1、已知集合 Ax|log2（x+3）1，Bx|4x2，则 AB（ ） Ax|3x2 Bx|4x1 Cx|x1 Dx|x4 2 （5 分） “m”是“直线 xmy+4m20 与圆 x2+y24 相切”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）在ABC 中，若 bcosC+ccosBasinA，则角 A 的值为（ ） A B C D 4 （5 分）已知定义域为a4，2a2的奇函数 f（x）2020x3sinx+b+2，则 f（a）+f（b） 的值为（ ） A0 B1 C2 D不能确定 5 （5 分）设 m，n 为空间两条不同的直线， 为空
2、间两个不同的平面，给出下列命题： 若 m，m，则 ； 若 m，n，m，n，则 ； 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 mn 其中所有正确命题的序号是（ ） A B C D 6 （5 分）从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图所示，若总体中 85%的数据不超 过 b，则 b 的估计值为（ ） A25 B24 C D 7 （5 分）设 asin2，blog0.3，c40.5，则（ ） Abac Babc Ccab Dbca 8 （5 分）已知，则（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 9 （5 分） 如图， 在区域 x2+y24 内任取一点， 则该点恰好取自阴影部分 （阴影部分
3、为 “x2+y2 4”与“ （x1）2+（y1）22”在第一、第二象限的公共部分）的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟 在阿基里斯前面 1000 米处开始， 和阿基里斯赛跑， 并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑 完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然 前于他 1 米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟按照这样的规律，若阿基里斯和乌 龟的距离恰好为 10 2 米时，乌龟爬行的总
4、距离为（ ） A B C D 11 （5 分）在 ABC 中，|CA|1，|CB|2，ACB，点 M 满足+2，则 （ ） A0 B2 C2 D4 12 （5 分）已知 F1，F2分别为椭圆+1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭圆上 位于第一象限内的点，延长 PF2交椭圆于点 Q，若 PF1PQ 且|PF1|PQ|，则椭圆的离 心率为（ ） A2 B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5分） 已知向量， 若， 则 14 （5 分）已知数列an满足 a11，an+1，nN*，则 a2019 15 （5 分）设
5、a，bR，a2+3b24，则的最小值是 第 3 页（共 20 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）x2ax（，e 为自然对数的底数）与 g（x）ex的 图象上存在关于直线 yx 对称的点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. 17 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2+S25，S515 （1）求数列an的通项公式； （2）求 18
6、 （12 分）已知向量，且 （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）先将函数 yf（x）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变） ，再 将所得图象向左平移个单位，得到函数 yg（x）的图象，求方程 g（x）1 在区间 上所有根之和 19 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图 1）的展开图如图 2，其中四边形 ABCD 为边长等 于的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形 （1）证明：平面 PAC平面 ABC； （2）若 M 是 PC 的中点，点 N 在线段 PA 上，且满足 PN2NA，求直线 MN 与平面 PAB 所成角的正弦值 20 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C
7、的对边分別为 a，b，c，若，B2A，b3 （1）求 a； （2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积 第 4 页（共 20 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）x（1+lnx） ，g（x）k（x1） （kZ） （I）求函数 f（x）的极值； （）对x（1，+） ，不等式 f（x）g（x）都成立，求整数 k 的最大值； （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上 把所选题目题号后的方框涂黑把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一
