1、第二十三讲 行程问题超越提高 一、 基本行程、相遇与追及： 1. 行程问题的基本公式： 2. 相遇问题： ； 3. 追及问题： ； 二、 火车问题： 1. 火车过桥： ； 2. 火车过人问题： （1） 人站立不动：过人的速度为火车本身的速度，路程为火车的车长 （2） 人迎向火车：过人的速度为人与火车的速度之和，路程为火车的车长 （3） 人背向火车：过人的速度为火车与人的速度之差，路程为火车的车长 3. 火车错车问题： （1） 快车追上并超过慢车：路程差等于两车的车长之和 （2） 两车相遇并错车：路程和等于两车的车长之和 三、 流水行船问题： ； 四、 环形路线问题： 1. 从同一点出发反向而行
2、：相遇的路程和为环形路线一圈的长度 2. 从同一点出发同向而行：追及的路程差为环形路线一圈的长度 3. 在环形问题中，运动总是呈现出很强的周期性 五、 多次往返运动： 1. 从两端出发，相向而行：第 1，2，3，4次迎面相遇的路程和分别为 1，3，5， 7，个全程 从两端出发，相向而行：第 1，2，3，4，次背后追及的路程差分别为 1，3，5， =2水速 (顺水速度-逆水速度) =+2船速 (顺水速度 逆水速度) 顺水速度船速水速；逆水速度船速水速； 路程车长 桥长 追及时间路程差 速度差 速度差路程差 追及时间 路程差速度差 追及时间 相遇时间路程和 速度和 速度和路程和 相遇时间 路程和速
3、度和 相遇时间 路程速度 时间；速度路程 时间；时间路程 速度 7，个全程 2. 从同一端点出发，同向而行：第 1，2，3，4，次迎面相遇的路程和为 2，4， 6，8，个全程 从同一端点出发，同向而行：第 1，2，3，4，次背后追及的路程差为 2，4，6， 8，个全程 3. 特别地：在端点处相遇，既算迎面相遇也算追及 六、 常用的解题方法： 1. 通过画线段图使对象的行程过程以图形的形式直观体现出来； 2. 分段比较寻找隐藏的数量关系； 3. 比例方法的运用对于解题是非常重要的； 4. 方程思想的灵活运用，会使解题事半功倍； 5. 周期思想经常在求解多次相遇问题中用到； 解题技巧和思想还有很多
4、这里就不一一列举了总之，题无定法，关键是大家找要 到适合自己思维习惯、 适合题目特征的解题方法， 切勿就题论题， 只见树木， 不见森林， 否则迟早迷失在题目的海洋里 例1 小明从家去学校，出门一段时间后，爸爸发现小明未带铅笔盒，便骑车去追他；两人 相遇后爸爸立即回家，小明继续向学校走；爸爸到家后又发现小明未带作业本，拿着本 再骑车去追他，而小明到学校后也发现了未带作业本，于是跑回家去拿，与爸爸在途中 相遇已知两次相遇地点重合，相遇之后相差 8 分钟，且爸爸骑车的速度和小明跑步的 速度分别是小明步行速度的 4 倍和 3 倍那么小明步行从家到学校需要多少分钟？ 分析分析本题可以先画出线段图，然后分
5、段比较，根据题目中已知的速度关系寻找图中 路程关系 练习 1、 小明从家去学校， 出门一段时间后， 爸爸发现小明未带铅笔盒， 便骑车去追他； 两人相遇后爸爸立即回家，小明继续向学校走；爸爸到家后又发现小明未带作业本，拿 着作业本再次骑车去追他，恰好在学校门口追上小明已知两次相遇相隔 8 分钟，且爸 爸骑车的速度是小明步行速度的 5 倍那么小明从家步行到学校需要多少分钟？ 例2 A、B、C、O 四个小镇如图分布其中 A、O 两镇相距 20 千米，B、O 两镇相距 30 千米 某天甲、 乙二人同时从 B 出发， 甲经 O 镇再向 A 镇走， 到达 A 镇后又立刻返回， 而乙到达 O 镇后直接向 C
