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辽宁省抚顺市六校(省重点)联合体2020届高三5月联考数学试题(理科)含答案解析

1、2020 年高考数学模拟试卷(理科)(年高考数学模拟试卷(理科)(5 月份)月份) 一、选择题(共 12 小题). 1设集合 Ax|log2x1,Bx|x2x20,则BA( ) A(,2) B(1,0 C(1,2) D(1,0) 2已知 ,若 ,则 a( ) A1 B C D5 3已知 , , ,则( ) Aabc Bcba Cacb Dbac 4某公司对旗下的甲、乙两个门店在 1 至 9 月份的营业额(单位:万元)进行统计并得到 如图折线图 下面关于两个门店营业额的分析中,错误的是( ) A甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,故而营业额的平均值约为 32 万元 B根据甲门店的营业额折线图可

2、知,该门店营业额的平均值在20,25内 C根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势 D乙门店在这 9 个月份中的营业额的极差为 25 万元 5若 x,y 满足约束条件 ,则 zx2y 的最大值为( ) A5 B6 C3 D4 6某几何体的三视图如图所示,则其体积是( ) A B36 C63 D216+9 7著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微数形结合百般好, 隔裂分家万事休 ” 在数学的学习和研究中, 我们经常用函数的图象来研究函数的性质, 也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的 LOGO 为,可 抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函

3、数中,其图象大致可“完美”局部表达这 条曲线的函数是( ) A B C D 8已知函数 f(x)sin(x+)(0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ,若 , ,则正数 的最小值为( ) A B C D 9若 的展开式中 x2的项的系数为 ,则 x5的项的系数为( ) A B C D 10抛物线 C:y24x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点, 点 P 为抛物线 C 上的动点,且点 P 在 l 的左侧,则PMN 面积的最大值为( ) A B C D 11 在矩形 ABCD 中, AB4, BC3, 沿矩形对角线 BD 将BCD 折起形成四面体

4、 ABCD, 在这个过程中,现在下面四个结论: 在四面体 ABCD 中,当 DABC 时,BCAC; 四面体 ABCD 的体积的最大值为 ; 在四面体 ABCD 中,BC 与平面 ABD 所成角可能为 ; 四面体 ABCD 的外接球的体积为定值 其中所有正确结论的编号为( ) A B C D 12 若对任意的 x1, x2 2, 0) , x1x2, a 恒成立, 则 a 的最小值为 ( ) A B C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 (m,1), (4,m),向量 在 方向上的投影为 ,则 m 14在ABC 中,角

5、 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 , , , 则ABC 的面积为 15若 ,则 16双曲线 C 的渐近线方程为 ,一个焦点为 F(0,8),则该双曲线的标准方 程为 已知点 A(6,0),若点 P 为 C 上一动点,且 P 点在 x 轴上方,当点 P 的位置变化时,PAF 的周长的最小值为 三、解答题;共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17设an是一个首项为 2,公比为 q(q1)的等比数列,且 3a1,2a2,a3成等差数列 (1)

6、求an的通项公式; (2)已知数列bn的前 n 项和为 Sn,b11,且 1(n2),求数列an bn 的前 n 项和 Tn 18 如图, 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面为正方形, AB1, AA13, 2 , 2 , N 是棱 C1D1的中点,平面 AEC1与直线 DD1相交于点 F (1)证明:直线 MN平面 AEC1F (2)求二面角 EACF 的正弦值 19已知 0m2,动点 M 到两定点 F1(m,0),F2(m,0)的距离之和为 4,设点 M 的轨迹为曲线 C,若曲线 C 过点 , (1)求 m 的值以及曲线 C 的方程; (2)过定点 , )且斜率不为零的直线 l 与曲线

