1、1 江苏省南京市江苏省南京市 20202020 届高三年级第三次模拟考试数学试题届高三年级第三次模拟考试数学试题 20206 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ） 1已知集合 A24xx，B13xx，则 AB 2若i 1 i a z （i 是虚数单位）是实数，则实数 a 的值为 3某校共有教师 300 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人，现用分层抽样从所有师生中抽 取一个容量为 125 的样本，则从男学生中抽取的人数为 4如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 第 4 题 第 6 题 5将甲、乙、
2、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 6已知函数( )2sin()f xx(其中0， 22 )部分图象如图所示，则() 2 f 的值为 7已知数列 n a为等比数列，若 1 2a ，且 1 a， 2 a， 3 2a 成等差数列，则 n a的前 n 项和为 8 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 22 22 1 xy ab (a0， b0)的右焦点为 F 若以 F 为 圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于 A，B 两点，且 AB2b，则该双曲线的 离心率为 9若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则三棱锥 AB1CD1的体积为 10已知函数 2, 0 ( ) (
3、), 0 xx f x fxx ，( )(2)g xf x，若(1)1g x，则实数 x 的取值 范围为 11 在平面直角坐标系 xOy 中， A， B 是圆 O： x2y22 上两个动点， 且OAOB， 若 A， B 两点到直线 l：3x4y100 的距离分别为 d1，d2，则 d1d2的最大值为 12若对任意 ae，+)（e 为自然对数的底数） ，不等式eax bx 对任意 xR 恒成立， 则实数 b 的取值范围为 2 13 已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内， 满足APABAC， 且231， 延长 AP 交边 BC 于点 D，若 BD2DC，则PA PB的值为 14在AB
4、C 中，A 3 ，D 是 BC 的中点若 AD 2 2 BC，则 sinBsinC 的最大值为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （本题满分 14 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD平面 ABCD， PAPD， E， F 分别为 AD，PB 的中点求证： （1）EF/平面 PCD； （2）平面 PAB平面 PCD 16 （本题满分 14 分） 已知向量m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)，函数 1 ( ) 2 f xm n （1）若( )1 2
5、 x f，x(0，)，求 tan(x 4 )的值； （2）若 1 ( ) 10 f ，( 2 ， 3 4 )， 7 2 sin 10 ，(0， 2 )，求2的 值 17 （本题满分 14 分） 如图，港口 A 在港口 O 的正东 100 海里处，在北偏东方向有条直线航道 OD，航道和 正东方向之间有一片以 B 为圆心，半径为8 5海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁 3 危险） ，其中 OB20 13海里，tanAOB 2 3 ，cosAOD 5 5 ，现一艘科考船以10 5 海里/小时的速度从 O 出发沿 OD 方向行驶，经过 2 个小时后，一艘快艇以 50 海里/小时的 速度准备从港口
6、A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇 （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等 x 小时出发，求 x 的最小值 18 （本题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)经过点(2，0)和(1， 3 2 )，椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标； （3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率 19 （本题满分 16 分） 已知函数 2 e ( )
7、 x f x xaxa (aR)，其中 e 为自然对数的底数 4 （1）若 a1，求函数( )f x的单调减区间； （2）若函数( )f x的定义域为 R，且(2)( )ff a，求 a 的取值范围； （3）证明：对任意 a(2，4)，曲线( )yf x上有且仅有三个不同的点，在这三点处 的切线经过坐标原点 20 （本题满分 16 分） 若数列 n a满足 n2 时，0 n a ，则称数列 1 n n a a (nN)为 n a的“L 数列” （1）若 1 1a ，且 n a的“L 数列”为 1 2n ，求数列 n a的通项公式； （2）若3 n ank(k0)，且 n a的“L 数列”为递增
