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江苏省盐城市二校联考2020年6月高三调研考试数学试题含附加卷(有答案)

1、第 1 页 盐城市二校联考盐城市二校联考 2019-2020 届高三调研考试数学试题届高三调研考试数学试题 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1设全集0,1,2U ,集合 0,1A,则 U C A _ 2设 1 2 1 i zi i ,则|z _. 3双曲线 22 1 916 xy 的左焦点到渐近线的距离为_ 4从12 3, ,中选2个不同的数字组成一个两位数,这个两位数是偶数的概率为_ 5如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场 比赛中得分的方差为 6阅读如图所示的程序框,若输

2、入的 n是 30,则输出的变量 S 的值是_. 7已知 n a是公差不为零的等差数列, n S为其前n项和若 124 ,S SS成等比数列, 且 5 9a ,则数列 n a的前n项和为_ 8已知锐角满足sin22cos21,则tan() 4 _. .9已知函数 f(x) 2 1 11 xx logxx , , ,则函数( ( ) 1yf f x- -的所有零点构成的 集合为_. 10若对任意1x ,不等式 2 1 22 x a xx 恒成立,则a的取值范围是_. 11在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常 能看到堆积如山的石子,它的主要成分是碳酸钙.某雕刻

3、师计划在底面边长为 2m、高为 4m的 正四棱柱形的石料 1111 ABCDABC D中,雕出一个四棱锥O ABCD和球 M 的组合体,其 中O为正四棱柱的中心, 当球的半径r取最大值时, 该雕刻师需去除的石料约重_kg. (最后结果保留整数,其中3.14,石料的密度 3 2.4g/pcm,质量m pV ) 12如图,在圆的内接四边形 ABCD中,对角线 BD为圆的直径,5AB ,4AD, 1CD,点 E在 BC上,且 3 10 AEABRtAC t,则AE AC 的值为_ 13已知函数 2 11 ln x f xkx kx ,1,k,曲线 yf x上总存在两点 11 ,M x y, 22 ,

4、N x y,使曲线 yf x在M、N两点处的切线互相平行 12 xx,则 12 xx的取 值范围为_. 第 2 页 14在ABC中,记角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,面积为 S,则2 2 S abc 的最大值为_ 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案 写在答题纸的指定区域内) 15(本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 111 ABCABC中, 1 2AAAC,D,E,F分别为线段AC, 1 A A, 1 C B的中点. (1)证明:/EF平面ABC; (2)证明: 1 C E 平面BDE. 16(本题满分 14 分)

5、在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, 已知3,mac b,cos , cosnBC, 且m n . (1)求sinB的值; (2)若2b,ABC的面积为 6 4 ,求ABC的周长. 第 3 页 17(本题满分 15 分) 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研 发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系: 2 53 ,02 ( ) 50 ,25 1 xx W x x x x ,肥料成本投入为10x元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费) 20x元已知这种水果的市场售价大约为 15 元千克

6、,且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为 ( )f x(单位:元) (1)求 ( )f x的函数关系式; (2)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 18(本题满分 15 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,直线 :10m xy 经过 椭圆C的上顶点,直线:10n x 交椭圆C于,A B两点,P是椭圆C上异于 ,A B的任意一点,直线,AP BP分别交直线: 40l x于 ,Q R两点 (1)求椭圆C的标准方程; (2)求证:OQ OR(O为坐标原点)为定值 第 4 页 19(本题满分 16 分) 设数列 n a的前n

7、项和为 n S,且 * 22, nn SanN. (1)求证:数列 n a为等比数列; (2)设数列 2 n a的前n项和为 n T,求证: 2n n S T 为定值; (3)判断数列3 n n a中是否存在三项成等差数列,并证明你的结论. 20(本题满分 16 分) 设, a bR,| 1a .已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb,( )( ) x g xe f x. (1)求 ( )f x的单调区间; (2)已知函数( )yg x和 x ye的图象在公共点 00 ,xy()处有相同的切线, (i)求证: ( )f x在 0 xx处的导数等于 0; (ii)若关于x的不等式

