1、第九讲 几何综合问题 这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的这种问题往往需要 我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲比如 已知一个面积为 2 的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积把边长具体 数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的而且事实上也是 没必要的，我们可以把面积为 2 的正方形边长设为a，它的两倍为2a，则 2 2a ，以2a为边长的正方形面积为 2 2244 28aaa 我们再来看 几个用类似想法解决的问题 本讲知识点汇总： 一、 巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积 1. 圆与直角三角形中利用勾股定理 2. 同 底 三 角
2、形 利 用 “2公共底 高的和” 求 面 积 和 ， “2公共底 高的差”求面积差 3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面 积之间的和差关系 二、 辅助线与几何变换 1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析 2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解 三、 图形运动 能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的 边界，并求解相关的长度和面积 例1 如图，阴影部分的面积是 25 平方厘米，求圆环的面积 （取 3.14） 分析分析 阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形， 而圆环等于大圆减去 小圆那么阴影部分面积与圆环面积之
3、间有什么联系呢？ 练习 1、下图中阴影部分的面积是 40 平方厘米，求圆环的面积 （取 3.14） O O B D C A 例2 如图，在长方形 ABCD 中，30AB 厘米，40BC 厘米，P 为 BC 上一点，PQ 垂直 于 AC，PR 垂直于 BD求 PQ 与 PR 的长度之和 分析分析如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让 P 取特殊点，例如取成 B 点，所求的长度之和就是 B 点到 AC 边的距离但 PQ 与 PR 的长度之和是否是一个固 定的值呢？ 练习 2、如图， 在面积为 72 的正方形中， P 为 CD 边上一点， PQ 与 BD 垂直， PR 与 AC 垂直求 PQ
4、 与 PR 的和 例3 如图，P 为长方形 ABCD 内的一点三角形 PAB 的面积为 5，三角形 PBC 的面积为 13请问：三角形 PBD 的面积是多少？ 分析分析直接用面积公式或者比例关系来求三角形 PBD 面积，显然不可行那么还有 什么方法可以用来求三角形 PBD 面积呢？ B C A P D AB D C P Q R O C A Q B D P R O 练习 3、如图，P 为长方形 ABCD 外的一点三角形 PAB 的面积为 7，三角形 PBC 的面积为 20，三角形 PCD 的面积为 4请问：三角形 PAD 的面积是多 少？三角形 PAC 的面积又是多少？ 中国古代的几何学 形的研
5、究属于几何学的范畴 古代民族都具有形的简单概念， 并往往以图画来表示， 而图形之所以成为数学对象， 便是由工具的制作与测量的要求所促成的 规矩以作圆方， 中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具 史记 “夏本纪”记载说：夏 禹治水， “左规矩，右准绳” “规”是圆规， “矩”是直角尺， “准绳”则是确定铅垂方 向的器械这些都说明了早期几何学的应用从战国时代的著作考工记中也可以看 到与手工业制作有关的实用几何知识 战国时期墨子所写的墨经中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学 的定义 周髀算经与刘徽的海岛算经则给出了用矩观测天地的一般方法与具体 公式在九章算术及刘徽注解的九章算术中
6、，除勾股定理外，还提出了若干一 般原理以解决多种问题 例如求任意多边形面积的出入相补原理； 求多面体体积的刘徽 原理；5 世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的 原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等 P A B C D 例4 如图，一个六边形的 6 个内角都是 120，其连续四边的长依次是 1 厘米、9 厘米、9 厘米、5 厘米求这个六边形的周长 分析分析所给六边形各内角都是 120 ，这使我们联想到正六边形在求解与正六边形 有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”“割”是指把六 边形分割干个边长或面积为 1 的正三角形； “补