8、数列，求 k 的取值范围； （3）若 1 1 n n ap ，其中 p1，记 n a的“L 数列”的前 n 项和为 n S，试判断是否 存在等差数列 n c，对任意 nN，都有 1nnn cSc 成立，并证明你的结论 江苏省南京市 2020 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 5 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 1 1 0a ，aR若点 P(1，1)在矩阵 A 的变换下得到点 P(0，2) （1）求矩阵
9、 A； （2）求点 Q(0，3)经过矩阵 A 的 2 次变换后对应点 Q的坐标 B选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 1 cos sin x y （为参数） ，直线 l 的参数方程为 3 1 xt yt （t 为参数） ，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 C选修 45：不等式选讲 已知为 a，b 非负实数，求证： 3322 ()abab ab 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱中 ABCA1B1C1，ABAC
10、，AB3，AC4，B1CAC1 （1）求 AA1的长； 6 （2）试判断在侧棱 BB1上是否存在点 P，使得直线 PC 与平面 AA1C1C 所成角和二面 角 BA1CA 的大小相等，并说明理由 23 （本小题满分 10 分） 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球现有一抽奖游戏规则如下：抽 奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球 2n1(nN)次若取出白球的累 计次数达到 n1 时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖记获奖概率为 n P （1）求 1 P； （2）证明： 1nn PP 江苏省南京市 2020 届高三年级第三次模拟考试 数学试题 20206 一、填空题（本大
11、题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ） 1已知集合 A24xx，B13xx，则 AB 答案：(1，4) 考点：集合的并集运算 解析：集合 A24xx，B13xx， 7 AB(1，4) 2若i 1 i a z （i 是虚数单位）是实数，则实数 a 的值为 答案：2 考点：复数 解析： (2)i i 1 i2 aaa z 是实数，实数 a 的值为 2 3某校共有教师 300 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人，现用分层抽样从所有师生中抽 取一个容量为 125 的样本，则从男学生中抽取的人数为 答案：60 考点：分层抽样
12、 解析： 125 120060 300 1200 1000 4如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 答案：10 考点：伪代码 解析：第一步：i1，S1； 第一步：i2，S3； 第一步：i3，S6； 第一步：i4，S10；故输出的结果为 10 5将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 答案： 2 3 考点：随机事件的概率 解析： 22 22 3 3 2 3 A A P A 6已知函数( )2sin()f xx(其中0， 22 )部分图象如图所示，则() 2 f 的值为 8 答案：3 考点；三角函数的图像与性质 解析：首先 22 2() 33 ，解得1， 又 2 22 326 k
13、k ，kZ， 22 ， 6 ，故( )2sin() 6 f xx ，所以()2sin()3 226 f 7已知数列 n a为等比数列，若 1 2a ，且 1 a， 2 a， 3 2a 成等差数列，则 n a的前 n 项和为 答案： 1 22 n 考点：等比数列的前 n 项和公式，等差中项 解析： 1 a， 2 a， 3 2a 成等差数列，2 2 a 1 a 3 2a 3 a，故 q2， 1 2(21) 22 2 1 n n n S 8 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 22 22 1 xy ab (a0， b0)的右焦点为 F 若以 F 为 圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线
