1、2020 年高考数学三模试卷（理科）年高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1复数 z 的虚部为（ ） A i B C i D 2若集合 ， ，则 AB（ ） Ax|x5 Bx|2x4 Cx|2x5 Dx|1x4 3 若数列an为等比数列， 则 “a2， a4是方程 x23x+10 的两根” 是 “a31” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4抛物线 yax2上一点 ， 到其准线的距离为（ ） A B C D 5若 a，b 为正实数，直线 2x+（2a3）y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直，则 ab 的最 大值为（
2、） A B C D 6 如图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温 （） 的折线统计图： 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83，则下列结论错误的是（ ） A每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B月温差（月最高气温月最低气温）的最大值出现在 10 月 C912 月的月温差相对于 58 月，波动性更大 D每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 7 2019 年 11 月 26 日， 联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为 “国际数学日” （昵称： day） ， 2020 年 3 月 14 日是第一个“国
3、际数学日”圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一 个在数学及物理学中普遍存在的数学常数 有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式 ，即为正奇数倒数正负交错相加等小红设计了如图所示的程序 框图，要求输出的 T 值与 非常近似，则、中分别填入的可以是（ ） AS（1）i 1 ，ii+2 BS（1）i 1 ，ii+1 CSS+（1）i 1， ii+2 DSS+（1）i 1 ，ii+1 8 在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、 形状、 手感完全相同的小球， 分别标有数字 1， 2， 3，4现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止小 明用随机模拟的方法估计恰好在第 4 次停止摸球的概率
4、，利用计算机软件产生随机数， 每 1 组中有 4 个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下 21 组随机数： 由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为（ ） 1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234 A B C D 9函数 f（x）e|x|xsinx1 的图象大致是（ ） A B C D 10设双曲线 ： ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2的直线分 别交双曲线左、右两支于点 P，Q，点 M 为线段 P
5、Q 的中点，若 P，Q，F1都在以 M 为 圆心的圆上，且 ，则双曲线 C 的离心率为 A B2 C D2 11如图所示，三棱锥 S 一 ABC 中，ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形，二面角 A BCS 的大小为 ， 若 S， A， B， C 四点都在球 O 的表面上， 则球 O 的表面积为 （ ） A B C D3 12已知函数 ， ， ，若不等式 恰有两个整数解，则 m 的个数为（ ） A6 B7 C8 D9 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 ， ， ， ，若 与 共线，则实数 x 的值为 14若二项式 的展开式中各项系数和为 256，
6、则展开式中的常数项为 15设等差数列an满足：a13，公差 d （0，10），其前 n 项和为 Sn若数列 也 是等差数列，则 的最小值为 16在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N 分别是棱 B1C1，C1D1的中点，过 A，M，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面 ADD1A1作投影，则投影图形的面 积为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在ABC 中，三内角 A，B，C 满足 （）判断ABC 的形状； （）若点 D 在线段 AC 上，且 CD2DA， ，求 tanA 的值 18已知正；ABC 边长为 3，
7、点 M，N 分别是 AB，AC 边上的点，ANBM1，如图 1 所示将AMN 沿 MN 折起到PMN 的位置，使线段 PC 长为 ，连接 PB，如图 2 所 示 （）求证：平面 PMN平面 BCNM； （）若点 D 在线段 BC 上，且 BD2DC，求二面角 MPDC 的余弦值 19如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E： 1（ab0）的离心率 为 ，A 为椭圆 E 上位于第一象限上的点，B 为椭圆 E 的上顶点，直线 AB 与 x 轴相交 于点 C，|AB|AO|，BOC 的面积为 6 （）求椭圆 E 的标准方程； （）设直线 l 过椭圆 E 的右焦点，且与椭圆 E 相交于 M
