1、第十七讲 整数型计算综合提高 一、多位数计算 1 凑整、凑 9 的思想； 2 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是 9n 二、等差数列 1 等差数列的“配对”思想； 2 求和公式： （1） ； （2） 3 项数公式： 4 第 n 项： 三、等比数列： 等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为 S； （2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数） ； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果； 四、基本公式 1 平方差公式 2 平方求和 3 立方求和 五、整数裂项 1 ； 2 123 1 2 32 3 43 4 512 4 nnnn nnn 12 1 22
2、33 41 3 nnn nn 2 3333 12312nn 2222 121 123 6 nnn n 22 ababab 1n首项公差 1末项-首项公差 中间项 项数 2首项末项项数 9 9999 n个 一、 整数数列基本计算 1 公式型计算； 2 平方差公式的应用； 3 整数裂项： （1） 基本裂项：例如 12、123 等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项 二、 计算技巧 1 换元思想； 2 分组思想； 3 裂项思想； 4 数论思想在计算中的应用； 例1 （1） 22 8888888811111111的计算结果是多少？ （2） 308303 88883333 个个 的计算结果的
3、数字和是多少？ 分析分析 （1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果， 再算数字和 练习 1、999999999999999999的计算结果的数字和是多少？ 例2 某书的页码是连续的自然数 1、2、3、9、10、；小须把这些页码相加时，将其 中连续 2 个页码漏掉了， 结果得到 2013， 那么这本书共有多少页？漏掉的 2 页是多少？ 分析分析 首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就 变得简单一些了 练习 2、把从 1 开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有 数的个数，例如： （1） ， （3，5，7） ， （9，
4、11，13，15，17，19，21，23，25） ， （27，29， ，79） ， （81，83，） ，那么第 8 组中所有数的和是多少？ 经典题型 例3 对自然数 a 和 n，规定 1 nn aana ，例如 123323 2 ，那么： （1）计算：1 2 2 230 2 ； （2）计算：2 1 2 22 10 分析分析首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序 练习 3、对自然数 a 和 n，规定 1nn a naa ，例如 32 3 33336 ，那么：算式： 1 32 330 3 的结果是多少？ 例4 计算：1 2+(1+2) 4+(1+2+3) 6+(1+2+
5、3+4) 8+(1+2+20)40 分析分析试着计算几项，寻找一下规律 练习 4、计算： 3333333333 112123123100 112123123100 例5 计算：1 2345699 100 分析分析这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分 例6 计算：1! 32! 43! 54! 62009! 20112010! 20122011! 20132012! 分析分析关于阶乘的计算一定牢记： !11 !nnn ，本题是否有类似计算 数学史上的一代王者欧拉 莱昂哈德 欧拉（Leonhard Euler ，1707 年 4 月 5 日1783 年 9 月 18 日）是瑞士 数学家和物理
6、学家 他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一 （另一位 是卡尔 弗里德里克 高斯） 欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表 达式的人他是把微积分应用于物理学的先驱者之一 欧拉 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士， 在那里受教育 他一生大部分时间在俄罗斯帝 国和普鲁士度过 欧拉是一位数学神童 他作为数学教授， 先后任教于圣彼得堡和柏林， 尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他 的全集共计 75 卷他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创 人欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的 振
7、动问题，等等欧拉实际上支配了 18 世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推 导出了很多结果在他生命的最后 7 年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以 惊人的速度产出了生平一半的著作 1733 年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26 岁的欧拉坐上了 科学院的第一把数学交椅他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定 居下来，并随遇而安夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的 女儿后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很 快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉某些传记作家 把欧拉的无比
8、多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期； 平常的谨慎迫使他去成了勤奋工 作的牢不可破的习惯 欧拉是能在任何地方、 任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一 他很喜欢孩子 （他自己曾有 13 个，但除了 5 个以外，都很年轻就死了） 他写论文时常常把一个婴儿 抱在膝上， 而较大的孩子都围着他玩 他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松 许多关于他才思横溢的传说流传至今 有些无疑是夸张的， 但据说欧拉确实常常在 两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文 文章一写完， 就放到给印刷 者准备的不断增高的稿子堆儿上 当科学院的学报需要材料时， 印刷者便从这堆儿顶上 拿走一打这样一来，这些文章的发表
