1、已知集合 Mx|yln（x1），Nx|x1，则（ ） AMNM BMNM CMN DMNN 2 （5 分）（ ） Ai Bi C1 D1 3 （5 分） 命题 p： “是的充分不必要条件” ， 命题 q： “lgalgb 是 的充分不必要条件” ，下列为真命题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 4 （5 分）阅读如图所示的程序框图，若输入的 a，b 的值分别是 2019，2020，则输出的 a， b 分别是（ ） A2019，2019 B2020，2019 C2019，2020 D2020，2020 5 （5 分）已知函数若 f（a）+f（1）0，则实数 a 的值等于（ ） A4 B1
2、 C1 D4 6 （5 分）有 5 个空盒排成一排，要把红、黄两个球放入空盒中，要求一个空盒最多只能放 入一个球，并且每个球左右均有空盒，则不同的放入种数为（ ） A8 B2 C6 D4 7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ） 第 2 页（共 19 页） A3 B4 C5 D 8 （5 分）已知 a210，c2log52，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Bcab Cbac Dbca 9（5 分） 已知正数项等比数列an中， a11， 且 4a1与 a5的等差中项是 2a3， 则 a2 （ ） A2 B C4 D2 或 4 10 （5 分）已知圆 C
3、： （x1）2+（y2）22 和点 P（x0，0） ，若圆 C 上存在两点 A，B 使得，则实数 x0的取值范围是（ ） A3，1 B1，3 C2，3 D2，4 11 （5 分）函数在区间上至少取得 1 个最小值， 则正整数 m 的最小值是（ ） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知函数 f（x）lnx，g（x）（ae）x+b若不等式 f（x）g（x）对x （0，+）恒成立，则的最小值是（ ） A B Ce De 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
4、b，c，若 A45，C60， c2，则ABC 最短边的边长是 14 （5 分）设曲线 yxaln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y3x，则 a 15 （5 分） （x1）3（mx2+1）的展开式中 x2的系数是6，且 m0，则 m 16 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C1：与双曲线 C2的公共焦点，A 是 C1，C2，在 第二象限的公共点，若，则 C2的离心率为 第 3 页（共 19 页） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
5、c，已知 （1）求 C； （2）若ABC 的周长为且，求ABC 的面积 18 （12 分）如图 3，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点 （1）求证：BDPC； （2）若ABC60且 PAAB2，求二面角 CPAE 的大小 19 （12 分）三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次假设甲投进的概率是，乙、 丙两人同时投进的概率是，甲、丙两人同时投不进的概率是，且三人各自能否投进 相互独立 （1）求乙、丙两人各自投进的概率； （2）设 表示三人中最终投进的人数，求 的分布列和期望 20 （12 分）已知椭圆 C：过点，且离心率 （1）求椭圆
6、C 的方程； （2）已知斜率为的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同点 A，B，点 P 的坐标为（2，1） ，设 直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为 ，证明：+ 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x2mxm（xR，mR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 m1，不等式 f（x）lnxln2+bx 对一切 x0 恒成立，求实数 b 的取值范围 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如
7、果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 4 页（共 19 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 以原点 O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程 6cos （1）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 的直角坐标为（1，2） ，圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求弦 AB 中点 M 的 直角坐标和|PA|PB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：
8、不等式选讲 23已知 a，b，cR*，a2+b2+c21 （1）求证：ab+bc+ac1； （2）求证： 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年云南省大理州大理市高三（上）学年云南省大理州大理市高三（上）10 月月考数学试月月考数学试 卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只分在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Mx|yln（x1），Nx|x1，则（ ） AMNM BMN