7、 C 交于 A,B 两点证明:以 AB 为直 径的圆过曲线 C 的右顶点 20已知函数 f(x)lnxtx+t (1)讨论 f(x)的单调性; (2) 当 t2 时, 方程 f (x) max 恰有两个不相等的实数根 x1 , x 2, 证明: 21 2020 年 4 月 8 日零时正式解除离汉通道管控, 这标志着封城 76 天的武汉打开城门了 在 疫情防控常态下,武汉市有序复工复产复市,但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕, 严密防范、 慎终如始 为科学合理地做好小区管理工作, 结合复工复产复市的实际需要, 某小区物业提供了 A, B 两种小区管理方案, 为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方

8、 案,随机选取了 4 名物业人员进行投票,物业人员投票的规则如下: 单独投给 A 方案,则 A 方案得 1 分,B 方案得1 分; 单独投给 B 方案,则 B 方案得 1 分,A 方案得1 分; 弃权或同时投票给 A,B 方案,则两种方案均得 0 分 前 1 名物业人员的投票结束,再安排下 1 名物业人员投票,当其中一种方案比另一种方 案多 4 分或 4 名物业人员均已投票时,就停止投票,最后选取得分多的方案为小区的最 终管理方案假设 A,B 两种方案获得每 1 名物业人员投票的概率分别为 和 (1)在第 1 名物业人员投票结束后,A 方案的得分记为 ,求 的分布列; (2)求最终选取 A 方

9、案为小区管理方案的概率 选考题: 共 10 分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.选 修 4-4:坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1的参数方程为 ( 为参数) , 以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 4cos曲线 C3的极坐标方程为 ,曲线 C1与曲线 C2的交线为直线 l (1)求直线 l 和曲线 C3的直角坐标方程; (2)直线 l 与 x 轴交于点 M,与曲线 C3相交于 A,B 两点,求 的值 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)2x1|x1| (1)求

10、不等式 f(x)3 的解集; (2)若方程 f(x)x2+ax 有两个不等实数根,求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|log2x1,Bx|x2x20,则BA( ) A(,2) B(1,0 C(1,2) D(1,0) 【分析】先求出集合 A,B,再利用补集的定义即可算出结果 解:集合 Ax|log2x1x|0x2,Bx|1x2, BAx|1x0, 故选:B 【点评】本题主要考查了集合的基本运算,是基础题 2已知 ,若 ,则 a( ) A1 B C D5 【分析】 z 2a

11、ai, 利用互为共轭复数的性质可得 z , a 0,解得 a 解:z 2aai, 5z ,a0,解得 a1 故选:A 【点评】本题考查了复数的运算法则、互为共轭复数的性质,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题 3已知 , , ,则( ) Aabc Bcba Cacb Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解:30.3301,a1, ,0b , ,且 , , acb, 故选:C 【点评】本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 4某公司对旗下的甲、乙两个门店在 1 至 9 月份的营业额(单位:万元)进行统计并得到 如图折线图

12、 下面关于两个门店营业额的分析中,错误的是( ) A甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,故而营业额的平均值约为 32 万元 B根据甲门店的营业额折线图可知,该门店营业额的平均值在20,25内 C根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是上升趋势 D乙门店在这 9 个月份中的营业额的极差为 25 万元 【分析】据折线图分别判断 ABCD 的正误即可 解:对于 A,甲门店的营业额折线图具有较好的对称性,最高营业额远低于 32 万元,A 错误 对于 B,甲门店的营业额的平均值为 21.6, 即该门店营业额的平均值在区间20,25内,B 正确 对于 C,根据乙门店的营业额折线图可知,其营业额总体是

13、上升趋势,C 正确 对于 D,乙门店在这 9 个月中的营业额最大值为 30 万元,最小值为 5 万元,则极差为 25 万元,D 正确 故选:A 【点评】本题考查了频率分布折线图,考查数形结合,是一道基础题 5若 x,y 满足约束条件 ,则 zx2y 的最大值为( ) A5 B6 C3 D4 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数 zx2y 为直线方程的斜截式,可知当直 线在 y 轴上的截距最小时 z 最大,结合图象找出满足条件的点,联立直线方程求出点的 坐标,代入目标函数可求 z 的最大值 解:由 x,y 满足约束条件 ,作出可行域如图, 由 zx2y,得 y x , 由图可知,当直线 y