8、题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数：坐标系与参数 方程方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为， 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，若直线 l 与曲线 C 相切 （）求实数 r 的值； （） 在圆 C 上取两点 M， N， 使得， 点 M， N 与直角坐标原点 O 构成OMN， 求OMN 面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+a|x1| （1）当 a2 时，f（x）b 有解，求实数 b 的取值范围； （2）若 f（x）|x2|的解
9、集包含，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年云南省玉溪一中高三（上）期中数学试卷（文科）学年云南省玉溪一中高三（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|log2（x+3）1，Bx|4x2，则 AB（ ） Ax|3x2 Bx|4x1 Cx|x1 Dx|x4 【分析】根据对数不等式的解法求出集合 A
10、，结合并集的定义进行计算即可 【解答】解：Ax|log2（x+3）1x|0x+32x|3x1， Bx|4x2， ABBx|4x1， 故选：B 【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合对数的性质求出集合的等价条件是解决本 题的关键 2 （5 分） “m”是“直线 xmy+4m20 与圆 x2+y24 相切”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由圆心到直线的距离等于半径列式求得 m，然后结合充分必要条件的判定得答 案 【解答】解：由直线 xmy+4m20 与圆 x2+y24 相切， 得，解得 m0 或 m 则由 m能推出直线 xmy+4
11、m20 与圆 x2+y24 相切， 反之，由直线 xmy+4m20 与圆 x2+y24 相切，不一定得到 m 则“m”是“直线 xmy+4m20 与圆 x2+y24 相切”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查直线与圆位置关系的判定及其应用，考查充分必要条件的判定，是基 础题 第 6 页（共 20 页） 3 （5 分）在ABC 中，若 bcosC+ccosBasinA，则角 A 的值为（ ） A B C D 【分析】由已知结合正弦定理及诱导公式进行化简即可求解 【解答】解：bcosC+ccosBasinA， 由正弦定理可得，sinBcosC+sinCcosBsinAsinA， sin（B
12、+C）sinAsinA， sinAsinAsinA， sinA0， sinA1， A（0，） ， ， 故选：C 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 4 （5 分）已知定义域为a4，2a2的奇函数 f（x）2020x3sinx+b+2，则 f（a）+f（b） 的值为（ ） A0 B1 C2 D不能确定 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求出 a 的值，利用 f（0）0，求出 b，即可 【解答】解：f（x）是奇函数，定义域关于原点对称， 则 a4+2a20， 得 3a6，a2，此时定义域为为2，2， f（x）2020x3sinx+b+2 是奇函数， f（
13、0）b+20，则 b2， 即 f（x）2020x3sinx， 则 f（a）+f（b）f（2）+f（2）f（2）f（2）0， 故选：A 【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的定义和性质，建立方程求出 a， b 是解决本题的关键比较基础 5 （5 分）设 m，n 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题： 若 m，m，则 ； 若 m，n，m，n，则 ； 第 7 页（共 20 页） 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 mn 其中所有正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】对四个命题进行逐一判断，正确，当 mn 时， 可能相交，所以错误， m，n 的位置还可能
14、是相交和异面； 【解答】解：m，则 内一定存在一条直线 l，使得 ml，又 m，则 l，所 以 ，所以正确， 当 mn 时， 可能相交，所以错误， m，n 的位置还可能是相交和异面； 若 m，n，则 mn，正确 故选：D 【点评】本题主要考查空间点、直线、平面的位置关系，属于基础题 6 （5 分）从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图所示，若总体中 85%的数据不超 过 b，则 b 的估计值为（ ） A25 B24 C D 【分析】先求出每一小组的频率，结合总体中 85%的数据不超过 b，即可求出 b 的值 【解答】解：由于第一组频率为 0.0240.08，第二组频率为 0.0840.32
15、， 第三组频率为 0.0940.36，第四组，第五组频率都为：0.0340.12； 由于 0.08+0.32+0.360.76， b22+425 故选：A 【点评】本题考查了频率分布直方图，属于基础题 7 （5 分）设 asin2，blog0.3，c40.5，则（ ） Abac Babc Ccab Dbca 【分析】容易得出，从而得出 a，b，c 的大小 关系 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：0sin21，log0.3log0.310，40.5401， bac 故选：A 【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义 8 （5 分）已知，则（ ） A B C D 【分
