1、2020 年高考数学三诊试卷（理科）年高考数学三诊试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 Ax|（x+1）（x2）0，集合 Bx|1x3，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 2若复数 z 满足（z1）i3+i（i 为虚数单位），则 的虚部为（ ） A3 B3i C3 D3i 3已知角 （02）终边上一点的坐标为 ， ，则 （ ） A B C D 4各项均不相等的等差数列an的前 5 项的和 S55，且 a3，a4，a6成等比数列，则 a7 （ ） A14 B5 C4 D1 5设 a、b、c 依次表示函数 x+1， xx+1， x+1 的零 点
2、，则 a、b、c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cacb Dbca 6已知 是给定的平面，设不在 内的任意两点 M 和 N 所在的直线为 l，则下列命题正确 的是（ ） A在 内存在直线与直线 l 相交 B在 内存在直线与直线 l 异面 C在 内存在直线与直线 l 平行 D存在过直线 l 的平面与 平行 7（x2x2）3的展开式中，含 x4的项的系数是（ ） A9 B9 C3 D3 8如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ） A63 B57 C48 D39 9有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个红球和 4 个黑球，随机取出 3 个，则取出的球的编号互 不相同的
3、概率是（ ） A B C D 10设双曲线 C： ， 的左、右焦点分别为 F1、F2，与圆 x 2+y2a2 相切的直线 PF1交双曲线 C 于点 P（P 在第一象限），且|PF2|F1F2|，则双曲线 C 的离 心率为（ ） A B C D 11已知函数 ， ，若 f（x）的任何一条对称轴与 x 轴交 点的横坐标都不属于区间 ， ，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 12设函数 f（x）ln（x+k）+2，函数 yg（x）的图象与 1 的图象关于直线 x 1 对称若实数 x1，x2满足 f（x1）g（x2），且 2x1x2有极小值2，则实数 k 的值 是（ ） A3 B2
4、 C1 D1 二、填空题： 13已知| |1，| |2，且 （ ）2，则向量 与 的夹角为 14已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2anSn1（n N*），则 a4 15焦点为 F 的抛物线 C：x24y 的准线与坐标轴交于点 A，点 P 在抛物线 C 上，则 的 最大值为 16如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD60，AB2AD2，E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE，设 M 为线段 A1C 的中点则在ADE 翻折过程中， 给出如下结论： 当 A1不在平面 ABCD 内时，MB平面 A1DE； 存在某个位置，使得 DEA1C； 线段 BM 的长是定值
5、； 当三棱锥 CA1DE 体积最大时，其外接球的表面积为 其中，所有正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题： 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosB（4cb）cosA （）求 cosA 的值； （） 若 b4， 点 M 在线段 BC 上， 且 ， ， 求ABC 的面积 18 某公司为提高市场销售业绩， 促进某产品的销售， 随机调查了该产品的月销售单价 x （单 位：元/件）及相应月销量 y
6、（单位：万件），对近 5 个月的月销售单价 xi和月销售量 yi （i1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据： 月销售单价 xi（元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量 yi（万件） 11 10 8 6 5 （）建立 y 关于 x 的回归直线方程； （）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为 7 元/件时，其月销售量达到 18 万 件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过 0.5 万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（）中得到的回归直线方程 是否理想？ （）根据（）的结果，若该产品成本是 5 元/件，月销售单价 x 为
7、何值时（销售单价 不超过 11 元/件），公司月利润的预计值最大？ 参考公式：回归直线方程 ，其中 ， 参考数据： ， xi2502.5 19如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 2，B1BA （）证明：B1CAC1； （）若平面 ABB1A1平面 ABC，M 为 A1C1的中点，求 B1C 与平面 AB1M 所成角的正 弦值 20已知函数 f（x）（a+2）x2+axlnx（a R） （）当 a0 时，求曲线 yf（x）在（1，f（1）处的切线方程； （）设 g（x）x2 ，若x1 （0，1，x2 0，1，使得 f（x1）g（x2）成立， 求实数 a 的取值范围 21点 M（x
