADS ,由题意得 BC平面 A

22、DS,分别取 AD,SD 的 三等分点 E,F,在平面 ADS 内,过点 E,F 分别作直线垂直于 AD,SD,两条直线的交 点即球心 O,连结 OA,则球 O 半径 R|OA|,由此能求出球 O 的表面积 解:取线段 BC 的中点 D,连结 AD,SD, 由题意得 ADBC,SDBC, ADS 是二面角 ABCS 的平面角,ADS , 由题意得 BC平面 ADS, 分别取 AD,SD 的三等分点 E,F, 在平面 ADS 内,过点 E,F 分别作直线垂直于 AD,SD,两条直线的交点即球心 O, 连结 OA,则球 O 半径 R|OA|, 由题意知 BD ,AD ,DE ,AE , 连结 OD

23、,在 RtODE 中, ,OE DE , OA2OE2+AE2 , 球 O 的表面积为 S4R2 故选:A 12已知函数 , , ,若不等式 恰有两个整数解,则 m 的个数为( ) A6 B7 C8 D9 【分析】画出函数的图象,利用 x 的范围,讨论零点个数的 m 值,得到选项 解:f(x)的图象如图:由题意可得,当 x0 时,不等式 ,可得 f (x)m; 所以 m2,此时 x1 或 x2; m0 时,函数的零点为 x1,x2 当 x0 时,不等式 ,可得 f(x)m,m0 时,x1, 当 m6,5,4,3,2,时, 不等式 恰有两个整数解,整数解为:x2,和 x1, 综上,m6,5,4,

24、3,2,0,2共有 7 个值 故选:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知向量 , , , ,若 与 共线,则实数 x 的值为 【分析】利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出 解: (1,1+x), (3,1x), , 3(1+x)(1x)0,解得 x 故答案为: 14若二项式 的展开式中各项系数和为 256,则展开式中的常数项为 54 【分析】先利用赋值法求出 n 的值,然后利用展开式通项求常数项 解:令 x1,有 4n256, 解得 n4,所以展开式通项为: , 令 42k0 得,k2 故常数项为: 故答案为:54 15设等差数列an满足:a13,公差

25、 d (0,10),其前 n 项和为 Sn若数列 也 是等差数列,则 的最小值为 3 【分析】由题意可得:2 ,即 2 2 ,公差 d (0,10),解得 d可得 anSn代入 变形利用基本不等式的性质即可得出 解:由题意可得:2 ,即 2 2 ,公差 d (0,10), 解得 d2 an2n+1 Sn n2+2n n+1 数列 是等差数列, 则 (n+1) 3,当且仅 当 n2 时取等号, 的最小值为 3 故答案为:3 16在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 M,N 分别是棱 B1C1,C1D1的中点,过 A,M,N 三点作正方体的截面,将截面多边形向平面 ADD1A1作

26、投影,则投影图形的面 积为 【分析】 由图象可得投影为五边形AH1M1D1G, 利用三角形相似性质得到DG2D1 G , BH 2B1 H , 进 而 求 得AH1 2A1H1 , A1M1 D1M1 , 则 可 得 1 SADG 解:直线 MN 分别与直线 A1D1,A1B1交于 E,F 两点, 连接 AE,AF,分别与棱 DD1,BB1交于 G,H 两点,连接 GN,MH, 得到截面五边形 AGNMH, 向平面 ADD1A1作投影,得到五边形 AH1M1D1G, 由点 M,N 分别是棱 B1C1,C1D1的中点,可得 D1ED1 N , 由D1EGDAG,可得 DG2D1 G , 同理 B

27、H2B1 H , 则 AH12A1H1 ,A1M1D1M1 , 则 1 SADG1 1 , 故答案为: 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17在ABC 中,三内角 A,B,C 满足 ()判断ABC 的形状; ()若点 D 在线段 AC 上,且 CD2DA, ,求 tanA 的值 【分析】()由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得 cos(AB)1,结合范 围 AB (,),可得 AB,即可判断ABC 的形状为等腰三角形; ()设 DAx,CD2x,ABD,在ADB,CDB 中,由正弦定理可得 ,利用三角函数恒等变换的应用可求 tanA5tan

28、,结合 tan ,可求 tanA 的值 解:() , sinAsinB1sin2 cos 2 , 2sinAsinB1+cosC, C(A+B), 2sinAsinB1+cos(A+B)1cos(A+B), 2sinAsinB1cosAcosB+sinAsinB,即 cosAcosB+sinAsinB1,即 cos(AB)1, AB (,), AB0,可得 AB,可得ABC 的形状为等腰三角形; ()设 DAx,CD2x,ABD, 在ADB 中,由正弦定理可得 ,即 , 在CDB 中,由正弦定理可得 ,即 ,即 , , sin(A)4cosAsin, sinAcoscosAsin4cosAsi

