1、2020 年福建省泉州市高考数学二模试卷（文科）年福建省泉州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 A1，0，1，BxN|x2，则 AB（ ） Ax|1x2 B（0，1） C1 D0，1 2世界著名的数学杂志美国数学月刊于 1989 年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题题 中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如图）， 若在棋盘内随机取一点，则此点取自白色区域的概率为（ ） A B C D 3已知等比数列an各项均为正数，Sn为其前 n 项和若 S26a3，a21，则 a5（ ） A B C4 D8 4已知 A，B，C 为平面内不共线的
2、三点， ， ，则 （ ） A B C D 5已知 ， ，clog23，则（ ） Aacb Bcab Cbca Dabc 6已知函数 f（x）2sinx（0），f（x1）f（x2）1若|x1x2|的最小值为 ，则 （ ） A B1 C2 D4 7已知椭圆 ： 与抛物线 C：y 2ax（a0）有公共焦点 F，给出 A（5，3）及 C 上任意一点 P，当|PA|+|PF|最小时，P 到原点 O 的距离|PO|（ ） A B4 C D3 8某便利店统计了今年第一季度各个品类的销售收入占比和净利润占比，并将部分品类的 这两个数据制成如图统计图（注：销售收入占比 某品类商品销售收入 所有品类商品销售收入总
3、额，净利润占 比 某品类商品净利润 所有品类商品净利润总额， 净利润销售收入成本各类费用） ， 现给出下列判断： 该便利店第一季度至少有一种品类是亏损的； 该便利店第一季度的销售收入中“生鲜类”贡献最大； 该便利店第一季度“非生鲜食品类”的净利润一定高于“日用百货”的销售收入； 该便利店第一季度“生鲜类”的销售收入比“非生鲜食品类”的销售收入多 16.91% 则上述判断中正确的是（ ） A B C D 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图 是等边三角形，若该几何体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A9 B C10 D 10已知函
4、数 ， ， ， ， ， ， 现给出如图四个函数及其对应的图象，其中对 应的图象正确的是（ ） A B C D 11 已知双曲线 ： ， 的焦点F （c， 0） ， 直线l过点F， 斜率为 若l与 y轴交于点B， 并与E的渐近线交于第一象限的点P， 且 ， 则E的离心率是 （ ） A B C D3 12已知曲线 ： 和 ： ，若直线 l 与 C1，C2 都相切，且与 C2相切 于点 P，则 P 的横坐标为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置 13设复数 z ，则|z| 14设 x，y 满足约束条件 ， ，则 z2x+y 的
5、最大值为 15等差数列an的公差为 2，若 a42a2 a8，且 ，则 b3 ，数列bn的通项公式为 16如图 1，已知四面体 ABCD 的所有棱长都为 2 ，M，N 分别为线段 AB 和 CD 的中 点，直线 MN 垂直于水平地面，该四面体绕着直线 MN 旋转一圈得到的几何体如图 2 所 示，若图 2 所示的几何体的正视图恰为双曲线 E： 1（a0，b0）的一部分， 则E的方程 为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，
6、BC4， ，CAB2ACB （1）求 AB； （2）若点 D 在边 AB 上，且 ，求 CD 18如图，长方体中 ABCDA1B1C1D1中，DA2，DC2 ，DD 1 ，M，N 分别为棱 AB，BC 的中点 （1）证明：平面 D1MN平面 D1DM； （2）求点 D 到平面 D1DM 的距离 19FEV1（一秒用力呼气容积）是肺功能的一个重要指标为了研究某地区 1015 岁男孩 群体的 FEV1与身高的关系， 现从该地区 A、 B、 C 三个社区 1015 岁男孩中随机抽取 600 名进行 FEV1与身高数据的相关分析 （1）若 A、B、C 三个社区 1015 岁男孩人数比例为 1：3：2，
7、按分层抽样进行抽取， 请求出三个社区应抽取的男孩人数 （2）经过数据处理后，得到该地区 1015 岁男孩身高 x（cm）与 FEV1y（L）对应的 10 组数据（xi，yi）（i1，2，10），并作出如图散点图： 经计算得： ， ， 152， 2.464，（xi，yi） （i1，2，10）的相关系数 r0.987 请你利用所给公式与数据建立 y 关于 x 的线性回归方程，并估计身高 160cm 的男孩的 FEV1的预报值 y0 已知，若中回归模型误差的标准差为 s，则该地区身高 160cm 的男孩的 FEV1的实 际值落在（y03s，y0+3s）内的概率为 99.74%现已求得 s0.1，若该
