1、若复数 z（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A B C1 D 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，集合，则 AB（ ） A0，1 B1，2 C1 D2 3 （5 分）已知平面 l，m 是 内不同于 l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A若 m，则 ml B若 ml，则 m C若 m，则 ml D若 ml，则 m 4 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+1an+a（nN*，a 为常数） ，若平面内的 三个不共线的非零向量，满足，A，B，C 三点共线 且该直线不过 O 点，则 S2010等于（ ） A1005 B1006 C2010 D2012 5 （5 分）已知向
2、量 （1，cos） ， （sin，2） ，且 ，则 sin2+6cos2 的值为 （ ） A B2 C2 D2 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，令 yf（x） ，若 f（a）1，则实数 a 的取值范围是 （ ） 第 2 页（共 22 页） A （，2）（2，5 B （，1）（1，+） C （，2）（2，+） D （，1）（1，5 7 （5 分）已知 mR， “函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减 函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）已知某班学生的数学成绩 x（单位：分）与物理成绩 y（单位
3、：分）具有线性相 关 关 系 ， 在 一 次 考 试 中 ， 从 该 班 随 机 抽 取 5 名 学 生 的 成 绩 ， 经 计 算 ： ，设其线性回归方程为： 0.4x+ 若该班某学生的数学成 绩为 105，据此估计其物理成绩为（ ） A66 B68 C70 D72 9 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S22，S36，则 S5（ ） A18 B10 C14 D22 10 （5 分）函数 f（x）2x4sinx，x，的图象大致是（ ） A B 第 3 页（共 22 页） C D 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，设双曲线的 离心率为 e若在
4、双曲线的右支上存在点 M，满足|MF2|F1F2|，且 esinMF1F21，则 该双曲线的离心率 e 等于（ ） A B C D 12 （5 分） 定义在 R 上的可导函数 f（x）满足 f（1） 1， 且 2f （x）1， 当 x， 时，不等式的解集为（ ） A （，） B （，） C （0，） D （，） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上.） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足，则目标函数 zx+2y 的最小值为 14（5 分） 已知 x0， y0， 且 x+2y
5、xy， 若 x+2ym2+2m 恒成立， 则 xy 的最小值为 ， 实数 m 的取值范围为 15 （5 分）已知圆 M：x2+y24，在圆 M 上随机取一点 P，则 P 到直线 x+y2 的距离大于 2的概率为 16 （5 分）平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 顶点在同 一个球面上，则该球的表面积 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤骤.第第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每
6、道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共） （一）必考题：共 60 分分. 第 4 页（共 22 页） 17 （12 分）已知向量 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，f（x） （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.，若 f（A） 1，求ABC 的周长 18 （12 分）某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之 间按年龄分组：第 1 组25，30） ，第 2 组30，35） ，第 3 组35，40）
7、，第 4 组40，45） ， 第 5 组45，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表 区间 25，30） 30，35） 35，40） 40，45） 45，50 人数 25 a b （1）求正整数 a，b，N 的值； （2）现要从年龄较小的第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1，2， 3 组的人数分别是多少？ （3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人 在第 3 组的概率 19 （12 分）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上（如图 1） ， 且 BEBF，将A
8、ED，DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 A（如图 2） （1）求证：ADEF； （2）当 BFBC 时，求点 A到平面 DEF 的距离 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）已知 P 是圆上任意一点，F2（1，0） ，线段 PF2的垂直 平分线与半径 PF1交于点 Q，当点 P 在圆 F1上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点的直线 l 与（1）中曲线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 面积的最大值及此时直线 l 的方程 21 （12 分）设函数 f（x）x2+ax+lnx（aR） （I）若 a1 时，求函数
9、 f（x）的单调区间； （）设函数 f（x）在，3上有两个零点，求实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则如果多做，则 按所做的第一题计分按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（ 为参数） ，点 P 在直线 l： x+