9、日期就常常与写作顺序颠倒由于欧拉习惯于为 了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次， 这种恶果便显得更严重， 以 至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反 1730 年小沙皇死去，安娜伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇就 科学院而言，受到了关心，工作活跃多了而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治 下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治10 年里，欧拉沉默地埋头工作这中间， 他遭受了第一次巨大的不幸 他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题， 那是几个 有影响的大数学家搞了几个月时间的， 欧拉在三天之后把它解决了 可是过分的劳累使 他得了一场病，病中右眼失明
10、了 欧拉的离世也很特别： 在朋友的派对中他中途退场去工作， 最后伏在书桌上安静的 去了 欧拉的专著和论文多达 800 多种小行星欧拉 2002 是为了纪念欧拉而命名的 作业 1. 333333 333333的计算结果的数字和是多少？ 2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加 5 个，乙背单词的数量每天增加 1 倍，已知第一天二人共背了 33 单词，第二天二人共背了 40 个单词，那么从第几天起乙 每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？ 3. 计算：（1） 2222 21222340；（2） 2222 24642；（3） 2222 13523， 的结果？ 4. 计算
11、：1 392383 3743639 1 5. 已知一个平方数加上 143 后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？ 第十七讲 整数型计算综合提高 例题： 例7 答案：7777777622222223；270 详解详解： （1）根据平方差公式可得： 22 8888888811111111 88888888111111118888888811111111 9999999977777777 777777771000000001 777777770000000077777777 7777777622222223 （2）凑整可得： 308303308303 1029630992969703
12、8888 333388883 3 3333 296296296 9999296296295703703704 个个个个 个个个个 数字和是 270 例8 答案：这本书共有 64 或 63 页；漏掉的两页是 33、34 或 1、2 详解详解：123642080所以共 64 页，差的两个页码的和是 67，所以是 33 页 和 34 页 123632016所以也可以数 63 页，差的两个页码的和是 3，所以是 1 页和 2 页 例9 答案： （1）9920； （2）3069 详解详解： （1）根据题目定义的新运算可得： 22222 1 230 2112230301301309920 ； （2） 10
13、21109 2 12 22 10222222 12100191110 22222222213069 例10 答案：46970 详解详解： 2222 2222 333222 1 2+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4) 8+(1+2+20)40 1 223342021 =24640 2222 1223342021 11 122133120201 12201220 46970 例11 答案：169150 详解详解： 2222 222 1 2345699 100 224466100100 2410024100 1717002550 169150 例12 答案：1 详解：详解： 1! 3
14、2! 43! 54! 62009! 20112010! 20122011! 20132012! 1!122!133!142010!120112011!120122012! 1! 2!2! 3!3! 4!2010! 2011!2011! 2012!2012! 1 练习： 练习 1、答案：81 简答： 111111111 9 9 111111111=12345679 999999999 12345678987654321 原式 结果数字和为 81 练习 2、 答案：9563751 简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是 3 的次方，即 1，3，9，27，81，从 而第 8 组第 1 个数为 2
15、187，第 9 个组第 1 个数为 6561，即求218721896559，等 差数列求和得21876559218729563751 练习 3、 答案：225680 简答： 32323232 1 32 330 31122333030 22223333 1233012330225680 练习 4、 答案：171700 简答：需要借助这样一个公式： 2 3333 123123nn，因此，原式 1(12)(123)(123100)(1 22 33 4100 101)2 222 1 121002121002100 101 201250502171700 6 作业 6. 答案：54 简答：333333
16、333333111110888889，数字和是 54 7. 答案：答案：6；8 简答简答：设第一天两人分别背了 a、b 个单词，所以甲第 n 天背5(1)an个单词，乙第 n 天背 1 2nb 个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33ab和 5240ab，可求得 a 和 b 分别为 31 和 2，可知答案为 6；8 8. 答案：答案： （1）19270； （2）13244； （3）2300 9. 答案：答案：10660 简答简答： 222 1 (40 1)2 (402)39 (4039)40 (1 239)(1239 ) 原式 10660 10. 答案：答案：1 或 5041 简答简答：设已知关系式为 22 143ab，应用平方差公式有()()143ba ba，然后讨论 143 的约数知两数和与差分别为 143 与 1，或 13 与 11，所以可得答案为 1 或 5041