8、( )exg x 在区间 00 1,1xx 上恒成立,求b的取值范围. 第 5 页 盐城市二校联考 2019-2020 届高三调研考试 数学附加试题 21 【选做题】 (每小题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) A选修 42:矩阵与变换 21已知矩阵 3 0 0 4 A (1)求A的逆矩阵 1 A; (2)求圆 22 144xy经过 1 A变换后所得的曲线的方程 B选修 44:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 1 3 2 3 2 xt t y (t为参数) ,以坐标原点为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极

9、坐标系,O的极坐标方程为2 3sin (1)写出O 的直角坐标方程; (2)P为直线上一动点,当 P 到圆心 C的距离最小时,求 P 的直角坐标 第 6 页 【必做题】 (第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 22已知 n n n xaxaxaax) 1() 1() 1() 1( 2 210 (1)求 0 a及 nn naaaaS 321 32; (2)试比较 n S与 3 n的大小,并说明理由. 23 已知点(1,0)F为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点, 点P在抛物线C上, 过点 ( ,0)R t

10、的直线交抛物线C 于,A B两点,线段AB的中点为M,且满足 2PMMF (1)若直线AB的斜率为 1,求点P的坐标; (2)若 6 5 t ,求四边形FBPA面积的最大值 第 7 页 盐城市二校联考 2019-2020 届高三调研考试 数学试题 2020.06 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1设全集0,1,2U ,集合 0,1A,则 U C A _ 【答案】 2 【解析】0,1,2 ,0,1UA 2 U C A 2设 1 2 1 i zi i ,则|z _. 【答案】3 【解析】 2 1(1) 2223 1

11、(1)(1) ii ziiiii iii ,则| 3z 3双曲线 22 1 916 xy 的左焦点到渐近线的距离为_ 【答案】4 【解析】根据题意,双曲线的方程为 22 1 916 xy ,其中 3,4ab , 所以5c ,所以其左焦点的坐标为( 5,0),渐近线方程为 4 3 yx ,即430xy, 则左焦点到其渐近线的距离为 22 20020 4 5 43 d , 4从12 3, ,中选2个不同的数字组成一个两位数,这个两位数是偶数的概率为_ 【答案】 1 3 【解析】列举法:12,21,13,31,23,32,一共 6 种可能,其中偶数 2 种,概率为 1 3 5如图是某学校一名篮球运动

12、员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛 中得分的方差为 【答案】6.8 【解析】得分的平均分为 89 10 13 15 11 5 x , 方差 22222 2 1 8 119 1110 1113 1115 116.8 5 s . 6阅读如图所示的程序框,若输入的 n是 30,则输出的变量 S 的值是_. 【答案】240 【解析】执行程序框图,有30n,0S ;不满足条件2n,30S ,28n; 不满足条件2n,3028S ,26n; 第 8 页 不满足条件2n,30 28 26S ,24n; 不满足条件2n,30 28 264S ,2n; 不满足条件2n,30 28 264 2

13、S ,0n; 满足条件2n,退出循环,输出 15 230 30282642240 2 S . 7 已知 n a是公差不为零的等差数列, n S为其前n项和 若 124 ,S SS成等比数列, 且 5 9a , 则数列 n a 的前n项和为_ 【答案】 2 n 【解析】 设等差数列 n a的公差为()d d 0, 则 1 94Sd, 2 187Sd, 4 36 10Sd, 2 214 SS S, 所以 2 (18 7 )(94 )(36 10 )ddd, 整理得 2 9180dd0d ,2d 51 49aad, 则 1 1a , 2 1 (1) 2 n n n Snadn 8已知锐角满足sin2

14、2cos21,则tan() 4 _. 【答案】2 【解析】sin22cos21, 2222 2sincos2(cossin)sincos0, 化简得 22 3sin2sincoscos0 ,两边同时除以 2 cos得, 2 3tan2tan10 ,为锐角,tan0 解得 1 tan 3 , 1 1tantan 34 tan()2 1 4 1 tantan11 43 . 9已知函数 f(x) 2 1 11 xx logxx , , ,则函数( ( ) 1yf f x- -的所有零点构成的集合为_. 【答案】1,3,9 【解析】由( ( ) 1yf f x- -得 f(f(x) )1, 设 tf(