14、于 A，B 两点，且 AB2b，则该双曲线的 离心率为 答案： 6 2 考点：双曲线的简单性质 解析：由题意知2ab，则3cb，离心率 e 36 22 cb ab 9 9若正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则三棱锥 AB1CD1的体积为 答案： 8 3 考点：正四面体的体积计算 解析：可知三棱锥 AB1CD1是以2 2为棱长的正四面体， V 3 28 (2 2) 123 10已知函数 2, 0 ( ) (), 0 xx f x fxx ，( )(2)g xf x，若(1)1g x，则实数 x 的取值 范围为 答案：2，4 考点：函数与不等式 解析：首先 2, 0 ( ) 2, 0
15、xx f x xx ，由( )(2)g xf x知(1)(3)g xf x， 当( )1f x ，解得11x ，故(1)(3)1g xf x，得13 1x ， 24x，故实数 x 的取值范围为2，4 11 在平面直角坐标系 xOy 中， A， B 是圆 O： x2y22 上两个动点， 且OAOB， 若 A， B 两点到直线 l：3x4y100 的距离分别为 d1，d2，则 d1d2的最大值为 答案：6 考点：直线与圆综合 解析：取 AB 中点 D，设 D 到直线 l 的距离为 d，易知：d1d22d OAOBD 轨迹为： 22 max 13xyd d1d2的最大值为 6 12若对任意 ae，+
16、)（e 为自然对数的底数） ，不等式eax bx 对任意 xR 恒成立， 则实数 b 的取值范围为 答案：2，) 考点：函数与不等式（恒成立问题） 解析：当0x时，显然成立，bR； 当0x 时， ,)ae ，lnln( ) ax b xexaxbbxexf x 1 ( ) ex fx x ，易知： max 1 ( )( )2f xf e ，故2b； 综上，实数 b 的取值范围为2，) 13 已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内， 满足APABAC， 且231， 10 延长 AP 交边 BC 于点 D，若 BD2DC，则PA PB的值为 答案： 9 4 考点：平面向量数量积 解析：
17、A，P，D 共线，不妨令3APmAD 又2BDDC，故 12 2 33 ADABACAPmABmACABAC， 因此 1 2 11 8 231184 4 APABAC ， 则 71 84 PBABAPABAC， 故 11719 () () 84844 PA PBABACABAC 14在ABC 中，A 3 ，D 是 BC 的中点若 AD 2 2 BC，则 sinBsinC 的最大值为 答案： 3 8 考点：解三角形综合 解析： 222222 13 2 22 abcbcADaa 22 113 sinsinsin 228 bcaBCA 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域
18、 内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （本题满分 14 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD平面 ABCD， PAPD， E， F 分别为 AD，PB 的中点求证： （1）EF/平面 PCD； （2）平面 PAB平面 PCD 11 证明：(1)取 PC 中点 G，连接 DG、FG 在PBC 中，因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点，所以 GFBC，GF1 2BC 因为底面 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DEBC，DE1 2BC， 所以 GFDE，GFDE，所以四边形 DEFG 为平行四边形， 所以 E
19、FDG 又因为 EF平面 PCD，DG平面 PCD， 所以 EF平面 PCD (2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 CDAD 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CD平面 ABCD， 所以 CD平面 PAD 因为 PA平面 PAD，所以 CDPA 又因为 PAPD，PD平面 PCD，CD平面 PCD，PDCDD，所以 PA平面 PCD 因为 PA平面 PAB，所以平面 PAB平面 PCD 16 （本题满分 14 分） 已知向量m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)，函数 1 ( ) 2 f xm n （1）若( )1 2 x f，x(0，)，求 ta
20、n(x 4 )的值； （2）若 1 ( ) 10 f ，( 2 ， 3 4 )， 7 2 sin 10 ，(0， 2 )，求2的 值 解：(1) 因为向量 m(cosx，sinx)，n(cosx，sinx)， 12 所以 f(x)m n1 2cos 2xsin2x1 2cos2x 1 2 因为 f(x 2)1，所以 cosx 1 21，即 cosx 1 2 又因为 x(0，) ，所以 x 3， 所以 tan(x 4)tan( 3 4) tan 3 tan 4 1tan 3tan 4 2 3 (2)若 f() 1 10，则 cos2 1 2 1 10，即 cos2 3 5 因为 ( 2， 3 4
