1、某教育局为了解 “跑团” 每月跑步的平均里程，收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间 “跑团” 每月跑步的平均里程 （单位： 公里） 的数据， 绘制了下面的折线图 根 据折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 4 （5 分）边长为 m 的正方形内有一个半径为 n（n）的圆向正方形中随机扔一粒豆 子（忽略大小，视为质点） ，若它落在该圆内的概率为，则圆周率 的值为（ ） A
2、B C D 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A2 B C D 6 （5 分）若点 P（cos，sin）在直线 3x4y0 上，则 cos2（ ） A B C D 7（5分） 已知等比数列an满足a1+a26， a4+a548， 则数列an前10项的和为S10 （ ） A1022 B1023 C2046 D2047 8 （5 分）若函数 f（x）excosx 在点（0，f（0） ）处的切线与直线 2xay+10 互相垂直， 则实数 a 等于（ ） A2 B1 C1 D2 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位相同） ，记该几何体的体
3、积为 V，则 V（ ） A B243 C D729 10 （5 分）设 F 是双曲线的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为虚轴的一个端点，则 C 的离心率为（ ） 第 3 页（共 24 页） A2 B C5 D 11 （5 分）下列命题正确的是（ ） A函数的零点在区间内 B命题“xR，x210”的否定是“xR，x210” C已知实数 a、b，则“ab”是“a2b2”的必要不充分条件 D设 m，n 是两条直线， 是空间中两个平面若 m，n，mn，则 12 （5 分）设函数 f（x）ex+x2，g（x）lnx+x23若实数 a，b 满足 f（a）0，g （b）0，则（ ） A
4、g（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b） Df（b）g（a）0 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13（5 分） 若向量满足， 则 与 的夹角为 14 （5 分）已知等差数列an的前 n 项为 Sn，且 a1+a514，S927，则使得 Sn取最小 值时的 n 15 （5 分）已知三点 O（0，0） ，A（2，1） ，B（2，1） ，曲线 C 上任意一点 M（x，y） ， 满足|+| （+）+2，则曲线 C 的方程为 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，ABC 是边
5、长为 6 的等边三角形， PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了 2018 年 下半年该市 100 名农民工（其中技术工、非技术工各 50 名）的月工资，得
6、到这 100 名农 民工的月工资均在25，55（百元）内，且月工资收入在45，50） （百元）内的人数为 15， 并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： （1）求 n 的值； （2）已知这 100 名农民工中月工资高于平均数的技术工有 31 名，非技术工有 19 名 完成如下所示 22 列联表 第 4 页（共 24 页） 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 50 月工资高于平均数 50 总计 50 50 100 则能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平 均数有关系？ 参考公式及数据：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.05 0.
7、01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 18 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若，a3，求 b； （2）若，a2，求ABC 的周长的范围 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACAA12，D 为棱 CC1的中点，AB1 A1BO （1）证明：C1O平面 ABD； （2） 已知ACBC且ACBC， E为线段A1B上一点， 且三棱锥的体积为CABE， 求 第 5 页（共 24 页） 20 （12 分）已知函数在1，+）上为增函数，且 （0，） ， ， （其中 m0） （1）求 的值； （
8、2）设函数 F（x）f（x）g（x） ，若 F（x）在（0，2）上有两个极值点，求 m 的取 值范围 21 （12 分）已知 P（3，0） ，椭圆的离心率为，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，AB 长度的最大值为 4 （1）求 C 的方程； （2）直线 l 与 x 轴的交点为 M，当直线 l 变化（l 不与 x 轴重合）时，若， 求点 M 的坐标 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10
9、分）在极坐标系中，射线 l：与圆 C：2 交于点 A，椭圆的方程为： ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角标系 xOy （1）求点 A 的直角坐标和椭圆的参数方程； （2）若 B 为椭圆的下顶点，M 为椭圆上任意一点，求的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，a3+b32证明： （1） （a+b） （a5+b5）4； 第 6 页（共 24 页） （2）a+b2 第 7 页（共 24 页） 2019-2020 学年云南省大理州高三（上）学年云南省大理州高三（上）11 月月考数学试卷（文月月考数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