15、x) ,则等价为 f(t)1, 当 x1 时,由 f(x)x1得 x1, 当 x1 时,由 f(x)log2(x1)1得 x3, 即 t1 或 t3, 当 x1 时,由 f(x)x1,得 x1;由 f(x)x3,得 x3(舍) ,故此时 x1; 当 x1 时,由 f(x)log2(x1)1得 x3;由 f(x)log2(x1)3,得 x9, 综上 x1,或 x3或 x9 所以函数 yff(x)1的所有零点所构成的集合为:1,3,9 第 9 页 10若对任意1x ,不等式 2 1 22 x a xx 恒成立,则a的取值范围是_. 【答案】 1 , 2 【解析】依题意得:设 22 111 1 2

16、+2 11 1 1 xx y xx x x x 因为1x ,则10x 所以 11 1212 11 yxx xx 得 11 1 2 1 1 y x x ,即 1 2 y 当且仅当 1 1 1 x x 时,即0x时,y取得最大值为 1 2 , 又因为 2 1 22 x a xx 恒成立,即 max ya,得 1 2 a , 即a的取值范围为 1 , 2 . 11在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如 山的石子,它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为 2m、高为 4m的正四棱柱形的石料 1111 ABCDABC D中,雕出一个四棱锥OABCD

17、和球 M 的组合体,其中 O为正四棱 柱的中心,当球的半径 r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重_kg.(最后 结果保留整数,其中3.14,石料的密度 3 2.4g/pcm,质量m pV ) 【答案】21952 kg 【解析】依题意知,正四棱柱的体积 23 1 2416 mV .四棱锥O ABCD的底面为 正方形,高2h,所以其体积 23 2 18 22 33 Vm.球 M的半径 r最大为 1,此时其 体积 333 3 444 1m 333 Vr .故该雕刻师需去除的石料的体积 3 123 8427.44 16 333 VVVVm .又 3 2.4g/cm 3 2400/kg m, 所以该雕

18、刻师需去除的石 料的质量为 27.44 240021952 3 kg. 第 10 页 12如图,在圆的内接四边形 ABCD中,对角线 BD为圆的直径, 5AB ,4AD,1CD,点 E 在 BC 上,且 3 10 AEABRtAC t,则AE AC 的值为_ 【答案】 99 7 【解析】因为点 E 在 BC上,且 3 10 AEABRtAC t,所以 7 10 t 易知ABAD,以 A为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为 x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 0,0A,5,0B,0,4D,设,C x y,由1CD,得 2 2 41xy,又对角线 BD为圆的直 径,所以 2 2521 2

19、24 xy ,由,可得 3 5 30 , 77 C 所以 3 5 30 , 77 AC ,5,0AB 则 23737 10101010 AE ACABACACAB ACAC 2 2 33 573 53099 5 10710777 13已知函数 2 11 ln x f xkx kx ,1,k,曲线 yf x上总存在两点 11 ,M x y, 22 ,N x y, 使曲线 yf x在M、N两点处的切线互相平行 12 xx, 则 12 xx的取值范围为_. 【答案】2, 【解析】 2 11 ln x f xkx kx , 2 111 1fxk kxx , 由题意可得 12 fxfx,即 22 112

20、2 111111 11kk kxxkxx , 12 xx,化简可得 12 111 k xxk ,即 1212 1 xxkx x k , 而 2 12 12 2 xx x x , 2 12 12 1 2 xx xxk k ,则 12 4 1 xx k k , 第 11 页 当1k 时,由基本不等式可得 44 2 1 1 2 k k k k ,当且仅当1k 等号成立, 所以, 12 2xx,因此, 12 xx的取值范围为2,. 14在ABC中,记角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,面积为 S,则2 2 S abc 的最大值为_ 【答案】 3 12 【解析】 222 1 sin 1sin 2

