1、若复数 z 满足（1+i）zi（i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A B Ci D 2 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，Bx|x2x60，则 AB（ ） A2 B1，2 C2，3 D1，2，3 3 （5 分）如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错 误的是（ ） A甲所得分数的极差为 22 B乙所得分数的中位数为 18 C两人所得分数的众数相等 D甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 4 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为（ ） A0 B2 C4 D6 5 （5 分）已知等比数列an的各项均为正数，若 log3
2、a1+log3a2+log3a1212，则 a6a7 （ ） A1 B3 C6 D9 6 （5 分）已知函数 f（x），则 f（2）+f（1）（ ） A B C D 第 2 页（共 25 页） 7 （5 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若向量， ，且，则角 A 的大小为（ ） A B C D 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 m 的值为（ ） A5 B6 C7 D8 9 （5 分）若矩形 ABCD 的对角线交点为 O，周长为，四个顶点都在球 O 的表面上， 且，则球 O 的表面积的最小值为（ ） A B C32 D48 10 （5 分）已知函数 f（x）（
3、x2+a2x+1）ex，则“a”是“函数 f（x）在 x1 处 取得极小值”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11 （5 分）已知双曲线 C：的左，右焦点分别为 F1（c，0） ， F2（c，0） ，又点若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|+|MN| 4b，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A B 第 3 页（共 25 页） C D 12 （5 分）若关于 x 的不等式 xlnxkx+2k+10 在（2，+）内恒成立，则满足条件的整 数 k 的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空二、填空题：本大题共题：本大
4、题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）某公司一种新产品的销售额 y 与宣传费用 x 之间的关系如表： x（单位：万元） 0 1 2 3 4 y（单位：万元） 10 15 20 30 35 已知销售额 y 与宣传费用 x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则 的值为 14 （5 分）已知曲线 C：（ 为参数） 若点 P 在曲线 C 上运动，点 Q 为直 线 l：x+2y40 上的动点，则|PQ|的最小值为 15 （5 分） 已知 f （x） 是定义在上的奇函数， 其导函数为 f （x） ， 且当时，f（x）s
5、in2x+2f（x）cos2x0则不等式 f（x）sin2x1 的解集 为 16 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l若位于 x 轴上方的动点 A 在准线 l 上，线段 AF 与抛物线 C 相交于点 B，且，则抛物线 C 的标准 方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数，其导函数 f（x）的图象关于 y 轴对称， （）求实数 m，n 的值； （）若函数 yf（x） 的图象与 x 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围
6、18 （12 分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内 A，B，C 三 类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估， 考评分数达到 80 分及其以上 的单位被称为“星级”环保单位，未达到 80 分的单位被称为“非星级”环保单位现通 第 4 页（共 25 页） 过分层抽样的方法获得了这三类行业的 20 个单位，其考评分数如下 A 类行业：85，82， 77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86， 75，84，90，82 （）试估算这三类行业中每类行业的单位个数； （）若在 A 类行业抽样的这 6 个
7、单位中，随机选取 3 个单位进行交流发言，求选出的 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，ABAD， PAPD，ADCD，BAD60，M，N 分别为 AD，PA 的中点 （）证明：平面 BMN平面 PCD； （）若 AD6，求平面 BMN 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）已知椭圆的左，右焦点分别为， ，且经过点 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记点 P 关于 x 轴对称的点
8、为 P若直线 PQ 与 x 轴相交于点 D，求DPQ 面积的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x2aex2ax，其中 a0 （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）有唯一零点，求 a 的值 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，过点 P（1，1）的直线 l 的参数方程为 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 4cos 第 5 页（共 25 页） （）求曲线 C 的直角坐标
