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高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高

1、第十七讲 整数型计算综合提高 一、多位数计算 1 凑整、凑 9 的思想; 2 数字和问题:与一个小于它的数相乘,积的数字和是 9n 二、等差数列 1 等差数列的“配对”思想; 2 求和公式: (1) ; (2) 3 项数公式: 4 第 n 项: 三、等比数列: 等比数列“错位相减”法求和,基本步骤是: (1)设等比数列的和为 S; (2)等式两边同时乘以公比(或者公比的倒数) ; (3)两式对应的项相减,消去同样的项,求出结果; 四、基本公式 1 平方差公式 2 平方求和 3 立方求和 五、整数裂项 1 ; 2 123 1 2 32 3 43 4 512 4 nnnn nnn 12 1 22

2、33 41 3 nnn nn 2 3333 12312nn 2222 121 123 6 nnn n 22 ababab 1n首项公差 1末项-首项公差 中间项 项数 2首项末项项数 9 9999 n个 一、 整数数列基本计算 1 公式型计算; 2 平方差公式的应用; 3 整数裂项: (1) 基本裂项:例如 12、123 等; (2) 高等裂项:与阶乘或其它数列相关的裂项 二、 计算技巧 1 换元思想; 2 分组思想; 3 裂项思想; 4 数论思想在计算中的应用; 例1 (1) 22 8888888811111111的计算结果是多少? (2) 308303 88883333 个个 的计算结果的

3、数字和是多少? 分析分析 (1)还记得平方差公式吗?(2)可以用凑整的思想计算出这个算式的结果, 再算数字和 练习 1、999999999999999999的计算结果的数字和是多少? 例2 某书的页码是连续的自然数 1、2、3、9、10、;小须把这些页码相加时,将其 中连续 2 个页码漏掉了, 结果得到 2013, 那么这本书共有多少页?漏掉的 2 页是多少? 分析分析 首先可以估算一下这本书的大概页数是多少?确定页码总数的范围后再计算就 变得简单一些了 练习 2、把从 1 开始的所有奇数进行分组,其中每一组的第一个数都等于这一段中所有 数的个数,例如: (1) , (3,5,7) , (9,

4、11,13,15,17,19,21,23,25) , (27,29, ,79) , (81,83,) ,那么第 8 组中所有数的和是多少? 经典题型 例3 对自然数 a 和 n,规定 1 nn aana ,例如 123323 2 ,那么: (1)计算:1 2 2 230 2 ; (2)计算:2 1 2 22 10 分析分析首先理解题目定义的新运算规则,然后再计算,注意三角符号前后数字顺序 练习 3、对自然数 a 和 n,规定 1nn a naa ,例如 32 3 33336 ,那么:算式: 1 32 330 3 的结果是多少? 例4 计算:1 2+(1+2) 4+(1+2+3) 6+(1+2+

5、3+4) 8+(1+2+20)40 分析分析试着计算几项,寻找一下规律 练习 4、计算: 3333333333 112123123100 112123123100 例5 计算:1 2345699 100 分析分析这是一道整数裂项的题目,分析一下如何进行拆分 例6 计算:1! 32! 43! 54! 62009! 20112010! 20122011! 20132012! 分析分析关于阶乘的计算一定牢记: !11 !nnn ,本题是否有类似计算 数学史上的一代王者欧拉 莱昂哈德 欧拉(Leonhard Euler ,1707 年 4 月 5 日1783 年 9 月 18 日)是瑞士 数学家和物理

6、学家 他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一 (另一位 是卡尔 弗里德里克 高斯) 欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表 达式的人他是把微积分应用于物理学的先驱者之一 欧拉 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士, 在那里受教育 他一生大部分时间在俄罗斯帝 国和普鲁士度过 欧拉是一位数学神童 他作为数学教授, 先后任教于圣彼得堡和柏林, 尔后再返圣彼得堡,柏林科学院的创始人之一欧拉是有史以来最多遗产的数学家,他 的全集共计 75 卷他是刚体力学和流体力学的奠基者,弹性系统稳定性理论的开创 人欧拉在固体力学方面的著述也很多,诸如弹性压杆失稳后的形状,上端悬挂重链的 振

7、动问题,等等欧拉实际上支配了 18 世纪的数学,对于当时的新发明微积分,他推 导出了很多结果在他生命的最后 7 年中,欧拉的双目完全失明,尽管如此,他还是以 惊人的速度产出了生平一半的著作 1733 年,丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了,26 岁的欧拉坐上了 科学院的第一把数学交椅他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡,便决定结婚,定 居下来,并随遇而安夫人凯瑟琳娜(Catharina),是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的 女儿后来政治形势变得更糟了,欧拉曾经绝望得想逃走,但随着孩子一个接一个地很 快出生,他又感到被拴得越来越牢了,使到不休止的工作中去寻求慰藉某些传记作家 把欧拉的无比

