1、第六讲 取整问题 第一格：阿呆一手拿着剪刀，一手挠着头看着地上的绳子，心想： “我要把绳子截成一米长 的小段，应该怎么截呢？”地上有一根绳子，标明这根绳子长五米 第二格：阿呆蹲在地上，拿着剪刀的手已经剪在了这根绳子的中点处 第三格：阿呆疑惑的想： “现在还能截出多少个一米长的小段？” 教学目标 1 了解取整符号的概念和性质； 2 了解带有取整符号类的数列的变化区间； 3 学会求取整数列的值； 4 学会求解关于取整符号的方程； 知识点概述 一 基本概念：表示不大于 x 的最大整数，通常叫做 x 的整数部分， ，通常叫做 x 的小数部分或真分数部分； 如， 二 基本性质： 1. ， ，； 2. ，
2、 (x、y 均为整数是等号才成立) 3. 若是整数，则 三 关于取整符号的方程 1. 有关 x、的方程，通常都要先把 x 拆成 ，然后利用是整数以 及有范围的特点求解 2. 一些复杂的 x、 的方程，有时候用换元的方法来化简求值，例如方程： ，因为，然后令，即有（其 中）， 于 是 方 程 变 为， 把y拆 开 ， 有 ， 所 以， 容 易 算 出 此 时 ，所以 5 53 y x 11 88 33 yyy 2315yy 5103153315yyyy 3 23 5 y y 5 y x 522xy5xy 5252xx 5233xx x x x x xx x x 1 nxy xy nxy 若 、
3、均为整数 若 、 均不是整数 xyn 02xy 01x 2xyxyxy 01x 1xxx 1xxx 3.140.143.143 xxx x 例1 （1）3.12.54.750.8_； （2） 42_； 分析分析问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉，容易知道 的值为 3 练习 1、_ 例2 （1） 20132011 2012 _； （2） 3535 372378.758.75 3636 _ 分析分析如何用凑整的方法把这些取整符号中的分数化成带分数 练习 2、 （1）103.6_； （2） 20132011 2012 _ 例3 已知 1x ， 2y ， 3z ，求：23xyz的所有可能值 分析分
4、析先算出 x、y、z 的取值范围，然后再根据取值范围的取法确定可能值 练习 3、已知 1x ， 2y ， 3z ，求：xyz的所有可能值 例4 13 113213 8213 83 21212121 _ 分析分析 看到这道题， 大家会想， 要是没有取整符号就好了， 剩下的就是一个等差数列， 我们可以用配对的想法来求和而现在取整符号确实存在，有了取整符号之后，各项就 不构成等差数列了，那我们要怎么办呢？配对的想法在这里还用得上吗？ 练习 4、 5 1525 95 10 11111111 的和是_ 102 例5 解方程： （1） 234xxx； （2） 201320122011xx 分析分析先把 x
5、 拆成，然后利用 是整数以及有范围的特点求解 例6 解方程： 2130.5xx 分析分析先把21x 设为 y，采用换元法 x x xx 彗 星 彗星（Comet） ，中文俗称“扫把星” ，是太阳系中小天体之一类由冰冻物质和尘埃组 成当它靠近太阳时即为可见太阳的热使彗星物质蒸发，在冰核周围形成朦胧的彗发和一 条稀薄物质流构成的彗尾由于太阳风的压力，彗尾总是指向背离太阳的方向 彗星是星际间物质， 英文是 Comet， 是由希腊文演变而来的， 意思是 “尾巴” 或 “毛发” ， 也有“长发星”的含义而中文的“彗”字，则是“扫帚”的意思在天文略论这本书 中写道：彗星为怪异之星，有首有尾 历史上第一个被
6、观测到相继出现的同一天体是哈雷彗星，牛顿的朋友和捐助人哈雷 （1656 一 1742 年）在 1705 年认识到它是周期性的它的周期是 76 年历史记录表明自从 公元前 240 年也可能自公元前 466 年来， 它每次通过太阳时都被观测到了 它最近一次是在 1986 年通过的离太阳很远时彗星的亮度很低，而且它的光谱单纯是反射阳光的光谱当 彗星进入离太阳 8 个天文单位以内时，它的亮度开始迅速增长并且光谱急剧地变化科学家 看到若干属于已知分子的明亮谱线发生这种变化是因为组成彗星的固体物质（彗核）突然 变热到足以蒸发并以叫做彗发的气体云包围彗核 太阳的紫外光引起这种气体发光彗发的 直径通常约为 1