8、地区有两个身高 160cm 的 12 岁男孩 M 和 N，分别测得 FEV1值为 2.8L 和 2.3L，请结合概率统计知识对两 个男孩的 FEV1指标作出一个合理的推断与建议 附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数 r ， 其回归方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 ， ， 20已知椭圆 E：mx2+y21 的焦点在 x 轴上，左右顶点分别是 C，D，以 E 上的弦 AB（A， B 异于 C，D）为直径作圆 M 恰好过 C，设直线 AC 的斜率为 k（k0） （1）若 ，且ABC 的面积为 ，求 E 的方程 （2）若 ，求 k 的取值范围 21已知函数 f（x）aexbx （1
9、）当 a1 时，求 f（x）的极值； （2）当 a1 时， ，求整数 b 的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（x1）2+y21（y0），如图将 C1分别绕原点 O 逆时针旋转 90，180，270得到曲线 C2，C3，C4以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 （1）分别写出曲线 C1，C2，C3，C4的极坐标方程； （2）设 ： ， 交 C1，C3于 A，C 两点，l： （R）交 C2， C4于 B，D 两点（其中 A，B，C，D
10、 均不与原点重合），若四边形 ABCD 的面积为 3， 求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|xa| （1）当 a2，解不等式 f（x）1； （2）求证：|xf（x）| 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知集合 A1，0，1，BxN|x2，则 AB（ ） Ax|1x2 B（0，1） C1 D0，1 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 A1，0，1， BxN|x20，1， AB0，1 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算
11、求解能力，是基础 题 2世界著名的数学杂志美国数学月刊于 1989 年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题题 中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如图）， 若在棋盘内随机取一点，则此点取自白色区域的概率为（ ） A B C D 【分析】方法一、直接数出正六边形共包含菱形个数，再数出白色菱形个数，由测度比 是面积比得答案； 方法二、该图可以看成一个立体图形（共有三种角度可以观察），三种菱形可看成从左 侧、右侧、上侧观察整个立体图形看到的小正方形面，它们的数目相等，由此可得所求 概率 解：方法一、直接数出正六边形共包含菱形 48 个，其中白色 16 个， 则在棋盘内随机取
12、一点，则此点取自白色区域的概率 P ， 故选：B； 方法二、该图可以看成一个立体图形（共有三种角度可以观察）， 即一个个小立方体在墙角堆起来的样子，墙角由一个正方体的三个面组成， 三种菱形可看成从左侧、右侧、上侧观察整个立体图形看到的小正方形面，它们的数目 相等， 都等于这三个墙面各自包含的小正方形个数，故所求概率为 故选：B 【点评】本题主要考查几何概型，考查数学文化，重点检测数学学科素养，是中档题 3已知等比数列an各项均为正数，Sn为其前 n 项和若 S26a3，a21，则 a5（ ） A B C4 D8 【分析】 设等比数列an的公比为 q0， 由 S26a3， a21， 可得 a1+
13、a1q6a1q2， 解得 q， 即可得出 解：设等比数列an的公比为 q0，S26a3，a21， a1+a1q6a1q2 ，解得 q ， a5a2q3 1 故选：A 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4已知 A，B，C 为平面内不共线的三点， ， ，则 （ ） A B C D 【分析】因为 ，所以 ，而 ，再结合平面的数乘和减法 运算即可得解 解：如图， ， ， ， 故选：B 【点评】本题考查平面向量的加法、减法、数乘及平面向量基本定理等基础知识，考查 学生数形结合思想和运算能力，属于基础题 5已知 ， ，clog23，则（ ） Aacb Bcab C
