1、2020 年名校高考数学模拟试卷（理科）（年名校高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 ， ，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|x1 2如图来自中国古代的木纹饰图若大正方形的边长为 6 个单位长度，每个小正方形的边 长均为 1 个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率 是（ ） A B C D 3设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（ ） p1：复数 zR 的充要条件是 ； p2：若复数 z 所对应的点在第一象限，则复数 所对应的点在第四象限， Ap1p2 B（p1）p2 Cp1（p
2、2） D（p1）（p2） 4已知数列an为等差数列，若 a2+a53a3，且 a4与 2a7的等差中项为 6，则 a5（ ） A0 B1 C2 D3 5 已知定义在 R 上的函数 f （x） 3sinx2x+1， 则 f （x） 的最大值与最小值之和等于 （ ） A0 B1 C2 D3 6 的展开式中 x 的系数是（ ） A10 B2 C14 D34 7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形记该几何体的外接球的体 积为 V1，该几何体的体积为 V2，则 V1与 V2的比值为（ ） A B C D 8如图所示的程序框图是为了求出满足 1+3+5+n2020 的最大正奇数的值，那么在
3、框 中，可以填（ ） A“输出 i4” B“输出 i2” C“输出 i1” D“输出 i” 9已知函数 在区间 ， 上当 x 时取得最大值，将 f（x）的图 象向左平移 个单位得到函数 g（x）的图象，则（ ） Ag（x）2cos2x B.g（x）2cos2x C D. 10已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线与双曲线的左支交 于 A、B 两点，若AF2B60，则AF2B 的内切圆半径为（ ） A B C D2 11数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果 是奇数，则乘 3 加 1如果是偶数，则除以 2，得到的结果再按照上述规则重复处理
4、，最 终总能够得到 1 对任意正整数 a0， 记按照上述规则实施第 n 次运算的结果为 an（nN） ， 则使 a71 的 a0所有可能取值的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 12 已知实数 a、 b 满足 log2alog3b， 给出五个关系式： 其中不可能成立的关系式有 （ ） abba； aabb； abba； abaa； bbba A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13如图所示，A、B 是圆 O 上的两点，若 ，则弦 AB 长为 14已知实数 x、y 满足 ，则 zx+2y 的最小值为 15已知抛物线 x2y 的焦点
5、为 F，过 F 作两条夹角为 30的直线 m、n，直线 m 与抛物线 交于点 P、Q，直线 n 与抛物线交于点 M、N，则 的最小值为 16在四楼锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，PAPD， APD90，平面 PAD平面 ABCD，Q 点是PBC 内的一个动点（含边界），且满 足 DQAC，则 Q 点所形成的轨迹长度是 三、 解答题： 共 70 分 解箐应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作簀第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 设ABC的内角A、 B、 C所对的边长分
6、别为a、 b、 c， 满足 且a b （1）求角 B 的大小； （2）若 b1，BC 边上的中线 AM 的长为 a，求ABC 的面积 18在四棱锥 PABCD 中，BCBDDC ，ADABPDPB2，PA （1）求证：平面 PBD平面 ABCD； （2）求二面角 CPDB 的余弦值 19已知椭圆 的离心率为 点 ， 在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 P（0，2）任作椭圆 C 的两条相互垂直的弦 AB、CD，设 M、N 分别是 AB、 CD 的中点，则直线 MN 是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由 20近年来我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的
7、心血管安全隐患目前，国 际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健 康，其计算公式是 体重 单位： 身高 单位： 中国成人的 BMI 数值标准为：BMI18.4 为偏瘦；18.5BMI23.9 为正常；24BMI 27.9 为偏胖；BMI28 为肥胖 为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了 8 名员工 （编号 18）的身高 x（cm）和体重 y（kg）数据，并计算得到他们的 BMI 值（精确到 0.1）如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 （cm） 164 176 165 163 170 172 1
