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本文(湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020年5月高三联考数学试题(文科)含答案解析)为本站会员(星星)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020年5月高三联考数学试题(文科)含答案解析

1、2020 年高考数学(年高考数学(5 月份)模拟试卷(文科)月份)模拟试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题). 1设集合 A1,1,i3,BxC|x2+10(其中 i 为虚数单位,C 为复数集合),则 AB( ) A1 Bi Ci D1,1 2若 sin+cos1(0),则 3sincos( ) A0 B1 C1 D3 3已知实数 a 满足:a210命题 P:函数 yx24ax1 在1,1上单调递减则命 题 P 为真命题的概率为( ) A B C D 4中国气象局规定:一天 24 小时里的降雨的深度当做日降水量,表示降水量的单位通常用 毫米1 毫米的降水量是指单位面积上水深 1 毫米在连续

2、几天的暴雨天气中,某同学用 一个正四棱柱形的容器来测量降水量已知该正四棱柱的底面边长为 20cm,高 40cm, 该容器的容器口为上底面正方形的内切圆,放在雨中,雨水从圆形容器口进入容器中, 24 小时后,测得容器中水深 10cm,则该同学测得的降水量约为( 取 3.14)( ) A12.7 毫米 B127 毫米 C509 毫米 D100 毫米 5已知数列an满足 an+12an3,a11,bnan+3,则 b10( ) A29 B310 C2048 D1024 6已知圆 C:x2+(y+2)22,则在 x 轴和 y 轴上的截距相等且与圆 C 相切的直线有几条 ( ) A3 条 B2 条 C1

3、 条 D4 条 7 已知双曲线的方程为 , 右焦点为 F, 直线 l: yx+1 与双曲线交于 A, B 两点, 则 ( ) A2 B1 C2 D42 8已知 x,y 满足约束条件 ,则 Z|x3y2|的取值范围是( ) A0,7 B(1,7) C0,4 D1,4 9 棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中 P 为正方体表面上的一个动点, 且总有 PCBD1, 则动点 P 的轨迹的长度为( ) A B4 C3 D4 10设函数 f(x)sin(x )(N *)在 , 上单调递减,则 的值是( ) A1 B1 或 2 C3 D2 11已知 F1(c,0)、F2(c,0)是双曲线 : 的

4、左、右焦点,F1关于双曲线 的一条渐近线的对称点为 P,且点 P 在抛物线 y24cx 上,则双曲线的离心率为( ) A B2 C D 12已知函数 f(x) , , ,若存在 0abc,使得 f(a)f(b)f (c),则 Za+b+c 的最小值为( ) A B1 C D无最小值 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上) 13已知一组关于(x,y)的数据具有线性相关性:(0,0.9),(1,1.9),(3,3.2), (4,4.4),且 y 与 x 之间的回归方程为 1,则 b 14设 x 是函数 f(x)3sinxcosx 的一个

5、极值点,则 sin2+2cos2 15 在三角形ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c 若abcosC+ccosA, 且 2, c2, 则三角形 ABC 的面积为 16在直角梯形 ABCD 中,ABCD,DAB90,满足 DC2,AB1,AD ,沿 BD 将三角形 BDC 折起,把 C 折到 P 点,使平面 PBD平面 ABD,则三棱锥 PABD 的外接球的表面积为 三、解答题(共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 在全面建成小康社会的决胜阶段, 让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们 党的庄严承诺 在 “脱真贫、 真脱贫” 的过程中, 精准扶贫助

6、推社会公平显得尤其重要 若 某农村地区有 200 户贫困户,经过一年扶贫后,对该地区的“精准扶贫”的成效检查验 收从这 200 户贫困户中随机抽出 50 户,对各户的人均年收入(单位:千元)进行调查 得到如下频数表: 人均年收入 (0,2) 2,4) 4,6) 6,8) 8,10) 10,12 频数 2 3 10 20 10 5 若人均年收入在 4000 元以下的判定为贫困户,人均年收入在 4000 元8000 元的判定为 脱贫户,人均年收入达到 8000 元的判定为小康户 (1)用样本估计总体,估计该地区还有多少户没有脱贫; (2)为了了解未脱贫的原因,从抽取的 50 户中用分层抽样的方法抽