16、析】由已知利用诱导公式可求 sin（+），进而利用二倍角的余弦函数公式 化简所求即可得解 【解答】解：， cos（）sin（）sin（+）， cos2（+）12sin2（+）12（）2 故选：B 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 9 （5 分） 如图， 在区域 x2+y24 内任取一点， 则该点恰好取自阴影部分 （阴影部分为 “x2+y2 4”与“ （x1）2+（y1）22”在第一、第二象限的公共部分）的概率为（ ） A B C D 【分析】先求出圆 x2+y24 的面积，再用割补法求出阴影部分面积，利用几何
17、概型概率 公式即可求出概率 【解答】解：圆 x2+y24 的面积为 4，阴影部分面积为4+ ， 第 9 页（共 20 页） 所以在区域 x2+y24 内任取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率为： ， 故选：B 【点评】本题主要考查了几何概型，注意不规则图形面积一般用割补法来求，是基础题 10 （5 分）公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟 在阿基里斯前面 1000 米处开始， 和阿基里斯赛跑， 并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑 完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他
18、 10 米当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然 前于他 1 米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟按照这样的规律，若阿基里斯和乌 龟的距离恰好为 10 2 米时，乌龟爬行的总距离为（ ） A B C D 【分析】由题意知乌龟每次爬行的距离构成等比数列an，写出 a1、q 和 an，由此求出 乌龟爬行的总距离 Sn 【解答】解：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列an， 且 a1100，q，an10 2； 乌龟爬行的总距离为 Sn 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 11 （5 分）在 ABC 中，|CA|1，|CB|2，ACB，点 M 满足+2，
19、则 （ ） A0 B2 C2 D4 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算向量的数量积即可 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， 第 10 页（共 20 页） 由题意知，C（0，0） ，B（2，0） ，A（，） ； （2，0） ，（，） ， +2（1，） ， （，） ， （1，） ， 则+0 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，建立适当的坐标系是解题的关键 12 （5 分）已知 F1，F2分别为椭圆+1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭圆上 位于第一象限内的点，延长 PF2交椭圆于点 Q，若 PF1PQ 且|PF1|PQ|，则椭圆的离 心率为（ ） A2 B
20、 C D 【分析】由题意可得PQF1为等腰直角三角形，设|PF1|t，|QF1|m，运用椭圆的定义 可得|PF2|2at，|QF2|2am，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离 心率 【解答】解：PF1PQ 且|PF1|PQ|，可得PQF1为等腰直角三角形， 设|PF1|t，|QF1|m， 由椭圆的定义可得|PF2|2at，|QF2|2am， 即有 t4atm，mt， 则 t2（2）a， 在直角三角形 PF1F2中， 可得 t2+（2at）24c2， 第 11 页（共 20 页） 4（64）a2+（128）a24c2， 化为 c2（96）a2， 可得 e 故选：D 【点评】本题考查椭
21、圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角 形的性质和勾股定理，以及运算求解能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量，若，则 【分析】由已知求得的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解 【解答】解：，（5，2） ， 又，且， 1（2）50，解得 故答案为： 【点评】本题考查向量的坐标加法运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题 14 （5 分）已知数列an满足 a11，an+1，nN*，则 a2019 2 【分析】直接根据已知求出 a2，a3和 a4即可发现数列是以 3 为周期
22、的周期数列，进而求 出 a2019 【解答】解：由已知得， ， 1， 所以数列an是以 3 为周期的周期数列，故 a2019a3673a32， 故答案为2 【点评】本题考查数列递推公式的直接应用，难度较易 15 （5 分）设 a，bR，a2+3b24，则的最小值是 2 第 12 页（共 20 页） 【分析】方程 a2+3b24 化为+1，设cos，sin，利用三角函数求 的最小值 【解答】解：a，bR，a2+3b24， 则+1； 设cos，sin，其中 0，2） ； 则 a2cos，bsin， 所以2cos+2sin2sin（+） ， 当 +2k，kZ，即 +2k，kZ 时， a+b 取得最小
