1、若复数 z 满足（1+i）zi（i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A B Ci D 2 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，Bx|x2x60，则 AB（ ） A2 B1，2 C2，3 D1，2，3 3 （5 分）如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错 误的是（ ） A甲所得分数的极差为 22 B乙所得分数的中位数为 18 C两人所得分数的众数相等 D甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 4 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为（ ） A0 B2 C4 D6 5 （5 分）已知等比数列an的各项均为正数，若 log3
2、a1+log3a2+log3a1212，则 a6a7 （ ） A1 B3 C6 D9 6 （5 分）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若，则 f（1）（ ） Ae3 Be2 Ce1 De 7 （5 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若向量， 第 2 页（共 23 页） ，且，则角 A 的大小为（ ） A B C D 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 m 的值为（ ） A5 B6 C7 D8 9 （5 分）若矩形 ABCD 的对角线交点为 O，周长为，四个顶点都在球 O 的表面上， 且，则球 O 的表面积的最小值为（ ） A B C32 D48 10 （
3、5 分）已知函数 f（x）（x2+a2x+1）ex，则“a”是“函数 f（x）在 x1 处 取得极小值”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11 （5 分）已知双曲线 C：的左，右焦点分别为 F1（c，0） ， F2（c，0） ，又点若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|+|MN| 4b，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A B C D 12 （5 分）若关于 x 的不等式 xlnxkx+k+10 在（1，+）内恒成立，则满足条件的整数 第 3 页（共 23 页） k 的最大值为（ ） A0 Bl C2 D3 二、填空题：
4、本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）某公司一种新产品的销售额 y 与宣传费用 x 之间的关系如表： x（单位：万元） 0 1 2 3 4 y（单位：万元） 10 15 20 30 35 已知销售额 y 与宣传费用 x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则 的值为 14 （5 分）已知曲线 C：（ 为参数） 若点 P 在曲线 C 上运动，点 Q 为直 线 l：x+2y40 上的动点，则|PQ|的最小值为 15 （5 分）已知 f（x）是定义在（，）上的奇函数，其导函数为 f（x） ，
5、 且当 x（0，）时，f（x）sinx+f（x）cosx0则不等式 f（x）sinx1 的解集为 16 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l过点 F 作倾斜角为 120o 的直线与准线 l 相交于点 A，线段 AF 与抛物线 C 相交于点 B，且，则抛物线 C 的标准方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数，其导函数 f（x）的图象关于 y 轴对称， （）求实数 m，n 的值； （）若函数 yf（x） 的图象与 x 轴
6、有三个不同的交点，求实数 的取值范围 18 （12 分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内 A，B，C 三 类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估， 考评分数达到 80 分及其以上 的单位被称为“星级”环保单位，未达到 80 分的单位被称为“非星级”环保单位现通 过分层抽样的方法获得了这三类行业的 20 个单位，其考评分数如下 A 类行业：85，82， 77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86， 75，84，90，82 （）试估算这三类行业中每类行业的单位个数； 第 4 页（共 23 页）
7、 （）若在 A 类行业抽样的这 6 个单位中，随机选取 3 个单位进行交流发言，求选出的 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，ABAD， PAPD，ADCD，BAD60，M，N 分别为 AD，PA 的中点 （）证明：平面 BMN平面 PCD； （）若 AD6，求三棱锥 PBMN 的体积 20 （12 分）已知椭圆的左，右焦点分别为， ，且经过点 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记点 P 关于 x
8、 轴对称的点为 P证明：直线 PQ 经过 x 轴上一定点 D，并求出定点 D 的坐标 21 （12 分）已知函数，其中 a0 （）当 a2 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）有唯一零点，求 a 的值 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，过点 P（1，1）的直线 l 的参数方程为 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 4cos （）求曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 相交