7、 10 户进行调研 贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少? 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍,求小康户中人均年收入最高的一 户被选到的概率 18已知数列an,前 n 项和为 Sn n 2 n(nN *) (1)求数列an的通项公式; (2)已知数列 bn lg ,求其前 n 项和 Tn 19如图所示,直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADAB,ABBC2AD2,四边形 EDCF 为矩形,且平面 EDCF平面 ABCD (1)求证:DF平面 ABE; (2)若直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 45,求三棱锥 FABE 的体积 20已知线段 AB 的长为 2,点 A

8、与点 B 关于原点对称,圆 M 经过点 A,B 且与直线 x+10 相切 (1)求圆心 M 的轨迹方程; (2)直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 C,D(异于原点 O),若 kOC+kOD2,判断直 线 l 是否经过定点若经过,求出该定点,否则说明理由 21已知函数 f(x)tex3x2,其中 tR (1)若函数 f(x)存在三个不同的零点,求 t 的取值范围; (2)若函数 f(x)存在三个不同的零点 a,b,c;且 abc求证:b+c4 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题计分选修 4-4:坐标 系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参

9、数方程为 ( 是参数),在以坐标原 点为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为: (1)写出曲线 C 的普通方程、直线 l 的直角坐标方程; (2)直线 l 与 x、y 轴交于 A,B 两点;P 为曲线 C 上的一个动点,求三角形 PAB 的面积 的最大值 选修 4-5:不等式选讲 23已知 f(x)|x|+|2x1| (1)解关于 x 的不等式 f(x)4; (2)对任意的 xR 都有 f(x)+2xa0 恒成立,求 a 的最大值 参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1设

10、集合 A1,1,i3,BxC|x2+10(其中 i 为虚数单位,C 为复数集合),则 AB( ) A1 Bi Ci D1,1 【分析】先分别求出集合 A,B,然后结合交集的运算即可求解 解:因为 A1,1,i31,1,i,BxC|x2+10i,i, 故 ABi 故选:B 2若 sin+cos1(0),则 3sincos( ) A0 B1 C1 D3 【分析】将已知等式两边平方,利用同角三角函数基本关系式可求 2sincos0,结合 范围 0,即可求解 cos0,sin1,从而计算得解 解:sin+cos1, (sin+cos)21+2sincos1, 2sincos0, 0, cos0,sin

11、1, 3sincos3 故选:D 3已知实数 a 满足:a210命题 P:函数 yx24ax1 在1,1上单调递减则命 题 P 为真命题的概率为( ) A B C D 【分析】先求出 a 的范围,再求出 P 为真命题对应的 a 的范围,即可求解结论 解:因为 a2101a1; 若 P 为真命题:则有对称轴 2a1a ; 命题 P 为真命题的概率为: ; 故选:A 4中国气象局规定:一天 24 小时里的降雨的深度当做日降水量,表示降水量的单位通常用 毫米1 毫米的降水量是指单位面积上水深 1 毫米在连续几天的暴雨天气中,某同学用 一个正四棱柱形的容器来测量降水量已知该正四棱柱的底面边长为 20c

12、m,高 40cm, 该容器的容器口为上底面正方形的内切圆,放在雨中,雨水从圆形容器口进入容器中, 24 小时后,测得容器中水深 10cm,则该同学测得的降水量约为( 取 3.14)( ) A12.7 毫米 B127 毫米 C509 毫米 D100 毫米 【分析】由题意求出容器中水的容积,除以圆的面积得答案 解:由题意,水的体积 V2020104000cm3, 容器口的面积 S102100cm2, 降雨量 12.7mm 故选:A 5已知数列an满足 an+12an3,a11,bnan+3,则 b10( ) A29 B310 C2048 D1024 【分析】利用数列的递推关系式,推出bn是等比数列