23、值是2 故答案为：2 【点评】本题考查了利用参数法求最值的问题，是基础题 16 （5 分）已知函数 f（x）x2ax（，e 为自然对数的底数）与 g（x）ex的 图象上存在关于直线 yx 对称的点，则实数 a 的取值范围是 1，e+ 【分析】若函数 f（x）x2ax（xe，e 为自然对数的底数）与 g（x）ex的图象 上存在关于直线 yx 对称的点，则函数 f（x）x2ax（xe，e 为自然对数的底数） 与函数 h（x）lnx 的图象有交点，即 x2axlnx， （xe）有解，利用导数法，可 得实数 a 取值范围 【解答】解：若函数 f（x）x2ax（xe，e 为自然对数的底数） 与 g（x）
24、ex的图象上存在关于直线 yx 对称的点， 则函数 f（x）x2ax（xe，e 为自然对数的底数） 与函数 h（x）lnx 的图象有交点， 即 x2axlnx， （xe）有解， 即 ax， （xe）有解， 第 13 页（共 20 页） 令 yx， （xe） ， 则 y， 当x1 时，y0，函数为减函数， 当 1xe 时，y0，函数为增函数， 故 x1 时，函数取最小值 1，由于当 x时，ye+；当 xe 时，ye； 故当 x时，函数取最大值 e+， 故实数 a 取值范围是1，e+， 故答案为：1，e+ 【点评】本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值， 属于中档题
25、三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答. 17 （12 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2+S25，S515 （1）求数列an的通项公式； （2）求 【分析】 （1）等差数列an的公差设为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得首 项和公差的方程，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）运用裂项相消求和，化简可得所求和 【解答】解： （1）等差数列an的
26、公差设为 d，a2+S25，S515， 可得 a1+d+a1+a1+d3a1+2d5，5a1+10d15， 解得 a1d1， 可得 an1（n1）n，nN*； （2）+ 1+1 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及裂项相消求和，考查化 简运算能力，属于基础题 第 14 页（共 20 页） 18 （12 分）已知向量，且 （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）先将函数 yf（x）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变） ，再 将所得图象向左平移个单位，得到函数 yg（x）的图象，求方程 g（x）1 在区间 上所有根之和 【分析】 （1）化函数 f（x）为余弦型函
27、数，再求它的单调增区间； （2）由三角函数图象平移法则，得出 g（x）的解析式，再求 g（x）1 在 x0， 内的实数解即可 【解答】 解：（1） 函数 f （x） 2cos2x2sinxcosx1cos2xsin2x2cos （2x+） ， +2k2x+2k，kZ， +kx+k，kZ； f（x）的单调增区间为+k，+k，kZ； （2）由题意，g（x）2cos4（x+）+2cos（4x+） ， 又 g（x）1，得 cos（4x+）， 解得：4x+2k，kZ， 即 x或 x，kZ， x0， x，或 x， 故所有根之和为+ 【点评】本题主要考查了三角函数的性质与三角恒等变换问题，是基础题 19 （
28、12 分）已知三棱锥 PABC（如图 1）的展开图如图 2，其中四边形 ABCD 为边长等 于的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形 （1）证明：平面 PAC平面 ABC； （2）若 M 是 PC 的中点，点 N 在线段 PA 上，且满足 PN2NA，求直线 MN 与平面 PAB 第 15 页（共 20 页） 所成角的正弦值 【分析】 （1）利用线面垂直来证面面垂直； （2）利用向量法来求直线与平面所成的角 【解答】解： （1）取 AC 的中点 O，连接 OP，OB，则有 PAPC 且 O 为 AC 的中点，OPAC；同理，OBAC AC平面 POB，则有POB 为平面 PACB 的平面角，
29、 又在POB 中，OPOB1，BP，则有 OP2+OB2BP2，POB90 平面 PAC平面 ABC （2）由（1）可知，OP平面 ABC，则有 OPOC，OPOB，又OBOC，所以， 建立如右图所示的空间直角坐标系 则有，OAOBOCOP1，A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，C（1，0，0） ，P（0， 0，1） ， M 是 PC 的中点，M，又PN2NA，N， 设平面 PAB 的一个法向量为，则有， 设直线 MN 与平面 PAB 所成角为 ， 故直线 MN 与平面 PAB 所成角的正弦值为 第 16 页（共 20 页） 【点评】此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直
30、；第二小题用 向量法更为方便 20 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分別为 a，b，c，若，B2A，b3 （1）求 a； （2）已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积 【分析】 （1）由正弦定理以及二倍角正弦公式可得 a2； （2）由余弦定理可得 c，再根据角平分线定理可得 MB，然后根据面积公式可得 ABM 的面积 【解答】解： （1）由正弦定理得，得，得 ，得 a2， （2）cosA，sinA，cosBcos2A2cos2A1，sinB， sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB 由正弦定理得，c 由角平分线定理得， MBBC2
