1、第六讲 变速行程问题 本讲知识点汇总： 一 普通变速问题的求解 1 分段比较 在变速点把前后的行程分开，这样一个变速过程被分成两个不变速过程 2 假设法比较 假设不变速，然后对假设前和假设后的运动过程之间的差别进行比较 3 方程 设未知数，以路程相同或者时间相同为等量关系列方程 二 带有往返的变速问题 1 熟记“甲乙异侧出发”与“甲乙同侧出发”这两类多次往返问题的特点： （1） 甲乙异侧出发：当路程和为 1、3、5、个全长时，两人迎面相遇； 当路程差为 1、3、5、个全长时，两人追上； （2） 甲乙同侧出发：当路程和为 2、4、6、个全长时，两人迎面相遇； 当路程差为 2、4、6、个全长时，两
2、人追上； （3） 注意“相遇”和“迎面相遇”的区别， “相遇”包括迎面相遇和背后追上 （4） 当在两端相遇时，既算迎面相遇也算背后追上 2 对次数比较少的迎面相遇或追上，注意进行估算何时会相遇； 3 对次数比较多的迎面相遇或追上，先计算周期，再看在一个周期内，两人会相遇 几次 三 环形路线中的变速问题，和前面类似，重点依然是估算和周期 例1 骑自行车从公主坟校区到望京校区，以每小时 10 千米的速度行进，下午 1 时到；以 每小时 15 千米的速度行进，上午 11 时到 （1）公主坟校区与望京校区的距离是多少千米？ （2）如果希望中午 12 时到，应以怎样的速度行进？ 分析分析 （1）可以利用
3、行程中的正反比例解题； （3）确定出发时间很重要 练习 1、小红帽去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比是 3:2:1已 知小红帽在三种路段上走的速度比为 3:4:5，且在平路上行走的时间是 10 分钟那么小 红帽去姥姥家路上一共花了多少分钟？ 例2 八戒和沙僧兄弟俩去巡山八戒先走 5 分钟，沙僧出发 25 分钟后追上了八戒如果 沙僧每分钟多走 500 米，那么出发 20 分钟后就可以追上八戒八戒每分钟走多少米？ 分析分析本题可以利用行程中的正反比例解题 练习 2、一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高 20%，可提前 25 分钟到达；若以原速 行驶半小时，再将车速提高 30 千米/小
4、时，可提前 30 分钟到达，甲乙两地的距离是多 少千米？ 例3 某人开汽车从 A 城到相距 200 千米的 B 城开始时，他以 56 千米/时的速度行驶，但 途中因汽车故障停车修理用去半小时 为了按原定计划准时到达， 他必须在后面的路程 中将速度增加 14 千米/时他修车的地方距 A 城多少千米？ 分析分析本题可以画出线段图，然后结合线段图进行分段比较解决问题 练习 3、叔叔开车回家，原计划按照 40 千米/时的速度行驶行驶到路程的一半时发现 之前的速度只有 30 千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少千米/时才能准 时到家？ 例4 喜羊羊乘飞船从地球村到火星村如果将速度提高五分之一，
5、就可比预定时间提前半 小时赶到；如果先按原速度行驶 720 万千米，再将速度提高三分之一，也可以比预定时 间提前半小时到请问地球村与火星村之间的路程是多少万千米？ 分析分析画出线段图，结合正反比例解题 练习 4、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶 1 个小时后，将车速 提高五分之一，就可比预定时间提前 20 分钟赶到；如果先按原速度行驶 72 千米，再将 车速提高三分之一，就可比预定时间提前 30 分钟赶到问：这支解放军部队一共需要 行多少千米？ 例5 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，在途中 C 点相遇如果甲的速度 增加 10%，乙每小时多走 300 米，也在
6、 C 点相遇；如果甲早出发 1 小时，乙每小时多 走 1000 米，则仍在 C 点相遇那么两人相遇时距 B 多少千米？ 分析分析画出线段图，结合正反比例解题，途中每次相遇均在 C 点这个条件很重要 例6 甲乙两人骑自行车同时从 A 地出发去 B 地，甲的车速是乙的车速的 1.2 倍乙骑了 4 千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的六分之一排除故障后，乙提高车 速 60%，结果甲乙同时到达 B 地那么 A、B 两地之间的距离是多少千米？ 分析分析这道题目可以采用列方程的办法解题 数学家欧几里得 亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：，约公元前 330 年前 275 年） ，古希 腊数学家，被称
7、为“几何之父” 他活跃于托勒密一世（公元前 323 年前 283 年）时期 的亚历山大里亚，他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，提出五大公设， 发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书欧几里得也写了一些关 于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人 最早的几何学兴起于公元前 7 世纪的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都 城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的 知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性大多数是 片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更 不要说对公式和定理进