13、,然后转化求解即可 解:数列an满足 an+12an3, 可得 an+1+32(an+3), 即 bn+12bn, a11,b1a1+34, bn是等比数列,首项为 4,公比为 2, 所以 b104292048 故选:C 6已知圆 C:x2+(y+2)22,则在 x 轴和 y 轴上的截距相等且与圆 C 相切的直线有几条 ( ) A3 条 B2 条 C1 条 D4 条 【分析】先看直线不过原点的情况,设出直线的方程,斜率为1,则可知这样的直线有 2 条,再看直线过原点的情况,把原点代入即可知原点在圆外,则这样的直线也应该有 2 条,最后验证以上 4 条中有一条是重复,最后综合得到结论 解:若直线

14、不过原点,其斜率1,设其方程为 yx+m, 则 d ,解得 m0 或1,当 m0 时,直线过原点; 若过原点,把(0,0)代入 02+(0+2)242, 即原点在圆外,所以过原点有 2 条切线, 综上,一共有 3 条, 故选:A 7 已知双曲线的方程为 , 右焦点为 F, 直线 l: yx+1 与双曲线交于 A, B 两点, 则 ( ) A2 B1 C2 D42 【分析】由双曲线的方程可得右焦点 F 的坐标,将直线与双曲线联立求出交点 A,B 的 坐标,进而求出数量积 的值 解:由双曲线的方程可得右焦点 F( ,0)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立直线与双曲线的方程 ,整理可得

15、x 22x30,解得 x3 或 x1, 代入直线的方程可得 y4 或 0, 即 A(3,4),B(1,0), 所以 (3 , 4) (1 , 0) (3 ) (1 ) 33 3 2 , 故选:C 8已知 x,y 满足约束条件 ,则 Z|x3y2|的取值范围是( ) A0,7 B(1,7) C0,4 D1,4 【分析】根据二元一次不等式组画出可行域,目标函数几何意义 zx3y2 的纵截 距相反数,平移目标函数观察 Z 取值范围 解:如图可行域: 令 zx3y2, 平移直线 x3y20 可知当直线过 C (0, 1) 时, z取得最大值, 1, 经过 B(2,0)时,z有最小值 z7,Z|x3y2

16、|,所以 Z 的取值范围:0,7 故选:A 9 棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中 P 为正方体表面上的一个动点, 且总有 PCBD1, 则动点 P 的轨迹的长度为( ) A B4 C3 D4 【分析】画出正方体,利用已知条件,判断 P 的轨迹,然后求解轨迹长度 解:P 点的轨迹为过点 C 与直线 BD1垂直的截面与正方体的交线,就是图形中点三角形 ACB1,它的周长为:3 故选:C 10设函数 f(x)sin(x )(N *)在 , 上单调递减,则 的值是( ) A1 B1 或 2 C3 D2 【分析】由题意利用正弦函数的单调性以及周期性,可得 ,由此求得 的范围,检验可得答案

17、 解:函数 f(x)sin(x )(N *)在 , 上单调递减, , ,1 或 2 当 1 时,f(x)在 , 上不单调,故只有 2, 故选:D 11已知 F1(c,0)、F2(c,0)是双曲线 : 的左、右焦点,F1关于双曲线 的一条渐近线的对称点为 P,且点 P 在抛物线 y24cx 上,则双曲线的离心率为( ) A B2 C D 【分析】利用已知条件画出图形,求出 P 的坐标,代入抛物线方程,然后转化求解双曲 线的离心率即可 解:如图:F1P 垂直直线 bxay0,交点为 H,F1到双曲线的一条渐近线 bxay0 的 距离为:d b, F1PF2中,PF12d2b,抛物线 y24cx 的

18、焦点坐标(c,0), PF22a,tanF1OH ,cosF1OH ,sinF1OH , 可得 cosOF1P ,sinOF1P ,P( , ), 点 P 在抛物线 y24cx 上, 可得: 8b 24c2, e43e2+10,e1, e 故选:D 12已知函数 f(x) , , ,若存在 0abc,使得 f(a)f(b)f (c),则 Za+b+c 的最小值为( ) A B1 C D无最小值 【分析】由函数 f(x) , , ,画出图象:根据 f(a)f(b)f(c), 可得: 0a1bec lnalnbc+e+1, a , clnb+e+1 则 Za+b+c b lnb+e+1(1be)设