7、”是指在正六边形中取出三条互不相邻 的边来延长，补成一个正三角形这两种方法对本题适用吗？ 练习 4、一个六边形的 6 个内角都是 120， 并有连续的三边长均为 6 厘米 如 果这个六边形的周长是 32 厘米，那么该六边形最长的边有多长？ 例5 如图，在四边形 ABCD 中，30AB ，48AD ，14BC ，且90ABDBDC， 90ADBDBC请问：四边形 ABCD 的面积是多少？ 分析分析 本题的条件让人感觉很别扭， 虽然90ABDBDC， 但它们并不是紧挨着的； 虽然90ADBDBC，但它们也不是紧挨着的那究竟对这个图形做怎样的变换，才 A B C D 6 6 6 1 9 9 5 能让
8、那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？ 例6 如图，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置开始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚到位 置 如果 AB、 BC、 CD 的长都是 20 厘米， 那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？ （取 3.14，答案保留两位小数 ） 分析分析这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图 A C 2 1 120 B D 中国古代的几何学 形的研究属于几何学的范畴古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而 图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的规矩以作圆方，中国 古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具 史记 “夏本
9、纪”记载说：夏禹治水， “左规矩，右准绳” “规”是圆规， “矩”是直角尺， “准绳”则是确定铅垂方向的器械这 些都说明了早期几何学的应用从战国时代的著作考工记中也可以看到与手工业制作有 关的实用几何知识 战国时期墨子所写的墨经中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定 义 周髀算经与刘徽的海岛算经则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式在 九章算术及刘徽注解的九章算术中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决 多种问题例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5 世纪祖暅 提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理； 以内接正多边形 逼近圆周
10、长的极限方法（割圆术）等 课 堂 内 外 作业 1. 如果图 1 中的圆环面积为 12.56，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部 分的面积是多少？（取 3.14） 2. 如图 2，等腰三角形 ABC 中， 5ABAC，6BC D为BC边上的 一点，DE 与 AB 垂直，DF 与 AC 垂直，那么 DE 与 DF 的和是多少？ 3. 如图 3，P 为长方形 ABCD 外的一点三角形 PAB 的面积为 5，三角形 PBC 的面积为 30，三角形 PCD 的面积为 24那么三角形 PAD 的面积是 多少；三角形 PAC 的面积是多少？ 4. 一个六边形的 6 个内角都是 120， 并有四边长为
11、 5、 6、 5、 5 厘米， 如图 4 所示 现 在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积比是多少？ 5. 右图中有一个上下、左右都对称的“十字型” ，其各边长度如图所示（单 位：厘米） ，一个半径为 1 厘米的小圆沿其外周滚动一周，那么小圆经过 区域的面积等于多少？（答案保留圆周率） 第九讲 几何综合问题 例题：例题： 图 1 A B C D E F 图 2 P A B C D 图 3 5 6 5 5 图 4 8 4 4 8 例题1. 答案：157 平方厘米 详解：记大圆半径为 R，小圆半径为 r，那么圆环的面积为 22 Rr，我们只要能够 求出 22 Rr即可阴影部分是两
12、个等腰直角三角形的面积差，等于 22 1 2 Rr，所以 22 22550Rr由此可得圆环面积等于503.14157 例题2. 答案：24 厘米 详解： 利用勾股定理可得50AC 厘米， 所以25OBOC厘米 长方形 ABCD 的面积等于30401200平方厘米，所以BOC 的面积等于 1 1200300 4 平 方厘米连接 OP，观察OPB 与OPC，它们分别以 OB 和 OC 为底，是一 对 等 底 三 角 形 ， 而 对 应 的 高 就 是 PR 和 PQ ， 因 此 面 积 和 就 等 于 225212.5OBPROCPQPRPQPRPQ，而这个面积 和 就 是 BOC 的 面 积 ，