31、，SABMMBABsinBsin2A 第 17 页（共 20 页） 2， 【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x（1+lnx） ，g（x）k（x1） （kZ） （I）求函数 f（x）的极值； （）对x（1，+） ，不等式 f（x）g（x）都成立，求整数 k 的最大值； 【分析】 （）求出函数的单调区间然后求解函数的极值， （）问题转化为 x （1+lnx）k （x1） 0 在（1， +） 上恒成立，令 h（x） x（1+lnx） k（x1） ，x1，再求导，利用导数求出函数的最值，即可求出 k 的值，需要分类讨 论 【解答】解： （）f（x）x（
32、1+lnx） ，x0， f（x）2+lnx， 当 0x时，f（x）0，函数单调递减，当 x时，f（x）0，函数单调递 增， 当 x时，取得极小值，极小值为 f（）（1+ln）无极大值 （）x（1，+） ，不等式 f（x）g（x）都成立， x（1+lnx）k（x1）在（1，+）上恒成立， 即 x（1+lnx）k（x1）0 在（1，+）上恒成立， 令 h（x）x（1+lnx）k（x1） ，x1， h（x）2k+lnx， 当 2k0 时，即 k2 时，h（x）0 在（1，+）上恒成立， h（x）在（1，+）上单调递增， h（x）h（1）2k+02k0， k2，此时整数 k 的最大值为 2， 当 k2
33、 时，令 h（x）0，解得 xek 2， 当 1xek 2 时，h（x）0，函数 h（x）单调递减，当 xek 2 时，h（x）0， 函数 h（x）单调递增， 第 18 页（共 20 页） h（x）minh（ek 2）ek2（k1）k（ek21）ek2+k， 由ek 2+k0， 令 （k）ek 2+k， （k）ek 2+10 在 k（2，+）上恒成立， （k）ek 2+k 在（2，+）上单调递减， 又 （4）e2+40，（3）e+30， 存在 k0（3，4）使得 （k0）0， 故此时整数 k 的最大值为 3 综上所述整数 k 的最大值 3 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数
34、的极值，构造法的应用， 考查转化思想以及计算能力 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上 把所选题目题号后的方框涂黑把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数：坐标系与参数 方程方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为， 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，若直线 l 与曲线 C 相切 （）求实数 r 的值； （） 在
35、圆 C 上取两点 M， N， 使得， 点 M， N 与直角坐标原点 O 构成OMN， 求OMN 面积的最大值 【分析】 （） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用求出 r 的值 （）利用圆的极坐标方程进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换 和正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解： （）直线 l 的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为 ， 若直线 l 与曲线 C 相切， 则圆心（）到直线的距离 d， 第 19 页（共 20 页） 解得 r2， （）由（）得圆的方程为 转换为极坐标方程为 设 M（1，） ，N
36、（） ， 所以42sin （2） +， 当时， 即最大值为 2+ 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，直线和园的位置关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 选修选修 4-5：不等式选讲不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+a|x1| （1）当 a2 时，f（x）b 有解，求实数 b 的取值范围； （2）若 f（x）|x2|的解集包含，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）当 a2 时，利用绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，由 f（x
37、）b 有 解，可知 bf（x）min； （2）由 f（x）|x2|的解集包含，2，化为 a|x1|33x 对 x，2恒成立，再 分x1 和 1x2 两种情况求出 a 的范围 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）|2x1|+2|x1|（2x1）2（x1）|1， 当且仅当（2x1） （2x2）0，即x1 时取等号， f（x）min1， f（x）b 有解，只需 bf（x）min1， b 的取值范围是1，+） ； （2）当 x，2时，2x10，x20， 第 20 页（共 20 页） f（x）|x2|的解集包含，2， a|x1|33x 对 x，2恒成立， 当x1 时，不等式化为 a（1x）33x，解得 a3； 当 1x2 时，不等式化为 a（x1）33x，解得 a3； 综上知，a 的取值范围是3，+） 【点评】本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题，也考查了转化思想和分类 讨论思想，是中档题