1、已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则（UA）B（ ） A （1，0 B （1，1） C （1，+） D0，1） 2 （5 分）设 6+x+（32x）i3+（y+5）i（i 为虚数单位） ，其中 x，y 是实数，则|x+yi|等 于（ ） A5 B C2 D2 3 （5 分）埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的 是胡夫金字塔令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔 上的数字 “巧合” 如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍， 得到的商为 3.14159， 这就是圆周率较为精确的近似值金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古
2、代能工巧匠建设完成后，底座边长大约 230 米因年久风化，顶端剥落 10 米，则胡夫金 字塔现高大约为（ ） A128.5 米 B132.5 米 C136.5 米 D140.5 米 4 （5 分）体育品牌 Kappa 的 LOGO 为可抽象为如图靠背而坐的两条优 美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（ ） A B 第 2 页（共 21 页） C D 5 （5 分）已知三角形 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 若 bcosCa，b2+c2 bca2，则角 C（ ） A B C D 6 （5 分）若 A，B 分别是直线 xy20 与 x 轴，y 轴的交
3、点，圆 C： （x4）2+（y+4）2 8 上有任意一点 M，则AMB 的面积的最大值是（ ） A6 B8 C10 D12 7 （ 5分 ） 在 ABC中 ， 点F为 线 段BC上 任 一 点 （ 不 含 端 点 ）， 若 ，则的最小值为（ ） A1 B8 C2 D4 8 （5 分）我省 5 名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到 A，B，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配 1 人，其中甲专家不去 A 医疗点，则不同分配 种数为（ ） A116 B100 C124 D90 9 （5 分）将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间 （m，m）上无极值点，则 m
4、的最大值为（ ） A B C D 10 （5 分）过双曲线的左焦点 F1引圆 x2+y23 的切线，切点为 T，延长 F1T 交 双曲线右支于 P 点，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO|MT|（ ） A1 B C D2 11 （5 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，球 O 的半径为 4，ABC 是 边长为 6 的等边三角形，记ABC 的外心为 O1若三棱锥 PABC 的体积为，则 PO1（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）axlnx，x1，e的最小值为 3，若存在 x1，x2xn1，e， 使得 f（x1）+f（x2）+f（xn1）
5、f（xn） ，则正整数 n 的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 第 3 页（共 21 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量，两向量的夹角为 ，则 14 （5 分） （x+y） （2xy）5的展开式中 x3y3的系数为 （用数字填写答案） 15 （5 分）某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 N（84， 2） ，且 P（78X84）0.3该市某校有 400 人参加此次统测，估计该校数学成绩不 低于 90 分的人数为 16 （5 分）设抛物线 y22x 的焦点为 F
6、，过点 M（，0）的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于 C，|BF|2，则BCF 和ACF 的面积之比为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下： 体检次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次及以上 收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.8 该休检中心从所有会员中随机选取了 100 位对他们在本中心参加体检的次数进行统计
7、， 得到数据如表： 检次数 一次 两次 三次 四次 五次及以上 频数 60 20 12 4 4 假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为 150 元，根据所给数据，解答下列问题： （）已知某顾客在此体检中心参加了 3 次体检，求这 3 次体检，该体检中心的平均利 润； （）该体检中心要从这 100 人里至少体检 3 次的会员中，按体检次数用分层抽样的方 法抽出 5 人，再从这 5 人中抽取 2 人，每人发放现金 200 元用 5 表示体检 3 次的会员 所得现金和，求 的分布列及 E（） 18 （12 分）已知数列an为等差数列，a7a210，且 a1，a6，a21依次成等比数列 （1）求数列