14、bca Dabc 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 解： ， 2 01， clog23log221， clog23log2（2 ） ， c3 2b3， abc 故选：D 【点评】 本题考查三个数的大小的判断， 考查指数函数、 对数函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 6已知函数 f（x）2sinx（0），f（x1）f（x2）1若|x1x2|的最小值为 ，则 （ ） A B1 C2 D4 【分析】由 f（x1）f（x2）1可得 2sinx12sinx21，sinx1sinx2 ， 解出根据已知|x1x2|的最小值为 ，即可得出 解：由 f（x1）f（x2）12sin
15、x12sinx21，sinx1sinx2 ， x1 2k 1，k1Z，x2 2k 2，k2Z， |x1x2| ，当 k1k2时，取得最小值 ，又|x 1x2|的最小值为 ， 2 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、转化方法、方程解法，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题 7已知椭圆 ： 与抛物线 C：y 2ax（a0）有公共焦点 F，给出 A（5，3）及 C 上任意一点 P，当|PA|+|PF|最小时，P 到原点 O 的距离|PO|（ ） A B4 C D3 【分析】求出椭圆的右焦点坐标，抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，结合图形，转 化求解即可的最小值即可 解：椭圆 ： 的右
16、焦点（1， 0） ，抛物线 C：y 2ax（a0）有公共焦点 F （ ， 0），由题意可得抛物线 C 的方程：y24x，由抛物线的定义可得：|PA|+|PF|PA|+|PP1| |AP1|，当且仅当 A，P，P1三点共线时，|PA|+|PF|最小，此时 P 的坐标（ ，3），此时 |OP| 故选：A 【点评】本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，考查学生的解题计算能力数学素 养 8某便利店统计了今年第一季度各个品类的销售收入占比和净利润占比，并将部分品类的 这两个数据制成如图统计图（注：销售收入占比 某品类商品销售收入 所有品类商品销售收入总额，净利润占 比 某品类商品净利润 所有品类商品净
17、利润总额， 净利润销售收入成本各类费用） ， 现给出下列判断： 该便利店第一季度至少有一种品类是亏损的； 该便利店第一季度的销售收入中“生鲜类”贡献最大； 该便利店第一季度“非生鲜食品类”的净利润一定高于“日用百货”的销售收入； 该便利店第一季度“生鲜类”的销售收入比“非生鲜食品类”的销售收入多 16.91% 则上述判断中正确的是（ ） A B C D 【分析】 先对图表中的数据进行理解和处理， 再结合数据进行简单的推理逐个检验即可 解：因为图中四个品类的净利润占比为 61.8%+29.5%+8.17%+2.12%1.01591，即剩下 的品类净利润占比为负数，说明该店至少还有一种品类是亏损的
18、，故正确； 因为图中销售收入 48.21%+31.3%+9.32%+3.00%91.83%，所以剩下的品类销售收入占 比不会超过 191.83%8.17%，因此，销售收入中，“生鲜类“占比一定最大，故正 确； 因为该店的总销售收入和总净利润收入未知，故该便利店第一季度“非生鲜食品类“的 净利润额与“日用百货“的销售收入额不可比较，故错误； 该便利店第一季度“生鲜类“的销售收入比“非生鲜食品类“的销售收入多 54%，故错误； 故选：A 【点评】本题考查命题的真假判断，以及对图表的理解和进行简单的合情推理，属于中 档题 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视
19、图 是等边三角形，若该几何体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A9 B C10 D 【分析】先将三视图还原为几何体，再补成直三棱柱，因此外接球的球心就是该三棱柱 的中心，然后结合正三角形中边角关系、勾股定理和球的表面积公式即可得解 解：如图，先还原几何体，并将其补形为如图所示的三棱柱，再求外接球的半径 其中 P 为棱柱的一个顶点，O 为棱柱的中心（也是球心），O1是底面正三角形的中心， 在 RtO1OP 中，OO11， ， 外接球的半径 ， 故球的表面积 故选：D 【点评】本题考查三视图的还原、球的表面积，采用补形法是解题的关键，考查学生的 空间立体感和运算能力，属于中档