8、68 182 体重（kg） 60 72 77 54 72 55 BMI （近似 值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 （I） 现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检， 记抽取到 BMI 值为 “正常” 员工的人数为 X 求 X 的分布列及数学期望 （II）某调查机构分析发现公司员工的身高 x（cm）和体重 y（kg）之间有较强的线性相 关关系，在编号为 6 的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出 该组数据的线性回归方程为 0.5x ，且根据回归方程预估一名身高为 180cm 的员工 体重为 71kg计算得到的其他数据如下 ，
9、 （1）求 的值及表格中 8 名员工体重的平均值 ； （2）在数据处理时，调查员乙发现编号为 8 的员工体重数据有误，应为 63kg，身高数据 无误请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为 180cm 的员工的体重 （附：对于一组数据（x，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 x 的斜率 和截距的最小二乘法估计分别为： ， ） 21已知函数 ， （1）若点 P（x0，y0）为函数 f（x）与 g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点 P 为切点的公共切线，求 a 的值： （2）若函数 h（x）f（x）g（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围 选修
10、4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 为参数，mR）以 原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程： （2）已知 ，点 P 是曲线 C2上一点，点 P 到曲线 C1的最大距离为 ，求 m 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax+1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）+|2x1|3 的解集； （2）设 g（x）1+|x|，若关于 x 的不等式 f（x）g（x）的解集为 R，求实数 a 的取值 范围 参考答案 一、选择题（共 12
11、小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 ， ，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|x1 【分析】可以求出集合 B，然后进行并集的运算即可 解：Ax|1x3，Bx|x2， ABx|x1 故选：D 【点评】本题考查了描述法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2如图来自中国古代的木纹饰图若大正方形的边长为 6 个单位长度，每个小正方形的边 长均为 1 个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率 是（ ） A B C D 【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论 解：因为大正方形的面积为：6636； 而小正方的面积为：11
12、1； 故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是： 故选：D 【点评】本题主要考查几何概型的求解，属于基础题目 3设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（ ） p1：复数 zR 的充要条件是 ； p2：若复数 z 所对应的点在第一象限，则复数 所对应的点在第四象限， Ap1p2 B（p1）p2 Cp1（p2） D（p1）（p2） 【分析】设 za+bi（a，bR），由复数 zR 得 ，则 p1为真命题；再判断 p2为真 命题然后由复合命题的真假判断得答案 解：设 za+bi（a，bR），则 zRb0 ，则 p1为真命题； 若复数 z 所对应的点在第一象限，则 a0，b0，
13、而 ，故复数 所对应的点（b，a）在第四象限，p2 为真命题 p1p2为真命题 故选：A 【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复合命 题的真假判断，是基础题 4已知数列an为等差数列，若 a2+a53a3，且 a4与 2a7的等差中项为 6，则 a5（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出 a5 解：数列an为等差数列，a2+a53a3，且 a4与 2a7的等差中项为 6， ， 解得 a11，d1， a51+43 故选：D 【点评】本题考查等差数列的第 5 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查
14、运 算求解能力，是基础题 5 已知定义在 R 上的函数 f （x） 3sinx2x+1， 则 f （x） 的最大值与最小值之和等于 （ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据题意，设 g（x）f（x）13sinx2x，分析可得 g（x）为奇函数，由奇 函数的性质可得 g（x）max+g（x）min0，进而可得f（x）max1+g（x）min1f（x） max+f（x）min20，变形分析可得答案 解：根据题意，设 g（x）f（x）13sinx2x，有 g（x）3sin（x）2（x） （3sinx2x）g（x）， 即函数 g（x）为奇函数，其图象关于原点对称， 则 g（x）max+g（x）mi
