1、第二十一讲 数字谜综合二 我们先来观察几个有趣的等式： 2222，1.531.53，1.261.26， 这些等式，等号左右两边出现的数字相同，左边是乘法，右边是加法，而所得的乘 积与和数相同也就是两个数的乘积等于这两个数的和你能再写出几个类似的等式 吗？ 如果盲目瞎写，随便找两个数，看看乘积是不是与和数一样，这是不可行的，有如 海底捞针而事实上，要写出几个类似的等式是很容易的前提是你要找到其中的规 律我们设这两个数分别为a和b，我们希望和与积相同，也就是abab 我们对这个等式进行变形： （1）abab； （2）abab； 【把含有字母a的项都移到左边】 （3）1a bb； 【提公因数a】 （
2、4）111a bb； 【把1b 当成一个整体】 （5） 111a bb； 【把含有1b 的项移到左边】 （6）111ab 【提公因数1b 】 我们发现abab化简后变成111ab，也就是只要满足111ab 的两个数，它们的乘积就与和数相等也就是： 2222 变成 2 12 11 1.261.26 变成 1.2 16 11 1.531.53 变成 1.5 13 11 如果要求a和b都是整数， 则 1a 和 1b 都是1的约数， 于是 111ab ， 所以 2ab ， 也就是两自然数的和与积相等的情形只有唯一一种：2 222 如果不要求a、b是 自然数，则两数和与积相等的算式还可以写出无限多组例如
3、：把 1 看成是0.4 2.5 ， 则 10.4 12.5 a b ，解得 1.4 3.5 a b ，就写出一个算式1.4 3.51.43.5 例1 （1）把 1 9 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案 分析分析设 111 9ab （ab） ，字母都出现在分母中，不好办如果在等式两边同时 乘以各分母的最小公倍数，所得的等式中就不会出现“分数”了，此时得到的是怎样的 一个等式？ 练习 1、把 1 15 表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案 例2 把 1 2 拆成三个单位分数的和，请给出 2 种拆法 分析分析 在已经学会把一个分数拆成两个分数的基础上， 我们只要进行两次分拆就可以
4、 了，既把第一次拆出的两个分数中的任何一个再进行一次分拆 练习 2、两个正整数的乘积是它们和的 6 倍，求这两个数 两个数的和、差、积、商 大多数情况下，两个数的和、差、积、商这四个数互不相同，因而四个数中有某两个数 相同的情形就显得颇为有趣了 （1）和与差相同，例如：1010 （2）积与商相同，例如：12 1 12 1 （3）差与商相同，例如：4242 （4）和与商相同，例如：0.50.50.50.5 （5）和与积相同，例如：1.261.26 （6）差与积相同，例如：1 0.510.5 请同学们针对每一类情况， 自己再举出一些例子 这 6 类情况分别在什么时候发生呢？ 你能发现其中的奥妙吗？
5、 数字谜与数论是紧密联系的，在求解数字谜问题的时候，经常要用到一些数论的知 识同时还会用到像首位分析、尾数分析、位数分析这样的数字谜问题中特有的分析方法 例3 在竖式中的方框内分别填入 0 到 9 这 10 个数字中的 9 个，使得竖式成立 分析分析 十个方框中填入的数字之和是多少？最后的和的数字之和是多少？那么可以根 据这两个和之差确定发生进位的次数以及进位的位置 练习 3、在竖式中填入 0 至 9 各一次，使竖式成立 例4 从 1 到 9 中选出 8 个数字填入算式“”的方框中，每 个数字恰好填一次，使等式成立请问： （1）没有被选出的数字是多少？ （2）两个四位数中较大的数最小是多少？最
6、大是多少？ 分析分析 （1）填入 8 个数，使得算式成立的填法有很多在众多的填法中，所用的 8 个数是固定的吗？ （2）要使较大数取得最小值，就要使所填的两个数大小最接近要使较大数取得最大 值，则要使所填的两个数的差最大 练习 4、 从 19 中选出 8 个数字填入算式 “172” 的方框中， 每个数字恰好填一次，使等式成立请问： （1）没有被选出的数字是多少？ （2）四个两位数中最大的数最小是多少？最大是多少？ 13579 2 0 1 2 10 20 13 12 16 例5 将 l10 这 10 个自然数填入下图五角星的 10 个圆圈内，使得外面五个三角形中的数 等于其所在三角形三个顶点内数