20、题 10已知函数 ， ， ， ， ， ， 现给出如图四个函数及其对应的图象，其中对 应的图象正确的是（ ） A B C D 【分析】根据题意，由函数的解析式作出函数 f（x）的图象，结合函数图象变换的规律 分析所给 4 个函数的图象，综合即可得答案 解：根据题意，函数 ， ， ， ， ， ， ，其图象草图如图： 对于，yf（x1）的图象可以有 yf（x）的图象向右平移 1 个单位得到，正确； 对于，yf（1x）的图象与 yf（x）的图象关于点（ ，0）对称，错误； 对于，y|f（x）|，其图象可以由 f（x）的图象保留 x 轴上方不变，将 x 轴下方的图象 翻转到 x 轴上方得到，正确； 对于
21、，yf（|x|），其图象可以由 f（x）的图象只保留 y 轴右侧图象不变，作它关于 y 轴对称的图象得到，错误； 则正确； 故选：D 【点评】本题考查函数的图象变换以及分段函数的图象，注意作出函数 f（x）的草图， 属于基础题 11 已知双曲线 ： ， 的焦点F （c， 0） ， 直线l过点F， 斜率为 若l与 y轴交于点B， 并与E的渐近线交于第一象限的点P， 且 ， 则E的离心率是 （ ） A B C D3 【分析】先利用题设条件求得点 B 的坐标，再利用 ，求得点 P 的坐标，代入 渐近线方程即可求得离心率 解：直线 l 过点 F（c，0），斜率为 ， 所以 l 的方程为 y ，令 x0
22、，得 yb，所以 B（0，b），设 P（x，y）， ， （c，b） （x，yb），解得 P（ ， ）， 由于点 P 在渐近线 y 上， 所以 ， 解得：e 故选：B 【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的求法，属于基础题 12已知曲线 ： 和 ： ，若直线 l 与 C1，C2 都相切，且与 C2相切 于点 P，则 P 的横坐标为（ ） A B C D 【分析】易知，曲线 C1，C2关于（1，0）对称，所以公切线过点（1，0），然后再设切 点，求出任一曲线的切线，根据过点（1，0）求出切点坐标 解：在 C1上任取一点（x，y），则该点关于（1，0）对称的点为（2x，y）， 代入 C2的解析式得y
23、，化简得 yxe x，与 C 1相同， 故曲线 C1，C2关于（1，0）对称，l 是 C1，C2的切线，所以 l 必过（1，0） 设 P（x0，y0），令设 l 与 C1相切于 M（x1，y1）， 则 y1x1 ， ， 由 yxex得 y（x+1）ex，所以 l 的方程为 y（x1+1） ， 因此 ，所以 x1（x1+1）（x11）， 解得 或 （舍）， 所以 ， 故选：C 【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查学生的运算和逻辑推 理能力等，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置 13设复数 z ，则|z| 【分析
24、】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 解：z ， |z| 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 14设 x，y 满足约束条件 ， ，则 z2x+y 的最大值为 8 【分析】 作出不等式组对应的平面区域， 设 z2x+y， 利用数形结合即可得到 z 的最大值 解：作出 x，y 满足约束条件 ， 对应的平面区域，如图： 由 z2x+y 得 y2x+z，由 解得 A（2，4） 平移直线 y2x+z 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 A（2，4）时，直线 y2x+z 的截距最大 此时 z 最大，此时 z 的最大值为 z22+48， 故
25、答案为：8 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题 的关键 15等差数列an的公差为 2，若 a42a2 a8，且 ，则 b3 48 ，数列bn的通项公式为 bn ， ， 【分析】 等差数列an的公差为 2， a42a2 a8， 可得 （a1+2） （a1+72） ， 解得 a1 可得 an 由 ， 可得 n2 时， 2n， 可得 2 n+1 2n2n，可得：bnan 2 n+1进而得出结论 解：等差数列an的公差为 2，a42a2 a8， （a1+2）（a1+72），解 得 a12 an2+2（n1）2n ，n2 时， 2n， 2 n+1 2n2n，
