1、已知 i 是虚数单位， 若 2+iz （1i） ， 则 z 的共轭复数 对应的点在复平面的 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）设集合 Ay|y3x，xR，By|y，xR，则 AB（ ） A0，2 B （0，+） C （0，2 D0，2） 3 （5 分）函数 f（x）的大致图象是（ ） A B C D 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 k 值为（ ） 第 2 页（共 30 页） A7 B9 C11 D13 5 （5 分）已知等边ABC 内接于O，D 为线段 OA 的中点，则（ ） A+ B C+ D+ 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，图中
2、正方形的边长为 2，四条用虚线表示的线段长 度均相等，则该几何体的体积为（ ） A8 B82 C8 D88 7 （5 分）二项式（x）8的展开式中 x2的系数是7，则 a（ ） A1 B C D1 8 （5 分）如图，边长为 a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边 形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点， 第 3 页（共 30 页） 该点恰好取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 9 （5 分）如图，点 A 为双曲线1（a0，b0）的右顶点，P 为双曲线上一点， 作 PBx 轴，垂足为 B，若 A 为线段 OB 的中点，且以 A 为
3、圆心，AP 为半径的圆与双曲 线 C 恰有三个公共点，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D 10 （5 分）已知 cos（）2sin（+） ，则 tan（+）（ ） A B C D 11 （5 分）如图，在等腰 RtABC 中，斜边 AB，D 为直角边 BC 上的一点，将ACD 沿直 AD 折叠至AC1D 的位置，使得点 C1在平面 ABD 外，且点 C1在平面 ABD 上的射 影 H 在线段 AB 上，设 AHx，则 x 的取值范围是（ ） A （1，） B （，1） C （，） D （0，1） 12 （5 分）设 M，N 是抛物线 y2x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线 O
4、M 与 ON 第 4 页（共 30 页） 的斜率之积为，则（ ） A|OM|+|ON|4 BMN 为直径的圆的面积大于 4 C直线 MN 过抛物线 y2x 的焦点 DO 到直线 MN 的距离不大于 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z3x+4y 的最大值为 14 （5 分）某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车 的 3 辆共享汽车都是随机停放的，且这 3 辆共享汽车都不相邻的概率与这 3 辆共享汽车
5、恰有 2 辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为 15 （5 分） 数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学 的一个空白与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平， 其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上， 余四约之，为实，一为从偶，开平方得积” ，若把这段文字写成公式，即 S ，已知ABC 满足（sinAsinB） （sinA+sinB）sinAsinC sin2C，且 AB2BC2，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为 16 （5 分）已知函数 f（x），若，使得 f（f（x0） ） x0，则 m 的取值范
6、围是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为题为 必考题，每个试题考生都必须作答，第必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 ）题为选考题，考生根据要求作答 ） 17 （12 分）已知等比数列an为递增数列，且 a52a10，2（an+an+2）5an+1，数列bn 的前 n 项和为 Sn，b11，bn0，bnbn+14Sn1 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在
7、四棱锥 PABCD 中，ABPC，ADBC，ADCD，且 PCBC 2AD2CD2，PA2 第 5 页（共 30 页） （1）PA平面 ABCD； （2）在线段 PD 上，是否存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 60？如果存 在，求的值；如果不存在，请说明理由 19 （12 分）为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项 目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证某中学计划在高一年级开设 游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生 中抽取了 100 人进行调查，其中男生 60 人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占，而抽