14、x 过可行域内点 A 时 直线在 y 轴上的截距最小,z 最大 联立 ,解得 A(2,3) 目标函数 zx2y 的最大值为2+234 故选:D 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,关键是正确作 出可行域,是中档题 6某几何体的三视图如图所示,则其体积是( ) A B36 C63 D216+9 【分析】由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积 解:由三视图知,该几何体是圆柱与圆锥的组合体,如图所示; 则该组合体的体积为 VV柱+V锥 32 6 3 2 363 故选:C 【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积问题,是基础题 7著名数学家华

15、罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微数形结合百般好, 隔裂分家万事休 ” 在数学的学习和研究中, 我们经常用函数的图象来研究函数的性质, 也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的 LOGO 为,可 抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其图象大致可“完美”局部表达这 条曲线的函数是( ) A B C D 【分析】由函数的对称性及特殊点的函数值,利用排除法得解 解:观察图象可知,函数的图象关于 y 轴对称,而选项 B,D 为奇函数,其图象关于原 点对称,不合题意; 对选项 A 而言,当 , 时,f(x)0,不合题意; 故选:C 【点评】本题考查函数的图象及其

16、性质,考查运算求解能力,属于基础题 8已知函数 f(x)sin(x+)(0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ,若 , ,则正数 的最小值为( ) A B C D 【分析】根据函数 f(x)的性质可知,相邻的与 x 轴的两个交点距离是半个周期,由此 可求得 ,然后 是最值点,求出 的值 解:因为函数 f(x)sin(x+) (0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 , 所以 ,解得 4,故 f(x)sin(4x+), 又因为 , , 是 f (x) 的一条对称轴, 所以 , k Z, , 令 k1,得 为最小值 故选:B 【点评】本题考查据图求式问题的基本思路,注意抓住特殊点、特

17、殊线去求周期、 的值等,属于中档题 9若 的展开式中 x2的项的系数为 ,则 x5的项的系数为( ) A B C D 【分析】先写出展开式的通项并化简,然后根据 x2 的系数为 求出 a 的值,然后再求 x5 的系数 解:由已知得 ,k0,1,8, 令 ,解得 k4, ,解得 令 ,得 k2,故 x5的系数为 故选:C 【点评】本题考查二项式展开式的通项以及系数的求法,还考查了学生的运算能力,属 于基础题 10抛物线 C:y24x 的焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点, 点 P 为抛物线 C 上的动点,且点 P 在 l 的左侧,则PMN 面积的最大值为(

18、 ) A B C D 【分析】由题意可得直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之和,由抛物线的性质可得弦 长 MN 的值,设与直线 l 平行的直线与抛物线相切时,平行线间的距离最大,即PMN 的面积最大,求出面积的最大值 解:由题意可知直线 l 的方程为:y (x1),设 M(x1,y1),N(x2,y2), 代入抛物线的方程可得 3x210x+30,x1+x2 , 由抛物线的性质可得|MN|x1+x2 +p 2 ; 设与直线 l 平行的直线为:y x+m,代入抛物线的方程可得 3x2+(2 m4)x+m2 0, 当直线:y x+m 与抛物线相切时,P 到直线 l 的距离有最大值, 所以(2 4

19、)243m20,解得 m , 直线 l 与直线 y x 的距离 d , 所以PMN 面积的最大值为 , 故选:D 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题 11 在矩形 ABCD 中, AB4, BC3, 沿矩形对角线 BD 将BCD 折起形成四面体 ABCD, 在这个过程中,现在下面四个结论: 在四面体 ABCD 中,当 DABC 时,BCAC; 四面体 ABCD 的体积的最大值为 ; 在四面体 ABCD 中,BC 与平面 ABD 所成角可能为 ; 四面体 ABCD 的外接球的体积为定值 其中所有正确结论的编号为( ) A B C D 【分析】由线面垂直的判定定理

