1、第二十五讲 几何超越提高 本讲知识点汇总： 一、 常用的几何模型（请在下面的横线上写上适当的字母或数字） 1 等高三角形：等高三角形：面积比等于底的比 2 共角三角形：共角三角形： 3 沙漏沙漏模型模型： 4 梯形梯形中的比例关系：中的比例关系： 5 一般四边形中的比例关系：一般四边形中的比例关系： B C A D O 1 S 2 S 3 S 4 S 在梯形 ABCD 中，已知 ADa BCb ，则 1234 :_:_:_:_SSSS 已知 AB/CD，则有 D C O A B _:_=_:_ b a S2 S1 a b S2 S1 a b S2 S1 S1 a S2 b A B C D E
2、A C D B E A B C D E = ADE ABC S S 6 燕尾模型燕尾模型 7 金字塔模型金字塔模型 8 直角三角形； （1）勾股定理； （2）斜边上的中线是斜边的一半； （3）一个角为 30的直角三角形中，短直角边为斜边的一半； 二、 基本解题方法 1 求角度 （1）n 边形内角和，外角和 360 ； （2）三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角之和 2 求长度 （1）面积反求； （2）比例关系； （3）勾股定理 3 求面积 （1）公式法 （2）面积关系法 i 比例；ii 割补；iii 等积变换 2180n A C B D E 已知 DE/BC，则： （1） AD DB ； （
3、2） DE BC a b a b S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 A B C D O （1） 1 2 S S ； （2）= ABD CBD S S 例1 如图， 八边形的8个内角都是135 ， 已知， ，求的长度 分析分析可以尝试把这个图形补成长方形，根据长方形对边相 等解题 练习 1、如图，一个六边形的 6 个内角都是 120，其连续 四边的长依次是 2，10，10，3求这个六边形的周长 例2 图中外侧的四边形是一个边长为 10 的正方形， 求阴影部分的面积 分析分析大家还记得“弦图”解题法吗？ 练习 2、如图，图中最大的长方形面积是 27，最小的长方 形面积是 5，求阴影部
4、分的面积 例3 如图，将边长为 8 和 12 的两个正方形并排放在一起，那么图中阴影 部分的面积是多少？ 分析分析本题要用到“沙漏型” 练习 3、如图，将边长为 10 和 12 的两个正方形并放 在一起，那么阴影部分的面积是多少？ HA 30FG 10DE 20BC ABEF 2 10 10 3 2 3 10 12 F 10 B 20 C A G 30 E D H 例4 如图，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线 段AB与CD相交于K点 已知正方形DEFG的面积是48， :1:3AK KB ，则BKD 的面积是多少？ 分析分析本题会巧妙的运用“等高三角形”解题 练习 4、如图，四边
5、形 ABCD 是一个梯形，四边形 ACEB 是一个平行四边形已知三角形 BCE 的面 积是 18，三角形 AOD 的面积是 12，那么四边形 ADEB 的面积是多少？ 例5 如图， 边长为l的正方形ABCD中， 三角形 AEG 的面积是多少？ 分析分析这道题目需要做辅助线补成 “沙漏型”进行解题 例6 如图，长方形 ABCD 中，三 角形 DFG 的面积为 2，长方形 ABCD 的面积是多少？ 分析分析这道题目也需要做辅助线解题 :1:2DF FC :2:3BE EC CFFD 2BEEC A B C D E F G K D C B A O E A B C D E F G A B C E F
6、G D 印加文明 南美洲古代印第安人文明印加为其最高统治者的尊号，意为太阳之子15 世纪 起势力强盛，极盛时期的疆界以今秘鲁和玻利维亚为中心，北抵哥伦比亚和厄瓜多尔， 南达智利中部和阿根廷北部， 首都在秘鲁南部的库斯科 16 世纪初由于内乱日趋衰落， 1532 年被西班牙殖民者灭亡 印加文明与玛雅文明、阿兹特克文明并称为“印第安三大古老文明” 具有殖民征 服者和印加帝国王室成员双重身份的印卡加西拉索德拉维加，对 16、17 世纪西班 牙征服南美洲印第安文明的过程有着独特的关照视角， 并始终保持着对这场新旧文明冲 突的矛盾立场 印加文明是在南美洲西部、中安第斯山区发展起来的又一著名的印第安古代文
7、 明它的影响范围北起哥伦比亚南部的安卡斯马约河、南到智利中部的马乌莱河，全长 4800 公里，东西最宽处 500 公里，总面积达 90 多万平方公里，人口超过 1000 万大 体说来，它包括了现今厄瓜多尔山区、秘鲁山区部分，玻利维亚高原地区、半个智利和 阿根廷西北部地区 印加帝国享有“美洲的罗马”之称，它以有一套完整的国家体系而闻名于世印加 国是一个奴隶制国家，奴隶主阶级包括印加王、王室贵族、高级官吏和祭司他们不从 事生产劳动，过着奢侈的生活印加王被称为太阳之子，神的化身，拥有至高无上的权 力，独揽国家一切政治、军事和宗教大权为了维护自己的统治，印加王建立了以中央 集权为中心的政治制度，他以斯
