1、第八讲 复杂直线型计算 我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、 角度以及面积的计算， 并学习了 直线形中的各种比例关系下面我们就对这些知识作一下总结 本讲知识点汇总： 我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、 角度以及面积的计算， 并学习了 直线形中的各种比例关系下面我们就对这些知识作一下总结 一、角度问题 1. n边形的内角和是1802n； 2. n边形的外角和是 360 二、基本直线形的面积计算： 三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略） 三、直线形中的比例关系 1. 等高三角形：等高三角形：面积比等于底的比 2. 共角三角形：共角三角形：面积比等于共角夹边
2、比的乘积如右图所示，阴影三角形 与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的 1 3 ，右侧边占大三角形 右侧边的 1 2 ，那么它的面积就是大三角形的 111 236 3. 沙漏三角中的比例关系：沙漏三角中的比例关系：如下图所示，上下两个三角形底边平行，另两边呈交叉关 系，则有比例关系 ace bdf 成立 4. 长方形中的比例关系：长方形中的比例关系： （1） 共边长方形的面积比等于另一组边的比 如右图所示， 1 2 Sa Sb a b c d e f a b c d e f a b c d e f 12 :SSa b b a S2 S1 a b S2 S1 a b S2 S1 S1
3、 a S2 b 1 3 1 2 1 S 2 S a b （2） 如右图所示，长方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四， 则有面积比例： 31 24 SSa SSb 将其写成交叉相乘的形式可得 1423 SSSS 5. 一般四边形中的比例关系：一般四边形中的比例关系： （1） 如右图所示，当四边形被对角线分为四个部分的时候，这四块的面 积有 31 24 SS SS 的比例关系成立 （2） 如右图所示，连接四边形的一条对角线 CD，并在 CD 上取一点 O，连 接 OA 和 OB， 将四边形分为四部分 这四部分的面积仍然有比例关系 31 24 SS SS 成 立 上述两个比例关系还可以通过交叉相
4、乘，写成 1423 SSSS的形式 6. 金字塔模型：金字塔模型： 右图三角形中添加一条与底边平行的平行线，就是 金字塔模型金字塔模型的比例关系如右图： 11 22 ab ab 和 111 12122 abc aabbc 7. 燕尾三角形：燕尾三角形： 上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关 系，如下左图所示，ABC 被线段 AD 一分为二，且有比例关系 12 :SSa b 如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有 4 个小三角形，这 4 个小三角形的面 积之间的比例关系如图中所示 面积之间的比例关系如图中所示 1 S 2 S 3 S 4 S a b S1 S2 S3 S4 S3 S4
5、S1 S2 a b S1 S2 A B C D 1 2 Sa Sb 外比： 31 24 SSBD SSCD B S1 S2 S3 S4 C A D O 内比： 12 34 SSAO SSOD a1 b1 c1 a2 b2 c2 11 22 ab ab 111 12122 abc aabbc 金字塔模型 例1 A、B 是两个大小完全一样的长方形，已知这个长方形的长比宽长 8 厘米，图中的字 母表示相应部分的长度则 A、B 中阴影部分的周长之差是多少厘米？ 分析分析根据图中标出的字母，你能用字母 a、b 分别表示出长方形的长和宽以及两图 中阴影部分的周长之差吗？ 练习 1、下图中，大正六边形内部有
6、 7 个完全一样的小正六边形如果阴影部分的周长 是 l20(阴影部分周长由内、外两部分组成)，那么大正六边形的周长是多少？ 例2 如图，ABCDE 是正五边形，CDF 是正三角形，那么BFE 等于多少度？ 分析分析 正五边形的每个内角是多少度？等边三角形每个内角又是多少度？由此如何求 出BFE 的度数？ A C D E F B b b b b B a a a b b b b A 练习 2、如下图，已知 ABCDEF 是正六边形，ABIJK 是正五边形，ABGH 是正方形，图 中AFK、AHK 哪个大，它们的差是多少度？ 例3 如图，四边形 ABCD 与四边形 CNMP 都是平行四边形，若三角形
7、 DFP 与三角形 AEF 的面积分别是 21 和 43，则三角形 BNE 的面积为多少？ 分析分析 两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件， 那么如何使用平行线作为 我们的解题突破口呢？ 练习 3、图中的长方形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面 积是多少？ 11 23 14 27 A P D B N C M E F A D C B F E G H K J I 例4 已知四边形 ABCD 是平行四边形， 三角形 AEF 的面积为 4， 三角形 CDE 的面积为 9， 那么平行四边形的面积等于多少？ 分析分析这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出 练习 4