29、n, sinAcos5cosAsin, tanA5tan, tan , tanA2 18已知正;ABC 边长为 3,点 M,N 分别是 AB,AC 边上的点,ANBM1,如图 1 所示将AMN 沿 MN 折起到PMN 的位置,使线段 PC 长为 ,连接 PB,如图 2 所 示 ()求证:平面 PMN平面 BCNM; ()若点 D 在线段 BC 上,且 BD2DC,求二面角 MPDC 的余弦值 【分析】()推导出 ANMN,即 PNMN,PNNC,从而 PN平面 BCNM,由此 能证明平面 PMN平面 BCNM ()以 N 为坐标原点,NM 为 x 轴,NC 为 y 轴,NP 为 z 轴,建立空

30、间直角坐标系, 利用向量法能求出二面角 MPDC 的余弦值 解:()证明:依题意,在AMN 中,AM2,AN1,A , 由余弦定理及勾股得 MN2+AN2AM2,ANMN,即 PNMN, 在图 2PNC 中,PN1,NC2,PC , PC2PN2+NC2,PNNC, MNNCN,PN平面 BCNM, PN平面 PMN,平面 PMN平面 BCNM ()解:以 N 为坐标原点,NM 为 x 轴,NC 为 y 轴,NP 为 z 轴,建立空间直角坐标 系, 则 P(0,0,1),M( ,0,0),D( , ,0),C(0,2,0), ( ,0,1), ( , ,0), (0,2,1), ( , ,0)

31、, 设平面 MPD 的一个法向量 (x,y,z), 则 ,取 y1,得 ( ,1,3), 设平面 PDC 的法向量 (a,b,c), 则 ,取 a1,得 (1, ,2 ), 设二面角 MPDC 的平面角为 ,由图知 是钝角, cos 二面角 MPDC 的余弦值为 19如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E: 1(ab0)的离心率 为 ,A 为椭圆 E 上位于第一象限上的点,B 为椭圆 E 的上顶点,直线 AB 与 x 轴相交 于点 C,|AB|AO|,BOC 的面积为 6 ()求椭圆 E 的标准方程; ()设直线 l 过椭圆 E 的右焦点,且与椭圆 E 相交于 M,N 两点(M,

32、N 在直线 OA 的 同侧),若CAMOAN,求直线 l 的方程 【分析】()运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,结合三角形的面积公式和线 段的中点坐标公式,解方程可得 a,b,进而得到所求椭圆方程; ()求得 A 的坐标和右焦点坐标,运用等腰三角形的性质,可得线 AM,AN 的斜率互 为相反数,设直线 AM:y1k(x3),联立椭圆方程 x2+3y212,运用韦达定理, 求得 x1,同理可得 x2,再由直线的斜率公式,化简整理,即可得到 k,进而得到所求直线 方程 解:()因为 e ,可得 a c,b c, 由|AB|AO|,可得 A( a, b)为 BC 的中点, 所以 SBOC

33、a b6,即 ab4 , 所以 c c4 ,即 c2 ,a2 ,b2, 所以椭圆的方程为 1; ()由()可得 A(3,1),右焦点为(2 ,0), 因为|AB|AO|,所以ABOAOB, 所以AOCACO,又CAMOAN, 直线 AM,AN 的斜率互为相反数, 设直线 AM:y1k(x3),联立椭圆方程 x2+3y212,消去 y, 可得(1+3k2)x2+6k(13k)x+27k218k90, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 3x1 ,所以 x1 , 将 k 换为k,同理可得 x2 ,x1+x2 ,x2x1 , kMN 1, 所以直线 l 的方程为 y0x2 ,即 xy2 0

34、20已知函数 ,存在极小值点 x0,f(x0)0 ()求 a 的取值范围; ()设 m,n0,且 mn,求证: 【分析】(I)先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论,然后结 合单调性及极值的关系可求 a, (II)先代入整理可得 ,结合结果特 点构造函数,结合导数进行证明 解:(I) ,x0, 当 a0 时,f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+)上单调递减,不合题意; 当 a0 时,由 f(x)0 可得 0 ,f(x)0 可得 x , 故函数在(0, )上单调递减,在( , )上单调递增, 故 ,由 f( )alna0,即 lna0,可得 a1, 故 a 的范围(1,+

35、), ( II ) ( ) , 不妨设 nm0,因为 a0, 所以 , , 又 nm0,故 , 令 t(x)lnx ,x1, 则 0, 故 t(x)在(1,+)上单调递增,t(x)t(1)0, 即 lnx 0,即 ln , 故 21为筛查在人群中传染的某种病毒,现有两种检测方法: (1)抗体检测法:每个个体独立检测,每一次检测成本为 80 元,每个个体收取检测费 为 100 元 (2)核酸检测法:先合并个体,其操作方法是:当个体不超过 10 个时,把所有个体合 并在一起进行检测 当个体超过 10 个时,每 10 个个体为一组进行检测若该组检测结果为阴性(正常), 则只需检测一次;若该组检测结果

