1、某运动队由足球运动员 18 人，篮球运动员 12 人，乒乓球运动员 6 人组成（每人 只参加一项） ，现从这些运动员中抽取一个容量为 n 的样本，若分别采用系统抽样法和分 层抽样法，都不用剔除个体，那么样本容量 n 的最小值为（ ） A6 B12 C18 D24 4 （5 分） （1x3） （1x）9的展开式中 x4的系数为（ ） A124 B135 C615 D625 5 （5 分）在等比数列an中，若，则 k（ ） A5 B6 C9 D10 6 （5 分）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若 f（x）为偶函数，且在（0，1）上存在极 大值，则 f（x）的图象可能为（ ） A B C
2、D 7 （5 分）曲线 yxlnx 在点（e，e）处的切线方程为（ ） 第 2 页（共 23 页） Ay2xe By2ee Cy2x+e Dyx1 8 （5 分）秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出的多项式求值 的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法 求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，4，则输出 y 的值为（ ） A6 B25 C100 D400 9 （5 分）若函数 f（x）alog2（|x|+4）+x2+a28 有唯一的零点，则实数 a 的值是（ ） A4 B2 C2 D4 或 2 10 （5 分）设双曲线的左焦
3、点为 F，直线 4x3y+200 过点 F 且与双曲线 C 在第二象限交点为 P， |OP|OF|， 其中 O 为坐标原点， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B C D5 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足：函数 yf（x1）的图象关于直线 x1 对称，且当 x（，0） ，f（x）+xf（x）0（f（x）是函数 f（x）的导函数）成 立若，b（ln2） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 12 （5 分）设 x，yR，定义 xyx（ay） ） （aR 且 a 为常数） ，若 f（x）ex，h（x） 第 3 页（共 23 页）
4、 lnx，g（x）e x+2x2，F（x）f（x）g（x） 下述四个命题： g（x）不存在极值； 若函数 ykx 与函数 y|h（x）|的图象有两个交点，则； 若 F（x）在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（，2； 若 a3，则在 F（x）的图象上存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直 其中所有真命题的编号是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已如向量 （1，1） ， （2，t） ，若| | ，则 t 14 （5 分）已知等差数列an的首项 a11，公差 d2，其前 n 项和 S
5、n满足 Sk+2Sk24， 则 k 15 （5 分）如图，在第一象限内，矩形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 分别在函数 ，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若 A 点的 纵坐标是 2，则 D 点的坐标是 16 （5 分）已知椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线与椭 圆交于 A，B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆离心率 为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题
6、为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居 民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量 第 4 页（共 23 页） 标准 x（吨） ，用水量不超过 x 的部分按平价收费，超过 x 的部分按议价收费，为了了解 全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月用水量（单位：吨） ， 将数据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4，4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方 图 （）求直方图中 a
7、的值； （）已知该市有 80 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理 由； （）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨） ，估计 x 的值，并 说明理由 18 （ 12分 ） ABC的 内 角A ， B ， C的 对 边 分 别 为a ， b ， c ， 已 知 ，且 B 为锐角 （1）求 B； （2）若 b1，求ABC 面积的最大值 19 （12 分）如图，已知长方形 ABCD 中，M 为 DC 的中点将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM （1）求证：ADBM； （2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，
8、二面角 EAMD 的余弦值 为 第 5 页（共 23 页） 20 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在区间（1，e2）内恰有两个零点，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知抛物线 x28y，过点 M（0，4）的直线与抛物线交于 A，B 两点，又过 A， B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于 P 点 （1）证明：直线 PA，PB 的斜率之积为定值； （2）求PAB 面积的最小值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分题计