26、可得：bnn 2 n+1 n1 时， 22，解得 b18 bn ， ， b332448， 故答案为：48，bn ， ， 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、方程解法，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 16如图 1，已知四面体 ABCD 的所有棱长都为 2 ，M，N 分别为线段 AB 和 CD 的中 点，直线 MN 垂直于水平地面，该四面体绕着直线 MN 旋转一圈得到的几何体如图 2 所 示，若图 2 所示的几何体的正视图恰为双曲线 E： 1（a0，b0）的一部分， 则E的方程为 x2y2 1 【分析】通过补形，将该四面体放入正方体中，得正方体的棱长为 2，对棱 AC，BD
27、 的 中点间的距离等于正方体的棱长 2，故双曲线的实轴长为 2，该双曲线过点 P（ ，1）， 进而得双曲线的方程 解：通过补形，将该四面体放入正方体中，使得四面体的棱恰好时正方体的面对角线， 易得正方体的棱长为 2，对棱 AC，BD 的中点间的距离等于正方体的棱长 2， 故双曲线的实轴长为 2，该双曲线过点 P（ ，1）， 则 ，故双曲线的方程为 x2y21 故答案为：x2y21 【点评】本题考查圆锥曲线轨迹在立体几何中的应用，属于中档题 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根
28、据要求作答（一）必考题：共 60 分 17在ABC 中，BC4， ，CAB2ACB （1）求 AB； （2）若点 D 在边 AB 上，且 ，求 CD 【分析】（1）由同角三角函数基本关系式可求 cosACB ，利用二倍角公式可求 sin CAB，由正弦定理可得 AB 的值 （2）利用二倍角公式可求 cosCAB，利用两角和的余弦函数公式可求 cosCBA 的值， 进而根据余弦定理可求 CD 的值 解：（1）由题意可知ACB 为锐角，sinACB ，可得 cosACB ， 所以 sinCABsin2ACB2sinACBcosACB2 ， 由正弦定理可得 AB 3 （2）cosCABcos2ACB
29、12sin2ACB ， 在ABC 中，cosCBAcos（ACB+CAB）cosACBcosCAB+sinACBsin CAB ， 在ABC 中，DB2，CD2BC2+BD22BC BD cosCBD ， 可得 CD 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形 中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18如图，长方体中 ABCDA1B1C1D1中，DA2，DC2 ，DD 1 ，M，N 分别为棱 AB，BC 的中点 （1）证明：平面 D1MN平面 D1DM； （2）求点 D 到平面 D1DM 的距离 【分析】（1）推导出DAMMBN，从而 MNDM，由
30、D1D平面 ABCD，得 D1D MN，由 MNDM，得 MN平面 D1DM，由此能证明平面 D1MN平面 D1DM （2） 设点 D 到平面 D1MN 的距离为 d， 由 ， 能求出点 D 到平面 D1DM 的距离 解：（1）证明：在DAM 和MBN 中，AD2，AM ，MB ，BN1， ，又DAMMBN90，DAMMBN， DMAMNB，DMA+NMBMNB+NMB90， MNDM， D1D平面 ABCD，MN平面 ABCD，D1DMN， MNDM，DNMNM，MN平面 D1DM， MN平面 D1DM，平面 D1MN平面 D1DM （2）解：设点 D 到平面 D1MN 的距离为 d， 由（
31、1）得 MN平面 D1DM，故 MND1M， 在 RtDAM 中， ， RtD1DM 中，D1M 3， ， DMMN， 解得 d 点 D 到平面 D1DM 的距离为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19FEV1（一秒用力呼气容积）是肺功能的一个重要指标为了研究某地区 1015 岁男孩 群体的 FEV1与身高的关系， 现从该地区 A、 B、 C 三个社区 1015 岁男孩中随机抽取 600 名进行 FEV1与身高数据的相关分析 （1）若 A、B、C 三个社区 1015 岁男孩人数比例为 1：
32、3：2，按分层抽样进行抽取， 请求出三个社区应抽取的男孩人数 （2）经过数据处理后，得到该地区 1015 岁男孩身高 x（cm）与 FEV1y（L）对应的 10 组数据（xi，yi）（i1，2，10），并作出如图散点图： 经计算得： ， ， 152， 2.464，（xi，yi） （i1，2，10）的相关系数 r0.987 请你利用所给公式与数据建立 y 关于 x 的线性回归方程，并估计身高 160cm 的男孩的 FEV1的预报值 y0 已知，若中回归模型误差的标准差为 s，则该地区身高 160cm 的男孩的 FEV1的实 际值落在（y03s，y0+3s）内的概率为 99.74%现已求得 s0.