8、、 图中的梯形被分成四小块， 其中两块的面积已经标出， 那么梯形的面积是多少？ 例5 如图，大长方形被分为四个小长方形，面积分别为 12、24、35、49那么图中阴影图 形的面积为多少？ 分析分析 图中的阴影三角形是包含在长方形中的 如何利用三角形与长方形的面积比来 求阴影部分呢？ 12 24 49 35 E G F A C B H D I J A B C D O 4 16 A B C D F E 例6 如图所示，ABCD 是一个长方形，点 E 在 CD 延长线上已知 AB5，BC12，三角形 AFE 的面积等于 15，那么三角形 CFE 的面积等于多少？ 分析分析 在这道题中你首先能求出哪些
9、部分的面积请先求出， 然后再根据这些面积的关 系去寻找图中的线段长度关系 A B C D E F 几何原本几何原本 几何原本 （希腊语：）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共 13 卷这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于圣经而流传最广的书籍这本书是世 界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作在原 本里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，把 人们公认的一些事实列成定义和公理，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质， 从而 建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻 辑体系几何学
10、而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作 几何原本集整个古希腊数学的成果和精神于一书既是数学巨著，又是哲学巨著， 并且第一次完成了人类对空间的认识除圣经之外，没有任何其他著作，其研究、使用 和传播之广泛，能够与几何原本相比 几何原本大约成书与公元前 300 年，原书早已失传，如今见到的几何原本是经 过后来的数学家们修改过的，而且有的包含 13 卷，有的包含 15 卷，书中大部分内容有关图 形的知识（即几何知识） 1582 年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了 15 卷本的原本 1600 年，明代数学 家徐光启（1562- 1633）与利玛窦相识后，便经常来往1607 年，他们把该书的前 6 卷平面
11、 几何部分合译成中文，并改名为几何原本 后 9 卷是 1857 年由我国清代数学家李善兰 （1811-1882）和英国人伟烈亚历译完的 几何原本最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要 内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理） 几何原本第一卷列有 23 个定义，5 条公理，5 条公设 （其中最后一条公设就是著名的平行公设，这些定义、公理、公设就是 几何原本 全书的基础 全书以这些定义、 公理、 公设为依据逻辑地展开他的各个部分的 比 如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证都要根据前面的定义、公理、定 理进行逻辑推理给予仔细证明 欧几里得的 几何原本 是
12、中学生学习数学基础知识的好教材 它巳成为培养、 提高青、 少年逻辑思维能力的好教材历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了 伟大的贡献两千多年来， 几何原本一直是学习几何的主要教材哥白尼、伽利略、笛 卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过几何原本 ，从中吸取了丰富的营养，从而作出 了许多伟大的成就 课 堂 内 外 作业 1. 如图， 它是由若干块面积为 12 平方厘米的小长方形砖和 3 块白色小 正方形砖砌起来的一面墙，问这块墙的面积是多少？ 2. 如图，将一个正方形的左上角和左下角折起来，并且交于 A 点，求 1 等于多少度？ 3. 如图，ABCD 是一个长方形，E 为 CD 边
13、的一个三等分点，如果图 中阴影部分面积为 1，求长方形 ABCD 的面积 4. 如图，面积为 4 的正方形 ABCD 中，E、F 是 DC 边上的三等分点，求阴 影部分的面积 5. 如图，三角形 ABC 的面积是 1，D、E、F 分别是相应边的三等分点，三角 形 ADO 的面积是多少？ A C B D E F O A B C D E 1 A B D C E 1 O D C B A F E O 第八讲 复杂直线型计算 例题：例题： 例7 答案：答案：16 厘米 详解详解： 长方形的长为2ab， 宽为ab 再根据长比宽多 8 厘米， 就能求出8b 厘米 长 方形 A 中， 阴影部分的周长为6424
