1、第 1 页 盐城市二校联考盐城市二校联考 2019-2020 届高三调研考试数学试题届高三调研考试数学试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上） 1设全集0,1,2U ，集合 0,1A，则 U C A _ 2设 1 2 1 i zi i ，则|z _. 3双曲线 22 1 916 xy 的左焦点到渐近线的距离为_ 4从12 3， ，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为_ 5如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场 比赛中得分的方差为 6阅读如图所示的程序框，若输
2、入的 n是 30，则输出的变量 S 的值是_. 7已知 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前n项和若 124 ,S SS成等比数列， 且 5 9a ，则数列 n a的前n项和为_ 8已知锐角满足sin22cos21，则tan() 4 _. .9已知函数 f（x） 2 1 11 xx logxx ， ， ，则函数( ( ) 1yf f x- -的所有零点构成的 集合为_. 10若对任意1x ，不等式 2 1 22 x a xx 恒成立，则a的取值范围是_. 11在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常 能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻
3、师计划在底面边长为 2m、高为 4m的 正四棱柱形的石料 1111 ABCDABC D中，雕出一个四棱锥O ABCD和球 M 的组合体，其 中O为正四棱柱的中心， 当球的半径r取最大值时， 该雕刻师需去除的石料约重_kg. （最后结果保留整数，其中3.14，石料的密度 3 2.4g/pcm，质量m pV ） 12如图，在圆的内接四边形 ABCD中，对角线 BD为圆的直径，5AB ，4AD， 1CD，点 E在 BC上，且 3 10 AEABRtAC t，则AE AC 的值为_ 13已知函数 2 11 ln x f xkx kx ，1,k，曲线 yf x上总存在两点 11 ,M x y， 22 ,
4、N x y，使曲线 yf x在M、N两点处的切线互相平行 12 xx，则 12 xx的取 值范围为_. 第 2 页 14在ABC中，记角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，面积为 S，则2 2 S abc 的最大值为_ 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案 写在答题纸的指定区域内） 15(本题满分 14 分) 如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAC，D，E，F分别为线段AC， 1 A A， 1 C B的中点. （1）证明：/EF平面ABC； （2）证明： 1 C E 平面BDE. 16(本题满分 14 分)
5、在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 已知3,mac b，cos , cosnBC， 且m n . （1）求sinB的值； （2）若2b，ABC的面积为 6 4 ，求ABC的周长. 第 3 页 17(本题满分 15 分) 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研 发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： 2 53 ,02 ( ) 50 ,25 1 xx W x x x x ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费） 20x元已知这种水果的市场售价大约为 15 元千克
6、，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为 ( )f x（单位：元） （1）求 ( )f x的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 18(本题满分 15 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，直线 :10m xy 经过 椭圆C的上顶点，直线:10n x 交椭圆C于,A B两点，P是椭圆C上异于 ,A B的任意一点，直线,AP BP分别交直线: 40l x于 ,Q R两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：OQ OR（O为坐标原点）为定值 第 4 页 19(本题满分 16 分) 设数列 n a的前n