9、方程； （）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的最小值 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年四川省成都市高三（上）学年四川省成都市高三（上）10 月摸底数学试卷（理月摸底数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若复数 z 满足（1+i）zi（i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A B Ci D 【分析】由（1+i）zi
10、，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则答 案可求 【解答】解：由（1+i）zi， 得， 则 z 的虚部为： 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，Bx|x2x60，则 AB（ ） A2 B1，2 C2，3 D1，2，3 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Bx|2x3，A1，2，3，4， AB1，2 故选：B 【点评】考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 3 （5 分）如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错
11、误的是（ ） 第 7 页（共 25 页） A甲所得分数的极差为 22 B乙所得分数的中位数为 18 C两人所得分数的众数相等 D甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【分析】根据极差，中位数，众数和平均数的定义，求出这些数，再将所得数据与各项 进行对照，即可得解 【解答】解：甲所得分数的极差为 331122，A 正确； 乙所得分数的中位数为 18，B 正确； 甲所得分数的众数为 22，乙所得分数的众数为 22，C 正确； 故选：D 【点评】本题给出茎叶图，要我们判断其中关于特征数的描述不正确的一项，着重考查 了茎叶图的认识，以及极差，平均数，中位数和众数的定义及求法等知识，属于基础题 4
12、（5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为（ ） A0 B2 C4 D6 【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值 【解答】解：作出实数 x，y 满足表示的平面区域，如图所示 第 8 页（共 25 页） 由 zx2y 可得，则表示直线在 y 轴上的截距，截距越大， z 越小 作直线 x2y0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点 B 时，最大，z 最小 由可得，此时 z0， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 5 （5 分）已知等比数列an的各项均为正数，若 log3a1+log3
13、a2+log3a1212，则 a6a7 （ ） A1 B3 C6 D9 【分析】由题意利用等差数列的性质，对数的运算法则，求得 a6a7的值 【解答】解：因为等比数列an的各项均为正数，且 log3a1+log3a2+log3a1212， 即 log3（a1a2a12）12，所以， 所以 ，所以， 故选：D 【点评】本题主要考查等差数列的性质，对数的运算法则，属于基础题 6 （5 分）已知函数 f（x），则 f（2）+f（1）（ ） A B C D 【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可 【解答】解：，f（1）21+13， ， 故选：C 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用代入
14、法是解决本题的关键比较基础 7 （5 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若向量， 第 9 页（共 25 页） ，且，则角 A 的大小为（ ） A B C D 【分析】 利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题， 通过两角和的公式化简得到角 A 的方程，得解 【解答】解：由得， ， 由正弦定理得， 化为， 即， 由于 sinB0， ， ， 故选：B 【点评】此题考查了数量积，三角变换等，难道适中 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 m 的值为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变 量 m
15、的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：模拟程序的运行，可得 开始 S0 m1 1212 100 m2 121+2 2210 100 m3 121+2 22+3 2334 100 m4 121+2 22+3 23+424 98 100 m5 121+2 22+3 23+4 24+525 258 100 m6 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9 （5 分）若矩形 ABCD 的对角线交点为 O，周长为，四个顶点都在球 O 的表面上， 且，则球 O 的表
16、面积的最小值为（ ） A B C32 D48 第 11 页（共 25 页） 【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径， 进一步求出球的最小值 【解答】解：如图，设矩形 ABCD 的两邻边分别为 a，b，则，且外接圆O 的半径 由球的性质得，OO平面 ABCD，所以球 O 的半径由 均值不等式得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立 所以球 O 的表面积的最小值为 4R232， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分）已知函数 f（x）（x2+a2x+
17、1）ex，则“a”是“函数 f（x）在 x1 处 取得极小值”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求出原函数的导函数，分析函数 f（x）在 x1 处取得极小值时的 a 的范围， 再由充分必要条件的判定得答案 【解答】解：若 f（x）在 x1 取得极小值， f（x）x2+（a2+2）x+a2+1ex（x+1） （x+a2+1）ex 令 f（x）0，得 x1 或 xa21 第 12 页（共 25 页） 当 a0 时，f（x）（x+1）2ex0 故 f（x）在 R 上单调递增，f（x）无最小值； 当 a0 时，a211，故当 xa21 时，f