7、的和 分析分析图中有 10 个圆圈，这些圆圈所填数字的总和是多少？五个三角形的三个顶点 上的数字之和是多少？每个圆圈各出现在多少个三角形中？ 例6 下图中有大、中、小 3 个正方形，组成了 8 个三角形现在先把 1、2、3、4 分别填 在大正方形的 4 个顶点上，再把 1、2、3、4 分别填在中正方形的 4 个顶点上，最后把 1、2、3、4 分别填在小正方形的 4 个顶点上请问： （1） 能否使 8 个三角形顶点上数字之和都相等？如果能， 请给出填数方法； 如果不能， 请说明理由 （2） 能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能， 给出填数方法； 如果不能， 请说明理由 分析分析 （
8、1）每个三角形的三个顶点上的数字相加，就得到一个“和数” ，于是得到 8 个相同的“和数” 如果将这 8 个和数相加，实际上把每个顶点上的数各加了多少次？ 总和是多少？ （2）要使 8 个“和数”互不相同，这些和数最小能取多少，最大能取多少？ 数独 “数独”来自日文（），但概念源自“拉丁方块”，是十八世纪瑞士数学家 欧拉发明的在上个世纪七十年代，美国人重新挖掘它的魅力，接着日本杂志出版商在八十 年代末期在一本美国杂志上看到这个游戏，带回日本后，增加它的游戏难度，并命名为“数 独”，“数独”就此诞生，并逐渐受到日本人的注意、沉迷日本还出版了许多“数独”的 书新西兰裔英籍退休法官韦恩古德（Wayn
9、e Gould）1997 年旅游日本时，买了一本数独 游戏书，从此就迷上了，进而研究出计算机程序，开始供稿给全球十几家报社，立即受到读 者的热烈回响据说，“数独”还成为英国报纸销售量的法宝，连美国纽约时报也无法 阻挡它的魅力，开始定期登载2004 年 5 月 30 日起，台湾的中国时报也取得古德的授 权，每天都刊出一则数独谜题，让这个新玩意第一次出现在台湾的大众媒体上，也是全球第 一家引入数独游戏的中文报纸 方格里摆几个数字，乍看之下好像没什么但数独好玩之处，就在推敲的过程，以及 解答出来的成就感由于规则简单，却变化无穷，在推敲之中完全不必用到数学计算，只需 运用逻辑推理能力，所以无论老少中青
10、男女，人人都可以玩 只需九个九宫格，及 1 到 9 不重复的阿拉伯数字，也超越了文字的障碍，因此自从出 现后，从东方到西方，风靡亿万人有些人认为玩数独是他们缓解工作压力的最佳方式；有 些人认为玩数独可以保持头脑灵活， 尤其适合老年人； 也有些老师和父母觉得玩数独需要耐 心、专心和推理能力，所以拿数独当题目出给学生练习，用来训练小孩子最近英国政府出 资的教师杂志甚至建议把“数独”引进课堂，因为数独不仅有趣好玩，还可以增进玩者 的推理与逻辑机能，所以可以作为学生锻炼脑力的教材 9 6 4 5 8 5 9 7 4 8 2 4 3 9 7 7 6 3 4 5 8 1 7 3 6 6 7 3 2 9 2
11、 4 2 1 9 8 3 4 2 7 5 5 4 8 2 6 9 4 2 9 4 9 8 9 7 3 5 2 7 9 1 3 + 2 1 3 作业 1. 把 1 8 表示成 2 个自然数的倒数之和，共有多少种方法？ 2. 两个自然数的乘积比这两个自然数的和大 1，这两个自然数是多少？ 3. 在右边的加法算式中，若每个方框均表示 0 到 9 中的一个数字，任意两个 方框内的数字都不相同，则最下面的那个方框内的数是多少？ 4. 在右图的算式中填入 0 至 9 各一次， 使算式成立 算式结果的四位数最大可 能是多少？ 5. 如图所示，在小六边形的六个顶点处分别填入 1、2、3、4、5、6 各 一个，
12、在大六边形的六个顶点处也填入 1、2、3、4、5、6 各一个请 问： （1）能否使得每个梯形四个顶点上数字之和都相等？ （2）能否使得每个梯形四个顶点上数字之和是 6 个连续自然数？ 如果能，请给出一种填法；如果不能，请说明理由 第二十一讲 数字谜综合二 例题例题 例7 答案： 1111111 1818910901236 详解：设 111 9ab （ab） ，等式两边同时乘以各分母的最小公倍数9ab，得： 99abab化简，得： 9981ab将 81 写成两个数的乘积，有 3 种不同的方 法：811 8132799 每种方法对应了一个二元一次方程： 9 1 9 81 a b ， 93 927
13、a b ， 99 99 a b 每个二元一次方程的解分别是： 10 90 a b ， 12 36 a b ， 18 18 a b 所 以 将 1 9 表 示 成 两 个 自 然 数 的 倒 数 之 和 的 全 部 方 法 有3种 ： 1111111 1 81 891 09 01 23 6 例8 答案： 111 3742 、 111 4612 等 详解：可先将 1 2 拆分成两个单位分数，再将其中一个单位分数拆分成两个单位分数即 可 例9 答案：50+273+1689 （答案不唯一） 详解：首先分析哪个数字没有选2012 除以 9 余 5，因为“进一减九” ，说明上面的 9 个数字之和除以 9
