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上海市二校联考2020年高考数学二模试卷(含答案解析)

1、1计算矩阵的乘积:(ab)( )     2  32  3n   3已知   ,则 sin 的值等于   4若双曲线 的焦距为 6,则该双曲线的虚轴长为   5在首项为 21,公比为 的等比数列中,最接近于 1 的项是第   项 6如图,二面角 l 的大小是 ,线段 AB,Bl,AB 与 l 所成的角为 ,则 AB 与平 面 所成的角是   (用反三角函数表示) 7已知 a,b,c 分别为ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,a2 且(2+b)(sinAsinB) (cb)sinC,则ABC

2、面积的最大值为   8已知函数 f(x)lg(x+1),g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0x1 时,有 g(x) f(x),则函数 yg(x)(x1,2)的反函数是 y   9已知 yf(x)是定义在 R 上的函数,方程 f(2019+x)f(2020x)0 恰好有 7 个 解,则这 7 个解的和为   10 设 0. 是一个循环节长度为两位的循环纯小数, 其中 a 和 b 分别为 10 以内的非负整数, 且 ab,b0,若集合   ,  ,则 A 中所有元素的和为    11已知数列an满足   &nbs

3、p;为奇数 为偶数(nN *), (k 是一个已知的 正整数),若存在 mN*,当 nm 且 an为奇数时,an恒为常数 p,则 p    12若实数 x,y 满足 2cos2(x+y1) ,则 xy 的最小值为    二.选择题 13 已知函数 yf (x) 是 R 上的增函数, 则对任意 x1, x2R, x1x2 是 f (x1) f (x2) 的( )条件 A充分非必要 B必要非充分  C充分必要 D非充分非必要 14已知 z11,   (bR),  ,则 z 对应的点在( ) A圆上 B抛物线上 C双曲线上 D椭圆

4、上 15在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足|  |  |   2,则 点集P|      ,|+|1,R所表示的区域的面积是( ) A B C D  16已知 a1,a2,a3,a41,2,3,4,N(a1,a2,a3,a4)为 a1,a2,a3,a4中不同数字 的种类,如 N(1,1,2,3)3,N(1,2,2,1)2,求所有的 256 个(a1,a2,a3, a4)的排列所得的 N(a1,a2,a3,a4)的平均值为( ) A  B  C  D  三.解答题

5、17如图所示,用一个半径为 10 厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥,放在水平桌面 上,被一阵风吹倒 (1)求该圆锥的表面积 S 和体积 V; (2)求该圆锥被吹倒后,其最高点到桌面的距离 d 18已知函数 f(x)Asin(x+)+b(A0,0,   )的图象如图所示 (1)求出函数 f(x)的解析式; (2)若将函数 f(x)的图象向右移动 个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的 (纵 坐标不变)得到函数 yg(x)的图象,求出函数 yg(x)的单调递增区间及对称中心 19若函数 yf(x)满足存在正数 ,使得对定义域内的每一个值 x1,在其定义域内都 存在 x2,使 f(x1

6、)f(x2) 成立,则称该函数为依附函数 (1)分别判断函数f(x)2x,g(x)log2x 是否为依附函数,并说明理由;  (2)若函数 yh(x)的值域为m,n,求证:yh(x)是依附函数的充要条 件是0m,n 20如图,已知点 P 是 x 轴下方(不含 x 轴)一点,抛物线 C:yx2上存在不同的两点 A、 B 满足  ,  ,其中 为常数,且 D、E 两点均在 C 上,弦 AB 的中点为 M (1)若 P 点坐标为(1,2),3 时,求弦 AB 所在的直线方程; (2)在(1)的条件下,如果过 A 点的直线 l1与抛物线 C 只有一个交点,过 B 点的直线