20、可证明 BC平面 DAC,再由线面垂直的性质定理可 知 BCAC; 当平面 BCD平面 ABD 时,四面体 ABCD 的体积最大,再利用棱锥的体积公式进行 运算即可得解; 当平面BCD平面ABD时, BC与平面ABD所成的角最大, 为CBD, 求出sinCBD, 并与 比较大小即可得解; 在翻折的过程中,ABD 和BCD 始终是直角三角形,外接球的直径为 BD,于是四 面体 ABCD 的体积不变 解:如图,当 DABC 时,BCDC,BC平面 DAC, AC平面 DAC,BCAC,即正确; 当平面 BCD平面 ABD 时,四面体 ABCD 的体积最大,最大值为 ,即正确; 当平面 BCD平面

21、ABD 时,BC 与平面 ABD 所成的角最大,为CBD,而 sin CBD , BC 与平面 ABD 所成角一定小于 ,即错误; 在翻折的过程中,ABD 和BCD 始终是直角三角形,斜边都是 BD,其外接球的球心 永远是 BD 的中点,外接球的直径为 BD, 四面体 ABCD 的外接球的体积不变,即正确 正确的有, 故选:C 【点评】 本题考查立体几何中的综合, 涉及线面垂直的判定定理与性质定理、 线面夹角、 棱锥和球的体积公式等,考查学生的空间立体感和推理论证能力,属于中档题 12 若对任意的 x1, x2 2, 0) , x1x2, a 恒成立, 则 a 的最小值为 ( ) A B C

22、D 【分析】不等式恒成立转化为函数 f(x) 在2,0)为减函数,则 f(x) 0,即 aex(x1),构造函数 g(x)ex(x1),利用导数和函数最 值的关系即可求出 解:对任意的 x1,x2 2,0),x1x2,可知 x1x20, 则 a 恒成立等价于 x2 x1e a(x1x2),即 , 函数 f(x) 在2,0)为减函数, f(x) 0, aex(x1), 设 g(x)ex(x1),x 2,0), g(x)xex0, g(x)在2,0)为减函数, g(x)maxg(2) , a , 故选:A 【点评】本题考查了导数和函数单调性和最值的关系,考查了运算能力和转化能力,属 于中档题 二、

23、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13已知向量 (m,1), (4,m),向量 在 方向上的投影为 ,则 m 2 【分析】 本题根据向量 在 方向上的投影公式为 , 然后代入进行计算可解出 m 的值, 注意将 m 的值代入进行检验得到正确的 m 的值 解:由题意,可知 向量 在 方向上的投影为 , 两边平方,可得 5, 整理,得 m24, 解得 m2,或 m2, 当 m2 时, ,不符合题意, m2 故答案为:2 【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题考查了转化思想,方程思想,向量的运 算,以及逻辑思维能力和数学运算能力本题属基础题 14

24、在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 , , , 则ABC 的面积为 2 【分析】由已知利用余弦定理可得 c2+4c120,解得 c2,进而根据三角形的面积公 式即可求解 解: , , , 由余弦定理 a2b2+c22bccosA,可得 2816+c22 ,可得 c 2+4c12 0,解得 c2, SABC bcsinA 2 故答案为:2 【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了方 程思想,属于基础题 15若 ,则 2 【分析】由已知可得 3sin1cos,代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简 求解 解: , 3sin1cos,

25、 2 故答案为:2 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用,考查了运算求解能力,属于基础 题 16双曲线 C 的渐近线方程为 ,一个焦点为 F(0,8),则该双曲线的标准方 程为 已知点 A(6,0),若点 P 为 C 上一动点,且 P 点在 x 轴上 方,当点 P 的位置变化时,PAF 的周长的最小值为 28 【分析】由双曲线的渐近线方程及焦点坐标得关于 a,b 的方程组,求解可得双曲线的标 准方程;设双曲线的上焦点为 F(0,8),则|PF|PF|+8,利用双曲线的定义转化, 再由 A,P,F共线时,|PF|+|PA|最小,从而求得PAF 的周长的最小值 解:双曲线 C 的渐近线方