7、项和为 n S，且 * 22, nn SanN. （1）求证：数列 n a为等比数列； （2）设数列 2 n a的前n项和为 n T，求证： 2n n S T 为定值； （3）判断数列3 n n a中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 20(本题满分 16 分) 设, a bR，| 1a .已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb，( )( ) x g xe f x. （1）求 ( )f x的单调区间； （2）已知函数( )yg x和 x ye的图象在公共点 00 ,xy（）处有相同的切线， （i）求证： ( )f x在 0 xx处的导数等于 0； （ii）若关于x的不等式
8、( )exg x 在区间 00 1,1xx 上恒成立，求b的取值范围. 第 5 页 盐城市二校联考 2019-2020 届高三调研考试 数学附加试题 21 【选做题】 （每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） A选修 42：矩阵与变换 21已知矩阵 3 0 0 4 A （1）求A的逆矩阵 1 A； （2）求圆 22 144xy经过 1 A变换后所得的曲线的方程 B选修 44：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 3 2 3 2 xt t y （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极
9、坐标系，O的极坐标方程为2 3sin （1）写出O 的直角坐标方程； （2）P为直线上一动点，当 P 到圆心 C的距离最小时，求 P 的直角坐标 第 6 页 【必做题】 （第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 22已知 n n n xaxaxaax) 1() 1() 1() 1( 2 210 （1）求 0 a及 nn naaaaS 321 32； （2）试比较 n S与 3 n的大小，并说明理由. 23 已知点(1,0)F为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点， 点P在抛物线C上， 过点 ( ,0)R t
10、的直线交抛物线C 于,A B两点，线段AB的中点为M，且满足 2PMMF （1）若直线AB的斜率为 1，求点P的坐标； （2）若 6 5 t ，求四边形FBPA面积的最大值 第 7 页 盐城市二校联考 2019-2020 届高三调研考试 数学试题 2020.06 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上） 1设全集0,1,2U ，集合 0,1A，则 U C A _ 【答案】 2 【解析】0,1,2 ,0,1UA 2 U C A 2设 1 2 1 i zi i ，则|z _. 【答案】3 【解析】 2 1(1) 2223 1
11、(1)(1) ii ziiiii iii ，则| 3z 3双曲线 22 1 916 xy 的左焦点到渐近线的距离为_ 【答案】4 【解析】根据题意，双曲线的方程为 22 1 916 xy ，其中 3,4ab ， 所以5c ，所以其左焦点的坐标为( 5,0)，渐近线方程为 4 3 yx ，即430xy， 则左焦点到其渐近线的距离为 22 20020 4 5 43 d ， 4从12 3， ，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为_ 【答案】 1 3 【解析】列举法：12，21，13，31，23，32，一共 6 种可能，其中偶数 2 种，概率为 1 3 5如图是某学校一名篮球运动
12、员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛 中得分的方差为 【答案】6.8 【解析】得分的平均分为 89 10 13 15 11 5 x , 方差 22222 2 1 8 119 1110 1113 1115 116.8 5 s . 6阅读如图所示的程序框，若输入的 n是 30，则输出的变量 S 的值是_. 【答案】240 【解析】执行程序框图，有30n，0S ；不满足条件2n，30S ，28n； 不满足条件2n，3028S ，26n； 第 8 页 不满足条件2n，30 28 26S ，24n； 不满足条件2n，30 28 264S ，2n； 不满足条件2n，30 28 264 2
13、S ，0n； 满足条件2n，退出循环，输出 15 230 30282642240 2 S . 7 已知 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前n项和 若 124 ,S SS成等比数列， 且 5 9a ， 则数列 n a 的前n项和为_ 【答案】 2 n 【解析】 设等差数列 n a的公差为()d d 0， 则 1 94Sd， 2 187Sd， 4 36 10Sd， 2 214 SS S， 所以 2 (18 7 )(94 )(36 10 )ddd， 整理得 2 9180dd0d ，2d 51 49aad， 则 1 1a ， 2 1 (1) 2 n n n Snadn 8已知锐角满足sin2