7、 l2与抛物线 C 也只有一个交点,求证:若 l1和 l2的斜率都存在,则 l1与 l2的交点 N 在直 线 PM 上; (3) 若直线 PM 交抛物线 C 于点 Q, 求证: 线段 PQ 与 QM 的比为定值, 并求出该定值 21设数列an(nN*)是公差不为零的等差数列,满足 a3+a6a9,a5+a726a9;数列bn (nN*)的前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn+2bn3 (1)求数列an、bn的通项公式; (2)在 b1和 b2之间插入 1 个数 x11,使 b1,x11,b2成等差数列;在 b2和 b3之间插入 2 个数 x21,x22,使 b2,x21,x22,b3成等差数列

8、;在 bn和 bn+1之间插入 n 个数 xn1, xn2,xnn,使 bn,xn1,xn2,xnn,bn+1成等差数列 (i)求 Tnx11+x21+x22+xn1+xn2+xnn; (ii)是否存在正整数 m,n,使 Tn 成立?若存在,求出所有的正整数对(m,n) ; 若不存在,请说明理由 参考答案 一.填空题 1计算矩阵的乘积:(ab)( )  (3aac) 【分析】利用矩阵的乘积运算法则即可得出 解:3a+b03a,ac+b0ac, (ab)( ) (3aac) 故答案为:(3aac) 2  32  3n  4n 【分析】根据二项式展开式定理,

9、逆用即可 解:  32  3n   3   32     3n (1+3)n 4n 故答案为:4n 3已知   ,则 sin 的值等于 【分析】把已知的等式左右两边平方,左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的 正弦函数公式化简,右边计算出结果,整理后即可求出 sin 的值 解:把   两边平方得: (sin cos ) 2( )2, 即 sin2 2sin cos cos 2 1+sin , sin 故答案为: 4若双曲线 的焦距为 6,则该双曲线的虚轴长为 【分析】通过双曲线的焦距,求出 m,然后求解双曲线的

10、虚轴长 解:双曲线 的焦距为 6, 可得   ,解得 m 所以双曲线的虚轴长为:2 故答案为:2 5在首项为 21,公比为 的等比数列中,最接近于 1 的项是第 5 项 【分析】由已知可先求出数列的通项公式,进而可求 解:可得,等比数列的通项公式 an21  ,则数列单调递减, a51 1 ,1a61 , 故当 n5 时,数列的项与 1 最接近 故答案为:5 6如图,二面角 l 的大小是 ,线段 AB,Bl,AB 与 l 所成的角为 ,则 AB 与平 面 所成的角是 arcsin (用反三角函数表示) 【分析】过点 A 作平面 的垂线,垂足为 C,在 内过 C 作 l 的垂

11、线,垂足为 D,连接 AD,可得ADC 为二面角 l 的平面角,连接 CB,则ABC 为 AB 与平面 所成 的角,在直角三角形 ABC 中即可求解 解:过点 A 作平面 的垂线,垂足为 C, 在 内过 C 作 l 的垂线,垂足为 D, 连接 AD,由三垂线定理可知 ADl, 故ADC 为二面角 l 的平面角,为 , 又由已知,ABD , 连接 CB,则ABC 为 AB 与平面 所成的角 设 AD2,则 AC ,CD1,AB 4 直线 AB 与平面 所成的角的正弦值 sinABC , 即 AB 与平面 所成的角是 arcsin 故答案为:arcsin 7已知 a,b,c 分别为ABC 的三个内

12、角 A,B,C 的对边,a2 且(2+b)(sinAsinB) (cb)sinC,则ABC 面积的最大值为 【分析】由正弦定理化简已知可得 2ab2c2bc,结合余弦定理可求 A 的值,由基本 不等式可求 bc4,再利用三角形面积公式即可计算得解 解:因为:(2+b)(sinAsinB)(cb)sinC (2+b)(ab)(cb)c 2a2b+abb2c2bc, 又因为:a2, 所以:                  , ABC 面积   , 而 b2+c2a2bc b2+c2bca2 b2+