10、y40 上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求圆 C 和直线 l 的极坐标方程； （）射线 OP 交圆 C 于 R，点 Q 在射线 OP 上，且满足|OP|2|OR|OQ|，求 Q 点轨迹 的极坐标方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x1|x+2| （）若不等式 f（x）|m1|有解，求实数 m 的最大值 M； （）在（）的条件下，若正实数 a，b 满足 3a2+b2M，证明：3a+b4 第 6 页（共 22 页） 2020 年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（文科）年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（
11、文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项符合分，在每小题的四个选项中，只有一项符合 要求要求.） 1 （5 分）若复数 z（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A B C1 D 【分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算 【解答】解：z 所以|z| 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，集合，则 AB（ ） A0，1 B1，2 C1 D2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB
12、【解答】解：集合 A0，1，2，集合， Bx|1x2， AB1 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3 （5 分）已知平面 l，m 是 内不同于 l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A若 m，则 ml B若 ml，则 m C若 m，则 ml D若 ml，则 m 【分析】 由题设条件， 平面 l， m 是 内不同于 l 的直线，结合四个选项中的条件， 对结论进行证明，找出不能推出结论的即可 【解答】解：A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行； 第 7 页（共 22 页） B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个
13、面中平行于它们交线的直线必平行于另一 个平面； C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线； D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这 个平面； 综上 D 选项中的命题是错误的 故选：D 【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较强的空间想 像能力以及熟练掌握点线面位置关系判断的一些定义，定理及条件，并能灵活组织这些 材料作出证明，故也考查了推理论证的能力 4 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an+1an+a（nN*，a 为常数） ，若平面内的 三个不共线的非零向量，满足，A，B，C 三点
14、共线 且该直线不过 O 点，则 S2010等于（ ） A1005 B1006 C2010 D2012 【分析】先可判断数列an为等差数列，而根据，及三点 A，B， C 共线即可得出 a1+a20101，从而根据等差数列的前 n 项和公式即可求出 S2010的值 【解答】解：由 an+1an+a 得，an+1ana； an为等差数列； 由，所以 A，B，C 三点共线； a1005+a1006a1+a20101， S201020101005 故选：A 【点评】考查等差数列的定义，三点 A，B，C 共线的充要条件：x+y，且 x+y 1，等差数列的通项公式，及等差数列的前 n 项和公式 5 （5 分
15、）已知向量 （1，cos） ， （sin，2） ，且 ，则 sin2+6cos2 的值为 （ ） A B2 C2 D2 第 8 页（共 22 页） 【分析】由题意可得 tan2，而 sin2+6cos2，分子分母 同除以 cos2，代入 tan2 可得答案 【解答】解：由题意可得向量 （1，cos） ， （sin，2） ，且 ，即 tan2， 所以 sin2+6cos22 故选：B 【点评】本题考查三角函数的运算，把函数化为正切函数是解决问题的关键，属中档题 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，令 yf（x） ，若 f（a）1，则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，2）（2，5 B （，
16、1）（1，+） C （，2）（2，+） D （，1）（1，5 【分析】执行该程序的功能是计算并输出分段函数 f（x） ，讨论 a 的取值情况，求出 f（a） 1 时的解集即可 【解答】解：执行该程序的功能是计算并输出分段函数 f（x）， 当 a2 时，由 f（a）a21，解得：a（，1）（1，2， 第 9 页（共 22 页） 当 2a5 时，由 f（a）2a31，解得 a（2，5； 当 a5 时，由 f（a）1，解得 a； 综上所述，a 的取值范围是（，1）（1，5 故选：D 【点评】本题考查了程序框图与分段函数的应用问题，也考查了不等式与分类讨论的应 用问题，是综合题 7 （5 分）已知 m
17、R， “函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减 函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据函数的性质求出 m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断 即可 【解答】解：若函数 yf（x）2x+m1 有零点，则 f（0）1+m1m1， 当 m0 时，函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数不成立，即充分性不成立， 若 ylogmx 在（0，+）上为减函数，则 0m1，此时函数 y2x+m1 有零点成立， 即必要性成立， 故“函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减函