10、 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，Bx|（x+1） （x2）0，xZ，则 AB 等于（ ） A1 B1，2 C0，1，2，3 D1，0，1，2， 3 【分析】先求出集合 A，B，由此利用并集的定义能求出 AB 的值 【解答】解：集合 A1，2，3， Bx|（x+1） （x2）0，xZ0，1， AB0，1，2，3 故选：C 【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，
11、注意并集定义的合理运 用 2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i，则|z|（ ） A B C D2 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】解：（1+i）z2i，（1i） （1+i）z2i（1i） ，zi+1 则|z| 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 3 （5 分）某教育局为了解 “跑团” 每月跑步的平均里程，收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间 “跑团” 每月跑步的平均里程 （单位： 公里） 的数据， 绘制了下面的折线图 根 据折线图，下列结论正确的是（ ） 第 8 页（共
12、 24 页） A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 【分析】月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步平均里程 2 月、7 月、 8 月和 11 月减少；月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月；1 月至 5 月的月跑步平均里 程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 【解答】解：由 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位： 公里）的数据，绘制的折线图，知：
13、在 A 中，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数，故 A 错误； 在 B 中，月跑步平均里程 2 月、7 月、8 月和 11 月减少，故 B 错误； 在 C 中，月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月，故 C 错误； 在 D 中， 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月， 波动性更小， 变化比较平稳， 故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据 处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题 4 （5 分）边长为 m 的正方形内有一个半径为 n（n）的圆向正方形中随机扔一粒豆 子（忽略大小，视为质点
14、） ，若它落在该圆内的概率为，则圆周率 的值为（ ） A B C D 【分析】由几何概型中的面积型概率的求法，求出圆周率 的值即可得解 【解答】解：设事件 A 为“向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点） ，它落在 该圆内” 第 9 页（共 24 页） 由几何概型中的面积型可得： P（A）， 即， 即 ， 故选：B 【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属基础题 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A2 B C D 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【
15、解答】解：当 k0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k1，S2， 当 k1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k2，S， 当 k2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k3，S， 当 k3 时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 第 10 页（共 24 页） 循环的方法解答 6 （5 分）若点 P（cos，sin）在直线 3x4y0 上，则 cos2（ ） A B C D 【分析】由题意求得 tan 的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的余弦公 式，求得 cos2 的值 【
16、解答】解：点 P（cos，sin）在直线 3x4y0 上， 3cos4sin0，故有 tan， 则 cos2， 故选：B 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的余弦公式的应用，属于 基础题 7（5分） 已知等比数列an满足a1+a26， a4+a548， 则数列an前10项的和为S10 （ ） A1022 B1023 C2046 D2047 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】 解： 设等比数列an的公比为 q， a1+a26， a4+a548， a1（1+q） 6， （1+q）48， 联立解得 a1q2 则数列an前 10 项的和为 S102046 故