8、，y）与定点 F（1，0）的距离和它到直线 x4 的距离的比是常数 （）求点 M 的轨迹 C 的方程； （）过坐标原点 O 的直线交轨迹 C 于 A，B 两点，轨迹 C 上异于 A，B 的点 P 满足直 线 AP 的斜率为 （）求直线 BP 的斜率； （）求ABP 面积的最大值 （二）选考题：选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），将曲线 C1 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到曲线 C2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求曲线 C1、C2的极坐标方程； （）射线 OM：（0）分别与曲线 C
9、1、C2交于点 A，B（A，B 均异于坐标原点 O），若 ，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+b|（a0，b0） （）当 ab1 时，解不等式 f（x）x+2； （）若 f（x）的值域为2，+），证明： 2 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|（x+1）（x2）0，集合 Bx|1x3，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 【分析】先解出 Ax|1x2，然后进行交集的运算即可 解：Ax|1x2； ABx|1x2 故选：C 【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式
10、的解法，以及交集的运算 2若复数 z 满足（z1）i3+i（i 为虚数单位），则 的虚部为（ ） A3 B3i C3 D3i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由（z1）i3+i，得 z ， 则 的虚部为 3 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知角 （02）终边上一点的坐标为 ， ，则 （ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得 的范围以及正切值， 可得 的值 解：角 （02）终边上一点的坐标为 ， ， 为第三象限角， 则 tan cot cot ， ， 故选：C 【点评】本
11、题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题 4各项均不相等的等差数列an的前 5 项的和 S55，且 a3，a4，a6成等比数列，则 a7 （ ） A14 B5 C4 D1 【分析】设等差数列an的公差为 d，d0，运用等差数列的求和公式，以及等比数列的 中项性质和等差数列的通项公式， 化简整理， 解方程可得首项和公差， 即可得到所求值 解：设等差数列an的公差为 d，d0， 由 S55，可得 5a1 54d5，即 a1+2d1， 由 a3，a4，a6成等比数列，可得 a42a3a6，即（a1 +3d）2（a1+2d）（a1+5d）， 化为 a1d+d20，由 d0，可得 a1d，
12、 由解得 d1，a11， 则 a71+（71）（1）5 故选：B 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方 程思想和运算能力，属于基础题 5设 a、b、c 依次表示函数 x+1， xx+1， x+1 的零 点，则 a、b、c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cacb Dbca 【分析】先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零 点的范围，从而比较大小，即可得解 解：函数 x+1， xx+1， x+1 的零点， 就是方程 x1， xx1， x1 方程的的解， 在坐标系中画出函数 y ，y x，y ，与 yx1 的图象，如图：
13、可得 bca， 故选：D 【点评】本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查 数形结合的应用，属于中档题 6已知 是给定的平面，设不在 内的任意两点 M 和 N 所在的直线为 l，则下列命题正确 的是（ ） A在 内存在直线与直线 l 相交 B在 内存在直线与直线 l 异面 C在 内存在直线与直线 l 平行 D存在过直线 l 的平面与 平行 【分析】采用举反例方式，逐一排除，从而可得到正确答案 解：由题可知，直线 l 和平面 要么相交，要么平行 当平面 与直线 l 平行时，在 内就不存在直线与直线 l 相交，则 A 错； 当平面 与直线 l 相交时，在 内就不存在直线
14、与直线 l 平行，则 C 错； 当平面 与直线 l 相交时，过直线 l 的平面与平面 都会相交，则 D 错； 不论直线 l 和平面 相交还是平行，都会在 内存在直线与直线 l 异面，则 B 正确 故选：B 【点评】本题主要考查了点线面位置关系，考查了学生的直观想象能力，属于基础题 7（x2x2）3的展开式中，含 x4的项的系数是（ ） A9 B9 C3 D3 【分析】根据（x2x2） 3（x2）3 （x+1）3（x36x2+12x8） （x3+3x2+3x+1）， 求得含 x4的项的系数 解：（x2x2）3（x2）3 （x+1）3（x36x2+12x8）（x3+3x2+3x+1）， 含 x4的