9、于 A，B 两点，求的最小值 第 5 页（共 23 页） 2019-2020 学年四川省成都市高三（上）学年四川省成都市高三（上）7 月摸底数学试卷（文月摸底数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若复数 z 满足（1+i）zi（i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A B Ci D 【分析】由（1+i）zi，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数
10、 z，则答 案可求 【解答】解：由（1+i）zi， 得， 则 z 的虚部为： 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，Bx|x2x60，则 AB（ ） A2 B1，2 C2，3 D1，2，3 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Bx|2x3，A1，2，3，4， AB1，2 故选：B 【点评】考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 3 （5 分）如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错 误的是（ ） 第 6 页（共 23 页）
11、A甲所得分数的极差为 22 B乙所得分数的中位数为 18 C两人所得分数的众数相等 D甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【分析】根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项 进行对照，即可得解 【解答】解：甲所得分数的极差为 331122，A 正确； 乙所得分数的中位数为 18，B 正确； 甲所得分数的众数为 22，乙所得分数的众数为 22，C 正确； 故选：D 【点评】本题给出茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着重考查 了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于基础题 4 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则
12、 zx2y 的最小值为（ ） A0 B2 C4 D6 【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值 【解答】解：作出实数 x，y 满足表示的平面区域，如图所示 第 7 页（共 23 页） 由 zx2y 可得，则表示直线在 y 轴上的截距，截距越大， z 越小 作直线 x2y0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点 B 时，最大，z 最小 由可得，此时 z0， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 5 （5 分）已知等比数列an的各项均为正数，若 log3a1+log3a2+log3a1212，则 a6a7 （
13、 ） A1 B3 C6 D9 【分析】由题意利用等差数列的性质，对数的运算法则，求得 a6a7的值 【解答】解：因为等比数列an的各项均为正数，且 log3a1+log3a2+log3a1212， 即 log3（a1a2a12）12，所以， 所以 ，所以， 故选：D 【点评】本题主要考查等差数列的性质，对数的运算法则，属于基础题 6 （5 分）设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若，则 f（1）（ ） Ae3 Be2 Ce1 De 【分析】可以求出导函数，从而可求出 f（1）e1 【解答】解：， 故选：C 【点评】考查基本初等函数和积的导数的计算公式，以及已知函数求值的方法 第 8 页（共
14、 23 页） 7 （5 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若向量， ，且，则角 A 的大小为（ ） A B C D 【分析】 利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题， 通过两角和的公式化简得到角 A 的方程，得解 【解答】解：由得， ， 由正弦定理得， 化为， 即， 由于 sinB0， ， ， 故选：B 【点评】此题考查了数量积，三角变换等，难道适中 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 m 的值为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变 第 9 页（共 23 页） 量 m 的值，模拟程序
15、的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 开始 S0 m1 1212 100 m2 121+2 2210 100 m3 121+2 22+3 2334 100 m4 121+2 22+3 23+424 98 100 m5 121+2 22+3 23+4 24+525 258 100 m6 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9 （5 分）若矩形 ABCD 的对角线交点为 O，周长为，四个顶点都在球 O 的表面上， 且，则球 O 的表面积的最小值为（ ） 第 10 页（共 23
16、 页） A B C32 D48 【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径， 进一步求出球的最小值 【解答】解：如图，设矩形 ABCD 的两邻边分别为 a，b，则，且外接圆O 的半径 由球的性质得，OO平面 ABCD，所以球 O 的半径由 均值不等式得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立 所以球 O 的表面积的最小值为 4R232， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）已知函数 f（x）（x2+a2x+1）ex，则“a”是“函数 f（x）在 x1