26、程为 ,一个焦点为 F(0,8), ,解得 a4,b4 双曲线的标准方程为 ; 设双曲线的上焦点为 F(0,8),则|PF|PF|+8, PAF 的周长为|PF|+|PA|+|AF|PF|+|PA|+|AF|+8 当 P 点在第二象限,且 A,P,F共线时,|PF|+|PA|最小,最小值为|AF|10 而|AF|10,故,PAF 的周长的最小值为 10+10+828 故答案为: ;28 【点评】本题考查双曲线标准方程的求法,考查双曲线的几何性质,考查数学转化思想 方法,是中档题 三、解答题;共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每道试题考生都必须作答

27、.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17设an是一个首项为 2,公比为 q(q1)的等比数列,且 3a1,2a2,a3成等差数列 (1)求an的通项公式; (2)已知数列bn的前 n 项和为 Sn,b11,且 1(n2),求数列an bn 的前 n 项和 Tn 【分析】(1)由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得 到所求通项公式; (2)运用等差数列的定义和通项公式可得 Sn,再由数列的递推式可得 an,则 an bn2 (2n1) 3n1,结合数列的错位相减法求和,以及等比数列的求和公式,化简计算可 得所求和 解:(1)an

28、是一个首项为 2,公比为 q(q1)的等比数列,且 3a1,2a2,a3成等差数 列, 可得 4a23a1+a3,即 42q32+2q2,解得 q3(1 舍去), 则 an2 3n1,n N*; (2)由 1,且 1(n2),可得 是首项和公差均为 1 的 等差数列, 可得 1+n1n,即 Sn n2, 可得 n1 时,b1S11;n2 时,bnSnSn1n2(n1)22n1,对 n1 时, 该式也成立, 则 bn2n1,n N*, 可得 an bn2(2n1) 3n1, 则 Tn21 1+3 3+5 9+(2n1) 3n1, 3Tn21 3+3 9+5 27+(2n1) 3n, 上面两式相减

29、可得2Tn21+2(3+9+3n1)(2n1) 3n 21+2 (2n1) 3 n, 化简可得 Tn2+2(n1) 3n 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的递推 式和数列的错位相减法求和,以及化简运算能力,属于中档题 18 如图, 长方体 ABCDA1B1C1D1的底面为正方形, AB1, AA13, 2 , 2 , N 是棱 C1D1的中点,平面 AEC1与直线 DD1相交于点 F (1)证明:直线 MN平面 AEC1F (2)求二面角 EACF 的正弦值 【分析】(1)推导出 C1EAF,D1F2FD,设点 G 为 D1F 的中点,连结 GM,GN,推

30、 导出 GN平面 AEC1F,GM平面 AEC1F,从而平面 MNG平面 AEC1F,由此能证明 MN平面 AEC1F (2)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出二面角 EACF 的正弦值 解:(1)证明:平面 BB1C1C平面 AA1D1D, 平面 AEC1F平面 BB1C1CEC1,平面 AEC1F平面 AA1D1DAF, C1EAF,由题意得 D1F2FD, 设点 G 为 D1F 的中点,连结 GM,GN, N 是棱 C1D1的中点,GNFC1, GN平面 AEC1F,FC1平面 AEC1F,GN平面 AEC1F,

31、D1F2FD, ,GMAF, GM平面 AEC1F,AF平面 AEC1F,GM平面 AEC1F, GNGMG,平面 MNG平面 AEC1F, MN平面 MNG,MN平面 AEC1F (2)解:AB1,DD13,如图,以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系, A(1,0,0),C(0,1,0),F(0,0,1),E(1 1,2), (1,1,0), (0,1,2), (1,0,1), 设平面 ACE 的法向量 (x,y,z), 则 ,取 z1,得 (2,2,1), 设平面 ACF 的法向量 (a,b,c), 则 ,取 a1,得 (1,1,1),

32、设二面角 EACF 的平面角为 , 由|cos| , sin , 二面角 EACF 的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力与运算求解能力,属于中档题 19已知 0m2,动点 M 到两定点 F1(m,0),F2(m,0)的距离之和为 4,设点 M 的轨迹为曲线 C,若曲线 C 过点 , (1)求 m 的值以及曲线 C 的方程; (2)过定点 , )且斜率不为零的直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点证明:以 AB 为直 径的圆过曲线 C 的右顶点 【分析】 (1)先利用定义法判断出点 M 的轨迹