6、 行进；丙从 C 镇与甲、乙两人同时出发，在距离 O 镇 15 千 米处与乙相遇； 当丙到达O镇后又向A镇前行， 在与O镇相距6千米的地方与甲相遇 已 知甲、乙的速度比为 8:9，求 O、C 两镇之间的距离 分析分析本题可以分段计算即可，注意比例计算的应用 练习 2、A、B、C、O 四个小镇如图分布其中 A、O 两镇相距 4 千米，B、O 两镇相距 6 千米某天甲、乙二人同时从 B 出发，甲经 O 镇再向 A 镇走，到达 A 镇后又立刻返 回，而乙到达 O 镇后直接向 C 行进；丙从 C 镇与甲、乙两人同时出发，在距离 O 镇 3 千米处与乙相遇；当丙到达 O 镇后又向 A 镇前行，在与 O
7、镇相距 2 千米的地方与甲相 遇已知甲、乙的速度比为 2:3，求 O、C 两镇之间的距离 例3 阿呆和阿瓜要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向 西行他们商量是先回家取车，再骑到博物馆；还是直接从公园门口走到博物馆小高 算了一下：如果从公园到博物馆距离超过 2 千米，则回家取车比较省时间；如果公园和 博物馆的距离不足 2 千米，则直接走过去省时间若骑车与步行的速度比为4:1，那么 公园门口到他们家的距离是多少千米？ 分析分析本题可以先假设公园和博物馆的距离恰好 2 千米 A B C O A B C O 练习 3、姐弟俩正要从博物馆门口沿马路向西去公园，而他们回家则要从
8、公园门口沿马 路向东行他们商量是先回家取车，再骑到公园，还是直接从博物馆门口走到公园姐 姐算了一下：如果从博物馆到公园距离超过 2 千米，则回家取车比较省时间；如果公园 和博物馆的距离不足2千米， 那么直接走过去省时间 已知骑车与步行的速度比为5:1， 那么博物馆门口到他们家的距离是多少千米？ 例4 徐老师的司机每天都开车在下午 5 时准时到学校接徐老师回家有一天，徐老师下午 4 时从学校出发，中途被司机接上了车，结果比平常提前 20 分钟到家第二天，徐老 师下午 4:30 从学校出发，再次中途上车，那么他将早多少分钟到家？ 分析分析本题可以先画出线段图，注意题目中汽车的路程是徐老师走的路程的
9、两倍 练习 4、某科研单位每天派汽车早 8 点准时到工程师家接他去上班但今天早晨，工程 师临时决定提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位步行途中遇到了 前来接他的汽车，他马上上车回到单位，结果发现比平时早到了 30 分钟，问：工程师 上车时是几点几分？ 例5 甲、乙、丙三个车站。乙站到甲、乙两站距离相等，小强和小明分别从甲、丙两站同 时出发相向而行，小明过乙站 100 米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明到达丙 站后立即返回，经过乙站 300 米后又追上小强。求甲、丙两站之间的路程？ 分析分析本题可以先画出线段图，然后分段比较，寻找解题突破口 例6 从 A 地到机场有高速路和普
10、通路两条，高速路的平均车速为每小时 120 千米，而普通 路平均车速只有高速路的五分之二甲车从 A 出发走普通路去机场乙车在甲车出发 6 分钟后从 A 走高速路去机场，在机场逗留 20 分钟后走普通路返回，过了 2 分钟与甲相 遇问 A 到机场的路程是多少千米？ 分析分析本题注意速度与时间正反比例的运用 马拉松马拉松 马拉松赛是一项长跑比赛项目，其距离为 42.195 公里这个比赛项目要从公元前 490 年 9 月 12 日发生的一场战役讲起 这场战役是波斯人和雅典人在离雅典不远的马拉松海边发生的， 史称希波战争， 雅 典人最终获得了反侵略的胜利 为了让故乡人民尽快知道胜利的喜讯， 统帅米勒狄