13、c2bc4 bc4 所以:   ,即ABC 面积的最大值为 故答案为: 8已知函数 f(x)lg(x+1),g(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 0x1 时,有 g(x) f(x),则函数 yg(x)(x1,2)的反函数是 y 310x(x0,lg2) 【分析】结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解 解:当 x1,2时,2x0,1, yg(x)g(x2)g(2x)f(2x)lg(3x), 由单调性可知 y0,lg2, 又x310y, 所求反函数是 y310x,x0,lg2 故答案为:310x,x0,lg2 9已知 yf(x)是定义在 R 上的函数,方程 f(2019+x)f(2020

14、x)0 恰好有 7 个 解,则这 7 个解的和为 3.5 【分析】构造函数 g(x)f(2019+x)f(2020x),则函数 g(x)满足 g(1x) g(x),即函数 g(x)关于直线 x 对称,所以方程 g(x)0 的 7 个解有一个根为 ,左右各对应 3 个根,从而求出这 7 个解的和 解:设 g(x)f(2019+x)f(2020x), 则 g(1x)f(2020x)f(2019+x), 函数 g(x)满足 g(1x)g(x), 函数 g(x)关于直线 x 对称, 方程 g(x)0 的所有实数根也是关于 在数轴上对称分布, 一旦在 的左侧取到实数根,一定也能在 的右侧取到相应实数根,

15、且两根之和为 1, 方程 f(2019+x)f(2020x)0 恰好有 7 个解,即方程 g(x)0 恰好有 7 个解, 有一个根为 ,左右各对应 3 个根, 这 7 个解的和为 1+1+1 3.5, 故答案为:3.5 10 设 0. 是一个循环节长度为两位的循环纯小数, 其中 a 和 b 分别为 10 以内的非负整数, 且 ab,b0,若集合   ,  ,则 A 中所有元素的和为 143  【分析】 先由题意得到0. n , 再利用列举法求出满足题意的n即可 解:由题意可知 0. ,n 又a 和 b 分别为 10 以内的非负整数, 且 ab,b0, 当 a0 时

16、,b1,3,9,此时 n 依次等于 99,33,11; 当 a0 时,n 均不存在 综合知:A99,11,33,故 A 中所有元素的和为 99+11+33143 故答案为:143 11已知数列an满足    为奇数 为偶数(nN *), (k 是一个已知的 正整数),若存在 mN*,当 nm 且 an为奇数时,an恒为常数 p,则 p 1  【分析】推导出 anp,an+13p+1,an+2 p,由此能求出 p 解:若存在 mN*,当 nm 且 an为奇数时,an恒为常数 p, 则 anp,an+13p+1,an+2 p, 解得 p1 故答案为:1 12若实数 x

17、,y 满足 2cos2(x+y1) ,则 xy 的最小值为 【分析】配方可得 2cos2(x+y1) (xy+1) ,由基本不等式 可得(x+y+1) 2,或(xy+1) 2,进而可得 cos(x+y1) 1,xy ,由此可得 xy 的表达式,取 k0 可得最值 解:       , 2cos2(x+y1) 2cos2(x+y1) , 故 2cos2(x+y1) (xy+1) , 由基本不等式可得(xy+1) 2,或(xy+1) 2, 2cos2(x+y1)2,由三角函数的有界性可得 2cos2(x+y1)2, 故 cos2(x+y1)1,即 cos(x+y1)1

18、,此时 xy+11,即 xy x+y1k,kZ,故 x+y2xk+1,解得 x , 故 xyx x    ,当 k0 时,xy 的最小值 , 故答案为: 二.选择题 13 已知函数 yf (x) 是 R 上的增函数, 则对任意 x1, x2R, x1x2 是 f (x1) f (x2) 的( )条件 A充分非必要 B必要非充分  C充分必要 D非充分非必要 【分析】利用增函数的定义即可判断出关系 解: 函数 yf (x) 是 R 上的增函数, 则对任意 x1, x2R, x1x2 f (x1) f (x2) , 故选:C 14已知 z11,   (bR)