8、 取的女生中有 15 人表示对游泳没有兴趣 （1）试完成下面的 22 列联表，并判断能否有 99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与 性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男生 女生 合计 （2）已知在被抽取的女生中有 6 名高一（1）班的学生，其中 3 名对游泳有兴趣，现在 从这 6 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳有兴趣的概率 （3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以 上游泳比赛中获奖，如下表所示若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选 取 2 人进行跟踪调查，记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为 ，求随机变量 的分布列及数
9、学期望 班级 一 （1） 一 （2） 一 （3） 一 （4） 一 （5） 一 （6） 一 （7） 一 （8） 一 （9） 一 （10） 市级比赛获 奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 第 6 页（共 30 页） 市级以上比 赛获奖人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 P（K2 k0） 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2 20 （12 分）已知椭圆：+1（ab0
10、）的右焦点为 F（1，0） ，上顶点为 A过 F 且垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆 F 于 B、C 两点，若 （1）求椭圆的方程； （2）动直线 m 与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线 l 和直线 x2 于 M、N 两点，试求的值 21 （12 分）已知 aR，函数 f（x）xaex+1 有两个零点 x1，x2（x1x2） （）求实数 a 的取值范围； （）证明：e+e2 请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐
11、标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，以原点 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ， （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）设点 M（0，2） ，曲线 C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求|MA|MB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 7 页（共 30 页） 23已知函数 f（x）|2x+1|x2| （1）画出函数 f（x）的图象； （2）若关于 x 的不等式 x+2m+1f（x）有解，求实数 m 的取值范围 第 8 页（共 30 页） 2018-2019 学年四川省成都七中高三（下）入学数学试
12、卷（理科）学年四川省成都七中高三（下）入学数学试卷（理科） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项一项是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1（5 分） 已知 i 是虚数单位， 若 2+iz （1i） ， 则 z 的共轭复数 对应的点在复平面的 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：由 2+iz（1i
13、） ，得 z， ， 则 z 的共轭复数 z 对应的点的坐标为（） ，在复平面的第四象限 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2 （5 分）设集合 Ay|y3x，xR，By|y，xR，则 AB（ ） A0，2 B （0，+） C （0，2 D0，2） 【分析】分别求 y3x，xR，y，xR 的值域，得：A（0，+） ，B0， 2，再求交集即可 【解答】解：由 y3x，xR， 得 y0，即 A（0，+） ， 由 y，xR， 得：0y2，即 B0，2， 即 AB（0，2， 故选：C 【点评】本题考查了求函数值域及交集的运算，属简单题 第 9
14、 页（共 30 页） 3 （5 分）函数 f（x）的大致图象是（ ） A B C D 【分析】先判断函数偶函数，再求出 f（1）即可判断 【解答】解：f（x）f（x） ， 则函数 f（x）为偶函数，故排除 CD， 当 x1 时，f（1）0，故排除 B， 故选：A 【点评】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题 4 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 k 值为（ ） 第 10 页（共 30 页） A7 B9 C11 D13 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，
15、可得答案 【解答】解：由题意，模拟执行程序框图，可得 S0，k1 满足条件 S1，Slg，k3 满足条件 S1，Slg+lg，k5 满足条件 S1，Slg+lg+lg，k7 满足条件 S1，Slg+lg+lg+lg，k9 满足条件 S1，Slg+lg+lg+lg+lglg（）lg lg11，k11 不满足条件 S1，退出循环，输出 k 的值为 11 故选：C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答 5 （5 分）已知等边ABC 内接于O，D 为线段 OA 的中点，则（ ） 第 11 页（共 30 页） A+ B C+ D+ 【分析】根据题意