8、an的通项公式； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn，若 Sn，求 n 的值 19 （12 分） 如图， 已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， PA平面 ABCD， 第 4 页（共 21 页） EDPA，且 PA2ED2 （I）证明：平面 PAC平面 PCE； （II） 若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45， 求平面 CPB 与平面 CDE 所成锐二面角 的余弦值 20 （12 分）已知直线 l：2x2aya20（a1） ，椭圆 C；1，F1，F2分别为椭 圆的左右焦点 （）当直线 l 过右焦点 F2时，求 C 的标准方程； （）设直线 l
9、 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且2，2，若 点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+a（x1）2 （）当 a1 时，求 f（x）的单调增区间； （）若 a4，且 f（x）在（0，1）上有唯一的零点 x0，求证：e 2x 0e 1 选修选修 4-4：坐标系与参数方：坐标系与参数方程程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： （x1）2+（y+2）29以坐标原点 O 为 极点， x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程；
10、（2）设直线与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P， Q 两点，求|OM|OP| |OQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|1ax| （1）当 a1 时，解不等式； （2）若 f（1）M，f（2）M，求证： 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年四川省南充高中高三（下）第三学年四川省南充高中高三（下）第三次月考数学试卷次月考数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四
11、个选项中，只有- 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则（UA）B（ ） A （1，0 B （1，1） C （1，+） D0，1） 【分析】求出UA，再计算出结果 【解答】解：全集 UR，Ax|x0，Bx|x1， 则UA（，0， 则（UA）B（1，0， 故选：A 【点评】考本题查集合的交并补运算，基础题 2 （5 分）设 6+x+（32x）i3+（y+5）i（i 为虚数单位） ，其中 x，y 是实数，则|x+yi|等 于（ ） A5 B C2 D2 【分析】利用复数相等、模的计算公式即可得出 【解答】解：6+x+（32x）i3+（y+
12、5）i（i 为虚数单位） ，其中 x，y 是实数， 6+x3，32xy+5，解得：x3，y4 则|x+yi|5 故选：A 【点评】本题考查了复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3 （5 分）埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的 是胡夫金字塔令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔 上的数字 “巧合” 如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍， 得到的商为 3.14159， 这就是圆周率较为精确的近似值金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古 代能工巧匠建设完成后，底座边长大约 230 米因年久风化，顶端
13、剥落 10 米，则胡夫金 第 6 页（共 21 页） 字塔现高大约为（ ） A128.5 米 B132.5 米 C136.5 米 D140.5 米 【分析】由已知求出底面周长，再由底部周长除以高度的两倍等于 3.14159 求得高，减去 10 得答案 【解答】解：设金字塔风化前的形状如图， AB230，其底面周长为 2304920， 由题意可得：， PO146.42 胡夫金字塔现高大约为 146.4210136.42 米 结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为 136.5 米 故选：C 【点评】本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是中档题 4 （5 分）体育品牌 Kappa 的
14、LOGO 为可抽象为如图靠背而坐的两条优 美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是（ ） 第 7 页（共 21 页） A B C D 【分析】由图象的对称性可排除 BD 选项，由 x0 时，函数图象中的值大于 0 排除 A 【解答】解：由图象观察可知，函数图象关于 y 轴对称，而选项 BD 为奇函数，其图象 关于原点对称，故不合题意； 对选项 A 而言，当 x0 时，f（x）0，故排除 A 故选：C 【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题 5 （5 分）已知三角形 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 若 bcosCa，b2+c2 b