14、2cos21，则tan() 4 _. 【答案】2 【解析】sin22cos21， 2222 2sincos2(cossin)sincos0， 化简得 22 3sin2sincoscos0 ，两边同时除以 2 cos得， 2 3tan2tan10 ，为锐角，tan0 解得 1 tan 3 ， 1 1tantan 34 tan()2 1 4 1 tantan11 43 . 9已知函数 f（x） 2 1 11 xx logxx ， ， ，则函数( ( ) 1yf f x- -的所有零点构成的集合为_. 【答案】1，3，9 【解析】由( ( ) 1yf f x- -得 f（f（x） ）1， 设 tf（
15、x） ，则等价为 f（t）1， 当 x1 时，由 f（x）x1得 x1， 当 x1 时，由 f（x）log2（x1）1得 x3， 即 t1 或 t3， 当 x1 时，由 f（x）x1，得 x1；由 f（x）x3，得 x3（舍） ，故此时 x1； 当 x1 时，由 f（x）log2（x1）1得 x3；由 f（x）log2（x1）3，得 x9， 综上 x1，或 x3或 x9 所以函数 yff（x）1的所有零点所构成的集合为：1，3，9 第 9 页 10若对任意1x ，不等式 2 1 22 x a xx 恒成立，则a的取值范围是_. 【答案】 1 , 2 【解析】依题意得：设 22 111 1 2
16、+2 11 1 1 xx y xx x x x 因为1x ，则10x 所以 11 1212 11 yxx xx 得 11 1 2 1 1 y x x ，即 1 2 y 当且仅当 1 1 1 x x 时，即0x时，y取得最大值为 1 2 ， 又因为 2 1 22 x a xx 恒成立，即 max ya，得 1 2 a ， 即a的取值范围为 1 , 2 . 11在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如 山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为 2m、高为 4m的正四棱柱形的石料 1111 ABCDABC D中，雕出一个四棱锥OABCD
17、和球 M 的组合体，其中 O为正四棱 柱的中心，当球的半径 r取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重_kg.（最后 结果保留整数，其中3.14，石料的密度 3 2.4g/pcm，质量m pV ） 【答案】21952 kg 【解析】依题意知，正四棱柱的体积 23 1 2416 mV .四棱锥O ABCD的底面为 正方形，高2h，所以其体积 23 2 18 22 33 Vm.球 M的半径 r最大为 1，此时其 体积 333 3 444 1m 333 Vr .故该雕刻师需去除的石料的体积 3 123 8427.44 16 333 VVVVm .又 3 2.4g/cm 3 2400/kg m， 所以该雕
18、刻师需去除的石 料的质量为 27.44 240021952 3 kg. 第 10 页 12如图，在圆的内接四边形 ABCD中，对角线 BD为圆的直径， 5AB ，4AD，1CD，点 E 在 BC 上，且 3 10 AEABRtAC t，则AE AC 的值为_ 【答案】 99 7 【解析】因为点 E 在 BC上，且 3 10 AEABRtAC t，所以 7 10 t 易知ABAD，以 A为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0A，5,0B，0,4D，设,C x y，由1CD，得 2 2 41xy，又对角线 BD为圆的直 径，所以 2 2521 2
19、24 xy ，由，可得 3 5 30 , 77 C 所以 3 5 30 , 77 AC ，5,0AB 则 23737 10101010 AE ACABACACAB ACAC 2 2 33 573 53099 5 10710777 13已知函数 2 11 ln x f xkx kx ，1,k，曲线 yf x上总存在两点 11 ,M x y， 22 ,N x y， 使曲线 yf x在M、N两点处的切线互相平行 12 xx， 则 12 xx的取值范围为_. 【答案】2, 【解析】 2 11 ln x f xkx kx ， 2 111 1fxk kxx ， 由题意可得 12 fxfx，即 22 112
20、2 111111 11kk kxxkxx ， 12 xx，化简可得 12 111 k xxk ，即 1212 1 xxkx x k ， 而 2 12 12 2 xx x x ， 2 12 12 1 2 xx xxk k ，则 12 4 1 xx k k ， 第 11 页 当1k 时，由基本不等式可得 44 2 1 1 2 k k k k ，当且仅当1k 等号成立， 所以， 12 2xx，因此， 12 xx的取值范围为2,. 14在ABC中，记角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，面积为 S，则2 2 S abc 的最大值为_ 【答案】 3 12 【解析】 222 1 sin 1sin 2