19、 g(x) xlnx+e+1(1xe)利用导数研究函数 的单调性极值与最值即可得出 解:由函数 f(x) , , ,画出图象: f(a)f(b)f(c), |lna|lnb|c+e+1, 由图可知:0a1bec lnalnbc+e+1, a ,clnb+e+1 则 Za+b+c blnb+e+1(1be) 设 g(x) xlnx+e+1(1xe) g(x) 1 , 可得函数 g(x)在(1, )上单调递减,在( ,e)上单调递增 g(x)ming( ) ln e+1 故选:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上) 13已知一组关于

20、(x,y)的数据具有线性相关性:(0,0.9),(1,1.9),(3,3.2), (4,4.4),且 y 与 x 之间的回归方程为 1,则 b 0.8 【分析】求出样本中心,代入回归直线方程,求解即可 解: 2; 2.6, (2,2,6)满足回归直线方程,可得:2.62b+1, 解得 b0.8 故答案为:0.8 14设 x 是函数 f(x)3sinxcosx 的一个极值点,则 sin2+2cos2 【分析】根据极值点处的导数为零,求出 tan 的值,然后再借助于三角恒等变换求出结 论 解:f(x)3cosx+sinx, f()3cos+sin0,tan3 sin2+2cos2 故答案为: 15

21、 在三角形ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c 若abcosC+ccosA, 且 2, c2, 则三角形 ABC 的面积为 【分析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 sinCcosBsinCcosA, 结合 sinC0,可求 cosBcosA,可得 ab,又根据平面向量数量积的运算,余弦定理 可求 a2+b28,进而解得 abc2,从而根据三角形的面积公式即可求解 解:abcosC+ccosA, 由正弦定理可得:sinAsinBcosC+sinCcosA, sin(B+C)sinBcosC+sinCcosBsinBcosC+sinCcosA, sinCcosB

22、sinCcosA, sinC0, cosBcosA, AB,可得 ab, abcosC2,又 c 2a2+b22abcosC,可得 4a2+b222, a2+b28,解得 abc2,可得 ABC , SABC absinC 故答案为: 16在直角梯形 ABCD 中,ABCD,DAB90,满足 DC2,AB1,AD ,沿 BD 将三角形 BDC 折起,把 C 折到 P 点,使平面 PBD平面 ABD,则三棱锥 PABD 的外接球的表面积为 【分析】根据已知先得到BDC 为等边三角形;进而判断球心所在位置,求出半径即可 得到结论 解:在直角梯形 ABCD 中,ABCD,DAB90,满足 DC2,A

23、B1,AD , 所以:ADB30,BDC60; 可得:BDCD2; 即BDC 为等边三角形; 三棱锥 PABD 中,取 BD 的中点 E,连接 PE, 则 PEBD;且 PE ; 因为平面 PBD平面 ABD, PE平面 ABD; 故球心 O 在 PE 上; OD2OE2+ED2R2( R)2+12 R ; 三棱锥 PABD 的外接球的表面积为:4 R2 ; 故答案为: 三、解答题(共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 在全面建成小康社会的决胜阶段, 让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们 党的庄严承诺 在 “脱真贫、 真脱贫” 的过程中, 精准扶贫助推社会公平显

24、得尤其重要 若 某农村地区有 200 户贫困户,经过一年扶贫后,对该地区的“精准扶贫”的成效检查验 收从这 200 户贫困户中随机抽出 50 户,对各户的人均年收入(单位:千元)进行调查 得到如下频数表: 人均年收入 (0,2) 2,4) 4,6) 6,8) 8,10) 10,12 频数 2 3 10 20 10 5 若人均年收入在 4000 元以下的判定为贫困户,人均年收入在 4000 元8000 元的判定为 脱贫户,人均年收入达到 8000 元的判定为小康户 (1)用样本估计总体,估计该地区还有多少户没有脱贫; (2)为了了解未脱贫的原因,从抽取的 50 户中用分层抽样的方法抽 10 户进

25、行调研 贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少? 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍,求小康户中人均年收入最高的一 户被选到的概率 【分析】(1)用样本估计总体,能估计该地区还有多少户没有脱贫 (2)利用分层抽样能求出贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍,基本事件总数 n 18,小 康户中人均年收入最高的一户被选到包含的基本事件个数 m 6, 由此能求出小康 户中人均年收入最高的一户被选到的概率 解:(1)用样本估计总体,n , 该地区还有 20 户未脱贫 (2)贫困户抽到:10 1 人, 脱贫户抽到:10 6 人, 小康户