9、M CMN DMNN 【分析】可以求出集合 M，然后进行交集、并集的运算即可 【解答】解：Mx|x10x|x1，Nx|x1， MNN，MNM 故选：B 【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域，交集和补集的运算，考查了计 算能力，属于基础题 2 （5 分）（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可得答案 【 解 答 】 解 ： 法1 ： ； 法 2： 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属基础题 3 （5 分） 命题 p： “是的充分不必要条件” ， 命题 q： “lgalgb 是 的充分不必要条件” ，下列为真命题的是（ ） Apq
10、 Bpq Cpq Dpq 【分析】先判断两个命题的真假，再用复合命题的真假判断所给的命题的真假 【解答】解：， 第 6 页（共 19 页） 不一定成立， 反之一定成立， “是的必要不充分条件”所以命题 p 是假命 题； lgalgbab0，若0 时，则 lgalgb 不成立， 所以命题 q： “lgalgb 是的充分不必要条件”为真命题， 由命题的真值表易得 pq 为真命题， 故选：C 【点评】考查复合命题的真假的判断，属于简单题 4 （5 分）阅读如图所示的程序框图，若输入的 a，b 的值分别是 2019，2020，则输出的 a， b 分别是（ ） A2019，2019 B2020，2019
11、 C2019，2020 D2020，2020 【分析】根据框图代入运算 【解答】 解： 输入 2019， 2020 后， 该程序框图的执行过程是 x2019， a2020， b2019； 故选：B 【点评】本题考查框图，属于基础题 5 （5 分）已知函数若 f（a）+f（1）0，则实数 a 的值等于（ ） A4 B1 C1 D4 【分析】据分段函数的解析式，先求出 a 【解答】解：由 f（1）2，所以 f（a）2， 当 a0 时，2a+20，解得 a1 舍去； 当 a0 时，a+2+20，解得 a4， 故选：A 第 7 页（共 19 页） 【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对
12、自变量进行分析，是基础 题 6 （5 分）有 5 个空盒排成一排，要把红、黄两个球放入空盒中，要求一个空盒最多只能放 入一个球，并且每个球左右均有空盒，则不同的放入种数为（ ） A8 B2 C6 D4 【分析】根据题意，分析可得两个球只能放在第二个和第四个盒子，由排列数公式计算 可得答案 【解答】解：根据题意，要求一个空盒最多只能放入一个球，并且每个球左右均有空盒， 则两个球只能放在第二个和第四个盒子，有 A222 种情况， 即有 2 种不同的放入方法； 故选：B 【点评】本题考查排列组合的应用，注意分析球能放的位置，属于基础题 7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是
13、（ ） A3 B4 C5 D 【分析】根据三视图知，该几何体为半径为 1 的球体，挖去球体， 结合图中数据求出它的表面积 【解答】解：根据三视图知， 该几何体为半径为 1 的球体，挖去球体， 该几何体的表面积为 S4R2+2R24R24 故选：B 【点评】本题考查了三视图的应用问题，解题的关键由三视图想象出直观图，是基础题 第 8 页（共 19 页） 8 （5 分）已知 a210，c2log52，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Bcab Cbac Dbca 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解： ， 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要
14、认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 9（5 分） 已知正数项等比数列an中， a11， 且 4a1与 a5的等差中项是 2a3， 则 a2 （ ） A2 B C4 D2 或 4 【分析】 根据题意， 由等差中项的定义可得 22a34a1+a5， 即， 变形解可得 q 的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，4a1与 a5的等差中项是 2a3， 所以 22a34a1+a5，即， 变形可得 q44q2+40， 解可得 q， 又由数列an为正数项等比数列，则 q， 则 a2a1q， 故选：B 【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，关键求出等比数列的公比，属于
15、基础题 10 （5 分）已知圆 C： （x1）2+（y2）22 和点 P（x0，0） ，若圆 C 上存在两点 A，B 使得，则实数 x0的取值范围是（ ） A3，1 B1，3 C2，3 D2，4 【分析】由得到：，由此求得实数 x0的取值范围 【解答】解：当 PA 和 PB 与圆 C 相切时，APB 最大，要使圆 C 上存在两点 A，B 使得 ，则， 第 9 页（共 19 页） ， 即，解得1x03， 故选：B 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键 11 （5 分）函数在区间上至少取得 1 个最小值， 则正整数 m 的最小值是（ ） A1 B2 C3 D4 【
16、分析】先化简函数，根据题意求解参数 【解答】解：函数 ， f（x）的最小正周期， 又 f（x）在区间上至少取得 1 个最小值， ，解得， 正整数 m 的最小值是 3， 故选：C 【点评】本题考查三角函数求最值，属于中等题 12 （5 分）已知函数 f（x）lnx，g（x）（ae）x+b若不等式 f（x）g（x）对x （0，+）恒成立，则的最小值是（ ） A B Ce De 【分析】令 h（x）f（x）g（x）lnx（ae）xb，则，判断 导函数的符号，得到单调区间求解函数的最值，通过 ln（ae）1b，b1ln（a e） ，ae，由 s（a）的导数为 s（a） ，然后转化求解上的最小值 【解答