33、1，若该地区有两个身高 160cm 的 12 岁男孩 M 和 N，分别测得 FEV1值为 2.8L 和 2.3L，请结合概率统计知识对两 个男孩的 FEV1指标作出一个合理的推断与建议 附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的相关系数 r ， 其回归方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 ， ， 【分析】（1）直接利用分层抽样所占的比例数相等求得 A、B、C 三个社区所抽取的人 数； （2）由公式及已知数据求得 与 的值，可得所求线性回归方程，取 x160 即可求得 身高 160cm 的男孩的 FEV1的预报值 y0 求出该地区身高 160cm 的男孩的 FEV1的实际值落在区间（2.54，
34、3.14）内的概率为 99.74%可知该地区身高 160cm 的男孩的 EFV1值不在这个区间内的概率极小，由 M 的 EFV1值落在这个区间内， 我们推断他的EFV1是正常的， N 的EFV1值低于该区间的下限， 我们推断他的 EFV1是不正常的，建议他去找一下不正常的原因 解：（1）A 社区抽取人数：600 人；B 社区抽取人数：600 人； C 社区抽取人数：600 人； （2）对比 与 r 的公式，可得 所求的线性回归方程为 当 x160 时，预报 y00.0471604.682.84； s0.1，y03s2.8430.12.54，y0+3s2.84+30.13.14 即该地区身高 1
35、60cm 的男孩的 FEV1的实际值落在区间 （2.54， 3.14） 内的概率为 99.74% 即该地区身高 160cm 的男孩的 EFV1值不在这个区间内的概率极小， 仅有 0.26%，M 的 EFV1值落在这个区间内，我们推断他的 EFV1是正常的， N 的 EFV1值低于该区间的下限，我们推断他的 EFV1是不正常的，建议他去找一下不正 常的原因 【点评】 本题考查分层抽样、 线性回归方程及相关系数等基础知识， 考查运算求解能力， 考查对数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模等素养的关注，是中档题 20已知椭圆 E：mx2+y21 的焦点在 x 轴上，左右顶点分别是 C，D，以 E 上
36、的弦 AB（A， B 异于 C，D）为直径作圆 M 恰好过 C，设直线 AC 的斜率为 k（k0） （1）若 ，且ABC 的面积为 ，求 E 的方程 （2）若 ，求 k 的取值范围 【分析】（1）由椭圆的解得在 x 轴上，可得 0m1，再由 AB（A，B 异于 C，D）为 直径作圆 M 恰好过 C 可得 ACBC，再由 ，可得 CMAB，这时可得三角形 ABC 为等腰直角三角形，即 AC 的斜率为 1，求出三角形 ABC 的面积，由题意可得 A 的 坐标，再由 AC 的斜率为 1 可得 m 的值，进而求出椭圆的方程； （2）若 ，可得|AC|2|BC|，设直线 AC 的方程与椭圆联立求出两根之
37、和及 两根之积，进而求出弦长|AC|的值，将 k 换成 可得弦长|BC|的值，由两者的关系求出 m 与 k 的关系，再由 m 的范围求出 k 的范围 解：（1）因为圆 M 过椭圆的左顶点 C，所以ACB90，MAMB， 又 0，所以 CMAB，所以三角形 ABC 为等腰直角三角形，可得 kAC1k， 且 C（ ，0）， 而三角形 ABC 由两个直角三角形拼接而成，而两个直角三角形恰好可以组成一个以 AM 为边长的正方形， 又SABC|AM|2yA2 ， 解得yA ， 代入椭圆的方程可得： mx 2 1， 解得x ， 因为 1，即 1，解得 m ， 所以椭圆的方程为： y 21； （2）由 ta
38、nCAB ，可得|AC|2|BC|，设直线 AC 的方程为：yk（x+a），a ， A（x1，y1），C（x2，y2）， 联立直线 AC 与椭圆的方程可得 整理可得（m+k2）x2+2k2ax+（k2a21） 0，可得 x1+x2 ，x1x2 ， 所以 |AC| ， 因为 ACBC，所以将 k 换成 ，可得|BC|2 2 ， 所 以 可 得 2 2 ， 整 理 可 得 2km+2k 3 mk2+1 ， 即 1， 即（k2+1）（2k1）（2k31）0，解得 【点评】本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合和以线段为直径的圆过一点的性 质，属于中档题 21已知函数 f（x）aexbx （1）当