33、为椭圆,再利用题设条件求出方程即可; (2)设直线 l:xty ,曲线 C 的右顶点为 P,由直线 l 与曲线 C 的方程联立得到 y1+y2 与 y1y2,再证 即可 解:(1)解:设 M(x,y),因为|MF1|+|MF2|42m,所以曲线 C 是以两定点 F1,F2 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆,所以 a2 设椭圆 C 的方程为 1(b0),代入点 , 得 b 21,由 c2a2b2,得 c23, 所以 mc ,故曲线 C 的方程为 ; (2)证明:设直线 l:xty ,A(x1,y1),B(x2,y2), 椭圆的右顶点为 P(2,0),联立方程组 消去 x 得(t2+4)y2 0 0

34、,y1+y2 ,y1y2 , 所 以 ( x1 2 ) ( x2 2 ) +y1y2 ( t2+1 ) y1y2 t ( y1+y2) 0, , 故点 P 在以 AB 为直径的圆上,即以 AB 为直径的圆过曲线 C 的右顶点 【点评】本题主要考查轨迹方程的求法及动圆过定点的问题,属于中档题 20已知函数 f(x)lnxtx+t (1)讨论 f(x)的单调性; (2) 当 t2 时, 方程 f (x) max 恰有两个不相等的实数根 x1 , x 2, 证明: 【分析】(1)由已知求得 f(x) ,可得当 t0 时,f(x)在(0,+)上单调 递增,当 t0 时,求出导函数的零点,由导函数的零点

35、对定义域分段,再由导函数在不 同区间内的符号可得原函数的单调性; (2)由 f(x)max,得 lnx+(a2)x+2m0令 g(x)lnx+(a2)x+2,则 g(x1)g(x2)m得到 a2 不妨设 0x 1x2,把证 转化 为证 令 (c1),则 g(c)2lncc ,利用导数证明 g (c)0,即可得到 成立 【解答】(1)解:f(x)的定义域为(0,+),f(x) , 当 t0 时,f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增, 当 t0 时,令 f(x)0,得 0x ,令 f(x)0,得 x f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+)上单调递减 综上所述,当 t0 时,f(

36、x)在(0,+)上单调递增; 当 t0 时,f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+)上单调递减 (2)证明:由 f(x)max,得 lnx+(a2)x+2m0 令 g(x)lnx+(a2)x+2,则 g(x1)g(x2)m 即 lnx1+(a2)x1lnx2+(a2)x2,a2 不妨设 0x1x2,要证 , 只需证 2(2a) ,即证 令 (c1),g(c)2lncc , g(c) 0 g(c)在(1,+)上单调递减,则 g(c)g(1)0 故 成立 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,训练了利用导数证明函数不等式,考查 数学转化思想方法,属难题 21 2020 年 4 月 8 日零

37、时正式解除离汉通道管控, 这标志着封城 76 天的武汉打开城门了 在 疫情防控常态下,武汉市有序复工复产复市,但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕, 严密防范、 慎终如始 为科学合理地做好小区管理工作, 结合复工复产复市的实际需要, 某小区物业提供了 A, B 两种小区管理方案, 为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方 案,随机选取了 4 名物业人员进行投票,物业人员投票的规则如下: 单独投给 A 方案,则 A 方案得 1 分,B 方案得1 分; 单独投给 B 方案,则 B 方案得 1 分,A 方案得1 分; 弃权或同时投票给 A,B 方案,则两种方案均得 0 分 前 1 名物业人员的投票结束,