15、项的系数为 363+123， 故选：D 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 8如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ） A63 B57 C48 D39 【分析】直接利用三视图，判断几何体的构成，进一步利用几何体的表面积公式求出结 果 解：根据几何体的三视图： 该几何体是由底面半径为 3，高为 4 的圆柱，挖去一个底面半径为 3，高为 4 的倒圆锥构 成的几何体 所以：S32 +64 6548 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查 学生的运算能力和转化能力，属于基础
16、题型 9有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个红球和 4 个黑球，随机取出 3 个，则取出的球的编号互 不相同的概率是（ ） A B C D 【分析】显然取法总数为 C ，要取出的球的编号互不相同可先选编号数 C ，再定颜 色有 C C C ，则有 C C C C 种取法，相比即可 解：从 8 个球中随机取出 3 个的取法有 C 56 种；其中取出的球的编号互不相同的取 法有 C C C C 32 种， 则取出的球的编号互不相同的概率 P 故选：A 【点评】本题考查乘法原理，组合数公式与概率相结合，属于基础题 10设双曲线 C： ， 的左、右焦点分别为 F1、F2，与圆 x 2+y2a2 相
17、切的直线 PF1交双曲线 C 于点 P（P 在第一象限），且|PF2|F1F2|，则双曲线 C 的离 心率为（ ） A B C D 【分析】设直线 PF1与圆 x2+y2a2相切于点 M，取 PF1的中点 N，连接 NF2，由切线的 性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理可得|PF1|4b，再由双曲线 的定义和 a，b，c 的关系及离心率公式计算即可得到结果 解：设直线 PF1与圆 x2+y2a2相切于点 M，则|OM|a，取 PF1的中点 N，连接 NF2， 由于|PF2|F1F2|2c，则 NF2PF1，|NP|NF1|， 由|NF2|2|OM|2a，则|NP| 2b，即有|
18、PF1|4b， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，即 4b2c2a，即 2ba+c， 即 4b2（c+a）24（c2a2）， 整理得 3c5a， 则 e 故选：B 【点评】本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形的三线合一、中位线定理、勾股定理 及双曲线的定义、离心率计算，属于中档题 11已知函数 ， ，若 f（x）的任何一条对称轴与 x 轴交 点的横坐标都不属于区间 ， ，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】 先利用辅助角公式， 将函数 f （x） 化简为 ， 观察选项， 可以找两个特殊值2和 ， 进行试验排除 具体做法是， 将2和 分别代入函数 f（x），求
19、出对称轴，给 k 赋值，判断对称轴是否能在区间 ， 即可得 解 解： ， f（x）的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间 ， ， ，2，即 ， 若 2，则 ，令 ， ，得 ， ， 当 k1 时，对称轴为 ， ，不符合题意，故 2，排除选项 B 和 D， 若 ， 则 ， 令 ， ， 得 ， ， 当 k0 时，对称轴 ， ，不符合题意，故 ，排除选项 C 故选：A 【点评】本题考查辅助角公式和正弦函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力、分析能 力和运算能力，属于中档题 12设函数 f（x）ln（x+k）+2，函数 yg（x）的图象与 1 的图象关于直线 x 1 对称若实数 x1，x2满足
20、 f（x1）g（x2），且 2x1x2有极小值2，则实数 k 的值 是（ ） A3 B2 C1 D1 【分析】先由对称性求出 g（x），然后由已知可设 f（x1）g（x2）a，则分别表示 x1 ea2k，x22ln（a1），代入后结合导数及极值存在的条件可求 解：由题意可得 1 设 f（x1）g（x2）a， 则 x1ea2k，x22ln（a1）， 2x1x22ea22ln（a1）2k， 令 h（a）2ea22ln（a1）2k， 则 2（ ）在（1，+）上单调递增且 h（2）0， 故当 a2 时，h（a）0，h（a）单调递增，当 1a2 时，h（a）0，h（a）单 调递减， 故当 a2 时，h（
21、a）取得极小值 h（2）22k， 由题意可知 22k2， 故 k2 故选：B 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数极值存在的条件，解题的关键是利用已知表 示出极值的条件 二、填空题： 13已知| |1，| |2，且 （ ）2，则向量 与 的夹角为 【分析】根据题意，设向量 与 的夹角为 ，由数量积的运算性质可得 （ ） 22，变形解可得 cos 的值，结合 的范围分析可得答案 解：根据题意，设向量 与 的夹角为 ， 若 （ ）2，则 （ ） 22， 即 2cos12，解可得 cos ， 又由 0，则 ； 故答案： 【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题 14已
