1、2020 年高考数学（年高考数学（5 月份）模拟试卷（文科）月份）模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 A1，1，i3，BxC|x2+10（其中 i 为虚数单位，C 为复数集合），则 AB（ ） A1 Bi Ci D1，1 2若 sin+cos1（0），则 3sincos（ ） A0 B1 C1 D3 3已知实数 a 满足：a210命题 P：函数 yx24ax1 在1，1上单调递减则命 题 P 为真命题的概率为（ ） A B C D 4中国气象局规定：一天 24 小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单位通常用 毫米1 毫米的降水量是指单位面积上水深 1 毫米在连续
2、几天的暴雨天气中，某同学用 一个正四棱柱形的容器来测量降水量已知该正四棱柱的底面边长为 20cm，高 40cm， 该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中， 24 小时后，测得容器中水深 10cm，则该同学测得的降水量约为（ 取 3.14）（ ） A12.7 毫米 B127 毫米 C509 毫米 D100 毫米 5已知数列an满足 an+12an3，a11，bnan+3，则 b10（ ） A29 B310 C2048 D1024 6已知圆 C：x2+（y+2）22，则在 x 轴和 y 轴上的截距相等且与圆 C 相切的直线有几条 （ ） A3 条 B2 条 C1
3、 条 D4 条 7 已知双曲线的方程为 ， 右焦点为 F， 直线 l： yx+1 与双曲线交于 A， B 两点， 则 （ ） A2 B1 C2 D42 8已知 x，y 满足约束条件 ，则 Z|x3y2|的取值范围是（ ） A0，7 B（1，7） C0，4 D1，4 9 棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中 P 为正方体表面上的一个动点， 且总有 PCBD1， 则动点 P 的轨迹的长度为（ ） A B4 C3 D4 10设函数 f（x）sin（x ）（N *）在 ， 上单调递减，则 的值是（ ） A1 B1 或 2 C3 D2 11已知 F1（c，0）、F2（c，0）是双曲线 ： 的
4、左、右焦点，F1关于双曲线 的一条渐近线的对称点为 P，且点 P 在抛物线 y24cx 上，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 12已知函数 f（x） ， ， ，若存在 0abc，使得 f（a）f（b）f （c），则 Za+b+c 的最小值为（ ） A B1 C D无最小值 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上） 13已知一组关于（x，y）的数据具有线性相关性：（0，0.9），（1，1.9），（3，3.2）， （4，4.4），且 y 与 x 之间的回归方程为 1，则 b 14设 x 是函数 f（x）3sinxcosx 的一个
5、极值点，则 sin2+2cos2 15 在三角形ABC中， 角A， B， C的对边分别为a， b， c 若abcosC+ccosA， 且 2， c2， 则三角形 ABC 的面积为 16在直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90，满足 DC2，AB1，AD ，沿 BD 将三角形 BDC 折起，把 C 折到 P 点，使平面 PBD平面 ABD，则三棱锥 PABD 的外接球的表面积为 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 在全面建成小康社会的决胜阶段， 让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们 党的庄严承诺 在 “脱真贫、 真脱贫” 的过程中， 精准扶贫助
6、推社会公平显得尤其重要 若 某农村地区有 200 户贫困户，经过一年扶贫后，对该地区的“精准扶贫”的成效检查验 收从这 200 户贫困户中随机抽出 50 户，对各户的人均年收入（单位：千元）进行调查 得到如下频数表： 人均年收入 （0，2） 2，4） 4，6） 6，8） 8，10） 10，12 频数 2 3 10 20 10 5 若人均年收入在 4000 元以下的判定为贫困户，人均年收入在 4000 元8000 元的判定为 脱贫户，人均年收入达到 8000 元的判定为小康户 （1）用样本估计总体，估计该地区还有多少户没有脱贫； （2）为了了解未脱贫的原因，从抽取的 50 户中用分层抽样的方法抽