21、 )，所以 2(，3 2 )，所以 sin2 1cos224 5 因为 sin7 2 10 ，(0， 2)，所以 cos 1sin2 2 10， 所以 cos(2)cos2cossin2sin(3 5) 2 10( 4 5) 7 2 10 2 2 又因为 2(，3 2 )，(0， 2)，所以 2(，2)， 所以 2 的值为7 4 17 （本题满分 14 分） 如图，港口 A 在港口 O 的正东 100 海里处，在北偏东方向有条直线航道 OD，航道和 正东方向之间有一片以 B 为圆心，半径为8 5海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁 危险） ，其中 OB20 13海里，tanAOB 2 3 ，
22、cosAOD 5 5 ，现一艘科考船以10 5 海里/小时的速度从 O 出发沿 OD 方向行驶，经过 2 个小时后，一艘快艇以 50 海里/小时的 速度准备从港口 A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇 （1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等 x 小时出发，求 x 的最小值 解：如图，以 O 为原点，正东方向为 x 轴，正北方向为 y 轴，建立直角坐标系 xOy 因为 OB20 13，tanAOB2 3，OA100， 13 B E A C O D x y 所以点 B(60，40)，且 A(100，0) (1)设快艇立即出发经过
23、t 小时后两船相遇于点 C， 则 OC10 5(t2)，AC50t 因为 OA100，cosAOD 5 5 ， 所以 AC2OA2OC22OA OC cosAOD， 即(50t)2100210 5(t2)22 100 10 5(t2) 5 5 化得 t24，解得 t12，t22（舍去） ， 所以 OC40 5 因为 cosAOD 5 5 ，所以 sinAOD2 5 5 ，所以 C(40，80)， 所以直线 AC 的方程为 y4 3(x100)，即 4x3y4000 因为圆心 B 到直线 AC 的距离 d|4 603 40400| 4232 8，而圆 B 的半径 r8 5， 所以 dr，此时直线
24、 AC 与圆 B 相交，所以快艇有触礁的危险 答：若快艇立即出发有触礁的危险 (2)设快艇所走的直线 AE 与圆 B 相切，且与科考船相遇于点 E 设直线 AE 的方程为 yk(x100)，即 kxy100k0 因为直线 AE 与圆 B 相切，所以圆心 B 到直线 AC 的距离 d|60k40100k| 12k2 8 5， 即 2k25k20，解得 k2 或 k1 2 由（1）可知 k1 2舍去 因为 cosAOD 5 5 ，所以 tanAOD2，所以直线 OD 的方程为 y2x 由 y2x， y2(x100)，解得 x50， y100，所以 E(50，100)， 所以 AE50 5，OE50
25、 5， 14 此时两船的时间差为50 5 10 5 50 5 50 5 5，所以 x5 523 5 答：x 的最小值为(3 5)小时 18 （本题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)经过点(2，0)和(1， 3 2 )，椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标； （3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率 解：(1)因为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)过点(2，0)和 (1， 3 2 )， 所以
26、 a2， 1 a2 3 4b21，解得 b 21， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4y 21 (2)因为 B 为左顶点，所以 B (2，0) 因为四边形 AMBO 为平行四边形，所以 AMBO，且 AMBO2 设点 M(x0，y0)，则 A(x02，y0) 因为点 M，A 在椭圆 C 上，所以 x02 4 y021， (x02)2 4 y021， 解得 x01， y0 3 2 ， 所以 M(1， 3 2 ) (3) 因为直线 AB 的斜率存在， 所以设直线 AB 的方程为 ykxm， A(x1， y1)， B(x2， y2) 15 由 ykxm， x2 4y 21，消去 y，得(4k 21)x
27、28kmx4m240， 则有 x1x28km 14k2，x1x2 4m24 14k2 因为平行四边形 AMBO，所以OM OAOB(x 1x2，y1y2) 因为 x1x28km 14k2，所以 y1y2k(x1x2)2mk 8km 14k22m 2m 14k2， 所以 M(8km 14k2， 2m 14k2) 因为点 M 在椭圆 C 上，所以将点 M 的坐标代入椭圆 C 的方程， 化得 4m24k21 因为 A，M，B，O 四点共圆，所以平行四边形 AMBO 是矩形，且 OAOB， 所以OA OB x 1x2y1y20 因为 y1y2(kx1m)(kx1m)k2x1x2km(x1x2)m2m