22、知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2anSn1（n N*），则 a4 8 【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的项即可 解：数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2anSn1（n N*）， n1 时，2a1S11可得 a11， n2 时，2a2S21，即 2a2a2a11，解得 a22， n3 时，2a3S31，即 2a3a3a2a11，解得 a34， n4 时，2a4S41，即 2a4a4a3a2a11，解得 a48， 故答案为：8 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，是基本知识的考查 15焦点为 F 的抛物线 C：x24y 的准线与坐标轴交于点 A，
23、点 P 在抛物线 C 上，则 的 最大值为 【分析】根据题意作图，结合抛物线性质可得 ，则当PAM 最小时， 则 最大，即当 PA 和抛物线相切时， 最大，设 P（a， ），利用导数求得斜率 求出 a 的值即可 解：由题意可得，焦点 F（0，1），A（0，1），准线方程为 y1 过点 P 作 PM 垂直于准线，M 为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|PM|， 则 ，PAM 为锐角 故当PAM 最小时，则 最大， 故当 PA 和抛物线相切时， 最大 可设切点 P（a， ）， 则 PA 的斜率为 k ， 而函数 y 的导数为 y ， 则有 ，解得 a2，可得 P（2，1）或（2，1）， 则|PM|
24、2，|PA|2 ， 即有 sinPAM ， 则 ， 故答案为： 【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结 合进行转化是解决本题的关键考查学生的计算能力，属于中档题 16如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD60，AB2AD2，E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE，设 M 为线段 A1C 的中点则在ADE 翻折过程中， 给出如下结论： 当 A1不在平面 ABCD 内时，MB平面 A1DE； 存在某个位置，使得 DEA1C； 线段 BM 的长是定值； 当三棱锥 CA1DE 体积最大时，其外接球的表面积为 其中，所有正确结论的序号是
25、（请将所有正确结论的序号都填上） 【分析】取 DC 的中点 N，连接 NM、NB，可得 MNA1D，NBDE，且 MN、NB 和 MNB 均为定值，由平面与平面平行的判定可得面 MNB面 A1DE，则 MB面 A1DE； 用反证法，假设存在某个位置，使 DEA1C，在CDE 中，由勾股定理易知，CE DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE面 A1CE，所以 DEA1E，与已知相矛盾； 由可知 MN，NB，MNB，在MNB 中，由余弦定理可知，MB2MN2+NB22MN NBcosMNB，计算得线段 BM 的长是定值； 当三棱锥 CA1DE 体积最大时，平面 A1DE平面 CDE，又 CEDE，
26、得 CE平面 A1DE，设三棱锥 CA1DE 的外接球的球心为 O，由勾股定理求外接球的半径 OE，代入 球的表面积公式可得外接球的表面积为 解：如图，AB2AD2，E 为边 AB 的中点，BAD60， ADE（A1DE）为等边三角形，则 DE1 取 DC 的中点 N，连接 NM、NB，则 MNA1D，且 MN ； NBDE，且 NBDE1， MN平面 A1DE，A1D平面 A1DE，则 MN平面 A1DE， 同理 NB平面 A1DE，又 NMNBN，平面 NMB平面 A1DE， 则 MB平面 A1DE，故正确； 假设存在某个位置，使 DEA1CDE1，可得 CE ， CE2+DE2CD2，即
27、 CEDE， A1CCEC，DE面 A1CE， A1E面 A1CE，DEA1E，与已知DA1E60矛盾，故错误； 由知，MNBA1DE60，MN ，NB1 由余弦定理得，MB2MN2+NB22MN NBcosMNB ， BM 的长为定值 ，故正确； 当三棱锥 CA1DE 体积最大时，平面 A1DE平面 CDE， 又 CEDE，CE平面 A1DE，设三棱锥 CA1DE 的外接球的球心为 O， 则外接球的半径 OE ， 外接球的表面积 S4 ，故正确 正确命题的序号是 故答案为： 【点评】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系， 以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性
28、质定理是解题的关键，考查学生的空间立 体感和逻辑推理能力，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题： 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosB（4cb）cosA （）求 cosA 的值； （） 若 b4， 点 M 在线段 BC 上， 且 ， ， 求ABC 的面积 【分析】 （） 由正弦定理， 两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 sinC4sinCcosA， 结合在ABC 中，sinC0，可求 cosA 的值 （）解法一：由 ，两边
29、平方，利用余弦定理可解得 c 的值，利用同角 三角函数基本关系式可求 sinA 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解； 解法二：延长 BA 到 N，使 ABAN，连接 CN，由 ，M 点为 BC 线段中 点， ，可求 ， ，利用余弦定理可求 c 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解 解：（）因为 acosB（4cb）cosA， 由正弦定理得：sinAcosB（4sinCsinB）cosA， 即 sinAcosB+sinBcosA4sinCcosA， 可得 sinC4sinCcosA， 在ABC 中，sinC0， 所以 （）解法一： ，两边平方得： ， 由 b4， ， ， 可得： ，解得 c