8、，N 两点（M，N 在直线 OA 的 同侧），若CAMOAN，求直线 l 的方程 20已知函数 ，存在极小值点 x0，f（x0）0 （）求 a 的取值范围； （）设 m，n0，且 mn，求证： 21为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法： （1）抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为 80 元，每个个体收取检测费 为 100 元 （2）核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过 10 个时，把所有个体合 并在一起进行检测 当个体超过 10 个时，每 10 个个体为一组进行检测若该组检测结果为阴性（正常）， 则只需检测一次；若该组检测结果为阳性（不正常），则需再对每个个体
9、按核酸检测法 重新独立检测，共需检测 k+1 次（k 为该组个体数，1k10，k N*）每一次检测成 本为 160 元 假设在接受检测的个体中， 每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立， 且每个个体是阳性结果的概率均为 p（0p1） （）现有 100 个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率； （）因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定 的补贴， 故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下： 无论是检测一次还是 k+1 次， 每组所有个体共收费 700 元（少于 10 个个体的组收费金额不变）已知某企业现有员工 107 人，准备进行全员检测，拟准
10、备 9000 元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用 核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检 测安排方案； （）设 ，现有 n（n N *且 2n10）个个体，若出于成本考虑，仅采用一 种检测方法， 试问检测机构应采用哪种检测方法？ （ln31.099， ln41.386， ln51.609， ln61.792） 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(本小题满分 5 分)选 修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴
11、建立极坐标系 （）写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程； （）M，N 为曲线 C上两点，若 OMON，求|MN|的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23定义区间（x1，x2）（x2x1）的长度为 x2x1，已知不等式|xm| |x1|+1x（m R） 的解集区间长度为 1 （）求 m 的值； （）若 a，b R，ab0，a+bm，求 的最小值及此时 a，b 的值 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1复数 z 的虚部为（ ） A i B C i D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解
12、：z ， 复数 z 的虚部为 故选：D 2若集合 ， ，则 AB（ ） Ax|x5 Bx|2x4 Cx|2x5 Dx|1x4 【分析】求出集合 A 和 B，由此能求出 AB 解：集合 ， ， Ax|1x5，Bx|2x4， ABx|2x5 故选：C 3 若数列an为等比数列， 则 “a2， a4是方程 x23x+10 的两根” 是 “a31” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】“a2，a4是方程 x23x+10 的两根” 1“a31”；反之， 满足“a31”的一元二次方程有无数个 解：数列an为等比数列， “a2，a4是方程 x23x+1
13、0 的两根”， 1，“a31”； 反之，满足“a31”的一元二次方程有无数个， “a2，a4是方程 x23x+10 的两根”是“a31”的充分不必要条件 故选：A 4抛物线 yax2上一点 ， 到其准线的距离为（ ） A B C D 【分析】求出 a，然后利用抛物线的定义转化求解即可 解：抛物线 yax2上一点 ， ，可得： ，解得 a2； 抛物线 y2x2，即 x2 ，准线方程为：y 抛物线 y2x2上一点 ， 到其准线的距离为： 故选：B 5若 a，b 为正实数，直线 2x+（2a3）y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直，则 ab 的最 大值为（ ） A B C D 【分析】由两直线
14、垂直求出 2a+b3，再利用基本不等式求出 ab 的最大值 解：由直线 2x+（2a3）y+20 与直线 bx+2y10 互相垂直， 所以 2b+2（2a3）0， 即 2a+b3； 又 a、b 为正实数，所以 2a+b2 ， 即 2ab ，当且仅当 a ，b 时取“”； 所以 ab 的最大值为 故选：B 6 如图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温 （） 的折线统计图： 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83，则下列结论错误的是（ ） A每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B月温差（月最高气温月最低气温）的最大值出