7、 10 户进行调研 贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少？ 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍，求小康户中人均年收入最高的一 户被选到的概率 18已知数列an，前 n 项和为 Sn n 2 n（nN *） （1）求数列an的通项公式； （2）已知数列 bn lg ，求其前 n 项和 Tn 19如图所示，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADAB，ABBC2AD2，四边形 EDCF 为矩形，且平面 EDCF平面 ABCD （1）求证：DF平面 ABE； （2）若直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 45，求三棱锥 FABE 的体积 20已知线段 AB 的长为 2，点 A
8、与点 B 关于原点对称，圆 M 经过点 A，B 且与直线 x+10 相切 （1）求圆心 M 的轨迹方程； （2）直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 C，D（异于原点 O），若 kOC+kOD2，判断直 线 l 是否经过定点若经过，求出该定点，否则说明理由 21已知函数 f（x）tex3x2，其中 tR （1）若函数 f（x）存在三个不同的零点，求 t 的取值范围； （2）若函数 f（x）存在三个不同的零点 a，b，c；且 abc求证：b+c4 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标 系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参
9、数方程为 （ 是参数），在以坐标原 点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为： （1）写出曲线 C 的普通方程、直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x、y 轴交于 A，B 两点；P 为曲线 C 上的一个动点，求三角形 PAB 的面积 的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|x|+|2x1| （1）解关于 x 的不等式 f（x）4； （2）对任意的 xR 都有 f（x）+2xa0 恒成立，求 a 的最大值 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1设
10、集合 A1，1，i3，BxC|x2+10（其中 i 为虚数单位，C 为复数集合），则 AB（ ） A1 Bi Ci D1，1 【分析】先分别求出集合 A，B，然后结合交集的运算即可求解 解：因为 A1，1，i31，1，i，BxC|x2+10i，i， 故 ABi 故选：B 2若 sin+cos1（0），则 3sincos（ ） A0 B1 C1 D3 【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求 2sincos0，结合 范围 0，即可求解 cos0，sin1，从而计算得解 解：sin+cos1， （sin+cos）21+2sincos1， 2sincos0， 0， cos0，sin
11、1， 3sincos3 故选：D 3已知实数 a 满足：a210命题 P：函数 yx24ax1 在1，1上单调递减则命 题 P 为真命题的概率为（ ） A B C D 【分析】先求出 a 的范围，再求出 P 为真命题对应的 a 的范围，即可求解结论 解：因为 a2101a1； 若 P 为真命题：则有对称轴 2a1a ； 命题 P 为真命题的概率为： ； 故选：A 4中国气象局规定：一天 24 小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单位通常用 毫米1 毫米的降水量是指单位面积上水深 1 毫米在连续几天的暴雨天气中，某同学用 一个正四棱柱形的容器来测量降水量已知该正四棱柱的底面边长为 20c
12、m，高 40cm， 该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中， 24 小时后，测得容器中水深 10cm，则该同学测得的降水量约为（ 取 3.14）（ ） A12.7 毫米 B127 毫米 C509 毫米 D100 毫米 【分析】由题意求出容器中水的容积，除以圆的面积得答案 解：由题意，水的体积 V2020104000cm3， 容器口的面积 S102100cm2， 降雨量 12.7mm 故选：A 5已知数列an满足 an+12an3，a11，bnan+3，则 b10（ ） A29 B310 C2048 D1024 【分析】利用数列的递推关系式，推出bn是等比数列