15、ca2，则角 C（ ） A B C D 【分析】由已知结合余弦定理进行化简可求 B，A，进而可求 C 【解答】解：因为 bcosCa， 由余弦定理可得，ba， 化简可得，a2+c2b2， 所以 B， 又 b2+c2bca2， 所以 cosA，即 A， 所以 C 故选：A 【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题 6 （5 分）若 A，B 分别是直线 xy20 与 x 轴，y 轴的交点，圆 C： （x4）2+（y+4）2 8 上有任意一点 M，则AMB 的面积的最大值是（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】由题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出 M 到直线 AB
16、 距离的最大值， 则AMB 的面积的最大值可求 【解答】解：如图， 第 8 页（共 21 页） 圆 C： （x4） 2+ （y+4）28 上的点 M 到直线 AB 距离的最大值为 ， A（2，0） ，B（0，2） ，则|AB| 则AMB 的面积的最大值是 S 故选：C 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 7 （ 5分 ） 在 ABC中 ， 点F为 线 段BC上 任 一 点 （ 不 含 端 点 ）， 若 ，则的最小值为（ ） A1 B8 C2 D4 【分析】由向量共线定理可得 2x+y1，然后利用 1 的代换，结合基本不等式即可求解 【解答】解：由于点
17、F 在线段 BC 上，由向量共线定理可得 2x+y1， 则， 故选：B 【点评】 本题主要考查了向量共线定理的应用， 还考查了利用基本不等式求解最值中的 1 的代换技巧的应用 8 （5 分）我省 5 名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到 A，B，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配 1 人，其中甲专家不去 A 医疗点，则不同分配 种数为（ ） A116 B100 C124 D90 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，将 5 名医学专家分为 3 组，将分好的三 组分派到三个医疗点，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将 5 名医学
18、专家分为 3 组， 第 9 页（共 21 页） 若分为 2、2、1 的三组，有15 种分组方法， 若分为 3、1、1 的三组，有 C5310 种分组方法， 则有 15+1025 种分组方法； ，将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去 A 医疗点，有 2 种情况，再将 剩下的 2 组分派到其余 2 个医疗点，有 2 种情况， 则 3 个组的分派方法有 224 种情况， 则有 254100 种分配方法； 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 9 （5 分）将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间 （m，m）上无极值点，则 m 的最大值为
19、（ ） A B C D 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性， 求得 m 的最大值 【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，可得 ysin（2x+ ）sin（2x+）的图象， 根据所得图象对应的函数在区间（m，m）上无极值点，2m+，且2m+ ， 求得 m，则 m 的最大值为， 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调 性，属于基础题 10 （5 分）过双曲线的左焦点 F1引圆 x2+y23 的切线，切点为 T，延长 F1T 交 双曲线右支于 P 点，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点，则|M
20、O|MT|（ ） A1 B C D2 第 10 页（共 21 页） 【分析】画出图形，利用双曲线的定义转化求解即可 【解答】解：由图象可得|MO|MT|MO|（|MF1|TF1|）|MT| |MO|（|MF1|TF1|） |MO|MF1|+|TF1| ， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 11 （5 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，球 O 的半径为 4，ABC 是 边长为 6 的等边三角形，记ABC 的外心为 O1若三棱锥 PABC 的体积为，则 PO1（ ） A B C D 【分析】由题意可得：SABC9，O1A2，