17、 处 取得极小值”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求出原函数的导函数，分析函数 f（x）在 x1 处取得极小值时的 a 的范围， 再由充分必要条件的判定得答案 【解答】解：若 f（x）在 x1 取得极小值， f（x）x2+（a2+2）x+a2+1ex（x+1） （x+a2+1）ex 第 11 页（共 23 页） 令 f（x）0，得 x1 或 xa21 当 a0 时，f（x）（x+1）2ex0 故 f（x）在 R 上单调递增，f（x）无最小值； 当 a0 时，a211，故当 xa21 时，f（x）0，f（x）单调递增； 当a21x1
18、时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递增 故 f（x）在 x1 处取得极小值 综上，函数 f（x）在 x1 处取得极小值a0 “a”是“函数 f（x）在 x1 处取得极小值”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属中档题 11 （5 分）已知双曲线 C：的左，右焦点分别为 F1（c，0） ， F2（c，0） ，又点若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|+|MN| 4b，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A B C D 【分析】原问题等价于（|MF2|+|MN|）min4b，又|MF
19、2|+|MN|2a+|MF1|+|MN|2a+|NF1| 2a+即可得 4a2+3b28ab或即可 【解答】解：双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|+|MN|4b， 即（|MF2|+|MN|）min4b， 又|MF2|+|MN|2a+|MF1|+|MN|2a+|NF1|2a+ 2a+4b4a2+3b28ab 3+480或 e21+，e或 1e 故选：D 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了转化思想，属于中档题 12 （5 分）若关于 x 的不等式 xlnxkx+k+10 在（1，+）内恒成立，则满足条件的整数 k 的最大值为（ ） A0 B
20、l C2 D3 【分析】根据题意即可得出函数 yxlnx（x1）的图象恒在直线 yk（x1）1 的上 方，当直线 yk（x1）1 与函数 yxlnx（x1）相切时，可设切点为（x0，y0） ，从 而可以得出，联立三式即可得出 kx01，根据 x01 即可得出 k 0，再根据即可得出 k1，从而得出整数 k 的最大值为 2 【解答】解：关于 x 的不等式 xlnxkx+k+10 在（1，+）内恒成立， 即关于 x 的不等式 xlnxk（x1）1 在（1，+）内恒成立， 即函数 yxlnx（x1）的图象恒在直线 yk（x1）1 的上方 当直线 yk（x1）1 与函数 yxlnx（x1）相切时，设切
21、点为（x0，y0） ， 则，由得，x0lnx0k（x01）1，把代入得 x0（k1） k（x01）1，化简得 x0k+1由 x01 得，k0 又由得 klnx0+11即相切时整数 k2 因此函数 yxlnx（x1）的图象恒在直线 yk（x1）1 的上方时，整数 k 的最大值 为 2 第 13 页（共 23 页） 故选：C 【点评】考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，直线和曲线相切的定义 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）某公司一种新产品的销售额 y 与宣传费用 x
22、 之间的关系如表： x（单位：万元） 0 1 2 3 4 y（单位：万元） 10 15 20 30 35 已知销售额 y 与宣传费用 x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则 的值为 6.5 【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数 【解答】解；由表中数据，计算， ， 又归直线方程为过样本中心点（2，22）得， ， 解得 故答案为：6.5 【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题 14 （5 分）已知曲线 C：（ 为参数） 若点 P 在曲线 C 上运动，点 Q 为直 线 l：x+2y40 上的动点，则|PQ|的最小值为 【分析】瘦啊新利用点到直
23、线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换的应用及正弦 型函数的性质的应用求出结果 【解答】解：把曲线 C：（ 为参数）上任意点 P（2cos，sin）到直线 l：x+2y40 的距离 d， 第 14 页（共 23 页） 当 sin（+）1 时， 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 15 （5 分）已知 f（x）是定义在（，）上的奇函数，其导函数为 f（x） ， 且当 x（0，）时，f（x）sinx+f（x）cosx0则不等式 f（x）sinx1 的解集为 （ ，）
24、【分析】根据令 F（x）f（x）sinx 据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断 出 f（x）sinx 的单调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集 【解答】解：令 F（x）f（x）sinx（0x） ， 则 F（x）f（x）sinx+f（x）cosx0（0x） ， 所以 F（x）f（x）sinx 在（0，）上为单调递增，且， 所以， 解得 由 f（x）是定义在（，）上的奇函数得， F（x）f（x）sinx 在（，）为偶函数， 所以不等式 f（x）sinx1 的解集为， 故答案为： 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研 究函数的单调性是解决本题
25、的关键 16 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l过点 F 作倾斜角为 120o 的直线与准线 l 相交于点 A，线段 AF 与抛物线 C 相交于点 B，且，则抛物线 C 的标准方程为 y22x 【分析】解法一（几何法） ，根据题意画出图形，结合图形， 利用抛物线的定义和直角三角形的边角关系，求出 p， 即可写出抛物线 C 的标准方程； 第 15 页（共 23 页） 解法二（代数法） ，设出直线 AF 的方程，与抛物线方程联立，消去 x， 解方程求得 p 的值，再写出抛物线 C 的标准方程 【解答】解：解法一（几何法）如图所示，设AFO60，过点 B 作 BBl