21、22cos22 22cos bcA SA bc abcbcbcAbc A cb 1sin 4cos2 A A （当且仅当 bc时取等号）.令sin ,cosAyAx ，故 2 1 242 Sy abcx ，因为 22 1xy，且 0y ， 故可得点( , ) x y表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数 2 y z x 上，表示圆弧上一点到 点(2,0)A点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点 13 , 22 H ，即 60A时，取得最小值 3 3 ，故可得 3 ,0 23 y z x ， 又 2 1 242 Sy abcx ，故可得 2 133 24312 S abc ，
22、 当且仅当60 ,Abc，即三角形为等边三角形时，取得最大值. 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案 写在答题纸的指定区域内） 15(本题满分 14 分) 如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAC，D，E，F分别为线段AC， 1 A A， 1 C B的中点. （1）证明：/EF平面ABC； （2）证明： 1 C E 平面BDE. 【解析】 （1）如图，取BC的中点 G，连结AG，FG. 因为 F为 1 C B的中点，所以FG 11 1 , 2 C C FGC C. 在三棱柱 111 ABCABC中， 1 A A 1
23、11 ,CC AACC， 第 12 页 且 E 为 1 A A的中点，所以FG,EA FGEA. 所以四边形AEFG是平行四边形.所以EFAG. 因为EF 平面ABC，AG 平面ABC，所以EF平面ABC. （2）因为在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 A A平面ABC， BD 平面ABC，所以 1 A ABD. 因为 D为AC的中点，BABC，所以BDAC. 因为 1 A AACAI， 1 A A平面 11 A ACC，AC 平面 11 A ACC， 所以BD 平面 11 A ACC.因为 1 C E 平面 11 A ACC，所以 1 BDC E. 根据题意，可得 1 6 2 EBC
24、EAB ， 1 3C BAB， 所以 222 11 EBC EC B.从而 1 90C EB，即 1 C EEB. 因为BDEBB，BD 平面BDE，EB 平面BDE， 所以 1 C E 平面BDE. 16(本题满分 14 分) 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 已知3,mac b，cos , cosnBC， 且m n . （1）求sinB的值； （2）若2b，ABC的面积为 6 4 ，求ABC的周长. 【解析】 （1）m n ，(3)coscos0mcbnaBC， 由正弦定理可得(3sinsin)cossincos0ACBBC， 即3sincossincossincos3si
25、ncossin()0ABCBBCABBC. sin()sinBCA，3sincossin0ABA. sin0A， 1 cos 3 B .0,B， 2 2 2 sin1 cos 3 BB . （2）根据余弦定理可知 222 2cosbacacB， 22 2 4 3 acac，即 2 8 4() 3 acac. ABC的面积为 6 4 ， 112 26 sin 2234 acBac， 3 3 4 ac ， 第 13 页 22 8 ()442 3( 31) 3 acac， 3 1ac .故ABC的周长为 33 . 17(本题满分 15 分) 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇
26、打造成“生态水果特色小镇”经调研 发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： 2 53 ,02 ( ) 50 ,25 1 xx W x x x x ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费） 20x元已知这种水果的市场售价大约为 15 元千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为 ( )f x（单位：元） （1）求 ( )f x的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【解析】 （1）由已知 1520101530f xW xxxW xx 2 15 5330 ,02, 50 153
27、0 ,25 1 xxx x xx x 2 7530225,02, 750 30 ,25. 1 xxx x xx x (2)由(1)得 2 2 1 75222,02, 7530225,02, 5 = 750 30 ,25.25 780301,25.1 1 xx xxx f x x xx xxx x 当02x时， max 2465f xf； 当25x时， 25 780301 1 f xx x 25 78030 21480 1 x x 当且仅当 25 1 1 x x 时，即4x时等号成立 因为465480，所以当4x时， max480f x 当施用肥料为 4 千克时，种植该果树获得的最大利润是 48