18、数”的必要不 充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求 出等价条件是解决本题的关键 8 （5 分）已知某班学生的数学成绩 x（单位：分）与物理成绩 y（单位：分）具有线性相 关 关 系 ， 在 一 次 考 试 中 ， 从 该 班 随 机 抽 取 5 名 学 生 的 成 绩 ， 经 计 算 ： ，设其线性回归方程为： 0.4x+ 若该班某学生的数学成 绩为 105，据此估计其物理成绩为（ ） A66 B68 C70 D72 【分析】由题意求出 、 ，代入线性回归方程求得 ，再计算 x105 时 的值 第 10 页（共 22 页） 【解答】
19、解：由题意知， xi47595， yi32064， 代入线性回归方程 0.4x+ 中，得 640.495+ ，解 26； 所以线性回归方程为 0.4x+26， 当 x105 时， 0.4105+2668， 即该班某学生的数学成绩为 105 时，估计它的物理成绩为 68 故选：B 【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题 9 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S22，S36，则 S5（ ） A18 B10 C14 D22 【分析】运用等比数列的通项公式和前 n 项和公式列方程解方程可解决此问题 【解答】解：根据题意得，q1 a +a22 a38 又 a1（1
20、+q）2，a1q28 q244q 解得 q2，a12 S522 故选：D 【点评】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用及二元一次方程的解法 10 （5 分）函数 f（x）2x4sinx，x，的图象大致是（ ） A B C D 【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由 f（x）2x4sin（x）（2x4sinx） f（x） ，故函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 AB，再由函数的极值确 第 11 页（共 22 页） 定答案 【解答】解：函数 f（x）2x4sinx，f（x）2x4sin（x）（2x4sinx） f（x） ，故函数 f（x）为奇函数， 所以函数 f（x）2x
21、4sinx 的图象关于原点对称，排除 AB， 函数 f（x）24cosx，由 f（x）0 得 cosx，故 x2k（kZ） ， 所以 x时函数取极值，排除 C， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决 函数图象选择题常用的方法 11 （5 分）已知 F1，F2是双曲线1（a0，b0）的左、右焦点，设双曲线的 离心率为 e若在双曲线的右支上存在点 M，满足|MF2|F1F2|，且 esinMF1F21，则 该双曲线的离心率 e 等于（ ） A B C D 【分析】 由题意可得 sinMF1F2， 运用双曲线的定义可得 4b2c2a， 结合 a， b
22、，c 的关系，以及离心率公式，可得 e 的方程，解方程可得 e 【解答】解：依题设，|MF2|F1F2|2c， esinMF1F21，sinMF1F2， 等腰三角形 MF1F2底边上的高为 2a，底边 MF1的长为 24b， 由双曲线的定义可得 4b2c2a，2ba+c， 4b2（a+c）2，即 4b2a2+2ac+c2， 3e22e50，解得 e（1 舍去） 故选：B 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查定义法 和转化思想，以及运算能力，属于中档题 12 （5 分） 定义在 R 上的可导函数 f（x）满足 f（1） 1， 且 2f （x）1， 当 x， 第
23、12 页（共 22 页） 时，不等式的解集为（ ） A （，） B （，） C （0，） D （，） 【分析】构造函数 g（x）f（x），可得 g（x）在定义域 R 上是增函数，且 g （1）0，进而根据 f（2cosx）2sin2可得 2cosx1，解得答案 【解答】解：令 g（x）f（x）， 则 g（x）f（x）0， g（x）在定义域 R 上是增函数， 且 g（1）f（1）0， g（2cosx）f（2cosx）cosxf（2cosx）cosx， 令 2cosx1， 则 g（2cosx）0，即 f（2cosx）+cosx， 又x，且 2cosx1 x（，） ， 故选：D 【点评】本题考查的知
24、识点是利用导数研究函数的单调性，余弦函数的图象和性质，难 度中档 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上.） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足，则目标函数 zx+2y 的最小值为 3 【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小 值 【解答】解：不等式组所表示的平面区域，如图所示显然目标函数在点 B （3，3）处取得最小值3 故答案为：3 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题在线性规划问题
25、 中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上 的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐 标代入进行检验即可 14 （5 分） 已知 x0， y0， 且 x+2yxy， 若 x+2ym2+2m 恒成立， 则 xy 的最小值为 8 ， 实数 m 的取值范围为 （4，2） 【分析】x+2yxy 等价于+1，根据基本不等式得出 xy8，再次利用基本不等式求 出 x+2y 的最小值，进而得出 m 的范围 【解答】解：x0，y0，x+2yxy， +1， 1+， xy8，当且仅当 x4，y2 时取等号， x+2y28（当 x2y 时，等号
26、成立） ， m2+2m8，解得4m2 故答案为：8； （4，2） 【点评】考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换应注意基本不等式中等号成立 的条件 15 （5 分）已知圆 M：x2+y24，在圆 M 上随机取一点 P，则 P 到直线 x+y2 的距离大于 2的概率为 【分析】利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可 第 14 页（共 22 页） 得出 【解答】解：由点到直线的距离公式得点 O 到直线 x+y2 的距离为， 故到直线 x+y2 距离为的点在直线 x+y2 关于原点对称的直线 AB：x+y+20 上， 满足 P 到直线 x+y2 的距离大于 2的点位于