26、 与点 B， 由抛物线的定义知，|BF|BB|，|FC|p，ABBAFO60； 在 RtABB中， ， 从而； 在 RtAFC 中， ， 所以 p1，所以抛物线 C 的标准方程为 y22x 解法二（代数法） ，直线 AF 的方程为，从而； 由消去 x， 得， 解得或（舍去） ，从而； 由得， 解得 p1，所以抛物线 C 的标准方程为 y22x 故答案为：y22x 【点评】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 第 16 页（共 23 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、证明过程或演
27、算步证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）已知函数，其导函数 f（x）的图象关于 y 轴对称， （）求实数 m，n 的值； （）若函数 yf（x） 的图象与 x 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围 【分析】本题主要考查零点存在性定理与数形结合思想的转化，方程的根转化为函数图 象的交点 【解答】解： （I）f（x）x2+2mx+n1 分 函数 f（x）的图象关于 y 轴对称，m02 分 又，解得 n43 分 m0，n44 分 （）问题等价于方程 f（x） 有三个不相等的实根时，求 的取值范围 由（I） ，得f（x）x24 5 分 令 f（x）0，解得 x26 分 当 x2 或 x2 时，
28、f（x）0，f（x）在（，2） ， （2，+）上分别单调递 增7 分 又当2x2 时，f（x）0，f（x）在（2，2）上单调递减， 8 分 f（x）的极大值为，极小值为 10 分 由图可知，实数 的取值范围为12 分 第 17 页（共 23 页） 【点评】数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图 象的交点，可以直观形象的解决问题 18 （12 分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内 A，B，C 三 类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估， 考评分数达到 80 分及其以上 的单位被称为“星级”环保单位，未达到 80 分的单位被称
29、为“非星级”环保单位现通 过分层抽样的方法获得了这三类行业的 20 个单位，其考评分数如下 A 类行业：85，82， 77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86， 75，84，90，82 （）试估算这三类行业中每类行业的单位个数； （）若在 A 类行业抽样的这 6 个单位中，随机选取 3 个单位进行交流发言，求选出的 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率 【分析】 （I）抽取的三类行业单位个数之比为 3：3：4由分层抽样的性质能求出 A，B， C 三类行业单位的个数 （）记选出的这 3 个单位中既有“星级
30、”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件 M， 在 A 类行业的 6 个单位中随机选取 3 个单位的考核数据， 利用列举法能求出选出的 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率 【解答】解： （I）由题意，抽取的三类行业单位个数之比为 3：3：4 由分层抽样的定义，有 A 类行业单位个数为（个） ， B 类行业单位个数为（个） ， C 类行业单位个数为（个） 第 18 页（共 23 页） A，B，C 三类行业单位的个数分别为 60，60，80 （）记选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件 M 在 A 类行业的 6 个单位中随机选取 3 个
31、单位的考核数据情形有： 85，82，77，85，82，78，85，82，83，85，82，87，85，77，78，85，77， 83， 85，77，87，85，78，83，85，78，87，85，83，87，82，77，78，82，77， 83， 82，77，87，82，78，83，82，78，87，82，83，87，77，78，83，77，78， 87， 77，83，87，78，83，87共 20 种7 分 这 3 个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有： 85，82，83，85，82，87，85，83，87，82，83，87共 4 种 这 3 个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形
32、有 0 种， 这 3 个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共 4 种 选出的 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率为： 【点评】本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，ABAD， PAPD，ADCD，BAD60，M，N 分别为 AD，PA 的中点 （）证明：平面 BMN平面 PCD； （）若 AD6，求三棱锥 PBMN 的体积 第 19 页（共 23 页） 【分析】 （I）连接 BD推导出 BMADADCD，BMCD从
33、而 BM平面 PCD， MNPD进而 MN平面 PCD由此能证明平面 BMN平面 PCD （） 推导出 BM平面 PAD 三棱锥 PBMN 的体积 由 此能求出结果 【解答】解： （I）证明：连接 BDABAD，BAD60， ABD 为正三角形M 为 AD 的中点，BMAD ADCD，CD，BM平面 ABCD，BMCD 又 BM平面 PCD，CD平面 PCD，BM平面 PCD， M，N 分别为 AD，PA 的中点，MNPD 又 MN平面 PCD，PD平面 PCD， MN平面 PCD 又 BM，MN平面 BMN，BMMNM， 平面 BMN平面 PCD （）解：在（I）中已证 BMAD 平面 PA