16、画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的 表达式即可 【解答】解：如图所示 设 BC 中点为 E，则 +（+）+ 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2，四条用虚线表示的线段长 度均相等，则该几何体的体积为（ ） A8 B82 C8 D88 【分析】直接利用三视图，整理出几何体的构成，进一步利用几何体的体积公式求出结 果 【解答】解：根据几何体的三视图： 该几何体是由一个边长为 2 正方体挖去一个底面半径为 1， 高为 2 的圆锥构成的不规则的 几何体 第 12 页（共 30 页） 所以：v
17、， 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学 生的运算能力和转化能力，属于基础题型 7 （5 分）二项式（x）8的展开式中 x2的系数是7，则 a（ ） A1 B C D1 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解：二项式（x）8的展开式中的通项公式：Tr+1C8r（a）rx8 2r， 令 82r2，解得 r3， 则含 x2项的系数为 C83（a）37， 解得 a 故选：B 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 8 （5 分）如图，边长为 a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边
18、 形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点， 该点恰好取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可 【解答】解：如图所示，边长为 a 的正六边形，则 OAOBABa， 设小圆的圆心为 O，则 OCOA， 第 13 页（共 30 页） OCa， OCa，OOa， ODa， S阴影12aa （a）2（）a2， S正六边形a2， 点恰好取自阴影部分的概率 P， 故选：C 【点评】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题 9 （5 分）如图，点 A 为双曲线1（a0，b0）的右顶点，P 为双曲线上一
19、点， 作 PBx 轴，垂足为 B，若 A 为线段 OB 的中点，且以 A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲 线 C 恰有三个公共点，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】设 A 的坐标（a，0） ，求得 B 的坐标，考虑 x2a，代入双曲线的方程可得 P 的 坐标，再由圆 A 经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得 ab，进而得到双曲线 的离心率 第 14 页（共 30 页） 【解答】解：由题意可得 A（a，0） ， A 为线段 OB 的中点，可得 B（2a，0） ， 令 x2a，代入双曲线的方程可得 yb， 可设 P（2a，b） ， 由题意结合图形可得圆 A 经过双曲线的左顶
20、点（a，0） ， 即|AP|2a，即有 2a， 可得 ab，e， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能 力，属于中档题 10 （5 分）已知 cos（）2sin（+） ，则 tan（+）（ ） A B C D 【分析】由题意利用诱导公式、两角和正弦角公式求得 tan，再利用两角和正切公式求 得结果 【解答】解：cos（）2sin（+） ，sin2sincos+2cossin， 则即2sincos， tan，tan（+）， 故选：B 【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题 11 （5 分）如图，在等腰 RtABC 中，
21、斜边 AB，D 为直角边 BC 上的一点，将ACD 第 15 页（共 30 页） 沿直 AD 折叠至AC1D 的位置，使得点 C1在平面 ABD 外，且点 C1在平面 ABD 上的射 影 H 在线段 AB 上，设 AHx，则 x 的取值范围是（ ） A （1，） B （，1） C （，） D （0，1） 【分析】推导出 ACBC1，ACB90，AC1AC1，CDC1D（0，1） ，AC1D 90，CH平面 ABC，从而 AHAC11，当 CD1 时，B 与 D 重合，AH，当 CD1 时，AH，由此能求出 x 的取值范围 【解答】解：在等腰 RtABC 中，斜边 AB，D 为直角边 BC 上的
22、一点， ACBC1，ACB90， 将ACD 沿直 AD 折叠至AC1D 的位置，使得点 C1在平面 ABD 外， 且点 C1在平面 ABD 上的射影 H 在线段 AB 上，设 AHx， AC1AC1，CDC1D（0，1） ，AC1D90， CH平面 ABC， AHAC11，故排除选项 A 和选项 C； 当 CD1 时，B 与 D 重合，AH， 当 CD1 时，AH， D 为直角边 BC 上的一点， CD（0，1） ，x 的取值范围是（，1） 故选：B 第 16 页（共 30 页） 【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中
23、档题 12 （5 分）设 M，N 是抛物线 y2x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线 OM 与 ON 的斜率之积为，则（ ） A|OM|+|ON|4 BMN 为直径的圆的面积大于 4 C直线 MN 过抛物线 y2x 的焦点 DO 到直线 MN 的距离不大于 2 【分析】由已知分类求得 MN 所在直线过定点（2，0） ，结合选项得答案 【解答】解：当直线 MN 的斜率不存在时，设 M（，y0） ，N（，y0） ， 由斜率之积为，可得，即， MN 的直线方程为 x2； 当直线的斜率存在时，设直线方程为 ykx+m， 联立，可得 ky2y+m0 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，