14、babab 长方形 B 中， 阴影部分有 6 条边， 它的周长其实就等于大长方形的周长，等于2246ababab两者相差 22816b 厘米 例8 答案：答案：168 详解详解：因为CDF 是正三角形，所以60CFDFCD 正五边形的内角和是 521803 180540 ，每个内角是5405108因此 1086048BCFBCF 是等腰三角形，所以 18048266BFC ， 同理DFE也等于66因此看得到 360360666066168BFEBFCCFDDFE 例9 答案：答案：22 详解详解：如图连接 AM，因为 PMAD，所以由蝴蝶模型可知三角形 DFP 与三角形 AFM 面积相等；同样
15、道理三角形 BEN 与三角形 AEM 面积相等，所以三角形 BEN 面积=43 21=22 例10 答案：答案：30 详解详解：三角形 AFE 与三角形 DCE 构成沙漏模型，而已知面积比为 4:9，所以对应边长 比为 EF:EC=2:3，因此 FE:FC=2:5三角形 AFE 又与三角形 BFC 构成金字塔模型，所 以三角形 AFE 与三角形 BFC 的面积比为 4:25，因此三角形 BFC 的面积为 25，所以四 边形 ABCE 的面积为 254=21，因此平行四边形的面积为 21+9=30 例11 答案：答案：15 A P D B N C M E F 详 解详 解 ：:12:241:2G
16、E EH ， 所 以 1 3 G EG H:49:357:5GF FH ， 所 以 5 12 FHGH由此可得， 151 1 3124 EF GH 而 11 28 ACDJ SEF SGH 阴影 ，因此阴影部分 的面积等于 11 1224493515 88 ACDJ S 例12 答案：答案：30 详 解详 解 ： 三 角 形 ABF 与 三 角 形 DEF 构 成 沙 漏 模 型 ， 所 以 A BA F D EF D ， 即 21 53 0A BF DD EA F，所以306FDAB，又因为 AD=12，所以 AF=6， 因此2 155DEAF所以三角形 CFE 的面积=()230CDDEF
17、D 练习：练习： 1. 答案：90 简答：阴影部分的外周长与大正六边形相同，而阴影部分的外周长等于内周长的 3 倍， 因此阴影部分外周长等于总周长的 3 4 ，即 3 12090 4 2. 答案：答案：3 简答：简答：四边形内角等于 90，五边形内角等于 108，六边形内角等于 120，所以 1089018KAH ，12010812KAF AFK 与AHK 都是等腰三角形， 因此18018281AHK ， 18012284AFK ，两者相差3 3. 答案：答案：25 简答：简答：如图作辅助线构造蝴蝶模型即可 4. 答案：答案：36 简答：简答：三角形 AOD 与三角形 BOC 构成沙漏模型，而
18、已知面积比为 4:16=1:4，所以对应 边长比为OD:OB=1:2， 因此三角形 AOD 与三角形 BOA 的面积比为 1:2， 所以三角形BOA 的面积为8 由蝴蝶模型可知三角形COD的面积也是8， 所以梯形的面积是4+16+8+8=36 11 23 14 27 11 12 12 14 13 13 作业：作业： 1. 答案：270 简答：设小长方形的长为 x，宽为 y从水平方向的线段可以看出533xxy，因此 23xy所以小长方形的长宽比为 3:2，而相应小正方形的边长就是321份由此 可得小长方形的面积是白色小正方形的326倍，即1262接着把小长方形与小 正方形的面积相加即可得到答案
19、2. 答案：75 简答： 如右图， 添加一个点 F ADE 是正三角形， 所以， 因此，由于AFE 是由BFE 折叠而来的， 因 此 两 个 三 角 形 完 全 相 同 ， 都 是 直 角 三 角 形 ， 而 且 因此 3. 答案：24 简答：由，得：，又由， 得，所以整个长方形的面积为 24 4. 答案：1 简答：不妨设由 EF 与 AB 平行，得 所以， 16 ABFE Sa 四边形 又，所以，阴影部分面积为 5. 答案： 简答：AD:AB=1:3 由金字塔模型可知在三角形 ADO 与三角形 EFO 中 由 沙漏 模型 可知 DO:OE=AD:EF ，而 由金 字塔 模 型可 知 EF:A
20、B=2:3， 所 以 DO:OE=AD:EF=1:2，因此，因此三角形 ADO 的面积为 1 27 :1:3 ADOADE SS :1:9 ADEABC SS 1 27 6 =1a 8 16 = 3 a 28 = 33 ADEBCFABFEABCDABCD SSSSS 四边形四边形四边形 9 AOB Sa 3 EOAFOB SSa :1:3OE OBOF OAEF AB = OEF Sa 3=12 DACACE SS 3CDCE=4 ACE S=3=3 OAEOCE SS :1:3CO OAEC AB 19075FEA 1 15 2 FEAFEBBEA =906030BEA 60AED F A B C D E 1