13、，然后转化求解即可 解：数列an满足 an+12an3， 可得 an+1+32（an+3）， 即 bn+12bn， a11，b1a1+34， bn是等比数列，首项为 4，公比为 2， 所以 b104292048 故选：C 6已知圆 C：x2+（y+2）22，则在 x 轴和 y 轴上的截距相等且与圆 C 相切的直线有几条 （ ） A3 条 B2 条 C1 条 D4 条 【分析】先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为1，则可知这样的直线有 2 条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有 2 条，最后验证以上 4 条中有一条是重复，最后综合得到结论 解：若直线
14、不过原点，其斜率1，设其方程为 yx+m， 则 d ，解得 m0 或1，当 m0 时，直线过原点； 若过原点，把（0，0）代入 02+（0+2）242， 即原点在圆外，所以过原点有 2 条切线， 综上，一共有 3 条， 故选：A 7 已知双曲线的方程为 ， 右焦点为 F， 直线 l： yx+1 与双曲线交于 A， B 两点， 则 （ ） A2 B1 C2 D42 【分析】由双曲线的方程可得右焦点 F 的坐标，将直线与双曲线联立求出交点 A，B 的 坐标，进而求出数量积 的值 解：由双曲线的方程可得右焦点 F（ ，0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与双曲线的方程 ，整理可得
15、x 22x30，解得 x3 或 x1， 代入直线的方程可得 y4 或 0， 即 A（3，4），B（1，0）， 所以 （3 ， 4） （1 ， 0） （3 ） （1 ） 33 3 2 ， 故选：C 8已知 x，y 满足约束条件 ，则 Z|x3y2|的取值范围是（ ） A0，7 B（1，7） C0，4 D1，4 【分析】根据二元一次不等式组画出可行域，目标函数几何意义 zx3y2 的纵截 距相反数，平移目标函数观察 Z 取值范围 解：如图可行域： 令 zx3y2， 平移直线 x3y20 可知当直线过 C （0， 1） 时， z取得最大值， 1， 经过 B（2，0）时，z有最小值 z7，Z|x3y2
16、|，所以 Z 的取值范围：0，7 故选：A 9 棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中 P 为正方体表面上的一个动点， 且总有 PCBD1， 则动点 P 的轨迹的长度为（ ） A B4 C3 D4 【分析】画出正方体，利用已知条件，判断 P 的轨迹，然后求解轨迹长度 解：P 点的轨迹为过点 C 与直线 BD1垂直的截面与正方体的交线，就是图形中点三角形 ACB1，它的周长为：3 故选：C 10设函数 f（x）sin（x ）（N *）在 ， 上单调递减，则 的值是（ ） A1 B1 或 2 C3 D2 【分析】由题意利用正弦函数的单调性以及周期性，可得 ，由此求得 的范围，检验可得答案
17、 解：函数 f（x）sin（x ）（N *）在 ， 上单调递减， ， ，1 或 2 当 1 时，f（x）在 ， 上不单调，故只有 2， 故选：D 11已知 F1（c，0）、F2（c，0）是双曲线 ： 的左、右焦点，F1关于双曲线 的一条渐近线的对称点为 P，且点 P 在抛物线 y24cx 上，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 【分析】利用已知条件画出图形，求出 P 的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲 线的离心率即可 解：如图：F1P 垂直直线 bxay0，交点为 H，F1到双曲线的一条渐近线 bxay0 的 距离为：d b， F1PF2中，PF12d2b，抛物线 y24cx 的
18、焦点坐标（c，0）， PF22a，tanF1OH ，cosF1OH ，sinF1OH ， 可得 cosOF1P ，sinOF1P ，P（ ， ）， 点 P 在抛物线 y24cx 上， 可得： 8b 24c2， e43e2+10，e1， e 故选：D 12已知函数 f（x） ， ， ，若存在 0abc，使得 f（a）f（b）f （c），则 Za+b+c 的最小值为（ ） A B1 C D无最小值 【分析】由函数 f（x） ， ， ，画出图象：根据 f（a）f（b）f（c）， 可得： 0a1bec lnalnbc+e+1， a ， clnb+e+1 则 Za+b+c b lnb+e+1（1be）设