21、O1O2设点 P 到平面 BAC 的高为 h，由h9，解得 h可得点 P 所在小圆O2（O1与O2 所在平面平行）上运动，即可得出 【解答】解：由题意可得：SABC9，O1A2，O1O2 设点 P 到平面 BAC 的高为 h，由h9，解得 h4 点 P 所在小圆O2（O1与O2所在平面平行）上运动，OO22 O2P2 PO12 故选：D 第 11 页（共 21 页） 【点评】本题考查了球的性质、勾股定理、等边三角形的面积计算公式、三棱锥的体积 计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 12 （5 分）已知函数 f（x）axlnx，x1，e的最小值为 3，若存在 x1，x2xn1，e， 使
22、得 f（x1）+f（x2）+f（xn1）f（xn） ，则正整数 n 的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】求导，根据函数单调性，最值与函数单调性的关系，即可求得 a 的值，求得 f （x）的最大值为根据题意， （n1）f（x）minf（x）max，根据 n3，即可求得 n 的最 大值 【解答】解：求导， 当 a0 或时，f（x）0 在 x1，e恒成立， 从而 f（x）在1，e单调递减，f（x）minf（e）ae13， 解得，不合题意， 当时，易得 f（x）在单调递减，在单调递增， ，解得不合题意， 当 a1 时，f（x）在1，e单调递增，所以 f（x）minf（1）a31，满足题意
23、， 所以 a3， 所以 f（x）3xlnx，x1，e，所以 f（x）minf（1）3，f（x）maxf（e）3e1， 依题意有（n1）f（x）minf（x）max，即（n1）33e1，得，又因为 nN*， 所以 n3，所以 n 的最大值为 3， 故选：B 【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性及最值，考查参数的取值范围，考查分类 讨论思想，属于难题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 12 页（共 21 页） 13 （5 分）已知向量，两向量的夹角为 ，则 【分析】直接根据向量夹角的计算公式把已知条件代入即可求解 【解
24、答】解：因为向量，两向量的夹角为 ； 故答案为： 【点评】本题考查向量的夹角，考查向量的模长以及计算，考查计算能力 14 （5 分） （x+y） （2xy）5的展开式中 x3y3的系数为 40 （用数字填写答案） 【分析】由二项式定理及分类讨论思想得： （2xy）5的展开式的通项为 Tr+1（2x） 5r（y）r，则（x+y） （2xy）5 的展开式中 x3y3的系数为22+40，得解 【解答】解：由（2xy）5的展开式的通项为 Tr+1（2x）5 r（y）r， 则（x+y） （2xy）5的展开式中 x3y3的系数为22+40， 故答案为：40 【点评】本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中
25、档题 15 （5 分）某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 N（84， 2） ，且 P（78X84）0.3该市某校有 400 人参加此次统测，估计该校数学成绩不 低于 90 分的人数为 80 【分析】 本题利用正态分布的对称性得到 P （X90） ， 从而得到成绩不低于 90 分的人数 【解答】解：成绩 X 近似服从正态分布 N（84，2） ，且 P（78X84）0.3， P（X90）P（X78）0.5P（78X84）0.2， 成绩不低于 90 分的人数为 4000.280 故答案为 80 【点评】本题考查了正态分布的性质：对称性的应用难度较低，属于基础题 16 （
26、5 分）设抛物线 y22x 的焦点为 F，过点 M（，0）的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于 C，|BF|2，则BCF 和ACF 的面积之比为 【分析】利用三角形面积公式，可把BCF 与ACF 的面积之比转化为 BC 长与 AC 长 第 13 页（共 21 页） 的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为 A，B 到准线的距离之比，借助|BF|2 求出 B 点坐标，得到 AB 方程，代入抛物线方程，解出 A 点坐标，就可求出 BN 与 AE 的长度之 比，得到所需问题的解 【解答】解：抛物线方程为 y22x，焦点 F 的坐标为（，0） ， 准线方程为 x， 如图，设 A（x1，
27、y1） ，B（x2，y2） ， 过 A，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 E，N， 则|BF|x2+2， x2， 把 x2代入抛物线 y22x，得，y2， 直线 AB 过点 M（，0）与（，） 方程为x+（）y30，代入抛物线方程，解得，x12 |AE|2+， 在AEC 中，BNAE， |BC|：|AC|BN|：|AE|2：， BCF 和ACF 的面积之比为：|BC|h：|AC|h 故答案为： 【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力 第 14 页（共 21 页） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答