19、,  ,则 z 对应的点在( ) A圆上 B抛物线上 C双曲线上 D椭圆上 【分析】由已知求得 z1,代入 z 化简得到 zb22bi,设 P(x,y),则   ,消 去 b 即可得到点 P 的轨迹 解:因为   ,所以 z1 , 则  1(1bi)21b22bi, 复数 z 在复平面内所对应的点为 P(b2,2b), 设 P(x,y),则   ,消去 b 得:y 24x(y0) 故 z 对应的点在抛物线上, 故选:B 15在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足|  |  |   2,则 点集P|

20、      ,|+|1,R所表示的区域的面积是( ) A B C D  【分析】由两定点 A,B 满足|  | |  |   2,说明 O,A,B 三点构 成边长为 2 的等边三角形,设出两个定点的坐标,再设出 P 点坐标,由平面向量基本定 理,把 P 的坐标用 A,B 的坐标及 , 表示,把不等式|+|1 去绝对值后可得线性约 束条件,画出可行域可求点集 P 所表示区域的面积 解:由两定点 A,B 满足|  | |  |   2,  ,则|  |2 (  )2 &

21、nbsp;  2   4,则|  |2,说明 O,A,B 三点构成边 长为 2 的等边三角形 不妨设 A( , ),B( , )再设 P(x,y) 由  ,得: ,   ,   ,     , 所以   ,解得 由|+|1 所以等价于 或 或 或 可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域, 则区域面积为     故选:D 16已知 a1,a2,a3,a41,2,3,4,N(a1,a2,a3,a4)为 a1,a2,a3,a4中不同数字 的种类,如 N(1,1,2,3)3,N(1,2,2,

22、1)2,求所有的 256 个(a1,a2,a3, a4)的排列所得的 N(a1,a2,a3,a4)的平均值为( ) A  B  C  D  【分析】根据题意,依次分析 N(a1,a2,a3,a4)1、2、3、4 时的情况数目,结合不 同数字的种类的定义分析可得答案 解:根据题意,(a1,a2,a3,a4)的排列共有 256 种, 其中当 N(a1,a2,a3,a4)1 时,即排列中只有 1 个数字,有 4 种情况, 当 N (a1, a2, a3, a4) 2 时, 即排列中有 2 个不同的数字, 若有 3 个数字相同, 有 C42C43A22 48 种

23、情况, 若有 2 个数字相同,有 C42C4236 种情况, 此时有 48+3684 种情况, 当 N(a1,a2,a3,a4)3 时,即排列中有 3 个不同的数字,有 3C43C42A22144 种情 况, 当 N(a1,a2,a3,a4)3 时,即排列有 4 个不同的数字,有 A4424 种情况, 则 N(a1,a2,a3,a4)的平均值为          ; 故选:D 三.解答题 17如图所示,用一个半径为 10 厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥,放在水平桌面 上,被一阵风吹倒 (1)求该圆锥的表面积 S 和体积 V; (2)求该圆

24、锥被吹倒后,其最高点到桌面的距离 d 【分析】(1)设圆锥底面半径为 r 厘米,母线的长为 l 厘米,则 l10 厘米,利用半圆 周长等于圆锥底面周长列式求得 r5 厘米,则表面积可求,再求出圆锥的高,则体积可 求 (2)由(1)知,圆锥的轴截面为等边三角形,且边长为 10 厘米,可得最高点到底面的 距离为等边三角形的高 解:(1)设圆锥底面半径为 r 厘米,母线的长为 l 厘米,则 l10 厘米,且 2rl, 解得:r5 厘米, 表面积 Srl50(平方厘米), 圆锥的高     (厘米), 体积    (立方厘米) (2)由(1)知,圆锥的轴截面为等