30、2 或 c4（舍） 又 ， 所以ABC 的面积 解法二：延长 BA 到 N，使 ABAN，连接 CN， ，M 点为 BC 线段中点， ， ， 又b4， ， ， CN2AC2+AN22AC AN cosCAN， 即 ，解得：c2 或 c4（舍）， 又 ， ABC 的面积 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数 基本关系式，三角形的面积公式以及平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了 数形结合思想和转化思想，属于中档题 18 某公司为提高市场销售业绩， 促进某产品的销售， 随机调查了该产品的月销售单价 x （单 位：元/件）及相应月销量 y（单位：万件），
31、对近 5 个月的月销售单价 xi和月销售量 yi （i1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据： 月销售单价 xi（元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量 yi（万件） 11 10 8 6 5 （）建立 y 关于 x 的回归直线方程； （）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为 7 元/件时，其月销售量达到 18 万 件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过 0.5 万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（）中得到的回归直线方程 是否理想？ （）根据（）的结果，若该产品成本是 5 元/件，月销售单价 x 为何值时（销售单价
32、 不超过 11 元/件），公司月利润的预计值最大？ 参考公式：回归直线方程 ，其中 ， 参考数据： ， xi2502.5 【分析】（）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解 y 关于 x 的回归直 线方程； （）利用过后直线方程，求出当该产品月销售单价为 7 元/件时，求出预测数据，通过 判断由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值说法超过 0.5 万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，说明（）中得到的回归直线方程是 否理想 （）设销售利润为 M，则 M（x5）（3.2x+40）（5x11）M3.2x2+56x 200，求解 x8.75 时，M 取最大值，得
33、到结果 解： （） 因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 y 关于 x 的回归直线方程为： （）当 x7 时， ，则|17.618|0.40.5， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的 （）设销售利润为 M，则 M（x5）（3.2x+40）（5x11）M3.2x2+56x 200，所以 x8.75 时，M 取最大值， 所以该产品单价定为 8.75 元时，公司才能获得最大利润 【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知 识的考查 19如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 2，B1BA （）证明：B1CAC1； （）若平面 ABB1A1平面 ABC，
34、M 为 A1C1的中点，求 B1C 与平面 AB1M 所成角的正 弦值 【分析】（）取 AB 中点 D，连接 B1D，CD，BC1证明 B1CBC1B1DAB，CD AB 得到 AB平面 B1CD 推出 ABB1C 即可证明 B1C平面 ABC1， 得到 B1CAC1 （）说明 DB，DB1，DC 两两垂直，以 D 为原点，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，DB1为 z 轴，建立空间直角坐标系求出平面 AB1M 的法向量，利用空间向量的数量积求解 B1C 与平面 AB1M 所成的角的正弦值即可 【解答】证明：（）取 AB 中点 D，连接 B1D，CD，BC1 三棱柱的所有棱长均为 2， ，
35、ABC 和ABB1是边长为 2 的等边三角形，且 B1CBC1 B1DAB，CDAB B1D，CD平面 B1CD，B1DCDD，AB平面 B 1CD B1C平面 B1CD，ABB1C AB，BC1平面 ABC1，ABBC1B，B1C平面 ABC1， B1CAC1 （）平面 ABB1A1平面 ABC，且交线为 AB， 由（）知 B1DAB，B1D平面 ABC 则 DB，DB1，DC 两两垂直，则以 D 为原点，DB 为 x 轴，DC 为 y 轴，DB1为 z 轴， 建立空间直角坐标系 则 D（0，0，0），A（1，0，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， M 为 A1C1的中点，