15、现在 10 月 C912 月的月温差相对于 58 月，波动性更大 D每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 【分析】由所给的折线图，可以进行分析得到 ABC 正确，D 错误 解：每月最低气温与最高气温的线性相关系数 r0.83，可知每月最低气温与最高气温有 较强的线性相关性，且二者为线性正相关， 由所给的折线图可以看出月温差（月最高气温月最低气温）的最大值出现在 10 月，9 12 月的月温差相对于 58 月，波动性更大， 每月的最高气温与最低气温的平均值在前 5 个月逐月增加， 第六个月开始减少， 所以 ABC 正确，D 错误； 故选：D 7 2019 年 11 月 26 日，
16、 联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为 “国际数学日” （昵称： day） ， 2020 年 3 月 14 日是第一个“国际数学日”圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一 个在数学及物理学中普遍存在的数学常数 有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式 ，即为正奇数倒数正负交错相加等小红设计了如图所示的程序 框图，要求输出的 T 值与 非常近似，则、中分别填入的可以是（ ） AS（1）i 1 ，ii+2 BS（1）i 1 ，ii+1 CSS+（1）i 1， ii+2 DSS+（1）i 1 ，ii+1 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 T 4S 的值，模拟程序的运
17、行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：依题意，输出的 T4S4（1 ） 由题意可知循环变量 i 的初值为 1，终值为 2010，步长值为 1，循环共执行 2010 次，可 得中填入的可以是 ii+1， 又 S 的值为正奇数倒数正负交错相加，可得中填入的可以是 SS+（1）i 1 ， 故选：D 8 在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、 形状、 手感完全相同的小球， 分别标有数字 1， 2， 3，4现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止小 明用随机模拟的方法估计恰好在第 4 次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数， 每 1 组中有 4 个数字，分别表
18、示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下 21 组随机数： 由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为（ ） 1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234 A B C D 【分析】在 21 组随机数中，利用列举法求出代表“恰好在第 4 次停止摸球”的随机数共 6 组，由此能估计恰好在第 4 次停止摸球的概率 解：在 21 组随机数中，代表“恰好在第 4 次停止摸球”的随机数是： 1234，1224，3124，1224，4312，22
19、34，共 6 组， 恰好在第 4 次停止摸球的概率 P 故选：A 9函数 f（x）e|x|xsinx1 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】易知函数 f（x）为偶函数，且当 x （0，+）时，f（x）单调递增，结合指数 函数的图象及性质即可得解 解：函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，由常见不等式 exx+1 可知，f（x）exsinx xcosxx+1sinxxcosxx（1cosx）+1sinx0， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增， 又由指数函数增长性可知，选项 B 符合题意 故选：B 10设双曲线 ： ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2的直线分 别交双曲线左、
20、右两支于点 P，Q，点 M 为线段 PQ 的中点，若 P，Q，F1都在以 M 为 圆心的圆上，且 ，则双曲线 C 的离心率为 A B2 C D2 【分析】判断 PQMF1，则|PF1|QF1|，说明三角形 PF1Q 是等腰直角三角形，设|PF1| t， 利用双曲线的定义求出|PF2| ， 在 RtMF1F2中， 结合勾股定理推出 2 a 2c，即可求解双曲线 C 的离心率 解：以 PQ 为直径的圆经过点 F1，则 ，又 ， 可知 PQMF1，则|PF1|QF1|，故三角形 PF1Q 是等腰直角三角形， 设|PF1|t，则|PQ| t， 由双曲线的定义可知：|PF2|t+2a，|QF2|t2a，