21、22cos22 22cos bcA SA bc abcbcbcAbc A cb 1sin 4cos2 A A (当且仅当 bc时取等号).令sin ,cosAyAx ,故 2 1 242 Sy abcx ,因为 22 1xy,且 0y , 故可得点( , ) x y表示的平面区域是半圆弧上的点,如下图所示:目标函数 2 y z x 上,表示圆弧上一点到 点(2,0)A点的斜率,由数形结合可知,当且仅当目标函数过点 13 , 22 H ,即 60A时,取得最小值 3 3 ,故可得 3 ,0 23 y z x , 又 2 1 242 Sy abcx ,故可得 2 133 24312 S abc ,

22、 当且仅当60 ,Abc,即三角形为等边三角形时,取得最大值. 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案 写在答题纸的指定区域内) 15(本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 111 ABCABC中, 1 2AAAC,D,E,F分别为线段AC, 1 A A, 1 C B的中点. (1)证明:/EF平面ABC; (2)证明: 1 C E 平面BDE. 【解析】 (1)如图,取BC的中点 G,连结AG,FG. 因为 F为 1 C B的中点,所以FG 11 1 , 2 C C FGC C. 在三棱柱 111 ABCABC中, 1 A A 1

23、11 ,CC AACC, 第 12 页 且 E 为 1 A A的中点,所以FG,EA FGEA. 所以四边形AEFG是平行四边形.所以EFAG. 因为EF 平面ABC,AG 平面ABC,所以EF平面ABC. (2)因为在正三棱柱 111 ABCABC中, 1 A A平面ABC, BD 平面ABC,所以 1 A ABD. 因为 D为AC的中点,BABC,所以BDAC. 因为 1 A AACAI, 1 A A平面 11 A ACC,AC 平面 11 A ACC, 所以BD 平面 11 A ACC.因为 1 C E 平面 11 A ACC,所以 1 BDC E. 根据题意,可得 1 6 2 EBC

24、EAB , 1 3C BAB, 所以 222 11 EBC EC B.从而 1 90C EB,即 1 C EEB. 因为BDEBB,BD 平面BDE,EB 平面BDE, 所以 1 C E 平面BDE. 16(本题满分 14 分) 在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, 已知3,mac b,cos , cosnBC, 且m n . (1)求sinB的值; (2)若2b,ABC的面积为 6 4 ,求ABC的周长. 【解析】 (1)m n ,(3)coscos0mcbnaBC, 由正弦定理可得(3sinsin)cossincos0ACBBC, 即3sincossincossincos3si

25、ncossin()0ABCBBCABBC. sin()sinBCA,3sincossin0ABA. sin0A, 1 cos 3 B .0,B, 2 2 2 sin1 cos 3 BB . (2)根据余弦定理可知 222 2cosbacacB, 22 2 4 3 acac,即 2 8 4() 3 acac. ABC的面积为 6 4 , 112 26 sin 2234 acBac, 3 3 4 ac , 第 13 页 22 8 ()442 3( 31) 3 acac, 3 1ac .故ABC的周长为 33 . 17(本题满分 15 分) 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇

26、打造成“生态水果特色小镇”经调研 发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系: 2 53 ,02 ( ) 50 ,25 1 xx W x x x x ,肥料成本投入为10x元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费) 20x元已知这种水果的市场售价大约为 15 元千克,且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为 ( )f x(单位:元) (1)求 ( )f x的函数关系式; (2)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【解析】 (1)由已知 1520101530f xW xxxW xx 2 15 5330 ,02, 50 153

27、0 ,25 1 xxx x xx x 2 7530225,02, 750 30 ,25. 1 xxx x xx x (2)由(1)得 2 2 1 75222,02, 7530225,02, 5 = 750 30 ,25.25 780301,25.1 1 xx xxx f x x xx xxx x 当02x时, max 2465f xf; 当25x时, 25 780301 1 f xx x 25 78030 21480 1 x x 当且仅当 25 1 1 x x 时,即4x时等号成立 因为465480,所以当4x时, max480f x 当施用肥料为 4 千克时,种植该果树获得的最大利润是 48