25、边三角形,且边长为 10 厘米, 最高点到底面的距离为等边三角形的高,   厘米 故该圆锥被吹倒后,其最高点到桌面的距离 d 厘米 18已知函数 f(x)Asin(x+)+b(A0,0,   )的图象如图所示 (1)求出函数 f(x)的解析式; (2)若将函数 f(x)的图象向右移动 个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的 (纵 坐标不变)得到函数 yg(x)的图象,求出函数 yg(x)的单调递增区间及对称中心 【分析】 (1) 由函数的图象的顶点坐标求出 A 和 b, 由周期求出 , 最高点求出 的值, 可得函数的解析式 (2)由题意利用正弦函数的单调性,以及图象的对称性

26、,求出函数 yg(x)的单调递 增区间及对称中心 解:(1)由函数 f(x)的图象可得   ,解得: 又由 得:  ,   而  得: ,kZ,   ,  , 综上:       (2)显然       , 由   , kZ, 得 g (x) 的单调递增区间为   ,  , kZ, 由  ,kZ 得:对称中心是  , ,kZ 19若函数 yf(x)满足存在正数 ,使得对定义域内的每一个值 x1,在其定义域内都 存在 x2,使

27、f(x1)f(x2) 成立,则称该函数为依附函数 (1)分别判断函数f(x)2x,g(x)log2x 是否为依附函数,并说明理由;  (2)若函数 yh(x)的值域为m,n,求证:yh(x)是依附函数的充要条 件是0m,n 【分析】(1)根据依附函数的定义直接判断即可; (2)从必要性及充分性两个角度,利用反正法求证即可 解:(1)可取 1,则对任意 x1R,存在 x2x1R,使得     成立, (说明:可取任意正数 ,则 x2log2x12 分) f(x)2x是依附函数, 对于任意正数 ,取 x11,则 g(x1)0, 此时关于 x2的方程 g(x1)g(x2

28、) 无解, g(x)log2x 不是依附函数 (2)证明:必要性:(反证法)假设 0m,n, yh(x)的值域为m,n,存在定义域内的 x1,使得 h(x1)0, 对任意正数 ,关于 x2的方程 h(x1)h(x2) 无解, 即 yh(x)不是依附函数,矛盾, 充分性:假设 0m,n,取 mn0, 则对定义域内的每一个值 x1,由 h(x1)m,n,可得  , , , 而 yh(x)的值域为m,n, 存在定义域内的 x2,使得 ,即 h(x1)h(x2) 成立, yh(x)是依附函数 20如图,已知点 P 是 x 轴下方(不含 x 轴)一点,抛物线 C:yx2上存在不同的两点 A、

29、B 满足  ,  ,其中 为常数,且 D、E 两点均在 C 上,弦 AB 的中点为 M (1)若 P 点坐标为(1,2),3 时,求弦 AB 所在的直线方程; (2)在(1)的条件下,如果过 A 点的直线 l1与抛物线 C 只有一个交点,过 B 点的直线 l2与抛物线 C 也只有一个交点,求证:若 l1和 l2的斜率都存在,则 l1与 l2的交点 N 在直 线 PM 上; (3) 若直线 PM 交抛物线 C 于点 Q, 求证: 线段 PQ 与 QM 的比为定值, 并求出该定值 【分析】(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),求出 D、E 坐标,设 A(3,9),B(1

30、, 1),然后判断求解弦 AB 所在的直线方程 (2)设 l1:y9k1(x3),与 C:y2x 联立,并令0,可得 k16,同理 l2的斜 率 k22,求出交点坐标,然后推出直线 PM 的方程即可 (3)设 P(x0,y0),设出 A、B 坐标,由  ,求出     , ,代入 yx2,说明 x1、x2是方程           的两个不同的根,利用韦达 定理,求出 P、Q 坐标,然后求解线段比例即可 【解答】(1)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由  ,  , 可得  