27、劣弧 AB 上，且AOB90 故概率 P 故答案为 【点评】熟练掌握点到直线的距离公式及几何概型的计算公式是解题的关键 16 （5 分）平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 顶点在同 一个球面上，则该球的表面积 3 【分析】由题意，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积 【解答】解：由题意，四面体 ABCD 顶点在同一个球面上，BCD 和ABC 都是直角 三角形， 所以 BC 的中点就是球心，所以 BC，球的半径为： 所以球的表面积为：3 故答案为：3 【点评】本题是基
28、础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是 第 15 页（共 22 页） 解题的关键，考查计算能力，空间想象能力 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知向量 （sinx，cosx） ， （cosx，cosx） ，f（x） （1）求 f（x）的单调递增区间；
29、（2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.，若 f（A） 1，求ABC 的周长 【分析】 （1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式 f （x）sin（2x+）+，利用正弦函数的单调性即可计算得解 （2）由题意可得 sin（2A+），结合范围 0A，可求 A 的值，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，由正弦定理利用 sinB3sinC，可得 b3c，根据余弦定理可求 c 的值，进而可求 b 的值，从而可求三角形的周长 【解答】 解：（1） 因为 （sinx， cosx） ， （ cosx， cosx） ， f （x） sinxcosx+co
30、s2x sin2x+cos2x+sin（2x+）+， 由+2k2x+2k，kZ，可得：+kx+k，kZ， 可得 f（x）的单调递增区间是：+k，+k，kZ， （2）由题意可得：sin（2A+）， 又 0A， 所以 2A+， 所以 2A+，解得 A， 设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则：a2b2+c22bccosA， 所以 aBC， 又 sinB3sinC，可得 b3c， 故 79c2+c23c2，解得 c1， 所以 b3，可得ABC 的周长为 4+ 第 16 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理， 余弦定理在解三角形中的综
31、合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之 间按年龄分组：第 1 组25，30） ，第 2 组30，35） ，第 3 组35，40） ，第 4 组40，45） ， 第 5 组45，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表 区间 25，30） 30，35） 35，40） 40，45） 45，50 人数 25 a b （1）求正整数 a，b，N 的值； （2）现要从年龄较小的第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1，2， 3 组的人数分别是多少？ （3）在（
32、2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人 在第 3 组的概率 【分析】 （1）根据小矩形的高，故频数比等于高之比，由此可得 a、b 的值； （2）计算分层抽样的抽取比例为，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽 取人数； （3）利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有 1 人在第 3 组的个数，根据古典概型概率公式计算 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，25，30）与30，35）两组的人数相同， a25 人 且人 总人数人 （2）因为第 1，2，3 组共有 25+25+100150 人，利用分层抽样在 150
33、名员工中抽取 6 第 17 页（共 22 页） 人，每组抽取的人数分别为： 第 1 组的人数为， 第 2 组的人数为， 第 3 组的人数为， 第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人 （3）由（2）可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B，第 3 组的 4 人分别为 C1，C2， C3，C4，则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为： （A，B） ， （A，C1） ， （A，C2） ， （A，C3） ， （A，C4） ， （B，C1） ， （B，C2） ， （B，C3） ， （B， C4） ， （C1，C2） ， （C1，C3） ， （C1，C4） ， （C2，C
34、3） ， （C2，C4） ， （C3，C4） ，共有 15 种 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为： （A，C1） ， （A，C2） ， （A，C3） ， （A，C4） ， （B， C1） ， （B，C2） ， （B，C3） ， （B，C4） ，共有 8 种 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 【点评】本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率计算，解答此类题的关键是读懂 频率分布直方图的数据含义，小矩形的高 19 （12 分）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上（如图 1） ， 且 BEBF，将AED，DCF 分别沿 DE，DF 折起