28、0 元 18(本题满分 15 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,直线 :10m xy 经过 椭圆C的上顶点, 直线:10n x 交椭圆C于,A B两点,P是椭圆C上异于,A B 的任意一点,直线,AP BP分别交直线:40l x于,Q R两点 (1)求椭圆C的标准方程; (2)求证:OQ OR(O为坐标原点)为定值 【解析】 (1)据题设知,点(0, )b在直线 :10m xy 上,得1b 第 14 页 又因为 3 2 c a , 222 bca,0a,所以2a,3c , 所以所求椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y (2)设 00 ,P

29、x y,( 1, )At,( 1,)Bt,则有 22 00 440xy 直线AP的方程为 0 0 (1) 1 ty ytx x 令4x,整理得 00 0 43 1 Q xty y x 同理可得点R纵坐标 00 0 34 1 Q yxt y x , 所以点,Q R的纵坐标之积 0000 00 4334 11 QR xtyyxt yy xx 2 22 00 2 0 94 1 yxt x 又因为 22 00 1 1 4 yx, 2 3 4 t , 所以 2 2 2 00 0 22 00 13 9 14 3 1 44 3 11 QR xx x yy xx , 所以4,4,1613 QRQR OQ OR

30、yyyy ,即OQ OR(O为坐标原点)为定值 19(本题满分 16 分) 设数列 n a的前n项和为 n S,且 * 22, nn SanN. (1)求证:数列 n a为等比数列; (2)设数列 2 n a的前n项和为 n T,求证: 2n n S T 为定值; (3)判断数列3 n n a 中是否存在三项成等差数列,并证明你的结论. 【解析】 (1)当1n 时, 11 22,Sa,解得 1 2a . 当2n时, 111 222222 nnnnnnn aSSaaaa ,即 1 2 nn aa . 因为 1 0a ,所以 1 2 n n a a ,从而数列 n a是以 2 为首项,2 为公比的

31、等比数列,所以2n n a . (2)因为 2 2 24 nn n a ,所以 2 1 2 4 n n a a , 第 15 页 故数列 2 n a是以 4 为首项,4 为公比的等比数列, 从而 2 2 2 1 2 2 41 1 2 n n n S , 4 14 4 41 143 n n n T ,所以 2 3 2 n n S T . (3)假设3 n n a中存在第, , ()m n k mnk项成等差数列, 则2 333 nmk nmk aaa,即 2 33232 nmmkk n a. 因为mnk,且 * , ,m n kN,所以1nk . 因为 11 2 332323232 nmmkkm

32、mnn n a ,所以332 nmm ,故矛盾, 所以数列 3n n a中不存在三项成等差数列. 20(本题满分 16 分) 设, a bR,| 1a .已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb,( )( ) x g xe f x. (1)求 ( )f x的单调区间; (2)已知函数( )yg x和 x ye的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证: ( )f x在 0 xx处的导数等于 0; (ii)若关于x的不等式( )exg x 在区间 00 1,1xx 上恒成立,求b的取值范围. 【解析】 (1)由 32 634f xxxa axb,可得 2 312343

33、4fxxxa axaxa , 令 0fx ,解得xa,或4xa.由1a ,得4aa. 当x变化时, fx, f x的变化情况如下表: x ,a ,4aa 4, a fx - - f x 所以, f x的单调递增区间为,a,4, a,单调递减区间为,4aa. (2) (i)因为 x gxef xfx ,由题意知 0 0 0 0 x x g xe gxe , 第 16 页 所以 00 00 0 00 xx xx f xee ef xfxe ,解得 0 0 1 0 f x fx . 所以, f x在 0 xx处的导数等于 0. (ii)因为 x g xe, 00 1,1xxx,由 0 x e ,可得

34、 1f x . 又因为 0 1f x, 0 0fx,故 0 x为 f x的极大值点,由(I)知 0 xa. 另一方面,由于1a ,故14aa , 由(I)知 f x在1,aa内单调递增,在,1a a内单调递减, 故当 0 xa时, 1f xf a在1,1aa上恒成立, 从而 x g xe在 00 1,1xx上恒成立. 由 32 6341f aaaa aab,得 32 261baa,11a . 令 32 261t xxx,1,1x ,所以 2 612txxx, 令 0tx ,解得2x(舍去) ,或0x. 因为17t , 13t, 01t,故 t x的值域为7,1. 所以,b的取值范围是7,1.