34、D平面 ABCD，BM平面 ABCD，BM平面 PAD 又 AD6，BAD60，AD6 M，N 分别为 AD，PA 的中点， PMN 的面积 三棱锥 PBMN 的体积 【点评】本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 第 20 页（共 23 页） 20 （12 分）已知椭圆的左，右焦点分别为， ，且经过点 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记点 P 关于 x 轴对称的点为 P证明：直线 PQ 经过 x 轴上一定点 D，并求出定
35、点 D 的坐标 【分析】 （）由已知结合椭圆定义求得 a，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （）由题意，设直线 l 的方程为 xmy+4（m0） ，再设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 P（x1，y1） 联立直线方程与椭圆方程，化为关于 y 的一元二次方程，求出 PQ 所在 直线方程，取 y0 求得 x 值，即可证明直线 PQ 经过 x 轴上一定点 D，并求出定点 D 的 坐标 【解答】 （）解：由椭圆的定义，可知 2a|AF1|+|AF2|， 解得 a2 又 椭圆 C 的标准方程为； （）证明：由题意，设直线 l 的方程为 xmy+4（m0） 设 P（x1，y1） ，Q（x
36、2，y2） ，则 P（x1，y1） 由，消去 x，可得（m2+4）y2+8my+120 由16（m212）0，得 m或 m ， ， 直线 PQ 的方程为 令 y0，可得 第 21 页（共 23 页） D（1，0） 直线 PQ 经过 x 轴上定点 D，其坐标为（1，0） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 21 （12 分）已知函数，其中 a0 （）当 a2 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）有唯一零点，求 a 的值 【分析】 （I）求得 a2 时 f（x）的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点
37、斜式方 程可得切线方程； （）解法一、问题等价于关于 x 的方程有唯一的解时，求 a 的值令 ，求得 g（x）的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可 得 a 的值； 解法二、问题等价于关于 x 的方程有唯一的解时，求 a 的值令 ext（t 0） ，则 xlnt，问题等价于关于 t 的方程有唯一的解时，求 a 的值令，求得 g（t）的导数和单调性，极值和最值，结合 图象可得 a 的值 【解答】解： （I）当 a2 时， f（0）211，又 f（0）211， 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y1x，即 xy+10； （）解法一：问题等价于关于 x 的方程有唯一的解时
38、，求 a 的值 令，则 令 h（x）12xex，则 h（x）2ex0，h（x）在（，+）上单调递减 又 h（0）0，当 x（，0）时，h（x）0，即 g（x）0， 第 22 页（共 23 页） g（x）在（，0）上单调递增； 当 x（0，+）时，h（x）0，即 g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递减 g（x）的极大值为 g（0）1， 当 x（，0时，g（x）（，1；当 x（0，+）时，g（x）（0，1） 又 a0，当方程有唯一的解时，a1 综上，当函数 f（x）有唯一零点时，a 的值为 1 解法二：问题等价于关于 x 的方程有唯一的解时，求 a 的值 令 ext（t0） ，则 xlnt 问
39、题等价于关于 t 的方程有唯一的解时，求 a 的值 令，则 令 h（t）1t2lnt（t0） ，则 h（t）在（0，+）单调递减，而 h（1）0， 当 t（0，1）时，h（t）0，当 t（1，+）时，h（t）0 当 t（0，1）时，g（t）0，当 t（1，+）时，g（t）0 从而 g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减 注意到：g（1）1，当 t1 时，g（t）0，当 t0 时，g（t）， g（t）的唯一极大值为 g（1）1 结合 g（t）的图象知，a1 或 a0 时，关于 t 的方程有唯一的 解， 而 a0，所以 a1 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，
40、考查换元法和构造 函数法，以及化简运算能力，属于中档题 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，过点 P（1，1）的直线 l 的参数方程为 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 4cos （）求曲线 C 的直角坐标方程； 第 23 页（共 23 页） （）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的最小值 【分析】 （）直接诶利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行 转换 （）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元
41、二次次方程根和系数的关系式的应 用和三角函数关系式的变换的应用求出结果 【解答】解： （I）曲线 C 的极坐标方程为 4cos4cos，24cos曲 线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x0 （）将直线 l 的参数方程为参数）代入曲线 C 的方程， 并整理得 t2+（2sin2cos）t20（2sin2cos）2+80， 可设t1，t2是方程的两个实数根，则 t1+t22cos2sin，t1t220 ， 当时，等号成立的最小值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能 力和转换能力，属于基础题型