24、则， ，即 m2k 直线方程为 ykx2kk（x2） 则直线 MN 过定点（2，0） 则 O 到直线 MN 的距离不大于 2 故选：D 第 17 页（共 30 页） 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与篇文章位置关系的应用，是中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z3x+4y 的最大值为 5 【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数 z3x+4y 的几何意义，求解目标函 数的最大值 【解答】解：作出 x，y 满足约束条
25、件，所示的平面区域，如图： 作直线3x+4y0，然后把直线 L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点 A 时 z 最大， 由可得 A（1，2） ，此时 z5 故答案为：5 【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意 义 14 （5 分）某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车 的 3 辆共享汽车都是随机停放的，且这 3 辆共享汽车都不相邻的概率与这 3 辆共享汽车 第 18 页（共 30 页） 恰有 2 辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为 10 【分析】设停车位有 n 个，求出这 3 辆共享汽车都不相邻的种数和恰有 2 辆相邻的
26、种数， 可得 An23A32An22，解得即可 【解答】解：设停车位有 n 个， 这 3 辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n3）个停车位排放好，再将这 3 辆共 享汽车，插入到所成（n2）个间隔中，故有 An23种， 恰有 2 辆相邻的种数：先把其中 2 辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个元素插 入到将（n3）个元素排放好所成的（n2）个间隔中，故有 A32An22种， 因为这 3 辆共享汽车都不相邻的概率与这 3 辆共享汽车恰有 2 辆相邻的概率相等， An23A32An22， 解得 n10， 故答案为：10 【点评】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转
27、化能力， 属于中档题 15 （5 分） 数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学 的一个空白与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平， 其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上， 余四约之，为实，一为从偶，开平方得积” ，若把这段文字写成公式，即 S ，已知ABC 满足（sinAsinB） （sinA+sinB）sinAsinC sin2C，且 AB2BC2，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为 【分析】由题意可得：c2a2，a，利用正弦定理化简已知等式可得 a2+c2 b2ac，根据题意利用三角形的面积公式即
28、可计算得解 【解答】解：AB2BC2， 由题意可得：c2a2，a， （sinAsinB） （sinA+sinB）sinAsinCsin2C， 由正弦定理可得： （ab） （a+b）acc2，可得：a2+c2b2ac， S ac 第 19 页（共 30 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想， 属于基础题 16 （5 分）已知函数 f（x），若，使得 f（f（x0） ） x0，则 m 的取值范围是 2，0） 【分析】设 tf（x0） ，由题意可得 f（x0）x0有零点，即 f（x）x， 分离参数，构造函数，结合导数和数形结合即可求出 【解答】
29、解：设 tf（x0） ， f（f（x0） ）x0， f（t）x0， f（x0）x0有零点， f（x）x， m， 即直线 ym，与 g（x）有交点， g（x），x， 令 g（x）0，解得 x， 当 x，）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增， 当 x，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减， g（x）maxg（）2， g（）4（3ln16）0， 当 x+时，g（x）0， 分别画出 ym 与 yg（x）的图象，如图所示； 由图象可得当 0m2，即2m0 时，ym 与 yg（x）有交点， 第 20 页（共 30 页） 故答案为：2，0） 【点评】本题考查了函数的零点，导数和函数的最值的关系，考
30、查了转化思想，数形结 合的思想，属于难题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为题为 必考题，每个试题考生都必须作答，第必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 ）题为选考题，考生根据要求作答 ） 17 （12 分）已知等比数列an为递增数列，且 a52a10，2（an+an+2）5an+1，数列bn 的前 n 项和为 Sn，b11，bn0，bnbn+14Sn1 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项