35、盐城市二校联考 2019-2020 届高三调研考试 数学附加试题 21 【选做题】 (每小题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) A选修 42:矩阵与变换 21已知矩阵 3 0 0 4 A (1)求A的逆矩阵 1 A; (2)求圆 22 144xy经过 1 A变换后所得的曲线的方程 【解析】 (1)由条件 30 04 A 且 1 10 01 AA ,可得 -1 1 0 3 1 0 4 A ; (2)设变换后新曲线上任一点,P x y,变换前对应点,Px y , 第 17 页 则 1 0 3 1 0 4 xx yy ,即 1 3 1 4 x

36、x yy , 所以 3 4 xx yy ,代入 22 144xy得: 22 1 169 xy , 所以曲线 22 144xy经过 1 A变换后所得曲线的方程为 22 1 169 xy . B选修 44:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 1 3 2 3 2 xt t y (t为参数) ,以坐标原点为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,O的极坐标方程为2 3sin (1)写出O 的直角坐标方程; (2)P为直线上一动点,当 P 到圆心 C的距离最小时,求 P 的直角坐标 【解析】 (1)由 222, sinxyy得 222 2 3sin2 3 sin2 3xy

37、y, 即O的直角坐标方程为 22 2 30xyy,即 22 (3)3xy; (2)设P点坐标为 13 (3,) 22 tt , P到圆心C的距离 2 2 2 13 3312122 3 22 dttt , 当0t 时,P到圆心C的距离取最小值2 3,此时 (3,0)P. 【必做题】 (第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 22已知 n n n xaxaxaax) 1() 1() 1() 1( 2 210 (1)求 0 a及 nn naaaaS 321 32; (2)试比较 n S与 3 n的大小,并说明理由.

38、 【解析】 (1)取1x,可得 n a2 0 ,对等式两边求导,得 第 18 页 12 321 1 ) 1() 1(3) 1(2) 1( n n n xnaxaxaaxn, 取2x,则 1 321 332 n nn nnaaaaS. (2)要比较 n S与 3 n的大小,即比较: 1 3 n 与 2 n的大小, 当1n时, 21 3n n ;当2n时, 21 3n n ;当3n时, 21 3n n ;当5 , 4n时, 21 3n n , 猜想:当4n时, 21 3n n ,下面用数学归纳法证明: (i)当4n时, 214 416273 ,猜想成立, (ii)假设当kn,)4( k时结论成立,

39、即 21 3k k , 当1kn时, 2111 3333k kk , 而02313421) 1(2122) 1(3 222 kkkkkk, 22111 ) 1(3333 kk kk ,故当1kn时猜想也成立, 综合,当1n时, 21 3n n ;当2n时, 21 3n n ;当3n时, 21 3n n ;当4n时, 21 3n n . 23 已知点(1,0)F为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点, 点P在抛物线C上, 过点 ( ,0)R t 的直线交抛物线C 于,A B两点,线段AB的中点为M,且满足 2PMMF (1)若直线AB的斜率为 1,求点P的坐标; (2)若 6 5 t ,求四边形

40、FBPA面积的最大值 【解析】(1) 点( 1 , 0 )F是抛物线的焦点, 则抛物线的方程为 2 4yx 设直线AB方程为x yt , 00 ,M x y, 11 ,A x y, 22 ,B x y 由 2 4yx xyt ,得 2 440yyt, 12 4yy, 0 2y , 由 2PMMF 得 0 2 0 PP yyy 所以6 P y , 2 9 4 P P y x , (9,6)P (2)设直线AB方程为x myt 2 4yx xmyt ,得 2 440ymyt, 第 19 页 从而 2 160mt 12 12 4 4 yym y yt 由于M为线段AB的中点,则 0 2ym, 2 0 2xmt,即 2 2,2Mmtm 又 2PMMF ,则 22 22 1 2 24 p p mtxmt mym ,从而 2 632,6Pmtm 点P在抛物线上,则 22 364 632mmt,