9、分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（，） ，半径 r （）求圆 C 的极坐标方程； （）若 0，） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|2x1|x+2| （1）解不等式 f（x）0； （2）若x0R，使得 f（x0）+2m24m，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年四川省高三（上）学年四川省高三（上）9 月联考数学试卷（理科）月联考
10、数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A2，1，0，1，Bx|x21，则 AB（ ） A2，1，1 B1，0 C0，1 D2，1，0 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A2，1，0，1， Bx|x21x|x1 或 x1， AB2，1，1 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求
11、解 能力，是基础题 2 （5 分）若（1i） （z+i）2i2000，则 z（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】利用虚数单位 i 的运算性质变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（1i） （z+i）2i20002， 得 z+i， z1 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位 i 的运算性质，是基础题 3 （5 分）某运动队由足球运动员 18 人，篮球运动员 12 人，乒乓球运动员 6 人组成（每人 只参加一项） ，现从这些运动员中抽取一个容量为 n 的样本，若分别采用系统抽样法和分 层抽样法，都不用剔除个体，那么样本容量 n 的最小值为（ ） A
12、6 B12 C18 D24 【分析】先计算出总体容量 6+12+1836，则系统抽样的间隔为，采用分层抽样的比 例是，通过间隔和每种抽样人数为整数得出 n 的最小值 第 7 页（共 23 页） 【解答】解：总体容量 6+12+1836，则系统抽样的间隔为，采用分层抽样的比例是 ，分层抽样乒乓球运动员人数为6，篮球运动员人数为12，足球 运动员人数为18，可知 n 应为 6 的倍数，36 的约数，故样本容量最小的 n6 故选：A 【点评】本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时对两种方法讨论，以便求 出样本容量 4 （5 分） （1x3） （1x）9的展开式中 x4的系数为（ ） A124
13、 B135 C615 D625 【分析】求出（1x）9展开式中含有 x 的项和含有 x4的项，再与（1x3）相乘，即可 得出结论 【解答】解： （1x）9展开式中含有 x 的项和含有 x4的项分别为， 故 （1x3） （1x） 9 的展开式中 x4的项为x3+ （9+126） x4135x4， 所以 x4的系数为 135， 故选：B 【点评】考查二项式定理的应用，基础题 5 （5 分）在等比数列an中，若，则 k（ ） A5 B6 C9 D10 【分析】设公比为 q，则由，结合比数列的通项公式可求 q，代入等比数 列的通项2qk 125 可求 k 【解答】解：设公比为 q， 则由等比数列的通项
14、公式可得， q 2qk 125 qk 126 第 8 页（共 23 页） k10 故选：D 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础试题 6 （5 分）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若 f（x）为偶函数，且在（0，1）上存在极 大值，则 f（x）的图象可能为（ ） A B C D 【分析】根据题意，由 f（x）为偶函数，分析可得其导数 f（x）为奇函数，又由函数 在（0，1）上存在极大值，则其导数图象在（0，1）上存在零点，且零点左侧导数值符 号为正，右侧导数值符号为负，分析选项即可得答案 【解答】解：根据题意，若 f（x）为偶函数，则其导数 f（x）为奇函数， 分析
15、选项：可以排除 B、D， 又由函数 f（x）在（0，1）上存在极大值，则其导数图象在（0，1）上存在零点，且零 点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 分析选项：可以排除 A，C 符合； 故选：C 【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的图象，注意函数的奇偶性与 其导数的奇偶性的关系 7 （5 分）曲线 yxlnx 在点（e，e）处的切线方程为（ ） Ay2xe By2ee Cy2x+e Dyx1 第 9 页（共 23 页） 【分析】先求导函数，求曲线在点点（e，e）处的切线的斜率，进而可得曲线 yxlnx 在 点（e，e）处的切线方程 【解答】解：求导函数，ylnx+1 当
16、xe 时，y2 曲线 yxlnx 在点（e，e）处的切线方程为 ye2（xe） 即 y2xe 故选：A 【点评】本题考查的重点是曲线在点处的切线方程，解题的关键是利用导数的几何意义， 求得切线的斜率 8 （5 分）秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的数学九章中提出的多项式求值 的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法 求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，4，则输出 y 的值为（ ） A6 B25 C100 D400 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v 的值，当 i1 时， 不满足条件 i0，跳出循环，输出
17、v 的值为 18 【解答】解：初始值 n3，x4，程序运行过程如下表所示： v1 i2，v14+26 第 10 页（共 23 页） i1，v64+125 i0，v254+0100 i1 跳出循环，输出 v 的值为 100 故选：C 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 i， v 的值是解题的关键，属于基础题 9 （5 分）若函数 f（x）alog2（|x|+4）+x2+a28 有唯一的零点，则实数 a 的值是（ ） A4 B2 C2 D4 或 2 【分析】根据 f（x）是偶函数可知唯一零点比为 0，从而得出 a，再利用函数图象验证即 可 【解答】解：显然