15、n0， 则有f（x）max1+g（x）min1f（x）max+f（x）min20，变形可得 f（x）max+f（x） min2； 即 f（x）的最大值与最小值之和等于 2； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意构造新函数 g（x）f（x）1， 属于基础题 6 的展开式中 x 的系数是（ ） A10 B2 C14 D34 【分析】把 变成 ，再利用二项展开式的通项公式展开，可得 的展开式中 x 的系数 解： （1x） （1x） （ x4 x3 x2+ ）， 故展开式中 x 的系数是 14， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题 7
16、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形记该几何体的外接球的体 积为 V1，该几何体的体积为 V2，则 V1与 V2的比值为（ ） A B C D 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和外接球的体积 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体 如图所示： 取 AB 的中点 D，连接 SD，易知球心 O 在线段 SD 上，连接 AO，设外接球的半径为 r， 则： ，解得 r 所以 ， 该几何体的体积 则： 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积 公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属
17、于基础题型 8如图所示的程序框图是为了求出满足 1+3+5+n2020 的最大正奇数的值，那么在框 中，可以填（ ） A“输出 i4” B“输出 i2” C“输出 i1” D“输出 i” 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 s 的值并输出符 合题意的 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：由于满足 1+3+5+n2020 后，此时 i 值比程序要求的 i 的值多 2，又执行了一次 ii+2， 故输出的应为 i4 故选：A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9已知函
18、数 在区间 ， 上当 x 时取得最大值，将 f（x）的图 象向左平移 个单位得到函数 g（x）的图象，则（ ） Ag（x）2cos2x B.g（x）2cos2x C D. 【分析】利用两角差的正弦函数公式可求函数解析式 f（x）2sin（2x ），利用正弦 函数的性质可得当 x 时，f（x）取得最大值，由题意可求 ，进而利用函数 yAsin （x+）的图象变换即可求解 g（x）的解析式 解： 2sin（2x ）， 当 x ， 时，2x ， ， 故当 2x ，即 x 时，f（x）取得最大值， 所以 ， 从而 g（x）f（x ）2sin2（x ） 2sin（2x ）2cos2x 故选：A 【点评】
19、 本题主要考查了两角差的正弦函数公式， 正弦函数的性质， 函数 yAsin （x+） 的图象变换，考查了函数思想，属于基础题 10已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1的直线与双曲线的左支交 于 A、B 两点，若AF2B60，则AF2B 的内切圆半径为（ ） A B C D2 【分析】设内切圆的圆心 M，设AF2B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心 M 的线 段，由内切圆的性质可得|AF2|AQ|BF2|BQ|，再由双曲线定义可知：|AF2|AF1| |BF2|BF1|2a，可得 Q，F1重合，再由AF2B60可得内切圆的半径的值 解：设内切圆的圆心为 M（x，y），设圆 M
20、与三角形的边分别切于 T，Q，S，如图所示 连接 MS，MT，MQ，由内切圆的性质可得：|F2T|F2S|，|AT|AQ|，|BS|BQ|， 所以|AF2|AQ|AF2|AT|F2T|，|BF2|BQ|BF2|BS|F2S|， 所以|AF2|AQ|BF2|BQ|， 由双曲线的定义可知：|AF2|AF1|BF2|BF1|2a，所以可得 Q，F1重合， 所以|TF2|2a4， 所以 r|MT|TF2|tan 4， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的性质及内切圆的性质，属于中档题 11数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果 是奇数，则乘 3 加 1如果是偶数，则
21、除以 2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最 终总能够得到 1 对任意正整数 a0， 记按照上述规则实施第 n 次运算的结果为 an（nN） ， 则使 a71 的 a0所有可能取值的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】 推导出nN*， ， 为奇数 ， 为偶数 ， 由 a71， 得 a62， 从而 a54， 进而a41或a48 由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的a0的值的个数 解：由题意知nN*， ， 为奇数 ， 为偶数 ， 由 a71，得 a62，a54，a41 或 a48 当 a41 时，a32，a24，a11 或 a18，a02 或 a016 若 a48，则 a31
22、6，a25 或 a232， 当 a25 时，a110，此时，a03 或 a020， 当 a232 时，a164，此时，a021 或 a0128， 综上，满足条件的 a0的值共有 6 个 故选：D 【点评】本题考查数列中项的可能取值的个数的求法，考查递推公式等基础知识，考查 运算求解能力，是中档题 12 已知实数 a、 b 满足 log2alog3b， 给出五个关系式： 其中不可能成立的关系式有 （ ） abba； aabb； abba； abaa； bbba A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由 log2alog3b，知 1ab 或 ab1 或 0ba1，然后分情况验证个关 系式