31、和 Tn 【分析】 （1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和 【解答】解： （1）设公比为 q 等比数列an为递增数列，且 a52a10，首项为 a1， 则：， 解得：a1q， 2（an+an+2）5an+1， 所以：2q25q+20， 解得：q2 或， 由于数列为单调递增数列， 故：q2， 所以：， 数列bn的前 n 项和为 Sn，b11，bn0，bnbn+14Sn1 当 n2 时，bn1bn4Sn11， 第 21 页（共 30 页） 整理得：bnbn12（常数） ， 对 n 分偶数和奇数进行分类讨论， 整理得：bn2n1 故
32、：cnanbn（2n1） 2n， 则：， 2， 得：Tn， 解得： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数 列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABPC，ADBC，ADCD，且 PCBC 2AD2CD2，PA2 （1）PA平面 ABCD； （2）在线段 PD 上，是否存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 60？如果存 在，求的值；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）推导出 ABAC，APAC，ABPC，从而 AB平面 PAC，进而 PAAB， 由此能证明 PA平面 A
33、BCD （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出在线段 PD 上，存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 60，4 2 【解答】证明： （1）在四棱锥 PABCD 中，ABPC，ADBC，ADCD， 且 PCBC2AD2CD2，PA2 第 22 页（共 30 页） ABAC2， AB2+AC2BC2，PA2+AC2PC2， ABAC，APAC， ABPC，AB平面 PAC，PAAB， ABACA，PA平面 ABCD 解： （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AP 为 z 轴， 建立空间直角坐标
34、系， 设在线段 PD 上，存在一点 M（a，b，c） ， 使得二面角 MACD 的大小为 60，且， （01） ， A（0，0，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0，2） ， D（1，1，0） ， （a，b，c2） ，（1，1，2） ，M（，22） ， （0，2，0） ，（，22） ， 设平面 ACM 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，0，） ， 平面 ACD 的法向量 （0，0，1） ， 二面角 MACD 的大小为 60， cos60， 解得 在线段 PD 上，存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 60，42 第 23 页（共 30 页） 【点评】本题考查线面垂
35、直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中 档题 19 （12 分）为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项 目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证某中学计划在高一年级开设 游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生 中抽取了 100 人进行调查，其中男生 60 人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占，而抽 取的女生中有 15 人表示对游泳没有兴趣 （1）试完成下面的 22 列联表，并判断能否有 99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与 性
36、别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男生 50 10 60 女生 25 15 40 合计 75 25 100 （2）已知在被抽取的女生中有 6 名高一（1）班的学生，其中 3 名对游泳有兴趣，现在 从这 6 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳有兴趣的概率 （3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以 上游泳比赛中获奖，如下表所示若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选 取 2 人进行跟踪调查，记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 班级 一 （1） 一 （2） 一 （3） 一 （4） 一 （5） 一
37、 （6） 一 （7） 一 （8） 一 （9） 一 （10） 第 24 页（共 30 页） 市级比赛获 奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 市级以上比 赛获奖人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 P（K2 k0） 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2 【分析】 （1）完成列联表求出 K25.5566.635从而没有 99%的把握认为“对游泳是 否有兴趣与性别有关”