13、 等 于 300 ， 所 以12.5300PRPQ， 由 此 可 得 3 0 01 2 . 52 4PRPQ厘米 例题3. 答案：8 详解：图 1 阴影部分的面积是整个长方形的一半， 而图 2 阴影部分的面积也是整个长方形的一半两 个阴影部分有一块公共部分，那就是APD去掉 这块公共部分之后， 剩下的阴影部分仍然应该相等， 因此就有 123 SSS由题意， 1 13S ， 2 5S ，所以 3 1358S 例题4. 答案：42 厘米 详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为 a 厘米和 b 厘米如 右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为 9 厘米的 等边三角形，
14、左下方则是一个边长为 1 厘米的等边三角形，由此可得最大的等 边三角形边长为19919厘米 这样19955a ， 而1 9 11 3ba 六 边形边长就等于995151342 厘米 例题5. 答案：936 详解： 如图所示， 我们可以将图形中的BCD 左右翻转一下， 变成了BED， 这样就和为90的角就能拼到一起， 构成完整的直角 例如ABE与ADE 就都是直角接着连结 AE，ABE 与ADE 都是直角三角形，AE 是它们 公共的斜边 根据勾股定理， 2222 ABBEADDE， 由此可得40BE 这 样就可以分别求解ABE 与ADE 这两个直角三角形的面积将其相加， 即可得总面积为 3040
15、48 14 936 22 例题6. 答案：228.07 详解：小圆滚动时所经过的区域如右图所 示接着我们分块求解每一部分的面积半 圆 FEQ、半圆 JKL 的面积之和是；长方 形 FGBQ、BHIP、IJLM 的面积之和是 4 C A Q B D P R O B C A P D B C A D 8 S2 S3 S1 图 1 图 2 9 1 9 5 9 9 1 a b a a 1 A C 120 B D E F G H I J K L M N O Q P 30 48 14 ？ A B E D 18 16 144192；60 的扇形 BGH 的面积为 2 18 4 63 ；PIMNO 部分的面积
16、为12；所以总面积为 823 419212204228.07 33 练习：练习： 1. 答案：125.6 平方厘米 简答：如右图所示，将图形从中间切开分为左、右两部分，每一部分都和例题 1 一模一 样 2. 答案：6 简答：正方形面积等于“对角线平方的一半” ，所以正方形对角线的平方就等于 722144，由此可得正方形 ABCD 的对角线 AC 等于 12，所以 OC、OD 长均为 6与 例 题 2 类 似 ， 连 结 OP ， 然 后 利 用 OCD的 面 积 等 于7 241 8可 得 1 821 8266P QP RO C 3. 答案：9；16 简答：如右侧左图所示，PAB 与PDC 是
17、一对同底三角 形（分别以 AB 和 CD 为底） ，他们的面积和等于 “2AB高的和” 不难看出它们 “高的和” 就等于 AD， 所以它们的面积和就等于长方形 ABCD 面积的一半， 由此 可得长方形 ABCD 的面积为74222PAD 的面 积等于PAB、PBC 及PCD 的面积之和减去长方形 ABCD 的面积，即7204229至于PAC 的面积，只要用总面积减去ABC 与PCD 的面积即可，等于720411416 4. 答案：10 厘米 简答：如图所示，将图形补成一个完整的正三角形，其边长为66618记原 六边形的最短边为 a，最长边为 b那么18612ab而由于正六边形周长为 32，所以
18、2321814ab由此可得 b 为1221410厘米 作业：作业： 1. 答案：8 简答：圆环面积为： 22 12.56Rr，所以 22 4Rr，阴影部分面积等于 P A B C D 高和 P A B C D 高差 6 b 6 6 6 6 6 6 a a b b 22 28Rr 2. 答案：4.8 简答：作 BC 边上的高，可得高为 4（利用勾 3 股 4 弦 5） 这样三角形 ABC 的面积就 等于 12接着就和例题 2 做法类似，连接 AD 并利用等底三角形的面积和即可 3. 答案：11；6 简答：PCD 与PAB 的面积差（即24519）等于长方形 ABCD 面 积的一半，PBC 与PA
19、D 的面积差等于长方形 ABCD 面积的一半所 以PAD 的面积为301911PAC 的面积等于PBC 的面积减去 PAB 及ABC 的面积，所以面积为305196 4. 答案：85:96 简答：如图，在六边形的上方、左下和右下各补一个边长为 6 厘米的等 边三角形，将图形补成一个完整的等边三角形由此可求出六边形的中间分割线长为 5611厘米接着利用线段的份数关系求面积比位于上方的梯形，其上底为 6 份， 下底为 11 份，高为 5 份；而位于下方的梯形，其上底为 5 份，下底为 11 份，高则为 6 份接着利用这些线段的份数关系，得到面积比为 611585 511696 5. 答案：1089 简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经过区域的四分之一即 可 图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一， 只要求出图中阴影部分 的面积，然后再乘以 4 即可得最后答案 4 4 4 4 6 6 6 5 5 6 6 11 6 5 6 6 6