28、0 元 18(本题满分 15 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，直线 :10m xy 经过 椭圆C的上顶点， 直线:10n x 交椭圆C于,A B两点，P是椭圆C上异于,A B 的任意一点，直线,AP BP分别交直线:40l x于,Q R两点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：OQ OR（O为坐标原点）为定值 【解析】 （1）据题设知，点(0, )b在直线 :10m xy 上，得1b 第 14 页 又因为 3 2 c a ， 222 bca，0a，所以2a，3c ， 所以所求椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）设 00 ,P
29、x y，( 1, )At，( 1,)Bt，则有 22 00 440xy 直线AP的方程为 0 0 (1) 1 ty ytx x 令4x，整理得 00 0 43 1 Q xty y x 同理可得点R纵坐标 00 0 34 1 Q yxt y x ， 所以点,Q R的纵坐标之积 0000 00 4334 11 QR xtyyxt yy xx 2 22 00 2 0 94 1 yxt x 又因为 22 00 1 1 4 yx， 2 3 4 t ， 所以 2 2 2 00 0 22 00 13 9 14 3 1 44 3 11 QR xx x yy xx ， 所以4,4,1613 QRQR OQ OR
30、yyyy ，即OQ OR（O为坐标原点）为定值 19(本题满分 16 分) 设数列 n a的前n项和为 n S，且 * 22, nn SanN. （1）求证：数列 n a为等比数列； （2）设数列 2 n a的前n项和为 n T，求证： 2n n S T 为定值； （3）判断数列3 n n a 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【解析】 （1）当1n 时， 11 22,Sa，解得 1 2a . 当2n时， 111 222222 nnnnnnn aSSaaaa ，即 1 2 nn aa . 因为 1 0a ，所以 1 2 n n a a ，从而数列 n a是以 2 为首项，2 为公比的
31、等比数列，所以2n n a . （2）因为 2 2 24 nn n a ，所以 2 1 2 4 n n a a ， 第 15 页 故数列 2 n a是以 4 为首项，4 为公比的等比数列， 从而 2 2 2 1 2 2 41 1 2 n n n S ， 4 14 4 41 143 n n n T ，所以 2 3 2 n n S T . （3）假设3 n n a中存在第, , ()m n k mnk项成等差数列， 则2 333 nmk nmk aaa，即 2 33232 nmmkk n a. 因为mnk，且 * , ,m n kN，所以1nk . 因为 11 2 332323232 nmmkkm
32、mnn n a ，所以332 nmm ，故矛盾， 所以数列 3n n a中不存在三项成等差数列. 20(本题满分 16 分) 设, a bR，| 1a .已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb，( )( ) x g xe f x. （1）求 ( )f x的单调区间； （2）已知函数( )yg x和 x ye的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证： ( )f x在 0 xx处的导数等于 0； （ii）若关于x的不等式( )exg x 在区间 00 1,1xx 上恒成立，求b的取值范围. 【解析】 （1）由 32 634f xxxa axb，可得 2 312343
33、4fxxxa axaxa ， 令 0fx ，解得xa，或4xa.由1a ，得4aa. 当x变化时， fx， f x的变化情况如下表： x ,a ,4aa 4, a fx - - f x 所以， f x的单调递增区间为,a，4, a，单调递减区间为,4aa. （2） （i）因为 x gxef xfx ，由题意知 0 0 0 0 x x g xe gxe ， 第 16 页 所以 00 00 0 00 xx xx f xee ef xfxe ，解得 0 0 1 0 f x fx . 所以， f x在 0 xx处的导数等于 0. （ii）因为 x g xe， 00 1,1xxx，由 0 x e ，可得
34、 1f x . 又因为 0 1f x， 0 0fx，故 0 x为 f x的极大值点，由（I）知 0 xa. 另一方面，由于1a ，故14aa ， 由（I）知 f x在1,aa内单调递增，在,1a a内单调递减， 故当 0 xa时， 1f xf a在1,1aa上恒成立， 从而 x g xe在 00 1,1xx上恒成立. 由 32 6341f aaaa aab，得 32 261baa，11a . 令 32 261t xxx，1,1x ，所以 2 612txxx， 令 0tx ，解得2x（舍去） ，或0x. 因为17t ， 13t， 01t，故 t x的值域为7,1. 所以，b的取值范围是7,1.