7、05 千米，但彗尾常常很长，达 108 千米或 1 天文单位 科学家估计一般接近太阳距离只有几个天文单位的彗星将在几千年内瓦解公元 1066 年，诺曼人入侵英国前夕，正逢哈雷彗星回归当时，人们怀有复杂的心情，注视着夜空中 这颗拖着长尾巴的古怪天体，认为是上帝给予的一种战争警告和预示后来，诺曼人征服了 英国， 诺曼统帅的妻子把当时哈雷彗星回归的景象绣在一块挂毯上以示纪念中国民间把彗 星贬称为“扫帚星” 、 “灾星” 像这种把彗星的出现和人间的战争、饥荒、洪水、瘟疫等灾 难联系在一起的事情，在中外历史上有很多彗星是在扁长轨道(极少数在近圆轨道)上绕太 阳运行的一种质量较小的云雾状小天体 课 堂 内
8、 外 作业 1. 计算： （1） ； （2） 2. 已知， ，求： （1）的所有可能值是多少； （2）的所有可能值是多少？ 3. 求 的运算结果是多少？ 4. 解方程： 5. 解方程： 247xx 4643xx 3 1323 32 111111 3xyz xyz 0z 2y 1x 26 2.11.52.753.8 第六讲 取整问题 例题：例题： 例7 答案： （1）14.8； （2）72 详解： （1）3.12.54.750.830.540.814.8； （2） 4212 6=72 例8 答案：2011； 17 4218 详解： （1） 2012120112013 20112012201120
9、11 2011 201220122012 ； （2） 353517 361236140.7542 363618 原式 例9 答案：4、5、6、7、8、9 详解：12x，23y，34z， 那么，426y，9312z，42310xyz， 所以23xyz的可能值有 4、5、6、7、8、9 例10 答案：2118 详解：我们先把首末两项配对，得到下面这个算式 13 113 8313 113 8313 113 8313 113 83 5251 2121212121212121 该算式左侧为整数，因此右侧也得是整数，也就是说 13 113 83 2121 得是整数， 而这部分一定大于 0 小于 2，所以必
10、定是 1由此可得上面这个算式的计算结果必为 52151 同理可得： 13 213 8213 213 8213 213 8213 213 82 5251 2121212121212121 13 313 8113 313 8113 313 8113 313 81 5251 2121212121212121 13 4113 4313 4113 4313 4113 4313 4113 43 5251 2121212121212121 由此将算式首末配对，每一对的和都是 51，这里面还有一些特殊的情况： 132113 63 133952 2121 ； 1342 2626 21 ，除上述两组外其余共有 4
11、0 对 51，总和为405152262118 例11 答案： （1）0、1.4、2.8； （2） 1 11006 详解：将 x 替换为x+x ，然后先对x进行估算再确定x的值 例12 答案： 3 2 、 7 6 、 5 6 详解：设：21yx，则 1 2 y x ，原式变形为 234yy，解得 y 为 4、 1 3 3 、 2 2 3 ， 于是 x 的值是 3 2 、 7 6 、 5 6 练习练习： 1. 答案：36 简答： 3， 3，讲这两个算式代入计算即可： 10233336 2. 答案：35； 2011 2012 简答：略 3. 答案：6、7、8 简答：略 4. 答案：20 简答： 5 1525 95 10 11111111 5 15 10525 95 556 111111111111 255 20 作业作业： 6. 答案： （1）5.8； （2） 1 3 简答：略 7. 答案： （1）2、3 或 4； （2）0、1、2、3、4 简答：略 8. 答案：129 简答：略 9. 答案：11.5 简答： 44643xxx， 则有 4432xx， 得 11x ， 1 2 x ， 答案是 11.5 10. 答案：3.5 或 3.25 简答：原式可化为247xx，令2xy有 27yy，将 yyy代入有 27yy，再解方程可得7y 或6.5y ，所以 3.5x 或3.25x