38、再安排下 1 名物业人员投票,当其中一种方案比另一种方 案多 4 分或 4 名物业人员均已投票时,就停止投票,最后选取得分多的方案为小区的最 终管理方案假设 A,B 两种方案获得每 1 名物业人员投票的概率分别为 和 (1)在第 1 名物业人员投票结束后,A 方案的得分记为 ,求 的分布列; (2)求最终选取 A 方案为小区管理方案的概率 【分析】(1) 的所有可能取值为1,0,1,然后根据相互独立事件的概率逐一求出每 个 的取值所对应的概率即可得分布列; (2) 记 M1表示事件 “前 2 名物业人员进行了投票, 且最终选取 A 方案为小区管理方案” , M2表示事件“前 3 名物业人员进行

39、了投票,且最终选取 A 方案为小区管理方案”,M3 表示事件“共有 4 名物业人员进行了投票,且最终选取 A 方案为小区管理方案”,然后 根据独立重复事件的概率逐一求出每种事件对应的概率,最后将三种事件的概率相加即 可得解 解:(1)由题意知, 的所有可能取值为1,0,1, P (1) (1 ) , P (0) , P (1) , 的分布列为 1 0 1 P (2) 记 M1表示事件 “前 2 名物业人员进行了投票, 且最终选取 A 方案为小区管理方案” , 由(1)知, , 记 M2表示事件“前 3 名物业人员进行了投票,且最终选取 A 方案为小区管理方案”, , 记 M3表示事件“共有 4

40、 名物业人员进行了投票,且最终选取 A 方案为小区管理方案”, 若 A 方案比 B 方案多 4 分,有两类: 第一类, A方案前三次得了一次1分两次0分, 最后一次得1分, 其概率为 ; 第二类,A 方案前两次得了一次 1 分一次1 分,后两次均得 1 分,其概率为 , 若 A 方案比 B 方案多 2 分,有三类: 第一类, A 方案四次中得了一次 1 分, 其他三次全 0 分, 其概率为 ; 第二类,A 方案前三次得了一次 1 分,一次 0 分,一次1 分,最后一次得了 1 分,其概 率为 ; 第三类,A 方案前两次得了一次 1 分一次1 分,第三次得 1 分,第四次得 0 分,其概率 为

41、故 , 最终选取 A 方案为小区管理方案的概率为 P 【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列,考查学生对数据的 分析能力和处理能力,属于中档题 选考题: 共 10 分请考生在第 22、 23 题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.选 修 4-4:坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1的参数方程为 ( 为参数) , 以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 4cos曲线 C3的极坐标方程为 ,曲线 C1与曲线 C2的交线为直线 l (1)求直线 l 和曲线 C3的直角坐标方程; (2)直线

42、l 与 x 轴交于点 M,与曲线 C3相交于 A,B 两点,求 的值 【分析】 (1) 直接利用转换关系, 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解:(1)已知曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),转换为直角坐标 方程为(x+1)2+(y1)214 曲线 C2的极坐标方程为 4cos整理得 24cos,根据 转换为 直角坐标方程为:(x2)2+y24 所以两个方程相减得:3xy60 曲线 C3的极坐标方程为 ,根据 转换为直角坐标方程为 (2)直线 l 与 x 轴交于 M(2,0)所以直线 l 的参数方程为 (t 为参 数),代入

43、,得到: 所以 , 故 【点评】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元 二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属 于基础题型 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)2x1|x1| (1)求不等式 f(x)3 的解集; (2)若方程 f(x)x2+ax 有两个不等实数根,求 a 的取值范围 【分析】(1)将 f(x)写为分段函数的形式,然后由 f(x)3,利用零点分段法解不 等式即可; (2)根据方程 f(x)x2+ax,可得 ,然后构造函数 g(x) ,利用数形结合法求出 a 的取值范围 解:(1)f(x)2x1|x1| , , , f(x)3, 或 , x1 或 1x3,x3, 不等式的解集为(,3); (2)方程 f(x)x2+ax,即 2x1|x1|x2+ax, 显然 x0 不是方程的根,故 , 令 g(x) , , , , , , 当 x0 时, , 作出 g(x)的图象,如图所示: 方程 f(x)x2+ax 有两个不等实数根, 由图象可知 , , 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和函数的零点与方程根的关系,考查了分类讨 论思想和数形结合思想,属中档题