17、选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 8 （5 分）若函数 f（x）excosx 在点（0，f（0） ）处的切线与直线 2xay+10 互相垂直， 则实数 a 等于（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】求出原函数的导函数，得到 f（0） ，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解 【解答】解：f（x）excosx，f（x）excosxexsinx， f（0）e0cos0e0sin01， 第 11 页（共 24 页） 又函数 f（x）excosx 在点（0，f（0） ）处的切线与直线 2xay+10 互相垂直， 1，即 a2 故选：A 【点评
18、】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的 关系，是基础题 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位相同） ，记该几何体的体积为 V，则 V（ ） A B243 C D729 【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥 PABCD，图中正方体的棱长为 9， 再由棱锥体积公式求解 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥 PABCD，图中正方体的棱长为 9， 则 故选：B 【点评】本题考查与三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 第 12 页（共 24 页） 10 （5 分）设 F 是双曲线的一个焦点，若 C 上存在点 P，使
19、线段 PF 的中点恰为虚轴的一个端点，则 C 的离心率为（ ） A2 B C5 D 【分析】利用双曲线的性质，求出 b，c，代入即可 【解答】解：令 yc，则 x2b， 则 b6，c29+3645，c3， 所以 e， 故选：D 【点评】考查双曲线的性质，离心率的求法，基础题 11 （5 分）下列命题正确的是（ ） A函数的零点在区间内 B命题“xR，x210”的否定是“xR，x210” C已知实数 a、b，则“ab”是“a2b2”的必要不充分条件 D设 m，n 是两条直线， 是空间中两个平面若 m，n，mn，则 【分析】由函数零点判定定理判断 A；写出特称命题的否定判断 B；由充分必要条件的判
20、 定方法判断 C；利用空间中的线面关系判断 D 【解答】解：函数为实数集上的增函数， 又 f（）0，f（）0函数的零点在区间（，）内， 故 A 正确； “xR，x210”的否定是“xR，x210” ，故 B 错误； 已知实数 a，b，由 ab，不一定有 a2b2，反之由 a2b2，不一定有 ab，则“ab” 是“a2b2”的既不充分也不必要条件，故 C 错误； 设 m，n 是两条直线， 是空间中两个平面，若 m，n，mn，则 与 相交或 ，故 D 错误 故选：A 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了函 第 13 页（共 24 页） 数零点判定定理，考查空间
21、想象能力和思维能力，是中档题 12 （5 分）设函数 f（x）ex+x2，g（x）lnx+x23若实数 a，b 满足 f（a）0，g （b）0，则（ ） Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b） Df（b）g（a）0 【分析】先判断函数 f（x） ，g（x）在 R 上的单调性，再利用 f（a）0，g（b）0 判 断 a，b 的取值范围即可 【解答】解：由于 yex及 yx2 关于 x 是单调递增函数，函数 f（x）ex+x2 在 R 上单调递增， 分别作出 yex，y2x 的图象，f（0）1+020，f（1）e10，f（a）0， 0a1 同理 g（x）lnx+x23 在
22、 R+上单调递增，g（1）ln1+1320，g（） ，g（b）0， g（a）lna+a23g（1）ln1+1320， f（b）eb+b2f（1）e+12e10 g（a）0f（b） 故选：A 【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13（5 分） 若向量满足， 则 与 的夹角为 【分析】根据即可得出，从而可求出，这样根据向量 第 14 页（共 24 页） 夹角的余弦公式即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角 【解答】解：， ， ， ， 又， 与 的夹角为 故答案
23、为： 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考 查了计算能力，属于基础题 14 （5 分）已知等差数列an的前 n 项为 Sn，且 a1+a514，S927，则使得 Sn取最小 值时的 n 6 【分析】由题意，可根据 a1+a514，S927 解出数列的公差，从而求得数列的通项 公式，求出所有负项的个数，即可得出 Sn取最小值时，n 所取的值 【解答】解：设等差数列an的公差是 d， a1+a514，S927， 2a1+4d14，即 a1+2d7， S99（a1+4d）27，即 a1+4d3， 联立得到：a111，d2 故有 ana1+（n1）d2n13 令