8、行严格的逻辑论证和说明 因此， 随着社会经济的繁荣和发展， 特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理 化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成 为科学进步的大势所趋欧几里德通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系 统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势他下定决心，要在有生 之年完成这一工作为了完成这一重任，欧几里德不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边 的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但 文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集 以往的数学专著和手
9、稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的 理解，哪怕是尚肤浅的理解经过欧几里德忘我的劳动，终于在公元前 300 年结出丰 硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的几何原本一书这是一部传世之作，几 何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究 领域欧几里得几何学，简称欧氏几何 课 堂 内 外 作业 1 哼哼去奶奶家，途中要经过泥路、土路和水泥路各一段，路程比是 3:6:15已知哼哼在 三种路段上的行走的速度比为 2:3:5，且在土路上行走的时间是 20 分钟那么哼哼去奶 奶家路上一共花了多少分钟？ 2 （1）丽丽从家走到学校，如果速度提高五分之一，会早
10、5 分钟到，按原来的速度需要 多长时间到？ （2）丽丽从学校走到家，如果速度减少五分之一，会晚 6 分钟到，按原来的速度需要 多长时间到？ 3 （1）墨莫从金源走到海文，如果速度增加 5 米/秒，时间减少六分之一，原来的速度是 多少？ （2）墨莫从金源走到海文，如果速度减少 6 米/秒，时间增加六分之一，原来的速度是 多少？ 4 路三三开车回家，原计划按照 10 千米/时的速度行驶行驶到路程的一半时发现之前的 速度只有 5.5 千米/时， 那么在后一半路程中， 速度必须达到多少千米/时才能准时到家？ 5 喜羊羊乘飞船从地球村到火星村， 如果将车速提高五分之一， 就可比预定时间提前半小 时赶到；
11、如果先按原速度行驶 720 万千米，再将车速提高三分之一，也可比预定时间提 前半小时到那么地球村与火星村之间的路程是多少万千米？ 第六讲 变速行程问题 例7 答案：答案： （1）60（2）12 解答：解答： （1）速度之比是 10:15，即 2:3，所以时间之比是 3:2，所以 1 份时间是 2 小时，即以速度是 10 千米每小时会 6 小时到，即距离是 60 千米，且出发时间是上午 7 点； （2）60 除以 5 即可，所以，速 度是 12 千米/时 例8 答案：答案：10000 解答：解答： 第一种情况下时间之比是 30:25， 即 6:5， 所以速度之比是 5:6； 第二种情况下时间之比
12、是 25:20， 即 5:4，所以速度之比是 4:5八戒的速度没有改变，所以有 20:24 和 20:25，一份即 500 米，所以八 戒每分钟走 10000 例9 答案：答案：60 解答：解答：故障前后的速度比是 56:70，即 4:5，时间比是 5:4，时间相差半小时，即按原速的时间走完剩 下的路程需要 2.5 小时，所以路程是 140 千米，那么修车的地方距离 A 城 60 千米 例10 答案：答案：13806、94365 解答：解答：最小且数字不同，则前三位只能是 138，再根据 9 的整除特性，所以最小是 13806；最大且数 字不同，则前三位只能是 943，再根据 9 的整除特性，
13、所以最大是 94365 例11 答案：答案：648 例12 答案：答案：83 解答：解答： 这是一个首项为1， 公差为3的等差数列， 由题意知第1n 个数应为125的倍数， 即31 125nk ， 可知 k 取 2 时符合要求，此时 n 为 83 练习： 练习 1、答案：答案：30 简答：路程除以速度等于时间，所以时间之比是 2:3:1，平路是 3 份时间花了 15 分钟，所以一共要 30 分钟 练习 2、答案：答案：225 简答：简答：第一种情况下速度之比是 5:6，时间之比是 6:5，提前 25 分钟到，即原来所用的时间是 2.5 小 时；第二种情况下时间比是 2:1.5，即时间比是 4:
14、3，速度比是 3:4，此时车速提高了 30 千米每小时， 所以原来的速度是 90 千米每小时则路程是 225 千米 练习 3、答案：答案：60 简答：简答：根据：=总路程平均速度 总时间 ，结合设数法可得：设全程为 240 千米，后半程速度要达到 240120 120=60 4030 千米/时 练习 4、答案：答案：216 简答：本题解法类似例 4 作业 1. 答案：65 分钟 简答：时间之比是 3:4:6，所以时间是 65 分钟 2. 答案：30 分钟；24 分钟 简答： （1）速度比是 5:6，所以时间比是 6:5，时间是 30 分钟； （2）速度比是 5:4，所以时间比是 4:5，时间是
15、 24 分钟 3. 答案：25 米/秒；42 米/秒 简答： （1）时间比是 6:5，所以速度比是 5:6，时间是 25 米/秒； （2）速度比是 6:7，所以时间比是 7:6，时间是 42 米/秒 4. 答案：55 千米/小时 简答：设路程为 1，则一半路程就是二分之一，列方程可得答案是 55 5. 答案：2160 万千米 简答： 车速比是 5:6， 时间比是 6:5， 所以预定时间是 3 小时； 车速提高三分之一时， 速度比是 3:4， 时 间比是 4:3，所以按原速除了 720 千米的路程需要 2 小时，所以速度是 720 万千米每小时，所以地球村 和火星村之间的路程是 2160 万千米