18、（x）0，f（x）单调递增； 当a21x1 时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递增 故 f（x）在 x1 处取得极小值 综上，函数 f（x）在 x1 处取得极小值a0 “a”是“函数 f（x）在 x1 处取得极小值”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属中档题 11 （5 分）已知双曲线 C：的左，右焦点分别为 F1（c，0） ， F2（c，0） ，又点若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|+|MN| 4b，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A B C D 【分析】原问题等价于
19、（|MF2|+|MN|）min4b，又|MF2|+|MN|2a+|MF1|+|MN|2a+|NF1| 2a+即可得 4a2+3b28ab或即可 【解答】解：双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|+|MN|4b， 即（|MF2|+|MN|）min4b， 又|MF2|+|MN|2a+|MF1|+|MN|2a+|NF1|2a+ 2a+4b4a2+3b28ab 3+480或 e21+，e或 1e 故选：D 第 13 页（共 25 页） 【点评】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查了转化思想，属于中档题 12 （5 分）若关于 x 的不等式 xlnxkx+2k+10 在（2，+）内恒成立，则
20、满足条件的整 数 k 的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】关于 x 的不等式 xlnxkx+2k+10 在（2，+）内恒成立，即函数 yxlnx（x 2）的图象恒在直线 yk（x2）1 的上方，求出当直线 yk（x2）1 与函数 y xlnx（x2）相切时，对应的 k 值解最大值 【解答】解：关于 x 的不等式 xlnxkx+2k+10 在（2，+）内恒成立，即关于 x 的不 等式 xlnxk（x2）1 在（2，+）内恒成立， 即函数 yxlnx（x2）的图象恒在直线 yk（x2）1 的上方 当直线 yk（x2）1 与函数 yxlnx（x2）相切时，设切点为（x0，y0） ，则
21、， 由得，x0lnx0k（x02）1，把代入得 x0（k1）k（x02）1，化简得 x02k+1由 x02 得， 又由得 klnx0+11即相切时整数 k2因此函数 yxlnx（x2）的图象恒在直线 yk（x2）1 的上方时，整数 k 的最大值为 2， 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调区间与单调性，考查了数学转化思想，解 第 14 页（共 25 页） 答此题的关键是利用导数求最值，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）某公司一种新产品的销售额 y 与宣
22、传费用 x 之间的关系如表： x（单位：万元） 0 1 2 3 4 y（单位：万元） 10 15 20 30 35 已知销售额 y 与宣传费用 x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为，则 的值为 6.5 【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数 【解答】解；由表中数据，计算， ， 又归直线方程为过样本中心点（2，22）得， ， 解得 故答案为：6.5 【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题 14 （5 分）已知曲线 C：（ 为参数） 若点 P 在曲线 C 上运动，点 Q 为直 线 l：x+2y40 上的动点，则|PQ|的最小值为 【分析】瘦啊新
23、利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换的应用及正弦 型函数的性质的应用求出结果 【解答】解：把曲线 C：（ 为参数）上任意点 P（2cos，sin）到直线 l：x+2y40 的距离 d， 当 sin（+）1 时， 第 15 页（共 25 页） 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 15 （5 分） 已知 f （x） 是定义在上的奇函数， 其导函数为 f （x） ， 且当时，f（x）sin2x+2f（x）cos2x0则不等式 f（x）sin2x1 的解集 为
24、 （，） 【分析】构造新函数令，由已知条件判断函数单调性， 利用函数的单调性判断函数自变量的范围可得答案 【解答】 解： 已知f （x） 是定义在上的奇函数， 其导函数为f （x） ， 令，且当时，f（x）sin2x+2f（x）cos2x 0 则， 所以 F （x） f （x） sin2x 在上为单调递增， 且， 所以，解得， 由 f（x）是定义在上的奇函数得，F（x）f（x）sin2x 在为 偶函数， 所以不等式 f（x）sin2x1 的解集为：， 故答案为： 【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及利用函数单调性求解自变量的范 围，考查计算能力属于中档题 16 （5 分）已知抛物线
25、 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l若位于 x 轴上方的动点 A 在准线 l 上，线段 AF 与抛物线 C 相交于点 B，且，则抛物线 C 的标准 方程为 y22x 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的 边角关系求出 p 的值，即可写出抛物线的标准方程 第 16 页（共 25 页） 【解答】解：如图所示，设， 过点 B 作 BBl 与点 B， 由抛物线的定义知，|BF|BB|，|FC|p，ABBAFO； 在 RtABB中，|BF|AB|cos， 从而|AF|BF|+|AB|AB|（1+cos） ； 又，所以， 即，所以； 在 RtAFC 中，