26、3 抽到:10 3 人 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍, 基本事件总数 n 18, 小康户中人均年收入最高的一户被选到包含的基本事件个数 m 6, 小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率 p 18已知数列an,前 n 项和为 Sn n 2 n(nN *) (1)求数列an的通项公式; (2)已知数列 bn lg ,求其前 n 项和 Tn 【分析】(1)利用 anSnSn1求出 an,再检验当 n1 时也适合,从而求得 an; (2)先求出 bn,再利用分组求和、裂项相消法求和求出 Tn 解: (1) 当 n1 时, a1S11, 当 n2 时, anSnSn1 ,又当 n1

27、 时也满足 an3n2, 数列an的通项公式为 an3n2; (2)由(1)知 an3n2,故 bn lg 2 (lganlgan+1), Tn(2 2 2 )+(lga1lga2)+(lga2lga3)+(lganlgan+1) lga1lgan+1 19如图所示,直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADAB,ABBC2AD2,四边形 EDCF 为矩形,且平面 EDCF平面 ABCD (1)求证:DF平面 ABE; (2)若直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 45,求三棱锥 FABE 的体积 【分析】(1)取 BC 中点 G,连接 GA,GF,GD,由已知可得四边形 ABGD 与四边形

28、AGCD 均为平行四边形,得到 AGDC,AGDC,又 DCEF,DCEF,可得四边形 AGEF 为平行四边形,得 GFAE,得到 GF平面 ABE;再证明 GD平面 ABE,由平 面与平面平行的判定可得平面 GDF平面 ABE,从而得到 DF平面 ABE; (2)由已知证得 ED平面 ABCD,可得EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成角,得 EBD45,求得 EDDB ,由(1)知 DF平面 ABE,再由等体积法求三棱锥 F ABE 的体积 【解答】(1)证明:取 BC 中点 G,连接 GA,GF,GD, ADBC,AD BC,ADBG,ADBG,ADGC,ADGC 四边形 ABGD

29、 与四边形 AGCD 均为平行四边形 AGDC,AGDC,又 DCEF,DCEF, AGEF,AGEF,则四边形 AGEF 为平行四边形,得 GFAE GF平面 ABE,AE平面 ABE,GF平面 ABE; GDAB,GD平面 ABE,AB平面 ABE,GD平面 ABE 又 GFGDG,平面 GDF平面 ABE, 而 DF平面 GDF,DF平面 ABE; (2)解:EDDC,平面 EDCF平面 ABCD, ED平面 EDCF,平面 EDCF平面 ABCDDC, ED平面 ABCD, EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成角,得EBD45, EDDB , 由(1)知 DF平面 ABE, V

30、FABEVDABEVEABD 20已知线段 AB 的长为 2,点 A 与点 B 关于原点对称,圆 M 经过点 A,B 且与直线 x+10 相切 (1)求圆心 M 的轨迹方程; (2)直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 C,D(异于原点 O),若 kOC+kOD2,判断直 线 l 是否经过定点若经过,求出该定点,否则说明理由 【分析】(1)设点 M 的坐标,由半径相等可得 M 的轨迹方程; (2)由题意可得直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之 和及两根之积, 求出直线 OC, OD 的斜率 由斜率之和为 2 可得直线 l 恒过定点 (0, 1) 解:(1)

31、 设 M (x, y) , 由题意可得圆心 M 在 AB 的中垂线上, 所以半径 r , 因为圆 M 与直线 x+10 相切所以圆的半径 r|x+1|, 所以 |x+1|,整理可得 y 22x; (2)若直线 l 与 x 轴垂直,设 l 的方程 xt,则 C(t, ),D(t, ), 因为 kOC+kOD2,02,显然不成立; 所以 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 ykx+m(k0),设 C( ,y1)D( , y2), 联立直线与抛物线的方程: , 整理可得: ky22y+2m0, y1+y2 , y 1y2 , kOC+kOD 2, 所以 y1+y2y1y2,所以 ,所以 m1