21、可得|PQ|4a， 则 t4a，即 t2 a，则：|PF2| ， 在 RtMF1F2中，|MF1 | 2a，|MF2|PF1|PM|2 a， 由勾股定理可知|F1F2|2 a2c， 则双曲线 C 的离心率为：e 故选：C 11如图所示，三棱锥 S 一 ABC 中，ABC 与SBC 都是边长为 1 的正三角形，二面角 A BCS 的大小为 ， 若 S， A， B， C 四点都在球 O 的表面上， 则球 O 的表面积为 （ ） A B C D3 【分析】取线段 BC 的中点 D，连结 AD，SD，由题意得 ADBC，SDBC，ADS 是 二面角 ABCS 的平面角，ADS ，由题意得 BC平面 A
22、DS，分别取 AD，SD 的 三等分点 E，F，在平面 ADS 内，过点 E，F 分别作直线垂直于 AD，SD，两条直线的交 点即球心 O，连结 OA，则球 O 半径 R|OA|，由此能求出球 O 的表面积 解：取线段 BC 的中点 D，连结 AD，SD， 由题意得 ADBC，SDBC， ADS 是二面角 ABCS 的平面角，ADS ， 由题意得 BC平面 ADS， 分别取 AD，SD 的三等分点 E，F， 在平面 ADS 内，过点 E，F 分别作直线垂直于 AD，SD，两条直线的交点即球心 O， 连结 OA，则球 O 半径 R|OA|， 由题意知 BD ，AD ，DE ，AE ， 连结 OD
23、，在 RtODE 中， ，OE DE ， OA2OE2+AE2 ， 球 O 的表面积为 S4R2 故选：A 12已知函数 ， ， ，若不等式 恰有两个整数解，则 m 的个数为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】画出函数的图象，利用 x 的范围，讨论零点个数的 m 值，得到选项 解：f（x）的图象如图：由题意可得，当 x0 时，不等式 ，可得 f （x）m； 所以 m2，此时 x1 或 x2； m0 时，函数的零点为 x1，x2 当 x0 时，不等式 ，可得 f（x）m，m0 时，x1， 当 m6，5，4，3，2，时， 不等式 恰有两个整数解，整数解为：x2，和 x1， 综上，m6，5，4，
24、3，2，0，2共有 7 个值 故选：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 ， ， ， ，若 与 共线，则实数 x 的值为 【分析】利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出 解： （1，1+x）， （3，1x）， ， 3（1+x）（1x）0，解得 x 故答案为： 14若二项式 的展开式中各项系数和为 256，则展开式中的常数项为 54 【分析】先利用赋值法求出 n 的值，然后利用展开式通项求常数项 解：令 x1，有 4n256， 解得 n4，所以展开式通项为： ， 令 42k0 得，k2 故常数项为： 故答案为：54 15设等差数列an满足：a13，公差
25、 d （0，10），其前 n 项和为 Sn若数列 也 是等差数列，则 的最小值为 3 【分析】由题意可得：2 ，即 2 2 ，公差 d （0，10），解得 d可得 anSn代入 变形利用基本不等式的性质即可得出 解：由题意可得：2 ，即 2 2 ，公差 d （0，10）， 解得 d2 an2n+1 Sn n2+2n n+1 数列 是等差数列， 则 （n+1） 3，当且仅 当 n2 时取等号， 的最小值为 3 故答案为：3 16在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N 分别是棱 B1C1，C1D1的中点，过 A，M，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面 ADD1A1作
26、投影，则投影图形的面 积为 【分析】 由图象可得投影为五边形AH1M1D1G， 利用三角形相似性质得到DG2D1 G ， BH 2B1 H ， 进 而 求 得AH1 2A1H1 ， A1M1 D1M1 ， 则 可 得 1 SADG 解：直线 MN 分别与直线 A1D1，A1B1交于 E，F 两点， 连接 AE，AF，分别与棱 DD1，BB1交于 G，H 两点，连接 GN，MH， 得到截面五边形 AGNMH， 向平面 ADD1A1作投影，得到五边形 AH1M1D1G， 由点 M，N 分别是棱 B1C1，C1D1的中点，可得 D1ED1 N ， 由D1EGDAG，可得 DG2D1 G ， 同理 B
27、H2B1 H ， 则 AH12A1H1 ，A1M1D1M1 ， 则 1 SADG1 1 ， 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在ABC 中，三内角 A，B，C 满足 （）判断ABC 的形状； （）若点 D 在线段 AC 上，且 CD2DA， ，求 tanA 的值 【分析】（）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得 cos（AB）1，结合范 围 AB （，），可得 AB，即可判断ABC 的形状为等腰三角形； （）设 DAx，CD2x，ABD，在ADB，CDB 中，由正弦定理可得 ，利用三角函数恒等变换的应用可求 tanA5tan
28、，结合 tan ，可求 tanA 的值 解：（） ， sinAsinB1sin2 cos 2 ， 2sinAsinB1+cosC， C（A+B）， 2sinAsinB1+cos（A+B）1cos（A+B）， 2sinAsinB1cosAcosB+sinAsinB，即 cosAcosB+sinAsinB1，即 cos（AB）1， AB （，）， AB0，可得 AB，可得ABC 的形状为等腰三角形； （）设 DAx，CD2x，ABD， 在ADB 中，由正弦定理可得 ，即 ， 在CDB 中，由正弦定理可得 ，即 ，即 ， ， sin（A）4cosAsin， sinAcoscosAsin4cosAsi
