1、21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点 1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1(钦州中考)若 x1，x 2 是一元二次方程 x210x160 的两个根，则 x1x 2 的值是(A)A10 B10 C16 D162(怀化中考)若 x1，x 2 是一元二次方程 x22x30 的两个根，则 x1x2 的值是(D)A2 B2 C4 D33(凉山中考)已知 x1，x 2 是一元二次方程 3x262x 的两根，则 x1x 1x2x 2 的值是(D)A B. C D.43 83 83 434(眉山中考)已知一元二次方程 x23x20 的两个实数根为 x1，x 2，则(x 1
2、1)(x 21) 的值是45已知 x1，x 2 是一元二次方程 x23x10 的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x1x 2；解：x 1x 23.(2)x1x2；解：x 1x21.(3)x x ；21 2解：x x (x 1x 2)22x 1x221 23 22(1)11.(4) ；1x1 1x2解： 3.1x1 1x2 x1 x2x1x2 3 1(5)(x1 1)(x21)；解：(x 11)(x 21)x 1x2(x 1x 2)11313.(6) .x2x1 x1x2解： x2x1 x1x211 111.知识点 2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6(雅安中考)已知 x1，x 2 是
3、一元二次方程 x22xk1 0 的两根，且 x1x23，则 k 的值为(B)A1 B2C3 D47(新疆中考)已知关于 x 的方程 x2xa0 的一个根为 2，则另一个根是(A)A3 B2 C3 D68已知关于 x 的方程 x2pxq0 的两根为3 和1，则 p，q 的值分别为 4，39已知关于 x 的一元二次方程 x2(4m1)x2m10.(1)求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为 x1，x 2，且满足 ，求 m 的值1x1 1x2 12解：(1)证明：a1，b4m1，c 2m1， (4m1) 24(2m1)16m 28m18m416m 25.16
4、m 20， 0.不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根(2)根据题意，得 x1x 2(4m1) ，x 1x22m 1， ，1x1 1x2 12 .x1 x2x1x2 12 ， （4m 1）2m 1 12m .12易错点 忽视隐含条件10若关于 x 的方程 x2(a1)x a 20 的两个根互为倒数，求 a 的值解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为 1由根与系数的关系，得 a21解得 a1当 a1 时，原方程化为 x210，根的判别式 0，此方程没有实数根，所以舍去a1所以 a102 中档题11(易错题) 下列一元二次方程两实数根和为4 的是(D)Ax 22x40 Bx 24x4
5、0Cx 24x100 Dx 24x5012(烟台中考)若 x1，x 2 是方程 x22mx m 2m10 的两个根，且 x1x 21x 1x2，则 m 的值为(D)A1 或 2 B1 或2C2 D113(达州中考)设 m，n 分别为一元二次方程 x22x2 0180 的两个实数根，则m23mn2_01614在解某个关于 x 的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为9，1；乙看错了常数项，得出的两个根为 8，2，则这个方程为 x210x9015已知实数 m，n 满足 3m26m50，3n 26n50，且 mn，则 nm mn 22516(十堰中考)已知关于 x 的方程 x2(2k1
6、)x k 210 有两个实数根 x1，x 2.(1)求实数 k 的取值范围；(2)若 x1，x 2 满足 x x 16x 1x2，求实数 k 的值21 2解：(1)关于 x 的方程 x2(2k 1)xk 210 有两个实数根 x1，x 2， (2k1) 24(k 21) 4k50，解得 k .54实数 k 的取值范围为 k .54(2)关于 x 的方程 x2(2k 1)xk 210 有两个实数根 x1，x 2，x 1x 212k，x 1x2k 21.x x (x 1x 2)22x 1x216x 1x2，21 2(12k) 22(k 21)16(k 21)，即 k24k120，解得 k2 或 k
7、6(不符合题意，舍去 )实数 k 的值为2.17已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k1)x 4k30.(1)求证：无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当 RtABC 的斜边长 a 为 ，且两条直角边的长 b 和 c 恰好是这个方程的两个根时，31求ABC 的周长解：(1)证明： (2k1) 24(4k 3)4k 212k13(2k 3) 24.(2k3) 20，(2k3) 240，即 0，无论 k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根(2)b，c 是方程 x2(2k1)x4k30 的两个根，bc2k1，bc 4k3.a 2b 2c 2，a ，31k 2k60.
8、k 13，k 22.b，c 均为正数，4k30.k3.此时原方程为 x27x90，bc7.ABC 的周长为 7 .3103 综合题18(换元思想)阅读材料：材料 1 若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根为 x1、x 2，则 x1x 2 ，x 1x2 .ba ca材料 2 已知实数 m、n 满足 m2m10，n 2n10，且 mn，求 的值nm mn解：由题知 m，n 是方程 x2 x10 的两个不相等的实数根，根据材料 1，得mn1，mn1. 3.nm mn m2 n2mn （m n）2 2mnmn 1 2 1根据上述材料解决下面的问题：(1)一元二次方程 x24x30 的两根为 x1
9、，x 2，则 x1 x24，x 1x23；(2)已知实数 m，n 满足 2m22m 10，2n 22n10 ，且 mn，求 m2nmn 2 的值；(3)已知实数 p，q 满足 p23p2，2q 23q1，且 p2q ，求 p24q 2 的值解：(2)m，n 满足 2m22m10，2n 22n10，m，n 可看作方程 2x22x 10 的两实数根mn1，mn .12m 2nmn 2mn(mn) 1 .12 12(3)设 t2q，代入 2q23q1 化简为 t23t 2，则 p 与 t(即 2q)为方程 x23x 20 的两实数根，p2q3，p2q2，p 24q 2(p2q) 22p2q 3 22( 2)13.