38、 （2）记事件 Ai表示“从这 6 名学生中随机抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，i0，1，2， 3” ，则 A2+A3表示“从这 6 名学生中随机抽取的 3 人中到少有 2 人有兴趣” ，且 A2，A3 互斥，由此能求出现在从这 6 名学生中随机抽取 3 人，至少有 2 人对游泳有兴趣的概率 （3）由题意可知 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（） 【解答】解： （1）由题意能得到如下的列联表： 有兴趣 没兴趣 合计 男生 50 10 60 女生 25 15 40 合计 75 25 100 K25.5566.635 没有 99%的把握认为“对
39、游泳是否有兴趣与性别有关” （2）记事件 Ai表示“从这 6 名学生中随机抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，i0，1，2， 3” ， 则 A2+A3表示“从这 6 名学生中随机抽取的 3 人中到少有 2 人有兴趣” ，且 A2，A3互斥， 现在从这 6 名学生中随机抽取 3 人，至少有 2 人对游泳有兴趣的概率： 第 25 页（共 30 页） P（A2+A3）P（A2）+P（A3） （3）由题意可知 的所有可能取值为 0，1，2，3， P（0）， P（1）， P（2）， P（3）， 的分布列是： 0 1 2 3 P E（） 【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量概率分布列
40、、数学期望 的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能 力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆：+1（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，上顶点为 A过 F 且垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆 F 于 B、C 两点，若 （1）求椭圆的方程； （2）动直线 m 与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线 l 和直线 x2 于 M、N 两点，试求的值 【分析】 （1）由通径公式得出，结合已知条件得出，再由 c1，可求 出 a、b 的值，从而得出椭圆的方程； 第 26 页（共 30 页） （2）设切点为（x0，y0） ，从而可写出切线 m 的方程为，进而求出点 M、
41、N 的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出 x0与 y0之间的关系，最后利用两点间的距离公 式可求出答案 【解答】解： （1）易知， ，所以，b1， 因此，椭圆的方程为； （2）设直线 m 与椭圆的切点为点 P（x0，y0） ，则直线 m 的方程为，且 有，可得， 直线 m 与直线 l：x1 交于点，直线 m 交直线 x2 于点 所以， ， 因此， 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题 21 （12 分）已知 aR，函数 f（x）xaex+1 有两个零点 x1，x2（x1x2） （）求实数 a 的取值范围； （）证明：e+e2 【分析】 （）利用导数研究单调性得 f
42、（x） 的最大值为 f（lna）0 解得 a 即可； （）先通过构造函数证明 x1+x20，在用基本不等式可证 【解答】解： （）f（x）1aex， 第 27 页（共 30 页） a0 时，f（x）0，f（x）在 R 上递增，不合题意，舍去， 当 a0 时，令 f（x）0，解得 xlna； 令 f（x）0，解得 xlna； 故 f（x）在（，lna）单调递增，在（lna，+）上单调递减， 由函数 yf（x）有两个零点 x1，x2（x1x2） ，其必要条件为：a0 且 f（lna）lna 0，即 0a1， 此时，1lna22lna，且 f（1）1+10， 令 F（a）f（22lna）22lna+
43、132lna， （0a1） ， 则 F（a）+0，F（a）在（0，1）上单调递增， 所以，F（a）F（1）3e20，即 f（22lna）0， 故 a 的取值范围是（0，1） （）令 f（x）0a， 令 g（x），g（x）xe x，则 g（x）在（，0）单调递增，在（0，+） 单调递减， 由（）知 0a1，故有1x10x2， 令 h（x）g（x）g（x） ， （1x0） ， h（x）（1x）ex（1+x）e x， （1x0） ，h（x）xex+xexx（exex） 0， 所以，h（x）在（1，0）单调递减，故 h（x）h（0）0， 故当1x0 时，g（x）g（x）0， 所以 g（x1）g（x1）
44、 ，而 g（x1）g（x2）a，故 g（x1）g（x2） ， 又 g（x）在（0，+）单调递减，x10，x20， 所以x1x2，即 x1+x20， 故 e+e22e2 【点评】本题考查了函数零点的判定定理，属难题 请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 第 28 页（共 30 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，以原点 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ， （）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （）设点 M（0，2） ，曲线 C1与曲线 C2交于 A，B 两点，求|MA|MB|的值 【分析】 （）运用代入法，消去 t，可得曲线 C1的普通方程；由 xcos，ysin， 代入极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程； （）将直线的参数方程代入曲线 C2的直角坐标方程，运用参数的几何意义，由韦达定 理可得所求之积 【解答】解： （）曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ， 由代入法消去参数 t，可得曲线 C1的普通方程为 yx+2； 曲线 C2的极坐标方程为 ， 得 2，即为 2+32