28、24 k2 14k2 ， 所以 x1x2y1y24m 24 14k2 m 24k2 14k2 0，化得 5m24k24 由解得 k211 4 ，m23，此时0，因此 k 11 2 所以所求直线 AB 的斜率为 11 2 19 （本题满分 16 分） 已知函数 2 e ( ) x f x xaxa (aR)，其中 e 为自然对数的底数 （1）若 a1，求函数( )f x的单调减区间； （2）若函数( )f x的定义域为 R，且(2)( )ff a，求 a 的取值范围； （3）证明：对任意 a(2，4)，曲线( )yf x上有且仅有三个不同的点，在这三点处 的切线经过坐标原点 解：(1)当 a1
29、时，f(x) ex x2x1， 所以函数 f(x)的定义域为 R，f(x)e x(x1)(x2) (x2x1)2 令 f(x)0，解得 1x2， 所以函数 f(x)的单调减区间为(1，2) 16 (2)由函数 f(x)的定义域为 R，得 x2axa0 恒成立， 所以 a24a0，解得 0a4 方法方法 1 由 f(x) ex x2axa，得 f(x) ex(xa)(x2) (x2axa)2 当 a2 时，f(2)f(a)，不符题意 当 0a2 时， 因为当 ax2 时，f (x)0，所以 f(x)在(a，2)上单调递减， 所以 f(a)f(2)，不符题意 当 2a4 时， 因为当 2xa 时，
30、f (x)0，所以 f(x)在(2，a)上单调递减， 所以 f(a)f(2)，满足题意 综上，a 的取值范围为(2，4) 方法方法 2 由 f(2)f(a)，得 e2 4a ea a 因为 0a4，所以不等式可化为 e2e a a(4a) 设函数 g(x)e x x (4x)e2， 0x4 因为 g(x)ex (x2)2 x2 0 恒成立，所以 g(x)在(0，4)上单调递减 又因为 g(2)0，所以 g(x)0 的解集为(2，4) 所以，a 的取值范围为(2，4) (3)证明：设切点为(x0，f(x0)，则 f(x0)e x0(x 02)(x0a) (x02ax0a)2 ， 所以切线方程为
31、y e x0 x02ax0a e x0(x 02)(x0a) (x02ax0a)2 (xx0) 由 0 e x0 x02ax0a e x0(x 02)(x0a) (x02ax0a)2 (0x0)， 化简得 x03(a3)x023ax0a0 设 h(x)x3(a3)x23axa，a(2，4)， 则只要证明函数 h(x)有且仅有三个不同的零点 由(2)可知 a(2，4)时，函数 h(x)的定义域为 R，h(x)3x22(a3)x3a 17 因为4(a3)236a4(a3 2) 2270 恒成立， 所以 h(x)0 有两不相等的实数根 x1和 x2，不妨 x1x2 因为 x (，x1) x1 (x1
32、，x2) x2 (x2，) h(x) 0 0 h(x) 增 极大 减 极小 增 所以函数 h(x)最多有三个零点 因为 a(2，4)，所以 h(0)a0，h(1)a20，h(2)a40，h(5)5011a 0， 所以 h(0)h(1)0，h(1)h(2)0，h(2)h(5)0 因为函数的图象不间断，所以函数 h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个 零点 综上所述，函数 h(x)有且仅有三个零点 20 （本题满分 16 分） 若数列 n a满足 n2 时，0 n a ，则称数列 1 n n a a (nN)为 n a的“L 数列” （1）若 1 1a ，且 n a的“L 数
33、列”为 1 2n ，求数列 n a的通项公式； （2）若3 n ank(k0)，且 n a的“L 数列”为递增数列，求 k 的取值范围； （3）若 1 1 n n ap ，其中 p1，记 n a的“L 数列”的前 n 项和为 n S，试判断是否 存在等差数列 n c，对任意 nN，都有 1nnn cSc 成立，并证明你的结论 解： （1）由题意知， 1 1 2 n n n a a ，所以 1 2n n n a a ， 所以 (1) 1211 2 3(1) 12 2 1 121 222 122 n n nnn nn n nn aaa aa aaa 即数列 n a的通项公式为 (1) 2 2 n
34、n n a （2）因为 annk3(k0)，且 n2，nN*时，an0，所以 k1 方法方法 1 18 设 bn an an1，nN*，所以 bn nk3 (n1)k31 1 nk2 因为bn为递增数列，所以 bn1bn0 对 nN*恒成立， 即 1 nk2 1 nk10 对 nN*恒成立 因为 1 nk2 1 nk1 1 (nk2)(nk1)， 所以 1 nk2 1 nk10 等价于(nk2)(nk1)0 当 0k1 时，因为 n1 时，(nk2)(nk1)0，不符合题意 当 k1 时，nk1nk20，所以(nk2)(nk1)0， 综上，k 的取值范围是(1，) 方法方法 2 令 f(x)1
35、 1 xk2，所以 f(x)在区间(，2k)和区间(2k，)上单调递增 当 0k1 时， f(1)1 1 k11，f(2)1 1 k1，所以 b2b1，不符合题意 当 k1 时， 因为 2k1，所以 f(x)在1，)上单调递增，所以bn单调递增，符合题意 综上，k 的取值范围是(1，) （3）存在满足条件的等差数列 n c，证明如下： 因为 1 1 1 1 11 11 k k kk k app appp ，kN， 所以 21 11111 (1)() 1111 n nn n S pppppp ， 又因为1p ，所以 1 10 p ， 所以 21 11111 (1)() n nn nn S ppp