35、，使 A，C 两点重合于点 A（如图 2） （1）求证：ADEF； （2）当 BFBC 时，求点 A到平面 DEF 的距离 【分析】 （1）推导出 AEAD，AFAD，从而 AD平面 AEF，由此能证 明 ADEF （2） 设点 A到平面 DEF 的距离为 d， 由 VADEFVDAEF， 能求出点 A到平面 DEF 的距离 【解答】证明： （1）由 ABCD 是正方形及折叠方式，得： 第 18 页（共 22 页） AEAD，AFAD， AEAFA， AD平面 AEF， EF平面 AEF，ADEF 解： （2）， ， ，DEDF， 设点 A到平面 DEF 的距离为 d， VADEFVDAEF，
36、 ， 解得 d 点 A到平面 DEF 的距离为 【点评】本题考查线线的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20 （12 分）已知 P 是圆上任意一点，F2（1，0） ，线段 PF2的垂直 平分线与半径 PF1交于点 Q，当点 P 在圆 F1上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点的直线 l 与（1）中曲线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 面积的最大值及此时直线 l 的方程 【分析】 （1）根据垂直平分线的性质，利用定义法可求得曲线 C 的方程； （2
37、）设直线 l 的方程为 xty与椭圆交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 第 19 页（共 22 页） 联立直线与椭圆的方程消去 x， 利用韦达定理结合三角形的面积， 经验换元法以及基本不 等式求解最值，然后推出直线方程 【解答】解： （1）由已知|QF1|+|QF2|QF1|+|QP|PF1|4， 所以点 Q 的轨迹为以为 F1，F2焦点，长轴长为 4 的椭圆， 则 2a4 且 2c2，所以 a2，c1，则 b23， 所以曲线 C 的方程为； （2）设直线 l 的方程为 xty与椭圆交于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线与椭圆的方程消去 x，得（3t2+4）y
38、26ty30， 则 y1+y2，y1y2， 则S AOB|OM| |y1 y2| ， 令 3t2+2u，则 u1，上式可化为， 当且仅当 u，即时等号成立， 因此AOB 面积的最大值为，此时直线 l 的方程为 xy 【点评】本小题考查圆锥曲线中的问题等知识考查分析问题解决问题的能力 21 （12 分）设函数 f（x）x2+ax+lnx（aR） （I）若 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （）设函数 f（x）在，3上有两个零点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （I）将 a1 代入 f（x）x2+ax+lnx，求导，解关于导函数的不等式，由解 集即可得出单调区间； （） 问题转化为函数与函
39、数 ya 的图象在上有两个交点， 利用 导数研究函数 g（x）的性质即可得到实数 a 的取值范围 【 解 答 】 解 ： （ I ） 当 a 1 时 ， f （ x ） x2 x+lnx （ x 0 ） ， 则 第 20 页（共 22 页） ， 令 f（x）0，解得，令 f（x）0，解得， 函数 f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为； （）函数的定义域为（0，+） ，令 f（x）0，即x2+ax+lnx0，即， 依题意，函数与函数 ya 的图象在上有两个交点， 又， 令 h （ x ） x2 1+lnx ， 则 ， h（x）在上单调递增， ，h（1）0， 当时，g（x）0，g（x）单调递减
40、，当 x（1，3时，g（x）0， g（x）单调递增， ， 又， 【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查利用导数研究函数的单调性以及函数零 点与方程根的关系，考查分离变量思想及计算能力，属于中档题 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则如果多做，则 按所做的第一题计分按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标
41、系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（ 为参数） ，点 P 在直线 l： x+y40 上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求圆 C 和直线 l 的极坐标方程； （）射线 OP 交圆 C 于 R，点 Q 在射线 OP 上，且满足|OP|2|OR|OQ|，求 Q 点轨迹 的极坐标方程 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （）圆 C：（ 为参数） ，可得直角坐标方程：x2+y24，利用互 化公式可得圆 C 的极坐标方程点 P 在直线 l：x+y40 上，利用互化公式可得直线 l 的极坐标方程 （ ） 设 P ， Q ， R 的 极 坐
42、标 分 别 为 （ 1， ） ， （ ， ） ， （ 2， ） ， 由 ，又|OP|2|OR|OQ|，即可得出 【解答】解： （）圆 C：（ 为参数） ，可得直角坐标方程：x2+y24， 圆 C 的极坐标方程 2 点 P 在直线 l：x+y40 上，直线 l 的极坐标方程 （）设 P，Q，R 的极坐标分别为（1，） ， （，） ， （2，） ， 因为， 又因为|OP|2|OR|OQ|，即， 【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程及其应用，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x
43、1|x+2| （）若不等式 f（x）|m1|有解，求实数 m 的最大值 M； （）在（）的条件下，若正实数 a，b 满足 3a2+b2M，证明：3a+b4 【分析】 （）不等式 f（x）|m1|有解，只需 f（x）的最大值 f（x）max|m1|即可； （）3a2+b24，由柯西不等式可得（3a2+b2） （3+1）（3a+b）2 【解答】解： （）若不等式 f（x）|m1|有解，只需 f（x）的最大值 f（x）max|m 1|即可 |x1|x+2|（x1）（x+2）|3，|m1|3，解得2m4， 实数 m 的最大值 M4 （）根据（）知正实数 a，b 满足 3a2+b24，由柯西不等式可知（3a2+b2） （3+1） （3a+b）2， （3a+b）216，a，b 均为正实数，3a+b4（当且仅当 ab1 时取“” ） 第 22 页（共 22 页） 【点评】本题考查了绝对值不等式有解问题和柯西不等式，考查了转化思想，属中档题