29、n， sinAcos5cosAsin， tanA5tan， tan ， tanA2 18已知正；ABC 边长为 3，点 M，N 分别是 AB，AC 边上的点，ANBM1，如图 1 所示将AMN 沿 MN 折起到PMN 的位置，使线段 PC 长为 ，连接 PB，如图 2 所 示 （）求证：平面 PMN平面 BCNM； （）若点 D 在线段 BC 上，且 BD2DC，求二面角 MPDC 的余弦值 【分析】（）推导出 ANMN，即 PNMN，PNNC，从而 PN平面 BCNM，由此 能证明平面 PMN平面 BCNM （）以 N 为坐标原点，NM 为 x 轴，NC 为 y 轴，NP 为 z 轴，建立空
30、间直角坐标系， 利用向量法能求出二面角 MPDC 的余弦值 解：（）证明：依题意，在AMN 中，AM2，AN1，A ， 由余弦定理及勾股得 MN2+AN2AM2，ANMN，即 PNMN， 在图 2PNC 中，PN1，NC2，PC ， PC2PN2+NC2，PNNC， MNNCN，PN平面 BCNM， PN平面 PMN，平面 PMN平面 BCNM （）解：以 N 为坐标原点，NM 为 x 轴，NC 为 y 轴，NP 为 z 轴，建立空间直角坐标 系， 则 P（0，0，1），M（ ，0，0），D（ ， ，0），C（0，2，0）， （ ，0，1）， （ ， ，0）， （0，2，1）， （ ， ，0）
31、， 设平面 MPD 的一个法向量 （x，y，z）， 则 ，取 y1，得 （ ，1，3）， 设平面 PDC 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 a1，得 （1， ，2 ）， 设二面角 MPDC 的平面角为 ，由图知 是钝角， cos 二面角 MPDC 的余弦值为 19如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E： 1（ab0）的离心率 为 ，A 为椭圆 E 上位于第一象限上的点，B 为椭圆 E 的上顶点，直线 AB 与 x 轴相交 于点 C，|AB|AO|，BOC 的面积为 6 （）求椭圆 E 的标准方程； （）设直线 l 过椭圆 E 的右焦点，且与椭圆 E 相交于 M，N 两点（M，
32、N 在直线 OA 的 同侧），若CAMOAN，求直线 l 的方程 【分析】（）运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，结合三角形的面积公式和线 段的中点坐标公式，解方程可得 a，b，进而得到所求椭圆方程； （）求得 A 的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线 AM，AN 的斜率互 为相反数，设直线 AM：y1k（x3），联立椭圆方程 x2+3y212，运用韦达定理， 求得 x1，同理可得 x2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到 k，进而得到所求直线 方程 解：（）因为 e ，可得 a c，b c， 由|AB|AO|，可得 A（ a， b）为 BC 的中点， 所以 SBOC
33、a b6，即 ab4 ， 所以 c c4 ，即 c2 ，a2 ，b2， 所以椭圆的方程为 1； （）由（）可得 A（3，1），右焦点为（2 ，0）， 因为|AB|AO|，所以ABOAOB， 所以AOCACO，又CAMOAN， 直线 AM，AN 的斜率互为相反数， 设直线 AM：y1k（x3），联立椭圆方程 x2+3y212，消去 y， 可得（1+3k2）x2+6k（13k）x+27k218k90， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 3x1 ，所以 x1 ， 将 k 换为k，同理可得 x2 ，x1+x2 ，x2x1 ， kMN 1， 所以直线 l 的方程为 y0x2 ，即 xy2 0
34、20已知函数 ，存在极小值点 x0，f（x0）0 （）求 a 的取值范围； （）设 m，n0，且 mn，求证： 【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论，然后结 合单调性及极值的关系可求 a， （II）先代入整理可得 ，结合结果特 点构造函数，结合导数进行证明 解：（I） ，x0， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递减，不合题意； 当 a0 时，由 f（x）0 可得 0 ，f（x）0 可得 x ， 故函数在（0， ）上单调递减，在（ ， ）上单调递增， 故 ，由 f（ ）alna0，即 lna0，可得 a1， 故 a 的范围（1，+
35、）， （ II ） （ ） ， 不妨设 nm0，因为 a0， 所以 ， ， 又 nm0，故 ， 令 t（x）lnx ，x1， 则 0， 故 t（x）在（1，+）上单调递增，t（x）t（1）0， 即 lnx 0，即 ln ， 故 21为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法： （1）抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为 80 元，每个个体收取检测费 为 100 元 （2）核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过 10 个时，把所有个体合 并在一起进行检测 当个体超过 10 个时，每 10 个个体为一组进行检测若该组检测结果为阴性（正常）， 则只需检测一次；若该组检测结果