36、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 AB1M 的法向量为 ， ， ， 则 ，取 z1，得 ， ， 设 B1C 与平面 AB1M 所成的角为 ，则 B1C 与平面 AB1M 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应 用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题 20已知函数 f（x）（a+2）x2+axlnx（a 一、选择题） （）当 a0 时，求曲线 yf（x）在（1，f（1）处的切线方程； （）设 g（x）x2 ，若x1 （0，1，x2 0，1，使得 f（x1）g（x2）成立， 求实数 a 的取值范围 【分析
37、】（）当 a0 时，求出 ，求出切线的斜率以及切点坐标，然后 求解切线方程 （）问题等价于x1 （0，1，x2 0，1，f（x1）ming（x2）min求出 g（x）2x 2x2，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解函数的最小值，同理求解 f（x） min， 利用转化不等式，构造函数，转化求解即可 解：（）当 a0 时，f（x）2x2lnx， ， 则 f（1）2，f（1）3，故曲线 yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为 3xy1 0 （）问题等价于x1 （0，1，x2 0，1，f（x1）ming（x2）min 由 得 g（x）2x2x2， 由 g（x）2x2x20 得 0x1， 所以在0
38、，1上，g（x）是增函数，故 g（x）ming（0）0f（x）定义域为（0，+）， 而 当 a2 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，1上是减函数， 所以 f（x）minf（1）2（a+1）0a1，不成立； 当 a2 时，由 f（x）0，得 ；由 f（x）0，得 ， 所以 f（x）在 ， 单调递减，在 ， 单调递减 若 ，即2a1 时，f（x）在（0，1是减函数， 所以 f（x）minf（1）2（a+1）0a1，不成立； 若 ，即 a1 时，f（x）在 处取得最小值， ， 令 ， 则 在1，+）上恒成立， 所以 h（a）在1，+）是增函数且 h（a）minh（1）0， 此时 成立，满足条件
39、 综上所述，a1 【点评】 本题考查函数的导数的应用， 切线方程以及函数的单调性， 函数的最值的求法， 转化思想的应用，是难题 21点 M（x，y）与定点 F（1，0）的距离和它到直线 x4 的距离的比是常数 （）求点 M 的轨迹 C 的方程； （）过坐标原点 O 的直线交轨迹 C 于 A，B 两点，轨迹 C 上异于 A，B 的点 P 满足直 线 AP 的斜率为 （）求直线 BP 的斜率； （）求ABP 面积的最大值 【分析】（）利用点 M（x，y）与定点 F（1，0）的距离和它到直线 x4 的距离的比 是常数 ，列出方程化简求解即可 （）（）设点 A（x1，y1），则点 B（x1，y1），满
40、足 ，设点 P（x2， y2），满足 ，利用平方差法求解 AP 的斜率，BP 的斜率即可 （） 说明 SABP2SOAP， 设直线 ： ， 代入曲线 ： 化简得： 3x23mx+m230， 设 A（x1，y1），P（x2，y2），利用韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离公式，转化 求解三角形面积的表达式，然后求解最值即可 解：（）由已知得 ，两边平方并化简得 3x 2+4y212， 即点 M 的轨迹 C 的方程为： （）（）设点 A（x1，y1），则点 B（x1，y1），满足 ， 设点 P（x2，y2），满足 ， 由得： ， ， ， （）A，B 关于原点对称，SABP2SOAP， 设直线 ：
41、，代入曲线 ： 化简得：3x 23mx+m230， 设 A（x1，y1），P（x2，y2），由0 得：m212，x1+x2m， ， ， 点 O 到直线 AP 的距离 ， ， ，当 m 26 时， SABP取到最大值 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法以及 距离公式的应用，三角形面积的最值的求法，是中档题 （二）选考题：选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），将曲线 C1 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到曲线 C2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求曲线
42、 C1、C2的极坐标方程； （）射线 OM：（0）分别与曲线 C1、C2交于点 A，B（A，B 均异于坐标原点 O），若 ，求 的值 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用求出 结果 解：（）由题意： 2x2+y2，xcos，ysin， 曲线 C1的极坐标方程为 2cos 因曲线 C1是圆心为（1，0），半径为 1 的圆， 故曲线 C2的直角坐标方程为 x2+（y1）21 曲线 C2的极坐标方程为 2sin （）设 A（1，），B（2，）， 则 所以 ， 因为 ，所以 所以 或 【点
43、评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+b|（a0，b0） （）当 ab1 时，解不等式 f（x）x+2； （）若 f（x）的值域为2，+），证明： 2 【分析】（）由绝对值的定义分段脱绝对值求解 （）由绝对值不等式求函数 f（x）的值域可确定 a+b2，再配凑均值不等式的形式， 两次用均值不等式即可证明 解：（）当 ab1 时，不等式为|x1|+|x+1|x+2， 当 x1 时，不等式化为 ，此时不等式无解； 当1x1 时，不等式化为 2x+2x0，故 0x1； 当 x1 时，不等式化