18、f（x）是偶函数， f（x）有唯一一个零点，f（0）0，即 a2+2a80， 解得 a2 或 a4 当 a2 时，f（x）2alog2（|x|+4）+x24， f（x）在0，+）上单调递增，符合题意； 当 a4 时，f（x）4log2（|x|+4）+x2+8， 作出 y4log2（|x|+4）和 yx2+8 的函数图象如图所示： 由图象可知 f（x）有三个零点，不符合题意； 综上，a2 故选：B 【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题 第 11 页（共 23 页） 10 （5 分）设双曲线的左焦点为 F，直线 4x3y+200 过点 F 且与双曲线 C 在第二象限交点为 P，
19、|OP|OF|， 其中 O 为坐标原点， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A B C D5 【分析】 由题设知PFN 是以 FN 为斜边的直角三角形， c5， 在 RtPFN 中， tanPFN ，FN10可得 2a2，a1，由此能求出双曲线的离心率 【解答】解：如图，设双曲线（a0，b0）的右焦点为 N |OP|OF|ON|c，则PFN 是以 FN 为斜边的直角三角形， 直线 4x3y+200 过点 F，c5， 在 RtPFN 中，PFPN，kPF，tanPFN，FN10 PN8，PF6，则 2a2，a1， 则 C 的离心率为 e5， 故选：D 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双
20、曲线的简单性质的应用，考查数形结 合思想、化归与转化思想，属于中档题 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足：函数 yf（x1）的图象关于直线 x1 对称，且当 x（，0） ，f（x）+xf（x）0（f（x）是函数 f（x）的导函数）成 立若，b（ln2） ，则 第 12 页（共 23 页） a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 【分析】由导数性质推导出当 x（，0）或 x（0，+）时，函数 yxf（x）单调 递减由此能求出结果 【解答】解：函数 yf（x1）的图象关于直线 x1 对称， yf（x）关于 y 轴对称， 函数 yxf（x）为奇函
21、数 xf（x）f（x）+xf（x） ， 当 x（，0）时，xf（x）f（x）+xf（x）0，函数 yxf（x）单调递减， 当 x（0，+）时，函数 yxf（x）单调递减 ， abc 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质、 函数性质的合理运用 12 （5 分）设 x，yR，定义 xyx（ay） ） （aR 且 a 为常数） ，若 f（x）ex，h（x） lnx，g（x）e x+2x2，F（x）f（x）g（x） 下述四个命题： g（x）不存在极值； 若函数 ykx 与函数 y|h（x）|的图象有两个交点，则； 若 F（x）在 R 上是减函数，则实数
22、 a 的取值范围是（，2； 若 a3，则在 F（x）的图象上存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直 其中所有真命题的编号是（ ） A B C D 【分析】由已知中 xyx（ay） （aR，且 a 为常数） ，若 f（x）ex，g（x）e x+2x2， F（x）f（x）g（x）求出函数的解析式，利用导数法，分析四个结论的真假，可得答 案 【解答】解：xyx（ay） ，f（x）ex，g（x）e x+2x2， F（x）f（x）g（x）ex（ae x2x2） ， 第 13 页（共 23 页） 则 F（x）ex（2x2+4xa） ， 当 2x2+4xa0 的0 时，g（x）既有极大值，又有极小值，故错误
23、； f（x）的反函数为 h（x） ， h（x）lnx，若函数 ykx 与函数 y|h（x）|有两个交点， 则 ykx 与函数 ylnx， （x1）相切， 此时切点为（e，1） ，切线斜率为； 故正确； 若 F（x）在减函数，则 F（x）0 对于 xR 恒成立， 即ex（2x2+4xa）0 恒成立， ex0， 2x2+4xa0 恒成立， 168（a）0， a2； 即实数 a 的取值范围是（，2，故正确； 当 a3 时，F（x）3ex12x2ex， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）是 F（x）曲线上的任意两点， F（x）ex（2x2+4x+3） ， ex2（x+1）2+10， F（x1）
24、F（x2）0， F（x1） F（x2）1 不成立 F（x）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直 故错误； 故真命题的序号为：， 故选：C 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的极值，零点，单调性等知识点， 属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已如向量 （1，1） ， （2，t） ，若| | ，则 t 【分析】可以求出，从而得出 1+（t1）2（t+2）2， 第 14 页（共 23 页） 解出 t 即可 【解答】解：， ， ， 1+（t1）2（2+t）2，解得 故答案为： 【点评】
25、本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题 14 （5 分）已知等差数列an的首项 a11，公差 d2，其前 n 项和 Sn满足 Sk+2Sk24， 则 k 5 【分析】由 Sk+2Sk24，可得 ak+1+ak+224，代入等差数列的通项公式可求 k 【解答】解：Sk+2Sk24，即 ak+1+ak+224 a11，d2； ak+11+2k，ak+21+2（k+1） ， 1+2k+1+2（k+1）24 k5 故答案为：5 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础试题 15 （5 分）如图，在第一象限内，矩形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 分别在函数
26、 ，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若 A 点的 纵坐标是 2，则 D 点的坐标是 （，） 【分析】先求出 A、B、C 的坐标，设出点 D 的坐标，再根据矩形 ABCD 得出 ， 利用向量坐标运算求出点 D 的坐标 第 15 页（共 23 页） 【解答】解：由题意可得，A、B、C 点坐标分别为（，2） ， （4，2） ， （4，） ， 设 D（m，n） ， 再由矩形的性质可得 ， 故 （m，n2）（0，2） ， m0，n2 解得 m，n，故点 D 的坐标为（，） ， 故答案为： （，） 【点评】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条 件，属于基础题 16 （