11、派一 个叫裴里庇第斯的士兵回去报信 裴里庇第斯是个有名的 “飞毛腿” ， 为了让故乡人早知道好消息， 他一个劲地快跑， 当他跑到雅典时，已上气不接下气，激动的喊道“欢乐吧，雅典人，我们胜利了！ ”说 完，就倒在地上死了 为了纪念这一事件，在 1896 年举行的现代第一届奥林匹克运动会上，设立了马拉 松赛跑这个项目，把当年裴里庇第斯送信跑的里程42.195 公里作为赛跑的距离 马拉松原为希腊的一个地名在雅典东北 30 公里其名源出腓尼基语 marathus， 意即“多茴香的” ，因古代此地生长众多茴香树而得名体育运动中的马拉松赛跑就得 名于此 1896 年举行首届奥运会时，顾拜旦采纳了历史学家布
12、莱尔(Michel Breal)以这一史 事设立一个比赛项目的建议，并定名为“马拉松” 比赛沿用当年裴里庇第斯所跑的路 线1908 年第 4 届奥运会在伦敦举行时，为方便英国王室人员观看马拉松赛，特意将 起点设在温莎宫的阳台下，终点设在奥林匹克运动场内，起点到终点的距离经丈量为 26 英里 385 码，折合成 42.195 公里国际田联后来将该距离确定为马拉松跑的标准距 离女子马拉松开展较晚，1984 年第 23 届奥运会才被正式列入比赛项目 由于马拉松比赛一般在室外进行，不确定因素较多，所以在 2004 年 1 月 1 日前马 拉松一直使用世界最好成绩，没有世界记录 在 2004 年雅典奥运
13、会上，首次将奥运会的最后一个比赛项目男子马拉松的颁奖典 礼安排在闭幕式上举行在东道主希腊人看来，马拉松比赛是奥运会的“灵魂”之一， 在闭幕式上为马拉松运动员颁奖，是奥林匹克回家的一种象征 2008 年北京奥运会继 承了这一做法 作业 1. A，B 两辆汽车从甲、乙两地同时出发，相向而行，在距离甲地 40 公里处第一次迎面相 遇，相遇后两车继续前进（保持原速） ，各自到达乙、甲两地后沿原路返回，在距离乙 地 10 公里处第二次迎面相遇那么甲、乙两地之间的距离为多少公里？ 2. 快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人这 3 辆车 分别用 6 分钟、10 分钟、12
14、分钟追上骑车人现在知道快车每小时走 24 千米，中车每 小时走 20 千米，那么慢车每小时走多少千米？ 3. A，B 两城相距 56 千米，甲、乙、丙三人分别以每小时 6 千米、5 千米、4 千米的速度 前进甲、乙两人从 A 城，丙从 B 城同时出发，相向而行请问：出发多长时间后， 乙正好在甲和丙的中点？ 4. 甲、乙、丙三人骑车同时出发沿某公路直行，出发时丙在甲前 10 千米，乙在丙后 6 千 米；甲、乙、丙三人骑车的速度分别为 20 千米时、18 千米时、16 千米时，那么 经过多少小时甲第一次在乙和丙的正中间？ 5. 在双轨的铁道上，速度为 54 千米/小时的货车，10 时到达铁桥，10
15、 时 1 分 24 秒完全通 过铁桥，后来一列速度为 72 千米/小时的列车，10 时 12 分到达铁桥，10 时 12 分 53 秒 完全通过铁桥， 10 时 48 分 56 秒列车完全超过在前面行驶的货车 那么货车长多少米？ 客车长多少米？铁桥长多少米？ 第二十三讲 行程问题超越提高 例7 答案：22 分钟 详解：从爸爸第一次追上小明开始画图（图中 A 地） ： 小明从 A 地到学校，再返回 A 地共用 8 分钟，根据前后速度比是 1:3 可知，小明从 A 步行到学校用 6 分钟 爸爸从 A 地骑车回家用 4 分钟，这段路程小明步行要用 16 分钟 所以小明步行上学共需 22 分钟 例8