28、应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下： 体检次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次及以上 收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.8 该休检中心从所有会员中随机选取了 100 位对他们在本中心参加体检的次数进行统计， 得到数据如表： 检次数 一次 两次 三次 四次 五次及以上 频数 60 20 12 4 4 假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为 150 元，根据所给数据，解答下列问题： （）已知某顾客在此体检中心参加了
29、 3 次体检，求这 3 次体检，该体检中心的平均利 润； （）该体检中心要从这 100 人里至少体检 3 次的会员中，按体检次数用分层抽样的方 法抽出 5 人，再从这 5 人中抽取 2 人，每人发放现金 200 元用 5 表示体检 3 次的会员 所得现金和，求 的分布列及 E（） 【分析】 （I）根据题意求出即可； （II）利用分层抽样求出 5 个人中 3 人体检三次，1 人体检四次，1 人体验 5 次及以上， 0，200，400，求出分布列和期望即可 【解答】解： （1）医院 3 次体检的收入为 200（1+0.95+0.9）570， 三次体验的成本为 1503450， 故平均利润为（570
30、450）340 元； （2）根据题意抽取的 5 个人中 3 人体检三次，1 人体检四次，1 人体验 5 次及以上， 0，200，400， P（0）， P（200） P（400）， 第 15 页（共 21 页） 分布列如下： 0 200 400 P 0.1 0.6 0.3 E（）0+2000.6+4000.3120+120240 【点评】考查离散型随机变量求分布列和数学期望，中档题 18 （12 分）已知数列an为等差数列，a7a210，且 a1，a6，a21依次成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn，若 Sn，求 n 的值 【分析】 （1）设等
31、差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解 方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得 bn（） ，运用裂项相消求和可 得 Sn，解方程可得 n 【解答】解： （1）设数列an为公差为 d 的等差数列， a7a210，即 5d10，即 d2， a1，a6，a21依次成等比数列，可得 a62a1a21，即（a1+10）2a1（a1+40） ， 解得 a15， 则 an5+2（n1）2n+3； （2）bn（） ， 即有前 n 项和为 Sn（+） （）， 由 Sn，可得 5n4n+10， 解得 n10 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列
32、的裂项相消求 和，以及方程思想和运算能力，属于基础题 19 （12 分） 如图， 已知多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， PA平面 ABCD， EDPA，且 PA2ED2 第 16 页（共 21 页） （I）证明：平面 PAC平面 PCE； （II） 若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45， 求平面 CPB 与平面 CDE 所成锐二面角 的余弦值 【分析】 （I）连结 BD，交 AC 于点 O，取 PC 中点 F，连结 OF、EF，推导出 BDAC， BDPA，从而 BD平面 PAC，推导出 OFDE，四边形 EFOD 是平行四边形，EF DO，从而 EF
33、平面 PAC，由此能证明平面 PAC平面 PCE （II）由 PA平面 ABCD，OFPA，得 OF平面 ABCD，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 CPB 与平面 CDE 所 成锐二面角的余弦值 【解答】解： （I）证明：连结 BD，交 AC 于点 O，取 PC 中点 F，连结 OF、EF， 多面体 PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PA平面 ABCD， BDAC，BDPA，O 是 AC 中点， ACPAA，BD平面 PAC， F 是 PC 中点，PA平面 ABCD，EDPA，且 PA2ED2
34、OFDE，四边形 EFOD 是平行四边形，EFDO， EF平面 PAC， EF平面 PCE，平面 PAC平面 PCE （II）解：PA平面 ABCD，OFPA，OF平面 ABCD， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45， 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， PA2ED2， ACPA2， P（0，1，2） ，B（，0，0） ，C（0，1，0） ，D（，0，0） ，E（，0，1） ， （，1，2） ，（0，2，2） ，（，1，1） ，（0，0，1） ， 设平面 CPB 的法向量 （x，y，z）
35、 ， 第 17 页（共 21 页） 则，取 z1，得 （，1，1） ， 设平面 CDE 的法向量 （a，b，c） ， 则，取 a1，得 （1，0） ， 设平面 CPB 与平面 CDE 所成锐二面角为 ， 则 cos 平面 CPB 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知直线 l：2x2aya20（a1） ，椭圆 C；1，F1，F2分别为椭 圆的左右焦点 （）当直线 l 过右焦点 F2时，求 C 的标准方程； （）设直线 l 与椭圆 C