24、 an0，可解得 n，由此知，数列的前 6 项为负项 故 Sn取最小值时，n 等于 6 故答案为：6 【点评】本题考查等差数列的和与通项，研究等差数列的前 n 项和的最小值，常用的方 法是找出所有的负项，即可得到和的最小值，本题属于基础题，难度较低 15 （5 分）已知三点 O（0，0） ，A（2，1） ，B（2，1） ，曲线 C 上任意一点 M（x，y） ， 第 15 页（共 24 页） 满足|+| （+）+2，则曲线 C 的方程为 x24y 【分析】先由各点坐标求出各向量坐标，代入满足的等式，化简即可得到曲线 C 的方程 【解答】解：点 O（0，0） ，点 A（2，1） ，点 B（2，1）
25、 ，点 M（x，y） ， （2x，1y） ，（x，y） ，（2，1） ，（2， 1） ， （2x，22y） ，2x+y，2x+y， 满足|+| （+）+2， +22x+y+2x+y+22y+2， 即：4x2+（22y）2（2y+2）2， 化简得：x24y， 曲线 C 的方程为：x24y， 故答案为：x24y 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质和基本运算，向量的坐标运算，是中档 题 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，ABC 是边长为 6 的等边三角形， PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 48 【分析】由题意画出图形，由
26、已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案 【解答】解：如图， 在等边三角形 ABC 中，取 AB 中点 F，设其中心为 O， 由 AB6，得 COCF2 PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， F 为PAB 的外心，则 O 为棱锥 PABC 的外接球球心， 则外接球半径 ROC2 该三棱锥外接球的表面积为 448 故答案为：48 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法， 考查计算能力，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
27、第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了 2018 年 下半年该市 100 名农民工（其中技术工、非技术工各 50 名）的月工资，得到这 100 名农 民工的月工资均在25，55（百元）内，且月工资收入在45，50） （百元）内的人数为 15， 并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： （1）求 n 的值； （2）已知这 100 名农民工中月工资
28、高于平均数的技术工有 31 名，非技术工有 19 名 完成如下所示 22 列联表 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 50 月工资高于平均数 50 总计 50 50 100 则能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平 均数有关系？ 参考公式及数据：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 第 17 页（共 24 页） 【分析】 （1）根据题意，利用频率和为 1 列方程求出 n 的值； （2）根据题意填写列联表即可； 由表中数据计算观测值，对照临界值
29、得出结论 【解答】解： （1）月工资收入在45，50） （百元）内的人数为 15， 月工资收入在45，50） （百元）内的频率为：； 由频率分布直方图得： （0.02+0.04+2n+0.01）5+0.151， 解得 n0.05； （2）根据题意得到列联表如下； 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 19 31 50 月工资高于平均数 31 19 50 总计 50 50 100 由表中数据，计算， 不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下， 认为是不是技术工与月工资是否高于平均 数有关 【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题 18 （12 分）已知ABC
30、的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若，a3，求 b； （2）若，a2，求ABC 的周长的范围 【分析】 （1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式可求 sinB 的值， 进而根据正弦定理可求 b 的值 第 18 页（共 24 页） （2）法一：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 b+c4sin（B+）的值，结合 B 的范围，利用正弦函数的性质可求其范围； 法二：由余弦定理，基本不等式可求 b+c4，利用三角形两边之和大于第三边可得 b+c 2，进而可得解ABC 的周长的范围 【解答】解： （1），a3， ， （2）由正弦定理得， 可得， ， ，B+（，） ，
31、可得 sin（B+）（，1， 2b+c4， ABC 的周长的范围（4，6 方法二：， ， bc（b+c）242bc，可得：3bc（b+c）24， ， （b+c）216b+c4，当且仅当 bc2 时，取“”号 b+c2， 2b+c4， ABC 的周长的范围（4，6 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦 定理，基本不等式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础 题 第 19 页（共 24 页） 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACAA12，D 为棱 CC1的中点，AB1 A1BO （1）证明：C1O平面 ABD；