8、科为中心，通过各级官吏，牢牢地控制着全国除了政 权机构外，印加奴隶主还拥有一支 20 万人的训练有素的常备军队，用其对外扩张，对 内镇压反叛力量印加帝国还建立了严厉的司法制度，用来维护奴隶主阶级的利益为 了巩固自己的统治，印加王还采取了一些文化和经济措施例如，对于那些刚被征服的 地区，强行推广克丘亚语再者，在全国大兴道路和驿站建设，以库斯科为中心，修建 了条条道路通京城的交通网，以利于对边远地区的控制 印加帝国的灭亡在 1532 年，最后一任印加帝国国王阿达华巴，被西班牙殖民侵略 者弗朗西斯克皮泽洛处以死刑， 结束了 400 年以上繁荣的帝国历史 今日印加帝国最 著名的遗址为建在马丘峰和华伊纳
9、峰之间的马丘比丘 作业 1 如图， 在三角形 ABC 中，2AEEC，BDDC， 已知三角形 ABC 面积是 1， 那么三角形 ABO 的面积是多少？ 2 图中是两个边长分别为 8 和 12 的正方形， 那么阴影部分的面积是多少？ 3 如图，在五边形中有一个角为 60 ，别的角都是 120 这个五边形的周长是多少？ 4 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 20，E、F 分别为 AB 及 BC 之中点那么四 边形 BFGE 的面积是多少？ 5 如图，在边长为 20 的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是多少？ D A C B E O 2 3 1 A B D C G F E G 4 6
10、第二十五讲 几何超越提高 例7 答案：答案：20 详解详解：如图作出辅助线可补出一个长方形，且四个角补出四 个等腰直角三角形可知、 由可知、 所以、，又因 为、，因此 例8 答案：答案：53 详解详解：如图可按图中粗虚线切割正方形，可知阴影部分的面积 是正方形面积的一半加上中间小长方形面积的一半 例9 答案：答案：43.2 详解详解：沙漏模型 例10 答案：答案：12 详解详解：等腰直角三角形的高和正方形的边长相等，所以两者的面积相等，根据沙漏有三 角形 DKB 和三角形 AKC 的面积相等，而，所以三角形 AKC 的面积是 1 份，三角形 BKC 的面积是 3 份，三角形 AKC 的面积是
11、12，BKD 的面积也是 12 例11 答案：答案： 详解详解： 延长 AF， 构造沙漏模型， 有， 因此，所以， 4142 7277 ADE SS 阴 :3:4DG GEAD EH :1:1AD CHDF FC 2 7 :1:3AK KB 20HA PGHP CNDN 10HADNHP 10CNPGBMQF AMQE ABEF 10HAAMHPDNQE 2030BMCNPGQF F 10 B 20 C A G 30 E D H N P Q M 2 3 A B C D E F G H 例12 答案：答案：72 详解详解：延长 DE 与 AB 相交于 H，可得， 因此可 知 练习： 练习 1、答
12、案：答案：45 简答：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为 a 和 b如右图所示，将图 形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为 10 的等边三角形，左下方则是一 个边长为 2 的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为2101022这样 221039a ， 而2 2291 1b 六 边 形 边 长 就 等 于 1 01 02391 14 5 练习 2、答案：答案：16 简答： ， 练习 3、答案：答案： 简答：利用沙漏形可得阴影部分三角形的以 12 为高的底的长度为，所以，阴影面积 为 练习 4、答案：答案：72 简答：梯形 ABCD 中三角形 AOD 和 BOC 面积相等，
13、三角形 ABC 和 ECB 面积相等，所 以，三角形 AOB 的面积为 6，根据等高三角形可得 COD 的面积是 24，四边形 ADEB 的面积是 61212241872 60360 122 1111 60 11 360 11 11516275211 672 ABCDADF SS 612 ADFGDF SS 15 :1:5 33 FG GADF AHCDAB :3:2DC BHCE EB A B C E F G D H 10 2 10 3 10 10 2 a b a a 2 作业 6 答案：答案：0.4 简简答：答：连接 OC，由燕尾定理可知，且 ，所以且，因 此 7 答案：答案：38.4 简
14、简答：答：应用沙漏模型确定顶点连线将大正方形的边分割出的两线段长度比 8 答案：答案：14 简简答：答：如图分割图形即可 9 答案：答案：80 简简答：答：延长 CE 构造沙漏模型，得到 DG 与 GF 的长度比，进而求得三角形 GFC 与三角 形 DFC 的面积比，即可求得三角形 GFC 的面积，而三角形 EBC 的面积易求，两面 积相减即得所求 10 答案：答案：112 简简答：答：如图虚线分割图形，可知阴影部分面积为大正方形面积的一半加上中 间小长方形面积的一半 0.4 ABO S 0.5 ABD S :4:1 ABOBOD SS :1:1 ACDABDCODBOC SSSSBD DC :2:1 ABOBOC SSAE EC 2 3 1 1 3 2 2 2 3 G 4 6