23、即可 解：由 log2alog3b，知 1ab 或 ab1 或 0ba1， 当 ab1 时，成立，其他的不成立； 当 0ba1 时，abba，abaa，bbba，成立，不成立； 当 1ab 时， 取 a2， b3， 则 ab238932ba， 成立， abaa， bbba， 不成立， 综上，只有不可能成立 故选：B 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了分类讨论思想，属基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13如图所示，A、B 是圆 O 上的两点，若 ，则弦 AB 长为 2 【分析】结合图形可得 ，两边平方后整理可得 22 0，则 2 2 4 解：因为 ，两边
24、平方可得 22 2 2， 即 22 0， 所以 22 4，所以 AB2 故答案为：2 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题 14已知实数 x、y 满足 ，则 zx+2y 的最小值为 0 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由实数 x、y 满足 ，画出可行域如图， 化 zx+2y 为 y x z， 由图可知，当直线 y x z 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值，由 ，解得 A（2，1）， 最小值 z2+2（1）0 故答案为：0 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数
25、形结合的解题思想方法，是中档题 15已知抛物线 x2y 的焦点为 F，过 F 作两条夹角为 30的直线 m、n，直线 m 与抛物线 交于点 P、Q，直线 n 与抛物线交于点 M、N，则 的最小值为 1 【分析】 求得抛物线的焦点 F 的坐标， 设直线 m 的倾斜角为 ， 求得直线 m 的参数方程， 联立抛物线的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，可得|PQ|，再将 换为 +30， 可得|MN|，再由三角函数的二倍角的余弦公式、和差化积公式，结合余弦函数的值域， 即可得到所求最小值 解：抛物线 x2y 的焦点为 F（0， ）， 设直线 m 的倾斜角为 ，可得直线 m 的参数方程为 （t 为参数）
26、， 设 P，Q 对应的参数分别为 t1，t2， 联立抛物线的方程 x2y，可得 t2cos2tsin 0， 即有 t1+t2 ，t1t2 ， 则|PQ|t1t2| ， 即有|PQ| ，将 换为 +30，同理可得|MN| ， 则 cos2+cos2（+30） 1 cos2+cos（2+60）1+cos（2+30）cos301 cos（2+30）， 当 cos（2+30）1，即 75时， 的最小值为 1 故答案为：1 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用直线的参数方程和参数的几何意义， 考查三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，主要考查化简运算能力和推理能力，属于 中档题 16在四楼锥 PA
27、BCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，PAPD， APD90，平面 PAD平面 ABCD，Q 点是PBC 内的一个动点（含边界），且满 足 DQAC，则 Q 点所形成的轨迹长度是 【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出 Q 的轨迹，利用转化思想，求解距 离即可 解：根据题意，连接 AC，BD，两直线交于点 O，取 PC 上一点 M，连接 MB，MD，如 图： 若满足题意 DQAC，又 ACBD，故 AC平面 DBQ，则点 Q 只要在平面 DBQ 与平面 PBC 的交线上即可， 假设如图所示，平面 DBM 与平面 DBQ 是同一个平面， 则 Q 点的轨迹就是线段
28、 BM， 根据假设，此时直线 AC平面 DBM，则 ACMO， 故三角形 PAD 是等腰直角三角形， 三角形 BAD 是等边三角形，故 ADPB， 又因为 BCAD，故 BCPB，故三角形 PBC 为直角三角形， 故 PC 2 ， 在三角形 PAC 中，PA ，AC2 ，PC2 ， 由余弦定理可得：cosPCA ， 在菱形 ABCD 中，OC ，故在直角三角形 MOC 中，MC ， 在三角形BCM中， PCB45， 故BM2BC2+CM22BCCMcosPCB22 + （ ） 2 22 ， 故得 BM 【点评】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是 难题 三、 解
29、答题： 共 70 分 解箐应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作簀第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 设ABC的内角A、 B、 C所对的边长分别为a、 b、 c， 满足 且a b （1）求角 B 的大小； （2）若 b1，BC 边上的中线 AM 的长为 a，求ABC 的面积 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解 B； （2）由已知结合向量数量积的性质即可求解 解：（1）因为 ， 由正弦定理可得，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA sinB， 因为 sinB0，所以