27、5 分）已知椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线与椭 圆交于 A，B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆离心率为 【分析】如图所示，设|AF1|m，则|AF2|2am，|BF2|2m2a，|BF1|4a2m，根 据F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， 可得 m2+ （2am） 24c2， m2+m2 （4a 2m）2，联立解出即可得出 【解答】解：如图所示， 设|AF1|m，则|AF2|2am，|BF2|2m2a，|BF1|4a2m， F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， m2+（2am）24c2， m2+m2（4a2m）2， 联
28、立解得：m（42）a，e296， 解得 e 故答案为： 第 16 页（共 23 页） 【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府
29、为了鼓励居 民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量 标准 x（吨） ，用水量不超过 x 的部分按平价收费，超过 x 的部分按议价收费，为了了解 全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月用水量（单位：吨） ， 将数据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4，4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方 图 （）求直方图中 a 的值； （）已知该市有 80 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理 由； （）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨） ，估计 x 的值，并 说明理由 【分析】
30、 （）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为 1，能求出 a 第 17 页（共 23 页） （）由频率分布直方图求出 100 位居民每人月用水量不低于 3 吨的人数的频率，由此 能估计全市 80 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数 （）求出前 6 组的频率之和为 0.880.85，前 5 组的频率之和为 0.730.85，从而得到 2.5x3，由此能估计月用水量标准为 2.9 吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准 【解答】解： （）由频率分布直方图， 可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）0.51， 解得 a0.30 （）由频率分布直方图可知
31、， 100 位居民每人月用水量不低于 3 吨的人数为（0.12+0.08+0.04）0.50.12， 由以上样本频率分布， 可以估计全市 80 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 8000000.1296000 （）前 6 组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）0.50.880.85， 而前 5 组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）0.50.730.85，2.5x3 由 0.3（x2.5）0.850.73，解得 x2.9， 因此，估计月用水量标准为 2.9 吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准 【点评】本题考查频率分
32、布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分 布直方图的性质的合理运用 18 （ 12分 ） ABC的 内 角A ， B ， C的 对 边 分 别 为a ， b ， c ， 已 知 ，且 B 为锐角 （1）求 B； （2）若 b1，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果 （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用及基本不等式的应用求出结果 【解答】解： （1）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， 所以，整理得，所以， 由于 B 为锐角，所以 B （2）由于 B利用余弦定理 b2a2+c22accosB， 第 1
33、8 页（共 23 页） 整理得，即， 所以 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角 形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能 力 19 （12 分）如图，已知长方形 ABCD 中，M 为 DC 的中点将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM （1）求证：ADBM； （2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，二面角 EAMD 的余弦值 为 【分析】 （1）推导出 BMAM，BM平面 ADM，由此能证明 ADBM （2）取 AM 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OD 为 z 轴，建立