17、】解：令 h（x）f（x）g（x）lnx（ae）xb，则， 第 10 页（共 19 页） 当 ae 时，h（x）单调递增，h（x）无最大值，不合题意； 当 ae 时，令 h（x）0，则， 时，h（x）0，h（x）单调递增， ，h（x）0，h（x）单调递减， ， 即 ln（ae）1b，b1ln（ae） ，ae， 由的导数为， 当 a2e 时，且 a2e，； 当 ea2e 时， 可得 a2e 时，取得最小值，上的最小值为， 故选：B 【点评】本题考查了函数的导数的应用，函数的最值的求法，转化思想的应用，属于难 题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
18、，共 20 分）分） 13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A45，C60， c2，则ABC 最短边的边长是 【分析】运用三角形的内角和定理可得角 B，结合大边对大角可判断 a 最短，再由正弦 定理，计算即可得到 a 【解答】解：由 A45，C60，可得 B75， 角 A 最小， 最短边是 a， 由正弦定理，可得 a 故答案为： 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 第 11 页（共 19 页） 14 （5 分）设曲线 yxaln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y3x，则 a 2 【分析】求得函数 y 的
19、导数，可得切线的斜率，由已知切线方程，解 a 的方程，可得所 求值 【解答】解：yxaln（x+1）的导数为， 可得在点（0，0）处的切线斜率为， 解得 a2 故答案为：2 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题 15 （5 分） （x1）3（mx2+1）的展开式中 x2的系数是6，且 m0，则 m 3 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中含 x2的项，再根据展开式中 x2的系数是6，求得 m 的值 【解答】 解： （x1） 3 中含 x2项的项为，（x1） 3 的常数项为， （x1）3（mx2+1）展开式中的 x2项为， （m+3）6，m
20、3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题 16 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C1：与双曲线 C2的公共焦点，A 是 C1，C2，在 第二象限的公共点，若，则 C2的离心率为 【分析】由椭圆的定义得 AF1+AF22a4，结合余弦定理解得，然后求 解 a，即可得到椭圆的离心率 【解答】解：设，由题意知， 由椭圆的定义得 AF1+AF22a4， 在F1AF2中，由余弦定理 163AF1AF2， 第 12 页（共 19 页） 解得， ， 假设 F1，F2分别为左、右焦点，AF2AF1， 则，解得， 所以 C2的离心率 故答案为： 【点评】本题考
21、查椭圆的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力 是基本知识的考查 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （1）求 C； （2）若ABC 的周长为且，求ABC 的面积 【分析】 （1）由已知结合正弦定理进行化简可求 cosC，进而可求 C； （2）由题意 a+b5，然后结合余弦定理可求 ab，代入三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （1）在ABC 中，0C， sinC0， ， 由正弦定理有， 整理得，即， ，0
22、C （2）由题意 a+b5，由余弦定理得， ，即， ， 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 第 13 页（共 19 页） 18 （12 分）如图 3，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点 （1）求证：BDPC； （2）若ABC60且 PAAB2，求二面角 CPAE 的大小 【分析】 （1）先证明 ACBD，又 PABD，得到 BD平面 PAC，再利用线面垂直的性 质得出即可； （2）以 A 为原点，过 A 作 BC 的垂线为 x 轴，AD 为 y 轴，PA 为 z 轴建立空间直角坐标 系，先求出平面
23、 PAE 和 PAC 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论 【解答】解： （1）证明：因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD， 因为底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD， 因为 PAACA，PA，AC平面 PAC， 所以 BD平面 PAC， PC平面 PAC， BDPC （2）解：以 A 为原点，过 A 作 BC 的垂线为 x 轴，AD 为 y 轴，PA 为 z 轴建立空间直角 坐标系， 由ABC60且PAAB2， ， ， 设平面 PAE 的法向量为， 则，得，可以得到， 又平面 PAC 的法向量为， 第 14 页（共 19 页） ， 所以二面角 CPAE
24、 的大小为： 【点评】考查线面垂直的性质定理，用法向量法求二面角的范围，中档题 19 （12 分）三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次假设甲投进的概率是，乙、 丙两人同时投进的概率是，甲、丙两人同时投不进的概率是，且三人各自能否投进 相互独立 （1）求乙、丙两人各自投进的概率； （2）设 表示三人中最终投进的人数，求 的分布列和期望 【分析】 （1）记甲、乙、丙各自投进的事件分别为 A1，A2，A3，由 A1，A2，A3相互独立， 列方程组能求出乙、丙各自投进的概率 （2） 的可能取值为 0，1，2，3分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学 期望 【解答】解： （1）记甲、乙、丙各