32、 （2） 已知ACBC且ACBC， E为线段A1B上一点， 且三棱锥的体积为CABE， 求 【分析】 （1）取 AB 的中点 F，连接 OF，DF证明四边形 OFDC1为平行四边形，推出 C1ODF，然后证明 C1O平面 ABD （2）设 E 到平面 ABC 的距离为 h，通过，转化求解 即可 【解答】 （1）证明：取 AB 的中点 F，连接 OF，DF 侧面 ABB1A1为平行四边形， O 为 AB1的中点， 四边形 OFDC1为平行四边形，则 C1ODF， C1O平面 ABD，DF平面 ABD， C1O平面 ABD （2）解：设 E 到平面 ABC 的距离为 h， 则， h1， E 与 O
33、 重合， 第 20 页（共 24 页） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了棱柱、棱锥及棱台体积的求法，训练 了等积法，是中档题 20 （12 分）已知函数在1，+）上为增函数，且 （0，） ， ， （其中 m0） （1）求 的值； （2）设函数 F（x）f（x）g（x） ，若 F（x）在（0，2）上有两个极值点，求 m 的取 值范围 【分析】 （1）在1， +） 上恒成立， 又 sin1，只有 sin1结合 （0，） ，可以得到 的值 （2）由（1）得，令 h（x）mx22x+m， 由题意 h（x）在（0，2）上有两个不相等的零点，所以，即可得出答案 【解答】解： （1）由题意，在1
34、，+）上恒成立， 即（0，） ，sin0 故 sinx10 在1，+）上恒成立， ， 第 21 页（共 24 页） 又 sin1， 只有 sin1 结合 （0，） ， 得 （2）由（1）得 令 h（x）mx22x+m， 由题意 h（x）在（0，2）上有两个不相等的零点， ，即 所以，m 的取值范围是 【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解 答 21 （12 分）已知 P（3，0） ，椭圆的离心率为，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，AB 长度的最大值为 4 （1）求 C 的方程； （2）直线 l 与 x 轴的交点为 M，当直线 l 变化（l 不与 x
35、轴重合）时，若， 求点 M 的坐标 【分析】 （1）利用已知条件求出 a，结合离心率求出 c，然后求解 b，得到椭圆方程 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，l 的方程为 xky+m，代入椭圆方程，利用判别式以及 韦达定理，通过，由角平分定理或正弦定理，得到 kPAkPB，即 kPA+kPB 0，然后求解 m，推出直线系结果的定点即可 第 22 页（共 24 页） 【解答】解： （1）椭圆的离心率为， 直线 l 与 C 交于 A，B 两点，AB 长度的最大值为 4可得 2a4，所以 a2，c1，则 b ， 所以 C 的方程为 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，l
36、的方程为 xky+m， 代入椭圆方程并整理得（3k2+4）y2+6kmy+3m2120， （6km）24（3k2+4） （3m212）0 解得 m23k2+4， 因为|MA|PB|MB|PA|即， 由角平分定理或正弦定理，即可得到MPAMPB， 即OPAOPB，所以 kPAkPB，即 kPA+kPB0， 又， 所以 y（x2+3）+y2（x1+3）0， 即， 所以6k（4+3m）0，因为 k 为变量，所以， 所以点 M 的坐标为 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性 质，考查转化思想以及计算能力，是难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考
37、生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，射线 l：与圆 C：2 交于点 A，椭圆的方程为： ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角标系 xOy （1）求点 A 的直角坐标和椭圆的参数方程； 第 23 页（共 24 页） （2）若 B 为椭圆的下顶点，M 为椭圆上任意一点，求的最大值 【分析】 （1）直接由射线和圆的极坐标方程联立即可求出点 A 的极坐标，再转化为直角 坐标；要求椭圆的参数方程，需要先将椭圆的极坐标
38、方程转化为直角坐标方程 （2）可设点 M 的参数坐标，转化为三角函数求最值 【解答】解： （1）射线 l：与圆 C：2 交于点， 点 A 的直角坐标； 椭圆的方程为，直角坐标方程为， 参数方程为（ 为参数） （2）设， B（0，1） ， ， ） +5， 其中 sin， cos ， 当 sin（+）1 时，的最大值为 【点评】本题考查了求交点坐标，极坐标方程与直角坐标方程，参数方程之间的互化， 以及利用参数方程求最值的技巧，属于中低档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，a3+b32证明： （1） （a+b） （a5+b5）4； （2）a+b2 【分析】 （1）由柯
39、西不等式即可证明， （2）由 a3+b32 转化为ab，再由均值不等式可得：ab （）2，即可得到（a+b）32，问题得以证明 【解答】证明： （1）由柯西不等式得： （a+b） （a5+b5）（+） 2（a3+b3） 24， 第 24 页（共 24 页） 当且仅当，即 ab1 时取等号， （2）a3+b32， （a+b） （a2ab+b2）2， （a+b）（a+b）23ab2， （a+b）33ab（a+b）2， ab， 由均值不等式可得：ab（）2， （a+b）32， （a+b）32， a+b2，当且仅当 ab1 时等号成立 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题