39、a1 时，求 f（x）的极值； （2）当 a1 时， ，求整数 b 的最大值 【分析】 （1）将 a1 代入，求导，分 b0 及 b0 研究函数的单调性，进而求得极值； （2）问题转化为 ，令 ， ，显然 ， 再利用导数求得函数 g（x）的最小值，综合即可得出结论 解：（1）当 a1 时，f（x）exbx，f（x）exb， 当 b0 时，f（x）0，f（x）在 R 上为增函数，无极值； 当 b0 时，由 f（x）0 得，xlnb，由 f（x）0 得 xlnb， f（x）在（，lnb）上为减函数，在（lnb，+）上为增函数，故当 xlnb 时，f（x） 取极小值，f（lnb）bblnb； 综上，
40、当 b0 时，f（x）无极值，当 b0 时，f（x）有极小值 bblnb，无极大值； （2）当 a1 时， ，即 ， x0， 只需 ，令 ， ，则 ， 由 g （x） 得 ， 令 ， 则 ， F（x）在（0，+）上递增， 又 ， ， 根据零点存在性定理可知， 存在x0 （1， 2） ， 使得F （x0） 0， 即 ， 当 x（0，x0）时，F（x）0，即 g（x）0，g（x）为减函数， 当 x（x0，+）时，F（x）0，即 g（x）0，g（x）为增函数， ， 故 ， 又 在（1，2）上递增，故 ， 又 ， 整数 b 的最大值是 1 【点评】本题主要考查导数的综合运用，利用导数研究函数的单调性，
41、最值和零点等问 题，考查抽象概括，推理论证，运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化 归与转化思想，分类与整合思想，函数与方程思想，有限与无限思想以及特殊与一般思 想，体现综合性，应用性，属于中档题 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（x1）2+y21（y0），如图将 C1分别绕原点 O 逆时针旋转 90，180，270得到曲线 C2，C3，C4以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 （1）分别写出曲线 C1，C2，C3，C4的极坐标
42、方程； （2）设 ： ， 交 C1，C3于 A，C 两点，l： （R）交 C2， C4于 B，D 两点（其中 A，B，C，D 均不与原点重合），若四边形 ABCD 的面积为 3， 求 的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（1）将 代入 C1，得到 C1的极坐标方程为 ， 所以在 一致的情况下，点（，）旋转到点（，），且 ， 所以 所以 C2的极坐标方程为 点（，）旋转到点（，），且 +， 所以 2cos（2cos， 所以 C3的极坐标方程为 点（，）旋转
43、到点（，），且 ，所以 ， 所以 C4的在极坐标方程为 （2）将 代入 C1，得到|OA|A2cos， 将 代入 C2得到 由 于 ， 所以 ，解得 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 一、选择题 23已知函数 f（x）|x+1|xa| （1）当 a2，解不等式 f（x）1； （2）求证：|xf（x）| 【分析】（1）将 a2 代入，分 x1，1x2 及 x2 分别去绝对值解不等式，再 取并集即可； （2） 当x0时， 不等式显然成立； 当x0时， 所证不等式变形可得 ， 由绝对值不等式的性质可得|f（x）|a+1|，由基本不等式可得 ，由 此即可得证 解：（1）当 a2 时，不等式为 f（x）|x+1|x2|1， 当 x1 时，f（x）（x+1）+（x2）31，不合题意； 当1x2 时，f（x）（x+1）+（x2）2x11，解得 x1，故此时 1x2； 当 x2 时，f（x）（x+1）（x2）31，符合题意，故此时 x2； 综上，不等式的解集为1，+）； （2）当 x0 时，不等式显然成立；