36、交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且2，2，若 点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）把右焦点 F2的坐标代入直线 l 的方程求得 a 的值，即可得到 C 的标准方 程； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线 l 与椭圆方程，根据0 求出 a 的范围， 第 18 页（共 21 页） 且利用韦达定理表示出 y1+y2和 y1y2，根据2，2可知 G（，） ，H （，） ，表达出|GH|2，设 M 是 GH 的中点，则表示出 M 的坐标，进而根据|OM| |GH，整理可得：x1x2+y1y20，把 x1x2和 y1y2的表达式代入求得 m
37、 的取值范围，最 后综合可得答案 【解答】解： （）直线 l：2x2aya20 经过右焦点 F2（，0） ， 2a2，解得 a22， 又a1，a， 椭圆 C 的标准方程为：； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程，消去 x 得：， 0，解得 a28， 且有， 由2，2，可求得 G（，） ，H（，） ， |GH|2， 设 M 是 GH 的中点，则 M（，） ， 点 O 在以线段 GH 为直径的圆内， |OM|GH， 即 4，整理得：x1x2+y1y20， x1x2+y1y2+y1y20， 第 19 页（共 21 页） 0，即 a24， 又a1，且 a28， 1a2， 实数
38、a 的取值范围为： （1，2） 【点评】本题主要考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，以及点与圆的位置关系， 是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx+a（x1）2 （）当 a1 时，求 f（x）的单调增区间； （）若 a4，且 f（x）在（0，1）上有唯一的零点 x0，求证：e 2x 0e 1 【分析】 （）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出； （）先求导，可得函数的单调区间，f（x）在（0，1）上有唯一的零点 x0，可得 0x0 ，且 x0x1，根据 f（x0）0，f（x0）0，消 a 可得 2lnx0+10，再设 g （x）2lnx+1，0x，利用导数和函数零点存在定
39、理即可求出 【解答】解： （）当 a1 时，f（x）lnx（x1）2，x0， f（x）（x1）0， 即 x2x10，解得 0x， f（x）的单调递增区间为（0，； （）f（x）+a（x1）， a4， 令 f（x）0，解得 x1，x2， 当 x1xx2时，f（x）0，f（x）单调递减， 当 0xx1，xx2，f（x）0，f（x）单调递增， f（1）0，x1， f（x）在（0，1）上有唯一的零点 x0， 0x0，且 x0x1， 第 20 页（共 21 页） f（x0）0，f（x0）0， lnx0+a（x01）20，ax02ax0+10， 消去 a 可得 2lnx0+10， 设 g（x）2lnx+1
40、，0x， g（x）0 恒成立， g（x）在（0，）上单调递减， g（e 2）e250，g（e1）3+e0， e 2x 0e 1 【点评】本题考查了导数和函数的函数单调性的关系，函数零点存在定理，属于中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C： （x1）2+（y+2）29以坐标原点 O 为 极点， x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）设直线与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P， Q 两点，求|OM|OP| |OQ|的值 【分析】
41、 （1）直接利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间 进行转换 （2）利用极径的应用求出结果 【解答】解： （l）将 C 的方程化为 x2+y22x+4y40， 故其极坐标方程为 22cos+4sin40， l 的普通方程是 （2）将代入 C 的极坐标方程得， 故|OP|OQ|1|2|12|4， 将代入 l 的极坐标方程得，即， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 第 21 页（共 21 页） 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|1
42、ax| （1）当 a1 时，解不等式； （2）若 f（1）M，f（2）M，求证： 【分析】 （1）将原不等式化为|x|x1|，由绝对值的意义去绝对值符号，解不等式 求并集可得所求解集； （2）由题意可得 2|1a|2M，|12a|M，两式相加，结合绝对值不等式的性质，以及 不等式的传递性，即可得证 【解答】解： （1）当 a1 时，可化为， 此时 当 x0 时，1，可得不等式无解； 当 0x1 时，即，则； 当 x1 时，1恒成立， 综上，不等式的解集为 （2）证明：由 f（1）M，f（2）M，得|1a|M，|12a|M， 则 3M2M+M2|1a|+|12a|22a|+|12a|22a（12a）|1， 故 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明， 注意运用绝对值不等式的性质和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题