36、为阳性(不正常),则需再对每个个体按核酸检测法 重新独立检测,共需检测 k+1 次(k 为该组个体数,1k10,k N*)每一次检测成 本为 160 元 假设在接受检测的个体中, 每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立, 且每个个体是阳性结果的概率均为 p(0p1) ()现有 100 个个体采取抗体检测法,求其中恰有一个检测出为阳性的概率; ()因大多数人群筛查出现阳性的概率很低,且政府就核酸检测法给子检测机构一定 的补贴, 故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下: 无论是检测一次还是 k+1 次, 每组所有个体共收费 700 元(少于 10 个个体的组收费金额不变)已知某企业现有员工

37、107 人,准备进行全员检测,拟准备 9000 元检测费,由于时间和设备条件的限制,采用 核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数,请设计一个合理的的检 测安排方案; ()设 ,现有 n(n N *且 2n10)个个体,若出于成本考虑,仅采用一 种检测方法, 试问检测机构应采用哪种检测方法? (ln31.099, ln41.386, ln51.609, ln61.792) 【分析】()利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出其中 恰有一个检测出为阳性的概率 ()设安排 x 个个体采用抗体检测法,y 组个体采用核酸检测法,则由条件知: ,x,y N,总

38、检测费用为 z100x+700y利用线性规划能求出安 排 17 人采取抗体检测法,90 人采用核酸检测法,或者安排 10 人采取抗体检测法,97 人 采用核酸检测法,可使所有员工参加检测,且费用偏低 ()设采用抗体检测法,检测机构成本期望为 EX,采用核酸检测,检测机构成本期望 为 EY,由已知得 EX80n,求出 E(Y)160n+1n(1p)n,设 EXEY,推导出 (1p)n ,从而 ln( ) ,设 f(x)ln( ) ,(2x 10),则 ,由此能求出当 n2 时,采用抗体检测法,当 3n10, n N*时,采用核酸检测法 解:()现有 100 个个体采取抗体检测法, 其中恰有一个检

39、测出为阳性的概率为: P 100p(1p)99 ()设安排 x 个个体采用抗体检测法,y 组个体采用核酸检测法, 则由条件知: ,x,y N, 总检测费用为 z100x+700y 画出可行域如图: 由 ,解得 A( , ), 则在可行域内临近 A 点的整点有(10,10),(17,9),此时,Zmin8000, 即安排 17 人采取抗体检测法,90 人采用核酸检测法, 或者安排 10 人采取抗体检测法,97 人采用核酸检测法, 可使所有员工参加检测,且费用偏低 ()设采用抗体检测法,检测机构成本期望为 EX, 采用核酸检测,检测机构成本期望为 EY,由已知得 EX80n, 设采用核酸检测法检测

40、次数为 ,则 的取值只有 1 和 n+1, 且 P(1)(1p)n, P(n+1)1(1p)n, E()(1p)n+(n+1)1(1p)nn+1n(1p)n, E(Y)160n+1n(1p)n, 设 EXEY,则 160n+1n(1p)n80n,即(1p)n , p1 , , ,即 ln( ) , 设 f(x)ln( ) ,(2x10),则 , 由 f(x)0,得 2x6,f(x)0,得 6x10, f(x)在2,6)上单调递减,在(6,10上单调递增, 又 f (2) ln ( ) 0, f (3) ln ( ) ln 1.6091.792+0.125 0.0580, ln( ) ln 1.

41、0991.609+0.4170.0930, 当 n3,n 一、选择题*时,EXEY, 当 n2 时,采用抗体检测法,当 3n10,n N*时,采用核酸检测法 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(本小题满分 5 分)选 修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ()写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程; ()M,N 为曲线 C上两点,若 OMON,求|MN|的最小值 【分析】()直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转

42、换 ()利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果 解:()曲线 C 的参数方程为 t 为参数),转换为直角坐标方程为 4x2 y24,整理得 根据 ,转换为极坐标方程为 ()M,N 为曲线 C上两点,设对应的极径为 1,2, 所以 , 所以 , 由于 ,解得 , 所以 , 即 , 故 ,当且仅当 tan 21 时,等号成立 故 , 即 选修 4-5:不等式选讲 23定义区间(x1,x2)(x2x1)的长度为 x2x1,已知不等式|xm| |x1|+1x(m R) 的解集区间长度为 1 ()求 m 的值; ()若 a,b R,ab0,a+bm,求 的最小值及此时 a,b 的值 【分析】()由已知得 x1|xm| |x1|0,x10,再脱绝对值解不等式, 利用区间长度为 1 解 m ()把 化简变形利用 a+b1 和基本不等式可求解 解:()由|xm| |x1|+1x,得 x1|xm| |x1|0, x10, |xm|1, m1xm+1,由原不等式的解集区间长度为 1 得原不等式的解集为(1,m+1), 则 m+111,即 m1 ()由()知 a+b1,又 ab0, a,b0, 3, a+b12 , 4,即 31, 1,即( )min1 当且仅当 ,即 ab 时等号成立, 取得最小值 1