26、p|AF|cos， 所以， 所以抛物线 C 的标准方程为 y22x 故答案为：y22x 【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档 题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数，其导函数 f（x）的图象关于 y 轴对称， （）求实数 m，n 的值； （）若函数 yf（x） 的图象与 x 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围 第 17 页（共 25 页） 【分析】本题主要考查零点存在性定理与数形结合思想的转化，方程的根转化为
27、函数图 象的交点 【解答】解： （I）f（x）x2+2mx+n1 分 函数 f（x）的图象关于 y 轴对称，m02 分 又，解得 n43 分 m0，n44 分 （）问题等价于方程 f（x） 有三个不相等的实根时，求 的取值范围 由（I） ，得f（x）x24 5 分 令 f（x）0，解得 x26 分 当 x2 或 x2 时，f（x）0，f（x）在（，2） ， （2，+）上分别单调递 增7 分 又当2x2 时，f（x）0，f（x）在（2，2）上单调递减， 8 分 f（x）的极大值为，极小值为 10 分 由图可知，实数 的取值范围为12 分 【点评】数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合
28、将本题转化为函数图 象的交点，可以直观形象的解决问题 18 （12 分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内 A，B，C 三 类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估， 考评分数达到 80 分及其以上 的单位被称为“星级”环保单位，未达到 80 分的单位被称为“非星级”环保单位现通 过分层抽样的方法获得了这三类行业的 20 个单位，其考评分数如下 A 类行业：85，82， 第 18 页（共 25 页） 77，78，83，87；B 类行业：76，67，80，85，79，81；C 类行业：87，89，76，86， 75，84，90，82 （）试估算这三类行业中每
29、类行业的单位个数； （）若在 A 类行业抽样的这 6 个单位中，随机选取 3 个单位进行交流发言，求选出的 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率 【分析】 （I）抽取的三类行业单位个数之比为 3：3：4由分层抽样的性质能求出 A，B， C 三类行业单位的个数 （）记选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件 M， 在 A 类行业的 6 个单位中随机选取 3 个单位的考核数据， 利用列举法能求出选出的 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率 【解答】解： （I）由题意，抽取的三类行业单位个数之比为 3：3：4 由分层
30、抽样的定义，有 A 类行业单位个数为（个） ， B 类行业单位个数为（个） ， C 类行业单位个数为（个） A，B，C 三类行业单位的个数分别为 60，60，80 （）记选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件 M 在 A 类行业的 6 个单位中随机选取 3 个单位的考核数据情形有： 85，82，77，85，82，78，85，82，83，85，82，87，85，77，78，85，77， 83， 85，77，87，85，78，83，85，78，87，85，83，87，82，77，78，82，77， 83， 82，77，87，82，78，83，82，78，87，82
31、，83，87，77，78，83，77，78， 87， 77，83，87，78，83，87共 20 种7 分 这 3 个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有： 85，82，83，85，82，87，85，83，87，82，83，87共 4 种 这 3 个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有 0 种， 这 3 个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共 4 种 第 19 页（共 25 页） 选出的 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率为： 【点评】本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 19 （12 分）
32、如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，ABAD， PAPD，ADCD，BAD60，M，N 分别为 AD，PA 的中点 （）证明：平面 BMN平面 PCD； （）若 AD6，求平面 BMN 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值 【分析】 （I）连接 BD，推导出 BMADADCD，CD，从而 BMCD进而 BM平 面 PCD推导出 MNPD从而 MN平面 PCD由此能证明平面 BMN平面 PCD （）连接 PMPM平面 ABCD以 M 为坐标原点，的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Mxyz利用向量法能求出平面 BMN 与平面 BC
33、P 所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （I）证明：连接 BD，ABAD，BAD60，ABD 为正三角 形 M 为 AD 的中点，BMAD 第 20 页（共 25 页） ADCD，CD，BM平面 ABCD，BMCD 又 BM平面 PCD，CD平面 PCD，BM平面 PCD M，N 分别为 AD，PA 的中点，MNPD 又 MN平面 PCD，PD平面 PCD，MN平面 PCD 又 BM，MN平面 BMN，BMMNM，平面 BMN平面 PCD （）解：连接 PM平面 PAD平面 ABCD，平面 ABCD平面 PADAD，PM平 面 PAD， 又 PMAD，PM平面 ABCD 又 BMAD，MB，M
34、D，MP 两两互相垂直 以 M 为坐标原点，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 Mxyz AD6， 则 M（0，0，0） ，P（0，0，3） ，A（0，3，0） ， 设 平 面 BMN 的 一 个 法 向 量， 平 面 BCP 的 一 个 法 向 量 ， 由，得取 ， 由，得取 平面 BMN 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 第 21 页（共 25 页） 20 （12 分）已知椭圆的左，右焦点分别为， ，且经过