14、余 5，所以没有选 4根据数字和从 41 到 5，可知共进位 4 次 简单试验可以得到答案 50+273+1689 （答案不唯一） 例10 答案（1）2； （2）7184，9865 详解： （1）改写成竖式，同上题，13579 除以 9 余 7，说明上面 8 个数字之和除以 9 余 7，所以和是 43，没有选 2 （2）要使较大数尽量大，把前两位定成 98，看有没有合适的填法、9BF 此时可以，所以较大数最大是 9865，相应的填法是 ；要使较大数尽量小，把它千位定为 7，看 看有没有合适的填法由于等式左边数字和是 43，右边 数字和是 25，差是 18，说明加法运算中有 2 次进位此 时没有
15、进位， 因为要让 A 尽量小， 说明也不 能进位， 所以， 要 使较大数尽量小，只能，所以较大数最 小是 7184，相应的填法是 例11 详解：从 1 加到 10 的和为 55，而 5 个三角形顶点上的数字之和为 71（里面 5 个圆 圈内的 5 个数加了两次） ，所以里面 5 个圆圈内的 5 个数之和为 16，所以这 5 个数只能 为：1、2、3、4、6接下来先讨论最上面的三角形的顶点的取值，此数加上里面的两 个数之和为 10，所以其值为 5 或 7，而当其值为 7 时，对于左上角的三角形中无法按要 求找到三个数使其和为 20， 因此最上面的三角形的顶点上的数字为 5， 然后再确定最上 面的
16、三角形底边上两个数的值及左上角三个圆圈的值 例12 答案： （1）不能； （2）能，如图 4 详解： （1）详解：8 个和数相加，相当于 24 个数相加，恰好把大正方形的每个顶点加 了一次，中正方形的每个顶点加了 3 次，小正方形的每个顶点加了 2 次，因而 8 个和数 的总和是 1 234660 但 60 不是 8 的倍数，所以不能使 8 个三角形顶点上数 字之和都相等； （2）详解：和数最小可以是1 124 ，最大可以是34411，而 4、5、6、7、8、 10 20 13 12 16 5 1 4 3 9 10 6 2 7 8 71846395 5G 4C 9F 8B 3E 1A 6D 4
17、AE17BF 9CG AE CG 98653714 549 617 7AE 9 8 A B C D E F 1 3 5 7 9 7 A B C D E F G 1 3 5 7 9 9、10、11 恰好是 8 个数，所以要使 8 个和数互不相同，则 8 个和数恰好分别是 4、5、 6、7、8、9、10、11，一种合适的填法如图 练习： 练习 1、答案（16，240） 、 （18，90） 、 （20，60） 、 （24，40） 、 （30，30） 练习 2、答案： （7，42） 、 （8，24） 、 （9，18） 、 （10，15） 、 （12，12） 练习 3、答案：3+74+985=1062
18、练习 4、答案： （1）8； （2）61；97 简答： （1）分析算式两端除以 9 的余数，可得：数字 8 没被选出，且连加的过程中一共 发生了两次进位； （2）注意四个加数的个位数字之和为 22，十位数字之和为 15 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 2 1 作业 6. 答案：答案：4 简答： 111111111 8972104012241616 7. 答案：2；3 简答：用估算的方法，或者将1abab化简成112ab 8. 答案：答案：6 9. 答案：答案：1602 10. 答案： （1）能； （2）不能 简 答 ：（ 1 ） 6个 梯 形 中 的 数 的 总 和 恰 好 把12个 顶 点 各 加 了 两 次 ， 它 等 于 2 21 2345684 要使每个梯形顶点四个数之和都相等，则这个相等的和数是 84614 只需让每条连接小六边形与大六边形的线段两端数字之和都为 7 即可， 这很容易办到； （2） 要使每个梯形四个顶点上数字之和是连续自然数， 设 6 个和数分别为a、1a 、2a 、3a 、 4a 、5a 由于总和61584a 无自然数解，所以这个问题是不可能办到的 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6