1、第一讲 比赛中的推理 这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题这些问题有各种不同的形式：有分 析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的不同类 型的问题我们应该用不同的方法来处理 在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它来分析 比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了 练习 1 A、B、C、D、E 五所小学，每所小学派出 1 支足球队，共 5 支足球队进行友谊比赛不同学 校间只比赛 1 场，比赛进行了若干天后，A 校的队长发现另外 4 支球队赛过的场数依次为 4、 3、2、1问：这时候 A 校的足球队已赛过的
2、场数？ 编号为 1、2、3、4、5、6 的同学进行围棋比赛，每 2 个人都要赛 1 盘现在编号为 1、2、3、 4、5 的同学已经赛过的盘数和他们的编号一样，那么编号为 6 的同学赛了几盘？ 分析分析为了让问题更加直观，我们可以画出一个示意图，用 6 个点来表示这 6 个同学如 果两个同学之间比赛过，则把对应的两个点用实线连起来，如果没比赛过，则用虚线连起来 例题 1 练习 2 五个国家足球队 A、B、C、D、E 进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空已知第一 天比赛的是 A 与 D，C 轮空；第二天 A 与 B 比赛，E 轮空；第三天 A 与 E 比赛；第四天 A 与 C 比赛；B 与
3、C 的比赛在 B 与 D 的比赛之前进行那么 C 与 E 在哪一天比赛？ A、B、C、D、E、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场） ，每天同 时在 3 个场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对 D，第二天 C 对 E，第三天 D 对 F，第四天 B 对 C那么第五天与 A 队比赛的是那个队？ 分析分析题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用下面的表格来表示如图，第 二列从上到下依次表示 A 在 5 天中分别遇到的对手，第三列表示 B 在 5 天中遇到的对手，依 此类推观察表格，这个表格的每行有几个字母？每列有几个字母？每行、每列的字母有什 么特点？ 例题 2 A
4、B C D E F 1 D B 2 E C 3 F D 4 C B 5 练习 3 有 A、B、C、D 四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场比赛规定：胜 一场得 2 分，平局各得 1 分，负一场得 0 分全部比赛结束后，A、B 两队的总分 并列第一名，C 队第二名，D 队第三名，C 队最多得多少分？ 甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得 2 分，平局各 得 1 分，输者得 0 分请问： （1）一共有多少场比赛？（2）四个人最后得分的总和是多少？ （3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？ 分析分析 （1）每两人之间都比赛一场，
5、总比赛场数就是从四个人中挑出两人的方法数； （2） 比赛的胜负情况有很多种可能？那么总分也有很多种可能吗？大家考虑一下每场比赛，比赛 双方的得分之和就知道了； （3）乙、丙最后的分数一样，由于总分是固定的，这个相同的分 数既不能太大，也不能太小，那么会是多少呢？ 例题 3 A、B、C、D 四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C 三队的比赛情况如下： 场数 胜 平 负 进球 失球 A 3 2 1 0 2 0 B 2 1 1 0 4 3 C 2 0 0 2 3 6 D 问：D 赛了几场？D 所参与的各场比赛的比分分别是什么？ 分析分析 对于整个表格来说总进球数等于总失球数总胜场应当等于总
6、负场，平局数为偶数 场另外表格中的 A 很特别，两胜一平却只进两个球，这说明什么呢？ 例题 5 4 支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分， 平局各得 1 分比赛结果，各队的总得分恰好是 4 个连续的自然数问：输给第一名的队的 总分是多少？ 分析分析4 支球队之间一共比赛了多少场？所有比赛的总分最多是多少，最少是多少？你能由 此推断出各队的得分吗？ 例题 4 练习 4 甲、乙、丙、丁 4 个队举行足球单循环赛规定：每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，平局 各得 1 分已知： （1）比赛结束后 4 个队的得分都是奇数； （2）甲队总分超过其他各队
7、，名 列第一； （3）乙队恰有两场平局，并且其中一场是与丙队平局那么丁队得了多少分？ A、B、C、D、E 五位同学分别从不同的途径打听到五年级那位获得数学竞赛第一名的同学的 情况： A 打听到的：姓李，是女同学，13 岁，东城区； B 打听到的：姓张，是男同学，11 岁，海淀区； C 打听到的：姓陈，是女同学，13 岁，东城区； D 打听到的：姓黄，是男同学，11 岁，西城区； E 打听到的：姓张，是男同学，12 岁，东城区 实际上该同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名 的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？ 分析分析每个同学打听到的消息都只有一项正确，可谓相