16、答案：50 千米 详解：设 O、C 之间的距离为 x，可知乙、丙的速度比为，甲、丙的速度比 为， 又因为甲、 乙的速度比为 8:9， 所以， 解得千米 例9 答案：1.2 千米 详解：当公园到博物馆距离为 2 千米时， “直接过去”和“回家取车”用时一样， 设家和公园的距离是 x 千米，则，解得 例10 答案：10 分钟 详解：两天的情况分别画图 1.2x 22 141 xx 家 博物馆 公园 2 千米 x 千米 50x (15)(6) 58 xx 64:(6)x 45:(15)x 家 学校 6 分钟 2 分钟 4 分钟 小明 爸爸 A 按原计划，车在 5 点到达学校，之后返回；第一天，车在
17、A 地接上徐老师，然后 返回，比计划节约 20 分钟，说明车从 A 地到学校需要 10 分钟，所以车在 4:50 接上徐 老师同样的路程，车需要 10 分钟，徐老师需要 50 分钟，所以车速等于人速的 5 倍 第二天，徐老师 4:30 从学校出发，和车在 B 地相遇学校到 B 这段路程，假设车要走 x 分钟，那么徐老师要走 5x 分钟，按原计划，车 5 点到达学校，所以 6x 等于 30 分钟， 可知 x 是 5，所以徐老师和车在 4:55 相遇，于是可以节约 10 分钟 例11 答案：600 详解： 画出线段图即可知道： 小明第一次相遇到第二次相遇之间所走的路程是第一次相 遇所走路程的二倍，
18、对应小强的路程也是二倍关系，小强第二次是第一次的二倍，而第 二次走了 400 米所以第一次走了 200 米所以对比图上距离可知第二次相遇恰在甲站， 所以甲丙之间 600 米 注释：这是一道依靠画图找出路程间倍数关系的题 例12 答案：40 千米 详解：高速路车速 120 千米/时，普通路车速 48 千米/时根据题目叙述可知，走普通 路的时间，与走高速路的时间，差 30 分速度比是 5:2，所以时间比是 2:5，所以走高 速路到机场需要分，所以 A 到机场的路程是千米 120 2040 60 60 20 3 学校 家 4:30 B 徐老师 车 5x 分 x 分 5:00 4: 学校 家 4:00
19、 4:50 A 徐老师 车 练习： 练习 1、答案：24 简答：第一次相遇后小明从相遇点走到学校用了 8 分钟，爸爸返回再追上的时间也是 8 分钟，爸爸的速度是小明的 5 倍，所以爸爸的路程换小明来走需要 40 分钟，所以小明 从家走到学校的时间是分钟 练习 2、答案：8 千米 简答：同例 2 练习 3、答案： 4 3 千米 简答：解法同例题 3 练习 4、答案：7:45 简答：工程师比平时早到了 30 分钟，单程省 15 分，所以，工程师 7:45 上车 4082824 作业 6. 答案：110 7. 答案：19 简答：快车所行路程：240.12.4（千米） ； 中车所行路程： 110 20
20、 63 （千米） ； 骑车人速度： 10 2.446014 3 （千米/时） ； 慢车速度： 1014 126019 330 （千米/时） 注释： 四个人的追及问题， 看似有些混乱， 找出其中关系理清思路， 问题便可迎刃而解 8. 答案：7 简答：考虑甲丙路程和与一个全程的差，是乙丙路程和与一个全程的差的 2 倍，可列方 程得：设时间为x， 645654562xx 7x 注释：从总路程的角度考虑，问题变得简单了 9. 答案：答案： 简答：分两种情况讨论，一是乙未超过丙的情况；二是乙已经超过丙的情况经计算第 一种情况不成立，所以当甲行进到乙和丙之间的时候，乙已经在丙的前面了 10. 答案：答案：480，280，780 简答：列车到达桥的时候货车已经向前行驶了 12 分钟，所以在接下来的 36 分 56 秒内 列车要比货车多走的路程是“货车车速12 分钟”加上“列车车长” 7 3