19、 g（x） xlnx+e+1（1xe）利用导数研究函数 的单调性极值与最值即可得出 解：由函数 f（x） ， ， ，画出图象： f（a）f（b）f（c）， |lna|lnb|c+e+1， 由图可知：0a1bec lnalnbc+e+1， a ，clnb+e+1 则 Za+b+c blnb+e+1（1be） 设 g（x） xlnx+e+1（1xe） g（x） 1 ， 可得函数 g（x）在（1， ）上单调递减，在（ ，e）上单调递增 g（x）ming（ ） ln e+1 故选：C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上） 13已知一组关于
20、（x，y）的数据具有线性相关性：（0，0.9），（1，1.9），（3，3.2）， （4，4.4），且 y 与 x 之间的回归方程为 1，则 b 0.8 【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求解即可 解： 2； 2.6， （2，2，6）满足回归直线方程，可得：2.62b+1， 解得 b0.8 故答案为：0.8 14设 x 是函数 f（x）3sinxcosx 的一个极值点，则 sin2+2cos2 【分析】根据极值点处的导数为零，求出 tan 的值，然后再借助于三角恒等变换求出结 论 解：f（x）3cosx+sinx， f（）3cos+sin0，tan3 sin2+2cos2 故答案为： 15
21、 在三角形ABC中， 角A， B， C的对边分别为a， b， c 若abcosC+ccosA， 且 2， c2， 则三角形 ABC 的面积为 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 sinCcosBsinCcosA， 结合 sinC0，可求 cosBcosA，可得 ab，又根据平面向量数量积的运算，余弦定理 可求 a2+b28，进而解得 abc2，从而根据三角形的面积公式即可求解 解：abcosC+ccosA， 由正弦定理可得：sinAsinBcosC+sinCcosA， sin（B+C）sinBcosC+sinCcosBsinBcosC+sinCcosA， sinCcosB
22、sinCcosA， sinC0， cosBcosA， AB，可得 ab， abcosC2，又 c 2a2+b22abcosC，可得 4a2+b222， a2+b28，解得 abc2，可得 ABC ， SABC absinC 故答案为： 16在直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90，满足 DC2，AB1，AD ，沿 BD 将三角形 BDC 折起，把 C 折到 P 点，使平面 PBD平面 ABD，则三棱锥 PABD 的外接球的表面积为 【分析】根据已知先得到BDC 为等边三角形；进而判断球心所在位置，求出半径即可 得到结论 解：在直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90，满足 DC2，A
23、B1，AD ， 所以：ADB30，BDC60； 可得：BDCD2； 即BDC 为等边三角形； 三棱锥 PABD 中，取 BD 的中点 E，连接 PE， 则 PEBD；且 PE ； 因为平面 PBD平面 ABD， PE平面 ABD； 故球心 O 在 PE 上； OD2OE2+ED2R2（ R）2+12 R ； 三棱锥 PABD 的外接球的表面积为：4 R2 ； 故答案为： 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 在全面建成小康社会的决胜阶段， 让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们 党的庄严承诺 在 “脱真贫、 真脱贫” 的过程中， 精准扶贫助推社会公平显
24、得尤其重要 若 某农村地区有 200 户贫困户，经过一年扶贫后，对该地区的“精准扶贫”的成效检查验 收从这 200 户贫困户中随机抽出 50 户，对各户的人均年收入（单位：千元）进行调查 得到如下频数表： 人均年收入 （0，2） 2，4） 4，6） 6，8） 8，10） 10，12 频数 2 3 10 20 10 5 若人均年收入在 4000 元以下的判定为贫困户，人均年收入在 4000 元8000 元的判定为 脱贫户，人均年收入达到 8000 元的判定为小康户 （1）用样本估计总体，估计该地区还有多少户没有脱贫； （2）为了了解未脱贫的原因，从抽取的 50 户中用分层抽样的方法抽 10 户进
25、行调研 贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少？ 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍，求小康户中人均年收入最高的一 户被选到的概率 【分析】（1）用样本估计总体，能估计该地区还有多少户没有脱贫 （2）利用分层抽样能求出贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍，基本事件总数 n 18，小 康户中人均年收入最高的一户被选到包含的基本事件个数 m 6， 由此能求出小康 户中人均年收入最高的一户被选到的概率 解：（1）用样本估计总体，n ， 该地区还有 20 户未脱贫 （2）贫困户抽到：10 1 人， 脱贫户抽到：10 6 人， 小康户