34、空间直角坐标系，利用向量 法推导出 E 为 BD 的中点时，二面角 EAMD 的余弦值为 【解答】证明： （1）长方形 ABCD 中，AB2，AD，M 为 DC 的中点， AMBM2，BMAM（3 分） 平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCMAM， BM平面 ABCM BM平面 ADM AD平面 ADM ADBM（5 分） 解： （2）取 AM 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OD 为 z 轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则平面 AMD 的一个法向量 （0，1，0） ，（7 分） （1，2，1） ，（2，0，0） ， 第 19 页（共 23 页） 设平面 AME 的一个
35、法向量 （x，y，z） ， 则， 取 y1，得 （0，1，） ，（10 分） 二面角 EAMD 的余弦值为， cos， 解得，故 E 为 BD 的中点时，二面角 EAMD 的余弦值为（11 分） 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法及应用，考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想， 是中档题 20 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在区间（1，e2）内恰有两个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系进行分类讨论即可求解， （2） 结合 （1）
36、可知， f （x） 在区间 （1， e2） 内恰有两个零点时， a0， 且需满足， 解不等式可求 【解答】解： （1）， 当 a0 时，f（x）0，故 f（x）在（0，+）单调递增， 第 20 页（共 23 页） 当 a0 时，由 f（x）0 得（舍负） ， 当时，f（x）0，故 f（x）在上单调递减， 当时，f（x）0，故 f（x）在单调递增 综上：当 a0 时，f（x）在（0，+）单调递增； 当 a0 时，f（x）在上单调递减，在单调递增 （2）当 a0 时，由（1）知 f（x）在（0，+）上单调递增，故 f（x）在区间（1，e2 内至多有一个零点， 当 a0 时，由（1）知 f（x）在（
37、0，+）上的最小值为， 若 f（x）在区间（1，e2内恰有两个零点，则需满足， 即， 整理的所以 故 a 的取值范围为 【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用 21 （12 分）已知抛物线 x28y，过点 M（0，4）的直线与抛物线交于 A，B 两点，又过 A， B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于 P 点 （1）证明：直线 PA，PB 的斜率之积为定值； （2）求PAB 面积的最小值 【分析】 （1）由题意设 l 的方程为 ykx+4，联立直线方程与抛物线方程，化为关于 x 的 一元二次方程，再由导数求斜率，可证直线 PA，PB 的斜率之积为定值； 第 21
38、 页（共 23 页） （2）由（1）可得直线 PA 的方程为，直线 PB 的方程为 ，联立得点 P 的坐标，求出|AB|，再由点到直线的距离公式求 P 到 直线 AB 的距离，弦长三角形 PAB 的面积，则PAB 的面积取得最小值可求 【解答】 （1）证明：由题意设 l 的方程为 ykx+4， 联立，得 x28kx320 （8k）24（32）0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1x232 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2， 对求导得， ， （定值） ； （2）解：由（1）可得直线 PA 的方程为， 直线 PB 的方程为， 联立，得点 P 的坐标为， 由（1）得
39、x1+x28k，x1x232， P（4k，4） 于是， 点 P 到直线 AB 的距离， ， 当 k20，即 k0 时，PAB 的面积取得最小值 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能 力，是中档题 第 22 页（共 23 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C（，） ，半径 r （）求圆 C 的极坐标方程； （）
40、若 0，） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，直线 l 交圆 C 于 A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围 【分析】 （）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用 cosx，sin y，2x2+y2，进行代换即得圆 C 的极坐标方程 （）设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则|AB|t1t2|，化为关于 的三角函数 求解 【解答】解： （）C（，）的直角坐标为（1，1） ， 圆 C 的直角坐标方程为（x1）2+（y1）23 化为极坐标方程是 22（cos+sin）10 （5 分） （）将代入圆 C 的直角坐标方程（x1）2+（y1）23， 得（1+tcos）2+（1
41、+tsin）23， 即 t2+2t（cos+sin）10 t1+t22（cos+sin） ，t1t21 |AB|t1t2|2 0，） ，20，） ， 2|AB|2 即弦长|AB|的取值范围是2，2）（10 分） 【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系利用直角坐标与极 坐标间的关系，即利用 cosx，siny，2x2+y2，进行代换即可 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|2x1|x+2| （1）解不等式 f（x）0； （2）若x0R，使得 f（x0）+2m24m，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）把 f（x）用分段函数来表示，令 f（x）0，求得 x 的值，可得不等式 f（x） 第 23 页（共 23 页） 0 的解集 （2）由（1）可得 f（x）的最小值为 f（） ，再根据 f（）4mm22，求得 m 的范围 【解答】解： （1）函数 f（x）|2x1|x+2|，令 f（x）0， 求得 x，或 x3， 故不等式 f（x）0 的解集为x|x，或 x3 （2）若存在 x0R，使得 f（x0）+2m24m，即 f（x0）4m2m2有解， 由（1）可得 f（x）的最小值为 f（）31，故4m2m2， 求得m 【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题