36、为阳性（不正常），则需再对每个个体按核酸检测法 重新独立检测，共需检测 k+1 次（k 为该组个体数，1k10，k N*）每一次检测成 本为 160 元 假设在接受检测的个体中， 每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立， 且每个个体是阳性结果的概率均为 p（0p1） （）现有 100 个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率； （）因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定 的补贴， 故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下： 无论是检测一次还是 k+1 次， 每组所有个体共收费 700 元（少于 10 个个体的组收费金额不变）已知某企业现有员工
37、107 人，准备进行全员检测，拟准备 9000 元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用 核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检 测安排方案； （）设 ，现有 n（n N *且 2n10）个个体，若出于成本考虑，仅采用一 种检测方法， 试问检测机构应采用哪种检测方法？ （ln31.099， ln41.386， ln51.609， ln61.792） 【分析】（）利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出其中 恰有一个检测出为阳性的概率 （）设安排 x 个个体采用抗体检测法，y 组个体采用核酸检测法，则由条件知： ，x，y N，总
38、检测费用为 z100x+700y利用线性规划能求出安 排 17 人采取抗体检测法，90 人采用核酸检测法，或者安排 10 人采取抗体检测法，97 人 采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低 （）设采用抗体检测法，检测机构成本期望为 EX，采用核酸检测，检测机构成本期望 为 EY，由已知得 EX80n，求出 E（Y）160n+1n（1p）n，设 EXEY，推导出 （1p）n ，从而 ln（ ） ，设 f（x）ln（ ） ，（2x 10），则 ，由此能求出当 n2 时，采用抗体检测法，当 3n10， n N*时，采用核酸检测法 解：（）现有 100 个个体采取抗体检测法， 其中恰有一个检
39、测出为阳性的概率为： P 100p（1p）99 （）设安排 x 个个体采用抗体检测法，y 组个体采用核酸检测法， 则由条件知： ，x，y N， 总检测费用为 z100x+700y 画出可行域如图： 由 ，解得 A（ ， ）， 则在可行域内临近 A 点的整点有（10，10），（17，9），此时，Zmin8000， 即安排 17 人采取抗体检测法，90 人采用核酸检测法， 或者安排 10 人采取抗体检测法，97 人采用核酸检测法， 可使所有员工参加检测，且费用偏低 （）设采用抗体检测法，检测机构成本期望为 EX， 采用核酸检测，检测机构成本期望为 EY，由已知得 EX80n， 设采用核酸检测法检测
40、次数为 ，则 的取值只有 1 和 n+1， 且 P（1）（1p）n， P（n+1）1（1p）n， E（）（1p）n+（n+1）1（1p）nn+1n（1p）n， E（Y）160n+1n（1p）n， 设 EXEY，则 160n+1n（1p）n80n，即（1p）n ， p1 ， ， ，即 ln（ ） ， 设 f（x）ln（ ） ，（2x10），则 ， 由 f（x）0，得 2x6，f（x）0，得 6x10， f（x）在2，6）上单调递减，在（6，10上单调递增， 又 f （2） ln （ ） 0， f （3） ln （ ） ln 1.6091.792+0.125 0.0580， ln（ ） ln 1.
41、0991.609+0.4170.0930， 当 n3，n 一、选择题*时，EXEY， 当 n2 时，采用抗体检测法，当 3n10，n N*时，采用核酸检测法 请考生在第 22-23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.(本小题满分 5 分)选 修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （）写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程； （）M，N 为曲线 C上两点，若 OMON，求|MN|的最小值 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
42、换 （）利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果 解：（）曲线 C 的参数方程为 t 为参数），转换为直角坐标方程为 4x2 y24，整理得 根据 ，转换为极坐标方程为 （）M，N 为曲线 C上两点，设对应的极径为 1，2， 所以 ， 所以 ， 由于 ，解得 ， 所以 ， 即 ， 故 ，当且仅当 tan 21 时，等号成立 故 ， 即 选修 4-5：不等式选讲 23定义区间（x1，x2）（x2x1）的长度为 x2x1，已知不等式|xm| |x1|+1x（m R） 的解集区间长度为 1 （）求 m 的值； （）若 a，b R，ab0，a+bm，求 的最小值及此时 a，b 的值 【分析】（）由已知得 x1|xm| |x1|0，x10，再脱绝对值解不等式， 利用区间长度为 1 解 m （）把 化简变形利用 a+b1 和基本不等式可求解 解：（）由|xm| |x1|+1x，得 x1|xm| |x1|0， x10， |xm|1， m1xm+1，由原不等式的解集区间长度为 1 得原不等式的解集为（1，m+1）， 则 m+111，即 m1 （）由（）知 a+b1，又 ab0， a，b0， 3， a+b12 ， 4，即 31， 1，即（ ）min1 当且仅当 ，即 ab 时等号成立， 取得最小值 1