26、3 抽到：10 3 人 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍， 基本事件总数 n 18， 小康户中人均年收入最高的一户被选到包含的基本事件个数 m 6， 小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率 p 18已知数列an，前 n 项和为 Sn n 2 n（nN *） （1）求数列an的通项公式； （2）已知数列 bn lg ，求其前 n 项和 Tn 【分析】（1）利用 anSnSn1求出 an，再检验当 n1 时也适合，从而求得 an； （2）先求出 bn，再利用分组求和、裂项相消法求和求出 Tn 解： （1） 当 n1 时， a1S11， 当 n2 时， anSnSn1 ，又当 n1
27、 时也满足 an3n2， 数列an的通项公式为 an3n2； （2）由（1）知 an3n2，故 bn lg 2 （lganlgan+1）， Tn（2 2 2 ）+（lga1lga2）+（lga2lga3）+（lganlgan+1） lga1lgan+1 19如图所示，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADAB，ABBC2AD2，四边形 EDCF 为矩形，且平面 EDCF平面 ABCD （1）求证：DF平面 ABE； （2）若直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 45，求三棱锥 FABE 的体积 【分析】（1）取 BC 中点 G，连接 GA，GF，GD，由已知可得四边形 ABGD 与四边形
28、AGCD 均为平行四边形，得到 AGDC，AGDC，又 DCEF，DCEF，可得四边形 AGEF 为平行四边形，得 GFAE，得到 GF平面 ABE；再证明 GD平面 ABE，由平 面与平面平行的判定可得平面 GDF平面 ABE，从而得到 DF平面 ABE； （2）由已知证得 ED平面 ABCD，可得EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成角，得 EBD45，求得 EDDB ，由（1）知 DF平面 ABE，再由等体积法求三棱锥 F ABE 的体积 【解答】（1）证明：取 BC 中点 G，连接 GA，GF，GD， ADBC，AD BC，ADBG，ADBG，ADGC，ADGC 四边形 ABGD
29、 与四边形 AGCD 均为平行四边形 AGDC，AGDC，又 DCEF，DCEF， AGEF，AGEF，则四边形 AGEF 为平行四边形，得 GFAE GF平面 ABE，AE平面 ABE，GF平面 ABE； GDAB，GD平面 ABE，AB平面 ABE，GD平面 ABE 又 GFGDG，平面 GDF平面 ABE， 而 DF平面 GDF，DF平面 ABE； （2）解：EDDC，平面 EDCF平面 ABCD， ED平面 EDCF，平面 EDCF平面 ABCDDC， ED平面 ABCD， EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成角，得EBD45， EDDB ， 由（1）知 DF平面 ABE， V
30、FABEVDABEVEABD 20已知线段 AB 的长为 2，点 A 与点 B 关于原点对称，圆 M 经过点 A，B 且与直线 x+10 相切 （1）求圆心 M 的轨迹方程； （2）直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 C，D（异于原点 O），若 kOC+kOD2，判断直 线 l 是否经过定点若经过，求出该定点，否则说明理由 【分析】（1）设点 M 的坐标，由半径相等可得 M 的轨迹方程； （2）由题意可得直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之 和及两根之积， 求出直线 OC， OD 的斜率 由斜率之和为 2 可得直线 l 恒过定点 （0， 1） 解：（1）
31、 设 M （x， y） ， 由题意可得圆心 M 在 AB 的中垂线上， 所以半径 r ， 因为圆 M 与直线 x+10 相切所以圆的半径 r|x+1|， 所以 |x+1|，整理可得 y 22x； （2）若直线 l 与 x 轴垂直，设 l 的方程 xt，则 C（t， ），D（t， ）， 因为 kOC+kOD2，02，显然不成立； 所以 l 与 x 轴不垂直，设直线 l 的方程为 ykx+m（k0），设 C（ ，y1）D（ ， y2）， 联立直线与抛物线的方程： ， 整理可得： ky22y+2m0， y1+y2 ， y 1y2 ， kOC+kOD 2， 所以 y1+y2y1y2，所以 ，所以 m1