32、, 所以直线 l 恒过定点(0,1) 21已知函数 f(x)tex3x2,其中 tR (1)若函数 f(x)存在三个不同的零点,求 t 的取值范围; (2)若函数 f(x)存在三个不同的零点 a,b,c;且 abc求证:b+c4 【分析】 (1) 由已知分离参数可得 t , 已知函数的零点可转化为两函数的交点问题, 可构造函数 g(x) ,结合导数分析函数的特征性质,可求; (2)由题意可得 a0b2c,要证 b+c4,只要证 c4b2,结合 g(x)在(2, +)上单调性,故只要证 g(c)g(4b),结合 g(c)g(b),构造函数 h(x) g(x)g(4x),0x2,结合复合函数的单调

33、性可证 解:(1)由 f(x)0 可得 t , 设 g(x) ,则 , 当 x2 或 x0 时,g(x)0,g(x)单调递减,当 0x2 时,g(x)0,g(x) 单调递增, 故 g(0)0,g(2) ,且 g(x)0 恒成立,由题可知 yg(x)与 yt 有 3 个不 同的交点, 故 , (2)由题意可得 a0b2c, 要证 b+c4,只要证 c4b2, 又 g(x)在(2,+)上单调递减,故只要证 g(c)g(4b), 因为 g(c)g(b), 只要证 g(b)g(4b), 令 h(x)g(x)g(4x),0x2, 则由(1)可知,g(x)在(0,2)上单调递增,根据复合函数的单调性可知,

34、h(x) g(x)g(4x)在(0,2)上单调递增, 所以 h(x)h(2)g(2)g(2)0,即 h(x)0, 所以 g(x)g(4x), 所以 g(b)g(4b),从而原不等式成立 故 b+c4 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 是参数),在以坐标原 点为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为: (1)写出曲线 C 的普通方程、直线 l 的直角坐标方程; (2)直线 l 与 x、y 轴交于 A,B 两点;P 为曲线 C 上的一个动点,求三角形 PAB 的面积 的最大值 【分析】(1)将曲线 C 的参数方程消去参数化为普通方程

35、,将 cosx,siny 代入 极坐标方程,得到直线 l 的普通方程 (2)设曲线 C 上的动点 P( cos, sin),利用点线距公式以及三角函数的有界 性求出最值,代入三角形的面积公式中即可 解:(1)曲线 C 的参数方程为 ( 为参数), 消去参数可得曲线 C 的普通方程为 1 由 cos( )8 可得 cossin8, 即直线 l 的直角坐标方程为 xy80 (2)设点 P( cos, sin), 则 P 到直线 l 的距离 d (其中 tan ) 所以 d6 , 当且仅当 sin(+)1,即 cossin ,sincos 时取等号, 又|AB|8 , SPAB的最大值为 |AB|d

36、 8 6 48 选修 4-5:不等式选讲 23已知 f(x)|x|+|2x1| (1)解关于 x 的不等式 f(x)4; (2)对任意的 xR 都有 f(x)+2xa0 恒成立,求 a 的最大值 【分析】(1)由题意可得|x|+|2x1|4,由零点分区间法和绝对值的意义,去绝对值, 解不等式,求并集,可得所求解集; (2)由题意可得 a(|x|+|2x1|+2x)min,设 g(x)|x|+|2x1|+2x,去绝对值,结合 一次函数的单调性,可得 g(x)的最小值,即可得到所求 a 的最大值 解:(1)f(x)4 即|x|+|2x1|4, 等价为 或 或 , 解得 x 或 x或 x1, 综上可得,原不等式的解集为x|x1 或 x ; (2)对任意的 xR 都有 f(x)+2xa0 恒成立, 即为 a(|x|+|2x1|+2x)min, 设 g(x)|x|+|2x1|+2x, 当 x0 时,g(x)x+12x+2xx+1,递减; 当 0x 时,g(x)x+12x+2xx+1,递增, 当 x 时,g(x)x+2x1+2x5x1,递增, 且 g( ) ,可得 g(x)在(0,+)递增,可得 g(x)在 x0 处取得最小值 1, 则 a1,可得 a 的最大值为 1