35、点 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，记点 P 关于 x 轴对称的点为 P若直线 PQ 与 x 轴相交于点 D，求DPQ 面积的最大值 【分析】 （）根据两点之间的距离公式及椭圆的定义即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方 程； （）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及直线的斜率公式求得直线 PQ 的方程，求得 D 点坐标，利用三角形的面积公式表示出DPQ 面积，换元利用基本不等 式的性质，即可求得DPQ 面积的最大值 【解答】 解： （I） 由椭圆的定义， 可知 2a|AF1|+|AF2| 1 分
36、 解得 a22 分 又3 分 所以椭圆 C 的标准方程为4 分 （）由题意，设直线 l 的方程为 xmy+4，m0设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 P （x1，y1） 由，消去 x，可得（m2+4）y2+8my+1205 分 因为16（m212）0，所以 m212 第 22 页（共 25 页） 所以，6 分 因为，所以直线PQ的方程为 7 分 令 y0，可得8 分 所以，所以 D（1，0） 9 分 所以 10 分 令，t（0，+） 则，当且仅当 t4 即时等号成立， 所以DPQ 面积的最大值为12 分 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形的
37、面积公式，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x2aex2ax，其中 a0 （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若函数 f（x）有唯一零点，求 a 的值 【分析】 （I）求得 a1 时 f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方 程可得所求切线方程； （）法一、求得 f（x）的导数，令 tex（0，+） ，则 f（x）g（t）2（t2at a） ，考虑 g（t）的零点，讨论 f（x）的单调性，可得 f（x）的极值，解方程，通过构造 函数，可得所求值； 法二、问题等价于关于 x 的方程 e
38、2x2aex2ax0（a0）有唯一解时，求 a 的值令 第 23 页（共 25 页） ext（t0） ，则 xlnt问题等价于关于 t 的方程有唯一的解 时，求 a 的值令，求得导数和单调性，求得极值，结合图 象可得所求值 【解答】解： （I）当 a1 时，f（x）e2x2ex2x，f（x）2e2x2ex2 f（0）2e02e022， 又 f（0）e02e001， 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y（1）2x，即 2x+y+10； （）法一：f（x）2e2x2aex2a2（e2xaexa） ， 令 tex（0，+） ，则 f（x）g（t）2（t2ata） ， a0，函数
39、yg（t）在（0，+）仅有一个零点， 存在 t0（0，+） ，使得 g（t0）0即存在 x0满足时，f（x0）0， 当 t（0，t0） ，即 x（，x0）时，f（x）0f（x）在（，x0）上单调递 减； 当 t（t0，+） ，即 x（x0，+）时，f（x）0f（x）在（x0，+）上单调递增， 又当 x时，e2x2aex0，2ax+，f（x）+； 当 x0 时，exx，f（x）e2x2aex2axe2x2aex2aexex（ex4a） 当 x+时，ex（ex4a）+，当 x+时，f（x）+ 由题意，函数 f（x）有唯一零点时，必有， 又， 由消去 a，得 令 h（x）ex+2x1h（x）ex+2
40、0，h（x）单调递增， 又 h（0）0，方程有唯一解 x00 将 x00 代入，解得当函数 f（x）有唯一零点时，a 的值为 法二：问题等价于关于 x 的方程 e2x2aex2ax0（a0）有唯一解时，求 a 的值 令 ext（t0） ，则 xlnt 问题等价于关于 t 的方程有唯一的解时，求 a 的值 第 24 页（共 25 页） 令，则 令 h（t）1t2lnt（t0） ，则 h（t）在（0，+）单调递减，而 h（1）0， 当 t（0，1）时，h（t）0，当 t（1，+）时，h（t）0 当 t（0，1）时，g（t）0，当 t（1，+）时，g（t）0 从而 g（t）在（0，1）单调递增，在（
41、1，+）单调递减 注意到：g（1）1，当 t1 时，g（t）0，当 t0 时，g（t）， g（t）的唯一极大值为 g（1）1 结合 g（t）的图象知，或时，关于 t 的方程有唯 一的解， 而 a0，所以 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查构造函数法，以及换 元法和参数分离，考查方程思想和化简运算能力，属于难题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，过点 P（1，1）的直线 l 的参数方程为 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极
42、坐标方 程为 4cos （）求曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的最小值 【分析】 （）直接诶利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行 转换 （）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次次方程根和系数的关系式的应 用和三角函数关系式的变换的应用求出结果 【解答】解： （I）曲线 C 的极坐标方程为 4cos4cos，24cos曲 线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x0 （）将直线 l 的参数方程为参数）代入曲线 C 的方程， 并整理得 t2+（2sin2cos）t20（2sin2cos）2+80， 第 25 页（共 25 页） 可设t1，t2是方程的两个实数根，则 t1+t22cos2sin，t1t220 ， 当时，等号成立的最小值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能 力和转换能力，属于基础题型