8、多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期; 平常的谨慎迫使他去成了勤奋工 作的牢不可破的习惯 欧拉是能在任何地方、 任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一 他很喜欢孩子 (他自己曾有 13 个,但除了 5 个以外,都很年轻就死了) 他写论文时常常把一个婴儿 抱在膝上, 而较大的孩子都围着他玩 他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松 许多关于他才思横溢的传说流传至今 有些无疑是夸张的, 但据说欧拉确实常常在 两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文 文章一写完, 就放到给印刷 者准备的不断增高的稿子堆儿上 当科学院的学报需要材料时, 印刷者便从这堆儿顶上 拿走一打这样一来,这些文章的发表

9、日期就常常与写作顺序颠倒由于欧拉习惯于为 了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次, 这种恶果便显得更严重, 以 至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反 1730 年小沙皇死去,安娜伊凡诺芙娜(Annalvanovna,彼得的侄女)当了女皇就 科学院而言,受到了关心,工作活跃多了而俄国,在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治 下,遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治10 年里,欧拉沉默地埋头工作这中间, 他遭受了第一次巨大的不幸 他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题, 那是几个 有影响的大数学家搞了几个月时间的, 欧拉在三天之后把它解决了 可是过分的劳累使 他得了一场病,病中右眼失明

10、了 欧拉的离世也很特别: 在朋友的派对中他中途退场去工作, 最后伏在书桌上安静的 去了 欧拉的专著和论文多达 800 多种小行星欧拉 2002 是为了纪念欧拉而命名的 作业 1. 333333 333333的计算结果的数字和是多少? 2. 甲、乙二人每天背单词,甲背单词的数量每天增加 5 个,乙背单词的数量每天增加 1 倍,已知第一天二人共背了 33 单词,第二天二人共背了 40 个单词,那么从第几天起乙 每天背的单词要比甲多,从第几天起乙背过的单词数量要比甲多? 3. 计算:(1) 2222 21222340;(2) 2222 24642;(3) 2222 13523, 的结果? 4. 计算

11、:1 392383 3743639 1 5. 已知一个平方数加上 143 后还是一个平方数,请问两个平方数中较小的那个是多少? 第十七讲 整数型计算综合提高 例题: 例7 答案:7777777622222223;270 详解详解: (1)根据平方差公式可得: 22 8888888811111111 88888888111111118888888811111111 9999999977777777 777777771000000001 777777770000000077777777 7777777622222223 (2)凑整可得: 308303308303 1029630992969703

12、8888 333388883 3 3333 296296296 9999296296295703703704 个个个个 个个个个 数字和是 270 例8 答案:这本书共有 64 或 63 页;漏掉的两页是 33、34 或 1、2 详解详解:123642080所以共 64 页,差的两个页码的和是 67,所以是 33 页 和 34 页 123632016所以也可以数 63 页,差的两个页码的和是 3,所以是 1 页和 2 页 例9 答案: (1)9920; (2)3069 详解详解: (1)根据题目定义的新运算可得: 22222 1 230 2112230301301309920 ; (2) 10

13、21109 2 12 22 10222222 12100191110 22222222213069 例10 答案:46970 详解详解: 2222 2222 333222 1 2+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4) 8+(1+2+20)40 1 223342021 =24640 2222 1223342021 11 122133120201 12201220 46970 例11 答案:169150 详解详解: 2222 222 1 2345699 100 224466100100 2410024100 1717002550 169150 例12 答案:1 详解:详解: 1! 3

14、2! 43! 54! 62009! 20112010! 20122011! 20132012! 1!122!133!142010!120112011!120122012! 1! 2!2! 3!3! 4!2010! 2011!2011! 2012!2012! 1 练习: 练习 1、答案:81 简答: 111111111 9 9 111111111=12345679 999999999 12345678987654321 原式 结果数字和为 81 练习 2、 答案:9563751 简答:找规律,发现每个括号的第一个数恰好是 3 的次方,即 1,3,9,27,81,从 而第 8 组第 1 个数为 2

15、187,第 9 个组第 1 个数为 6561,即求218721896559,等 差数列求和得21876559218729563751 练习 3、 答案:225680 简答: 32323232 1 32 330 31122333030 22223333 1233012330225680 练习 4、 答案:171700 简答:需要借助这样一个公式: 2 3333 123123nn,因此,原式 1(12)(123)(123100)(1 22 33 4100 101)2 222 1 121002121002100 101 201250502171700 6 作业 6. 答案:54 简答:333333

16、333333111110888889,数字和是 54 7. 答案:答案:6;8 简答简答:设第一天两人分别背了 a、b 个单词,所以甲第 n 天背5(1)an个单词,乙第 n 天背 1 2nb 个单词,由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33ab和 5240ab,可求得 a 和 b 分别为 31 和 2,可知答案为 6;8 8. 答案:答案: (1)19270; (2)13244; (3)2300 9. 答案:答案:10660 简答简答: 222 1 (40 1)2 (402)39 (4039)40 (1 239)(1239 ) 原式 10660 10. 答案:答案:1 或 5041 简答简答:设已知关系式为 22 143ab,应用平方差公式有()()143ba ba,然后讨论 143 的约数知两数和与差分别为 143 与 1,或 13 与 11,所以可得答案为 1 或 5041