8、当的少！5 420个判断，一共才 5 个正确的，其中关于姓氏、性别、年龄、地区的判断各有几项是正确的呢？ 例题 6 足球世界杯 世界杯（World Cup，FIFA World Cup） ，世界足球锦标赛是世界上最高荣誉、最高规格、 最高水平的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大顶级赛事，是影响力、转播覆盖率很高 的全球体育盛事世界杯是全球各个国家最梦寐以求的神圣荣耀， 哪一支国家足球队能得到 它，就是名正言顺的世界第一整个世界都会为之疯狂沸腾，世界杯上发挥出色的球员都会 被该国家奉为民族英雄永载史册，所以它亦代表了各个足球运动员的终极梦想世界杯每四 年举办一次，任何国际足联会员国（地区）都可
9、以派出代表队报名参加这项赛事 世界杯的奖杯为大力神杯， 它采用意大利人加扎尼亚的设计方案两个大力士双手举 起地球的设计方案 这个造形象征着世界第一运动的规模 该杯高 36.8 厘米， 重 6.175 公斤， 其中 4.97 公斤的主体由纯金铸造底座由两层孔雀石构成，珍贵无比1974 年第十届世界 杯赛，德国队作为冠军第一次领取了该杯国际足联规定新杯为流动奖品，不论哪个队获得 多少冠军，也不能永久占有此杯在大力神杯的底座下面有能容纳镌刻 17 个冠军队名字的 铭牌可以持续使用到 2038 年 世界杯 32 支队伍，在小组赛阶段进行的是单循环比赛，16 强阶段进行的是淘汰赛，积 分规则是 3 分制
10、 大力神杯大力神杯 课 堂 内 外 作业： 1. A、B、C、D 四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场已知 A、B、C 三队的成绩分别 是：A 队二胜一负，B 队二胜一平，C 队一胜二负那么 D 队的成绩是什么？ 2. 6 名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得 2 分，平局各得 1 分，输者得 0 分请问： （1）一共有多少场比赛？（2）6 个人最后得分的总和是多少？（3）得分最高的三 名同学的分数之和最多是多少？ 3. 六个人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，没有平局比 赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名那么第一名和第四名
11、各得了多少分？ 4. 足球甲 A 联赛共有 12 个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和 客场各比赛一场，胜一场得 3 分，平一场各得 1 分，负一场得 0 分，在联赛结束后按积分的高 低排出名次那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达多少分？ 5. A、B、C、D 四个足球队进行循环比赛，赛了若干场后，A、B、C 三队的比赛情况如下： 问：D 赛了几场？D 所参与的各场比赛的比分分别是什么？ 场数 胜 平 负 进球 失球 A 3 3 0 0 3 0 B 3 2 0 1 4 1 C 2 0 0 2 0 4 D 第一讲 比赛中的推理 例1 答案：答案：3 详解详解
12、：5 号已经赛过 5 盘，说明他和其他 5 个人都已经赛过了而 1 号只赛了一盘，所以 1 号这一 盘是同 5 号赛的，他同其他四个人都没有赛过，如图 1 所示再看 4 号，他赛过 4 盘，且同 1 号没 有赛过，所以 4 号赛过的同学是除 1 号以外的 4 个人而 2 号只赛过两盘，所以 2 号只同 5 号、4 号赛过，如图 2 所示3 号赛过 3 盘，而且他同 1 号、2 号没有赛过，那么同 3 号赛过的就是 4 号、 5 号和 6 号，如图 3 所示 于是我们知道同 6 号赛过的有 3 号、4 号和 5 号他赛了 3 盘 例2 答案：答案：B 详解详解： 如图 4， 列出表格后发现， 每
13、行、 每列各有 6 个字母， 而且同一行或列的 6 个字母互不相同， 只需用这一原则把表格补充完整即可 首先可以确定（2，D）处应填 A这是因为第 2 行已经有 E 和 C，第 4 列已经有 D、B 和 F，所以 这一个格不能填这些字母， 只能填 A 由于第二天 A 与 D 比赛， 那么对应地 （2， A） 处也应填 D 第 二天余下的一场就是 B 对 F，因而（2，B）处应填 F， （2，F）处应填 B 我们用类似的方法推理各行、列，最终把整个表格填出来，得到图 5于是，第五天与 A 比赛的球 队是 B 例3 答案：答案：6；12；3 详解详解： （1）6； （2）12； （3）3 （1）详
14、解：从四个人中选出两人，有 2 4 6C 种方法每两人之间比赛一场，那么一共就有 6 场比 赛； （2）详解：不论胜负还是平局，每场比赛两人得分之和都是 2 分一共 6 场比赛，所以四个人最 A B C D E F 1 D B 2 D F E A C B 3 F D 4 C B 5 图 4 A B C D E F 1 E D F B A C 2 D F E A C B 3 C E A F B D 4 F C B E D A 5 B A D C F E 图 5 6 号 1 号 2 号 3 号 5 号 4 号 图 1 6 号 1 号 2 号 3 号 5 号 4 号 图 2 6 号 1 号 2 号