36、pppp ， 即 11 (1) n n nn S pppp ， 19 因为 111 (1) n ppp ，所以 1 n nn S pp ， 设 n n c p ，则 1 11 nn nn cc ppp ，且 1nnn cSc ， 所以存在等差数列 n c满足题意 20 江苏省南京市 2020 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 1 1 0a ，aR若点 P(1，1)在矩阵
37、 A 的变换下得到点 P(0，2) （1）求矩阵 A； （2）求点 Q(0，3)经过矩阵 A 的 2 次变换后对应点 Q的坐标 解：(1) 1 1 a 0 1 1 0 a 因为点 P(1，1)在矩阵 A 的变换下得到点 P(0，2)，所以 a2， 所以 A 1 1 2 0 (2)因为 A 1 1 2 0 ，所以 A2 1 1 2 0 1 1 2 0 3 1 2 2 ， 所以 A2 0 3 = 3 1 2 2 0 3 = 3 6 ， 所以，点 Q的坐标为(3，6) B选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 1 cos sin x y （为参数） ，直线
38、 l 的参数方程为 3 1 xt yt （t 为参数） ，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 解：曲线 C：(x1)2y21，直线 l：330xy 圆心 C(1，0)到 l 的距离设为 d， 13 2 d 故曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为1 3 1 2 ，即 33 2 C选修 45：不等式选讲 已知 a，b 为非负实数，求证： 3322 ()abab ab 21 证明：因为 a，b 为非负实数， 332222 ()()()aba b abaaabbbba 55 ()()() abab 若ab时，ab，从而 55 ()()ab， 得 55 ()()() 0abab， 若a
39、b时，ab，从而 55 ()()ab， 得 55 ()()() 0abab， 综上， 3322 ()abab ab 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在直三棱柱中 ABCA1B1C1，ABAC，AB3，AC4，B1CAC1 （1）求 AA1的长； （2）试判断在侧棱 BB1上是否存在点 P，使得直线 PC 与平面 AA1C1C 所成角和二面 角 BA1CA 的大小相等，并说明理由 解： （1）直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC， 又 AB，AC平面 ABC，故
40、AA1AB，AA1AC，又 ABAC 故以 A 为原点，AB，AC， 1 AA为正交基底建立空间直角坐标系 设 AA1a0，则 A1(0，0，a)，C(0，4，0)，B1(3，0，a)，C1(0，4，a)， 1 BC(3，4，a)， 1 AC(0，4，a) 因为 B1CAC1，故 11=0 BC AC，即 2 160a， 又 a0，故 a4，即 AA1的长为 4； （2）由（1）知：B(3，0，0)，B1(3，0，4)，假设存在， 设 1 BPBB(0，0，4)，(0,1)， 则 P(3，0，4)，则CP(3，4，4) 22 ABAC，ABAA1，又 ACAA1A，AC，AA1平面 AA1C1
41、C 所以 AB平面 AA1C1C，故平面 AA1C1C 的法向量为AB(3，0，0) 设 PC 与平面 AA1C1C 所成角为，则 2 3 sincos, 1625 CP AB ， 设平面 BA1C 的法向量为n(x，y，z)，平面 AA1C 的法向量为AB(3，0，0) 由（1）知： 1 AC(0，4，4)，BC(3，4，0)，AC(0，4，0)， 1 340 440 n BCxy n ACyz ，令3y ，则n(4，3，3) 设二面角 BA1CA 的大小为，则 4 coscos, 34 n AB ， 因为，则 22 2 98 sincos1 162517 ，无解， 故侧棱 BB1上不存在符
42、合题意的点 P 23 （本小题满分 10 分） 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球现有一抽奖游戏规则如下：抽 奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球 2n1(nN)次若取出白球的累 计次数达到 n1 时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖记获奖概率为 n P （1）求 1 P； （2）证明： 1nn PP 解： （1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为 2 5 ，取出的球是黑球的概率为 3 5 ， 所以 12 12 222344 ( ) 5555125 PC； （2）证明：累计取出白球次数是 n +1 的情况有： 前 n 次取出 n 次白球，第 n +1 次取出的是白球，概率为 1 2 ( ) 5 nn n C