30、sinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB ， 因为 ab，所以 B 为锐角，故 B ， （2）由题意可知，2 ，| |a， 两边同时平方可得，4 a 2b2+c2+2bccosBAC， 又由余弦定理可得，a2b2+c22bccosA， 故 cosA0 因为 A（0，）， 所以 A90， 所以 b1，c ，SABC 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及向量数量积的性质的综合 应用，属于中档试题 18在四棱锥 PABCD 中，BCBDDC ，ADABPDPB2，PA （1）求证：平面 PBD平面 ABCD； （2）求二面角 CPDB 的余弦值 【分析】（1）连结
31、 AC，交 BD 于 O，连结 PO，推导出 POOA，POBD，从而 PO 平面 ABCD，由此能证明平面 PBD平面 ABCD （2）以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 CPDB 的余弦值 【解答】（1）证明：连结 AC，交 BD 于 O，连结 PO， 由对称性知 O 为 BD 中点，且 ACBD，POBD， 又PBDABD，AOBD，从而 POAO1， 又 PA ，由 PO2+OA2PA2，POOA， POBD，OABDO，PO平面 ABCD， PO平面 PBD，平面 PBD平面 ABCD （2）解：由（1）
32、知，PO，BD，AC 两两垂直， 以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0， ，0），P（0，0，1），在等腰BCD 中，CO3，则 C（3，0，0）， （3， ，0）， （0， ，1）， 平面 PBD 的法向量 （1，0，0）， 设平面 PCD 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1， ，3）， 设二面角 CPDB 的平面角为 ， cos 二面角 CPDB 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知椭圆
33、 的离心率为 点 ， 在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 P（0，2）任作椭圆 C 的两条相互垂直的弦 AB、CD，设 M、N 分别是 AB、 CD 的中点，则直线 MN 是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由 【分析】（1）由已知得 ，解得 a2，b2，进而可得椭圆 C 的方程 （2）设直线 AB 的方程为 ykx2（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线 AB 与椭圆方程，得（1+4k2）x216kx+40，结合韦达定理，中点坐标公式得 M（ ， ） ， 同理 N （ ， ） ， 进而得直线 MN 斜率， 和方程， 令 x0， 得 y ，
34、 即可 得出答案 解：（1） 由已知得 ， 解得 a212， b23， 所以椭圆 C 的方程为 （2）由题意知直线 AB，CD 的斜率存在且不为 0， 设直线 AB 的方程为 ykx2（k0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 得（1+4k 2）x216kx+40， 由0 得 k2 ， 且 x1+x2 ， 所以 x M ， y MkxM 2 ， 即 M（ ， ），同理 N（ ， ）， 所以 kMN ， 所以直线 MN 的方程为 y （x ）， 由对称性可知定点必在 y 轴上，令 x0，得 y （0 ） ， 所以直线 MN 过定点（0， ） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相
35、交问题，属于中档题 20近年来我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国 际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健 康，其计算公式是 体重 单位： 身高 单位： 中国成人的 BMI 数值标准为：BMI18.4 为偏瘦；18.5BMI23.9 为正常；24BMI 27.9 为偏胖；BMI28 为肥胖 为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了 8 名员工 （编号 18）的身高 x（cm）和体重 y（kg）数据，并计算得到他们的 BMI 值（精确到 0.1）如表： 编号 1 2 3 4 5 6
36、7 8 身高 （cm） 164 176 165 163 170 172 168 182 体重（kg） 60 72 77 54 72 55 BMI （近似 值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 （I） 现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检， 记抽取到 BMI 值为 “正常” 员工的人数为 X 求 X 的分布列及数学期望 （II）某调查机构分析发现公司员工的身高 x（cm）和体重 y（kg）之间有较强的线性相 关关系，在编号为 6 的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出 该组数据的线性回归方程为 0.5x ，且根据回归方程预估