32、， 所以直线 l 恒过定点（0，1） 21已知函数 f（x）tex3x2，其中 tR （1）若函数 f（x）存在三个不同的零点，求 t 的取值范围； （2）若函数 f（x）存在三个不同的零点 a，b，c；且 abc求证：b+c4 【分析】 （1） 由已知分离参数可得 t ， 已知函数的零点可转化为两函数的交点问题， 可构造函数 g（x） ，结合导数分析函数的特征性质，可求； （2）由题意可得 a0b2c，要证 b+c4，只要证 c4b2，结合 g（x）在（2， +）上单调性，故只要证 g（c）g（4b），结合 g（c）g（b），构造函数 h（x） g（x）g（4x），0x2，结合复合函数的单调
33、性可证 解：（1）由 f（x）0 可得 t ， 设 g（x） ，则 ， 当 x2 或 x0 时，g（x）0，g（x）单调递减，当 0x2 时，g（x）0，g（x） 单调递增， 故 g（0）0，g（2） ，且 g（x）0 恒成立，由题可知 yg（x）与 yt 有 3 个不 同的交点， 故 ， （2）由题意可得 a0b2c， 要证 b+c4，只要证 c4b2， 又 g（x）在（2，+）上单调递减，故只要证 g（c）g（4b）， 因为 g（c）g（b）， 只要证 g（b）g（4b）， 令 h（x）g（x）g（4x），0x2， 则由（1）可知，g（x）在（0，2）上单调递增，根据复合函数的单调性可知，
34、h（x） g（x）g（4x）在（0，2）上单调递增， 所以 h（x）h（2）g（2）g（2）0，即 h（x）0， 所以 g（x）g（4x）， 所以 g（b）g（4b），从而原不等式成立 故 b+c4 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 是参数），在以坐标原 点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为： （1）写出曲线 C 的普通方程、直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x、y 轴交于 A，B 两点；P 为曲线 C 上的一个动点，求三角形 PAB 的面积 的最大值 【分析】（1）将曲线 C 的参数方程消去参数化为普通方程
35、，将 cosx，siny 代入 极坐标方程，得到直线 l 的普通方程 （2）设曲线 C 上的动点 P（ cos， sin），利用点线距公式以及三角函数的有界 性求出最值，代入三角形的面积公式中即可 解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）， 消去参数可得曲线 C 的普通方程为 1 由 cos（ ）8 可得 cossin8， 即直线 l 的直角坐标方程为 xy80 （2）设点 P（ cos， sin）， 则 P 到直线 l 的距离 d （其中 tan ） 所以 d6 ， 当且仅当 sin（+）1，即 cossin ，sincos 时取等号， 又|AB|8 ， SPAB的最大值为 |AB|d
36、 8 6 48 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）|x|+|2x1| （1）解关于 x 的不等式 f（x）4； （2）对任意的 xR 都有 f（x）+2xa0 恒成立，求 a 的最大值 【分析】（1）由题意可得|x|+|2x1|4，由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值， 解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得 a（|x|+|2x1|+2x）min，设 g（x）|x|+|2x1|+2x，去绝对值，结合 一次函数的单调性，可得 g（x）的最小值，即可得到所求 a 的最大值 解：（1）f（x）4 即|x|+|2x1|4， 等价为 或 或 ， 解得 x 或 x或 x1， 综上可得，原不等式的解集为x|x1 或 x ； （2）对任意的 xR 都有 f（x）+2xa0 恒成立， 即为 a（|x|+|2x1|+2x）min， 设 g（x）|x|+|2x1|+2x， 当 x0 时，g（x）x+12x+2xx+1，递减； 当 0x 时，g（x）x+12x+2xx+1，递增， 当 x 时，g（x）x+2x1+2x5x1，递增， 且 g（ ） ，可得 g（x）在（0，+）递增，可得 g（x）在 x0 处取得最小值 1， 则 a1，可得 a 的最大值为 1