15、3 号 5 号 4 号 图 3 后得分的总和就是2612分； （3）详解：四个人得分之和是 12 分，甲得分最高，丁得分最低，而乙、丙得分相同如果乙、丙 得分是 4 分，则甲得分超过 4 分，这三人的得分之和已经超过 12 分，与题意矛盾因此乙、丙得 分最多是 3 分如果乙、丙得分是 2 分，则丁最多得了 1 分，而甲至少得了122217 分但 是连胜 3 场也只能得 6 分，不可能达到 7 分，因此乙、丙得分至少是 3 分所以乙、丙得分就是 3 分 例4 答案：答案：4 详解详解：如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是 3 分；如果平局，双方得分之和就是 2 分4 支 球队之间要进行 2 4
16、 6C 场比赛，所以总分就要在 12 分和 18 分之间 由题意，四支球队的得分是 4 个连续的自然数而四个连续自然数的和可能是：01236 ， 123410，234514，345618， 在 12 分和 18 分之间的只有 14 和 18如 果是 3 分、4 分、5 分、6 分，总分是 18 分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的（大家 自己想想这是为什么） 所以四个连续的分数为 2 分、3 分、4 分、5 分 于是第一名得 5 分，只能是 1 胜 2 平；第二名得 4 分，只能是 1 胜 1 平 1 负；第三名得 3 分，可能 是 1 胜 2 负，也可能是 3 平；第四名得 2 分，
17、只能是 2 平 1 负其中只有第三名的比赛结果有两种 情况 综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有 2 胜 5 平 2 负由于总胜场数与总负场 数相同，所以第三名只能是 3 平容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图 6 所示因此输给了 第一名的只有第二名，他得了 4 分 例5 答案：答案：3，A:D=1:0，B:D=4:3，C:D=3:5 详解详解：首先 A 两场胜场均为 1 比 0 胜出，平局为 0 比 0，而且一定是 A 以 1 比 0 胜 C，同样以 1 比 0 胜 D，0 比 0 平 B，而 B 胜的那场胜场以 4:3 胜出，C 的负场以 3 比 5 败北，所以不能是 B
18、 胜 C， 那么一定是 B 胜 D，D 胜 C，所以，D 参加了 3 场比赛分别是 A:D=1:0，B:D=4:3，C:D=3:5 例6 答案：答案：海淀区，12 岁 详解详解：5420个判断，一共才 5 个正确的，可以推断出第一名同学的姓名、性别、年龄、城区， 分别有 1 项、2 项、1 项、1 项是正确的先来看性别，有 2 项正确，那么第一名是女同学；再来 看年龄，2 个人说是 13 岁，2 个人说是 11 岁，只有 1 个人说是 12 岁，由于只有 1 项消息正确，则 第一名是 12 岁；再看城区，3 人说东城区，1 人说海淀区，1 人说西城区，那么第一名在海淀区或 者西城区；类似地，可
19、以分析出第一名同学姓李，或姓陈，或姓黄综合考虑第一名同学的姓名与 城区，就很容易判断出唯一的答案：姓黄，是女同学，12 岁，海淀区 第一名 1 胜 2 平 第二名 1 胜 1 平 1 负 第三名 3 平 第四名 2 平 1 负 图 6 练习答案：练习答案： 练习 1 答案答案：赛 2 场 简简答答：连线，从胜得最多的和胜得最少的队伍入手分析 练习 2 答案：答案：第五天 简简答：答：列表分析，用*表示轮空，可得下图 练习 3 答案：答案：3 简答：简答：四人总得分是 12 分，其中 C 的分数肯定小于1234分，所以得分不多于 3 分四人分别 得 4 分、4 分、3 分、1 分是容易构造出来的
20、，所以 C 队得分最多就是 3 分 练习 4 答案：答案：3 简答：简答：先推断出各队得分分别为 7 分、5 分、3 分、1 分，然后分析胜负情况即可 A B C D E 1 D E * A B 2 B A D C * 3 E C B * A 4 C * A E D 5 * D E B C 图 1 作业： 6. 答案：一平二负简答：B 队有一平，只可能平 D，所以对 A、C 是二胜于是 A 的两胜是赢 了 C 和 D故 C 的一胜是胜 D，于是 D 的成绩是一平二负 7. 答案： （1）15； （2）30； （3）24简答： （1）； （2）； （3） 8. 答案：10；4简答：并列第五名的两
21、人至少要各赢 1 场，所以第四名至少要赢 2 场，并列第 二名至少要各赢 3 场， 第一名至少要赢 4 场， 而一共要进行 15 场比赛， 所以只能是第一名赢 5 场得 10 分，第四名赢 2 场得 4 分 9. 答案：46 简答：第一名要积分多，最好是要 22 场全胜，得 66 分剩下的 11 支球队还要比 赛（场） ，每场比赛两队合起来至少得 2 分，于是剩下 11 队总共至少得 220 分因 此得分最多的队伍至少有分，当这 11 队全平时，第二名只能得 20 分，因此分差 最大为 46 分 10. 答案：2；A 与 D 是 1:0、B 与 D 是 1:0 简答：由 A 全胜，且进球数为 3，可知 A 与其他三队的比分都是 1:0B 赛了三场，且两胜一 负，所以 B 胜 C，而 C 只比了两场，进球数为 0，所以 B 与 C 的比分是 3:0；而 B 与 D 只能是 1:0 2201120 2 11 2110C 1 2232414 303224 15230 2 6 15C