25、自投进的事件分别为 A1，A2，A3， 由已知 A1，A2，A3相互独立，且满足 解得， 所以乙、丙各自投进的概率分别为 （2） 的可能取值为 0，1，2，3 第 15 页（共 19 页） ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查 相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：过点，且离心率 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知斜率为的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同点 A，B，点 P 的坐标为（2，1） ，设 直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为 ，证明
26、：+ 【分析】 （1）由题意得解出 a，b； （2）只需证明 k1+k20，设出 A，B 两点坐标，设出直线 l 的方程与椭圆方程联立，写 出韦达定理，将斜率化为 A，B 的坐标关系，再将得出的关系代入； 【解答】解： （1）由题意得 解得 a28，b22， 第 16 页（共 19 页） 所以椭圆的方程为 （2）证明：设直线， 由消去 y 得 x2+2mx+2m240，4m28m2+160， 解得2m2 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， 由题意，易知 PA 与 PB 的斜率存在，所以 设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1，k2， 则 tank1，tank2， 要证 +，
27、即证 tantan（B）tan， 只需证 k1+k20， ， 故， 又， 所以 ， k1+k20， 故 + 【点评】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，考查转化的方法，方程联立韦达 定理的这种设而不求的方法的应用，属于难题 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x2mxm（xR，mR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 m1，不等式 f（x）lnxln2+bx 对一切 x0 恒成立，求实数 b 的取值范围 第 17 页（共 19 页） 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间即可 （2）问题转化即 e2xlnx（b+2）xln2e 在，ln2e
28、 小于等于 g（x）最小值即可 【解答】解： （1）f（x）的定义域是 R，f（x）2e2x2m m0 时，f（x）0，f（x）在 R 上单调递增： m0 时，f（x）2e2x2m0，解得， 当时，f（x）0，则 f（x）在上递减； 当时，f（x）0，则 f（x）在上递增 （2）当 m1 时，f（x）e2x2x1， 依题意知不等式 f（x）lnxln2+bx， 即 e2x2x1lnxln2+bx 在（0，+）上恒成立， 即 e2xlnx（b+2）xln2e 在（0，+）上恒成立， 设 g（x）e2xlnx（b+2）x， 令， 易知 g（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+）上递增， 则， 即
29、，设 t2x00， 则 h（t）（t1）e+lnt0， 则 h（t）递增，又 h（1）0， 故 0t2x01， ， 解得 b2e4 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，恒成立问题以及分类讨论思想，转化思 想，是一道中档题 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修
30、选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 18 页（共 19 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 以原点 O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程 6cos （1）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 的直角坐标为（1，2） ，圆 C 与直线 l 交于 A，B 两点，求弦 AB 中点 M 的 直角坐标和|PA|PB|的值 【分析】 （1）把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，把6cos 两边同时 乘以 ，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得圆 C 的直角坐标方程； （2）把
31、直线的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得到关于 t 的一元二次方程，利用根 与系数的关系及此时 t 的几何意义求解|PA|PB|的值 【解答】解： （1）由（t 为参数） ，得直线 l 的普通方程为 x+y30 又由 6cos，得 26cos， 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y26x0，即（x3）2+y29 （2）直线 l 的参数方程， 代入圆 C 的直角坐标方程，得，即 由于360，故可设 t1，t2是上述方程的两实数根，则 又直线 l 过点（1，2） ，A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 弦的中点 M 对应的参数， 代入参数方程中得其直角坐标为 M（3，0） ，|PA|PB|t1|t2|t1t2|1 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数 方程中此时 t 的几何意义的应用，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b，cR*，a2+b2+c21 （1）求证：ab+bc+ac1； 第 19 页（共 19 页） （2）求证： 【分析】 （1）构造代数式，利用基本不等式证明； （2）利用 1 的巧妙代换，化简，再用 基本不等式证明 【解答】 解：（1） 证明： a2+b2+c21，取等号 （2）证明： ， 所以，取等号 【点评】考查基本不等式的应用，结合代数式 1 的巧妙代换，中档题