37、一名身高为 180cm 的员工 体重为 71kg计算得到的其他数据如下 ， （1）求 的值及表格中 8 名员工体重的平均值 ； （2）在数据处理时，调查员乙发现编号为 8 的员工体重数据有误，应为 63kg，身高数据 无误请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为 180cm 的员工的体重 （附：对于一组数据（x，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 x 的斜率 和截距的最小二乘法估计分别为： ， ） 【分析】（I）由表中可知，8 名员工中 BMI 数值为“正常”的员工有 5 人，所以 X 的可 能取值为 0，1，2，然后根据超几何分布计算概率的方式逐一
38、求出每个 X 的取值所对应 的概率即可得分布列，进而求得数学期望； （II）（1）由已知条件易知 19，从而得到线性回归方程，由于其一定经过样本中 心点 ， ，将样本中心点代入回归方程即可求得 ； （2）由 的计算公式可知 320，而更正后的数据 ， ，再结合 的公式即可求出其值，利用 可求出 ， 于是可得更正后的线性回归方程， 最后把 x180 代入求出 即可 解：（I）由表中的 BMI 数值可知，8 名员工中 BMI 数值为“正常”的员工有 5 人，所以 X 的可能取值为 0，1，2， P（X0） ，P（X1） ，P（X2） ， X 的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 E（X） （I
39、I）（1）根据回归方程预估一名身高为 180cm 的员工体重为 71kg， 710.5180 ，解得 19，故线性回归方程为 0.5x19 样本中心点 ， 一定在回归直线方程上， （2）由（1）知更正前的数据 ， ， 0.5， 2（89920817066）320， 更正后的数据 ， ， ， ， 0.8， ， 故更正后的线性回归方程为 当 x180 时， ， 重新预估一名身高为 180cm 的员工的体重约为 75kg 【点评】本题考查超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望、线性回归方程的 求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题 21已知函数 ， （1）若点 P（x0，y0）为函数
40、 f（x）与 g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点 P 为切点的公共切线，求 a 的值： （2）若函数 h（x）f（x）g（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）先分别对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； （2）先对 h（x）求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的特征性质，然后结合函数 性质及零点判定定理可求出符合要求的 a 的范围 解：（1）由题意可知，yf（x）与 yg（x）（x0）图象的在唯一公共点处的切线相 同， 又因为 f（x）x+a， ， 所以 f（x0）g（x0），f（x0）g（x0），即 ， 由 可得 x01 或 x0a1， 由点 P 唯一可得a
41、11 或a10， 即 a2 或 a1， 由 可得 a ， 综上可得，a ； （2）由 h（x）f（x）g（x） ，x0， 则 ， （i）若 a+10 即 0a1 时，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调 递增， 因为 x0 时，h（x）+，且 h（2）2+2a（a+1）ln22+2a2（a+1）0， 故要使得 h（x）有 2 个零点，只有 h（1）0 即1a ， 当 a1 时，h（x） 只有一个零点， 故1a （ii）若 a+10，即 a1 时， 当 a2 时，h（x）在（0，+）上单调递增，不符合题意； 当2a1 时，h（x）在（0，a1）上单调递增，在（a1，1）上单调递 减
42、，在（1，+）上单调递增， 且 x0 时， h （x） ， 且 h （1） a 0， h （e 2 ） 0， 故要使得 h （x） 有 2 个零点， 则 h （a1） 0， 即 ， 令 m（a） ，2a1， 则 0， 故 m（a）在（2，1）上单调递增，且 m（2） 0， 故 m（a）0 在（2，1）上恒成立，不可能有 2 个零点， 当 a2 时，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a1）上单调递减，在（a 1，+）上单调递增，且 h（1）a 0， 故 h（x）不可能有 2 个零点， 综上1a 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用函数的性质与导数求解函数零点 个数，体现了分类讨
43、论思想的应用 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 为参数，mR）以 原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程： （2）已知 ，点 P 是曲线 C2上一点，点 P 到曲线 C1的最大距离为 ，求 m 的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质 的应用求出结果 解：（1）曲线 C1的参数方程为 为参数，mR）转换为直角坐标
44、法方 程为 x+ym0 曲线 C 的极坐标方程为 ，根据 转换为直角 坐标方程为 （0y1） （2）设点 P（ ， ）是曲线 C2上一点，则点 P 到曲线 C1的距离 d ， 由于 0，所以 ， ， 则： 由点 P 到曲线 C1的最大距离为 ，所以 的最大值为 4， 由于 ，所以 ，则 2m4，即 m2， 故 m2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax+1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）+|2x1|3 的解集； （2）设 g（x）1+|x|，若关于