31、  , ,    , , 由 D 点在 C 上可得:    ,化简得:  ,同理可得: , A、B 两点不同,不妨设 A(3,9),B(1,1), 弦 AB 所在的直线方程为 2xy+30 (2)证明:由(1)可知,A(3,9),B(1,1),设 l1:y9k1(x3), 与 C:y2x 联立,并令0,可得 k16,同理 l2的斜率 k22, l1:6xy90,l2:2x+y+10, 解方程组得:交点 N(1,3),而直线 PM 的方程为 x1,得证 (3) 证明: 设 P (x0, y0) ,   ,  , &n

32、bsp; ,  , 由  , 得     , , 代入 yx2,化简得:  , 同理可得:  , 显然 x1x2,x1、x2是方程           的两个不同的根, x1+x22x0,  ,  ,即直线 PM 的方程为 xx0,  ,   ,    ,     , 线段 PQ 与 QM 的比为定值   21设数列an(n一、选择题*)是公差不为零的等差数列,满足 a3+a6a9,a5+a726

33、a9; 数列bn(nN*)的前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn+2bn3 (1)求数列an、bn的通项公式; (2)在 b1和 b2之间插入 1 个数 x11,使 b1,x11,b2成等差数列;在 b2和 b3之间插入 2 个数 x21,x22,使 b2,x21,x22,b3成等差数列;在 bn和 bn+1之间插入 n 个数 xn1, xn2,xnn,使 bn,xn1,xn2,xnn,bn+1成等差数列 (i)求 Tnx11+x21+x22+xn1+xn2+xnn; (ii)是否存在正整数 m,n,使 Tn 成立?若存在,求出所有的正整数对(m,n) ; 若不存在,请说明理由 【分析】(1)

34、设数列an的公差为 d,(d0),利用等差数列的通项公式求出 d1, 从而 ann再由 4Sn+2bn3,当 n2 时,4Sn1+2bn13,推导出bn是首项为 ,公 比为 的等比数列,由此能求出 b n (2)(i) 在bn和bn1之间插入n个数  ,  , ,  , 推导出  , 从而 xnkbn+kdn ,进而 Tnx11+x21+xn1+xn2+xnn ,由此利用错位相减法能求出 Tn (ii)m 2 ,当 n1 时,m2 3N*,当 n2 时,m 2 9 *,当 n3 时,m2+13N*,再证明当 n4(nN*)时,3n6n90,由 此能求出所

35、有的正整数对 解:(1)设数列an的公差为 d,(d0), 则由 a3+a6a9,得(a1+2d)+(a1+5d)a1+8d,a1d, a5+a726a9,(a1+4d)+(a1 +6d)26(a1+8d), 将 a1d 代入上式,得 5d+49d254d,49d249d, d0,d1,ann 由 4Sn+2bn3, 当 n2 时,4Sn1+2bn13, ,得 4bn+2bn2bn10,  ,(n2), 又 4b1+2b13,  0, bn是首项为 ,公比为 的等比数列, bn ,(nN*) (2)(i)在 bn和 bn1之间插入 n 个数  , ,  

36、, bn,x n1 ,x n2,xnm ,b n+1成等差数列,设公差为 dn,  , 则 xnkbn+kdn , n , Tnx11+x21+x n1+xn2+xnn , 则 , ,得 T n (1 ) , Tn (ii)假设存在正整数 m,n,使 Tn 成立,  m 2 , 当 n1 时,m2 3N*, 当 n2 时,m2 9N *, 当 n3 时,m2+13N*, 下证,当 n4(nN*)时,有 3n2n34n+6,即证 3n6n90, 设 f(x)3x6x9,x4,则 f(x)3xln363x60, f(x)在4,+)上单调递增, 故 n4 时,3n6n934649480, 0 1, n4 时,m 不是整数, 所有的正整数对(m,n)为(9,2)及(3,3)