35、盐城市二校联考 2019-2020 届高三调研考试 数学附加试题 21 【选做题】 （每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） A选修 42：矩阵与变换 21已知矩阵 3 0 0 4 A （1）求A的逆矩阵 1 A； （2）求圆 22 144xy经过 1 A变换后所得的曲线的方程 【解析】 （1）由条件 30 04 A 且 1 10 01 AA ，可得 -1 1 0 3 1 0 4 A ； （2）设变换后新曲线上任一点,P x y，变换前对应点,Px y ， 第 17 页 则 1 0 3 1 0 4 xx yy ，即 1 3 1 4 x
36、x yy ， 所以 3 4 xx yy ，代入 22 144xy得： 22 1 169 xy ， 所以曲线 22 144xy经过 1 A变换后所得曲线的方程为 22 1 169 xy . B选修 44：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 3 2 3 2 xt t y （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，O的极坐标方程为2 3sin （1）写出O 的直角坐标方程； （2）P为直线上一动点，当 P 到圆心 C的距离最小时，求 P 的直角坐标 【解析】 （1）由 222, sinxyy得 222 2 3sin2 3 sin2 3xy
37、y， 即O的直角坐标方程为 22 2 30xyy，即 22 (3)3xy； （2）设P点坐标为 13 (3,) 22 tt ， P到圆心C的距离 2 2 2 13 3312122 3 22 dttt ， 当0t 时，P到圆心C的距离取最小值2 3，此时 (3,0)P. 【必做题】 （第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 22已知 n n n xaxaxaax) 1() 1() 1() 1( 2 210 （1）求 0 a及 nn naaaaS 321 32； （2）试比较 n S与 3 n的大小，并说明理由.
38、 【解析】 （1）取1x，可得 n a2 0 ，对等式两边求导，得 第 18 页 12 321 1 ) 1() 1(3) 1(2) 1( n n n xnaxaxaaxn， 取2x，则 1 321 332 n nn nnaaaaS. （2）要比较 n S与 3 n的大小，即比较： 1 3 n 与 2 n的大小， 当1n时， 21 3n n ；当2n时， 21 3n n ；当3n时， 21 3n n ；当5 , 4n时， 21 3n n ， 猜想：当4n时， 21 3n n ，下面用数学归纳法证明： （i）当4n时， 214 416273 ，猜想成立， （ii）假设当kn，)4( k时结论成立，
39、即 21 3k k ， 当1kn时， 2111 3333k kk ， 而02313421) 1(2122) 1(3 222 kkkkkk， 22111 ) 1(3333 kk kk ，故当1kn时猜想也成立， 综合，当1n时， 21 3n n ；当2n时， 21 3n n ；当3n时， 21 3n n ；当4n时， 21 3n n . 23 已知点(1,0)F为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点， 点P在抛物线C上， 过点 ( ,0)R t 的直线交抛物线C 于,A B两点，线段AB的中点为M，且满足 2PMMF （1）若直线AB的斜率为 1，求点P的坐标； （2）若 6 5 t ，求四边形
40、FBPA面积的最大值 【解析】（1） 点( 1 , 0 )F是抛物线的焦点， 则抛物线的方程为 2 4yx 设直线AB方程为x yt ， 00 ,M x y， 11 ,A x y， 22 ,B x y 由 2 4yx xyt ，得 2 440yyt， 12 4yy， 0 2y ， 由 2PMMF 得 0 2 0 PP yyy 所以6 P y ， 2 9 4 P P y x ， (9,6)P （2）设直线AB方程为x myt 2 4yx xmyt ，得 2 440ymyt， 第 19 页 从而 2 160mt 12 12 4 4 yym y yt 由于M为线段AB的中点，则 0 2ym， 2 0 2xmt，即 2 2,2Mmtm 又 2PMMF ，则 22 22 1 2 24 p p mtxmt mym ，从而 2 632,6Pmtm 点P在抛物线上，则 22 364 632mmt，