1、集合 A0，1，2，B20，log24，log20201，则 AB（ ） A0，1 B1，2 C0，2 D0，1，2 2 （5 分）i 表示虚数单位，复数 z（1+2i）2i 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）中共一大会址（现上海市兴业路 76 号） 、江西井冈山（中共革命根据地） 、贵州 遵义（遵义会议召开地） 、陕西延安（中共革命圣地）是中学生的几个重要的研学旅行地 （只是部分） 某中学在校学生 3000 人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研 学旅行的情况，随机调查了 500 名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共
2、 有 40 人，到过井冈山研学旅行的 20 人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的 恰有 10 人， 根据这项调查， 估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有 （ ） 人 A240 B180 C120 D60 4（5 分） 若ABC 的内角 A， B， C 既成等差数列又成等比数列， 边长|AB|2， 则 （ ） A1 B C D 5 （5 分）函数的大致图象是（ ） A B C D 6 （5 分）我国南宋时期数学家秦九韶（12021261）在他的著作数书九章中提出了他 第 2 页（共 25 页） 的一种算法，后人为了纪念他，就叫秦九韶算法算法的程序框图如图，已知 f（x） 4x4
3、+2x3+3.5x22.6x+1.7，用秦九韶算法求得 f（5）（ ） A2826.2 B2827.2 C2828.2 D2829.2 7 （5 分）曲线 ex2xlnxy0 在点（1，e）处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的面积等于 （ ） A B C D 8 （5 分）已知函数 f（x）（x1） （x2）（x10） （各个因式是 x 减去逐渐增大的自 然数构成的一次式） 如果一个大于 1 的整数除 1 和它本身外没有其它因数，则称这个数 为质数 在函数 f （x） 的全部零点中随机取两个数， 这两个数都是质数的概率等于 （ ） A B C D 9 （5 分）已知如图的多面体 ABCA1B1
4、C1是正三棱柱，AB6，直线 m平面 ABB1A1，直 线 n平面 BCC1B1，下列选项中错误的是（ ） ABAC60，BAA190 BAA1等于恰当的长度时，A1BC1可以成为正三角形 Cm 与 n 所成的角可能等于 90 D多面体 ABCA1B1C1的全面积等于时，其体积等于 9 10 （5 分）已知双曲线的左、右两个焦点是 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲 线交于 A，B，C，D 四个点，若多边形 ABF2CDF1是正六边形，则这个双曲线的离心率 等于（ ） A+1 B C D+1 11 （5 分）给出下列四个命题： 第 3 页（共 25 页） 函数 ysin|x|+cosx
5、的值域是； 函数在区间上单调递增； 函数 yxsinx 在实数集 R 上单调递增； 函数 yx2+sinx 在区间0，+）上单调递增 其中正确的命题是（ ） A B C D 12 （5 分）心脏曲线 x2+y2x|y|40 的图象大致如图给出如下 4 个命题：曲线关于 x 轴对称；曲线上恰好有 6 个整点（纵坐标、横坐标都是整数的点） ；曲线围成的区 域的面积大于 8； 曲线上的点到原点距离的最大值等于 其中正确的命题是 （ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（5 分） 已知数列an的前 n 项和
6、Sn满足：， 则 a1 ， S10 14 （5 分）已知ABC 的三边长度|AB|2，|BC|3，|CA|4，则 15 （5 分）已知点 M 与点 A的距离的差的绝对值等于， 则点 M 的轨迹方程（化为最简）是 16 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长等于 2，与它的体对角线 B1D 垂直的截面 的面积的最大值等于 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小 鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其
7、中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离 子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方 法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图所示的直方图： 第 4 页（共 25 页） 根据频率分布直方图估计，事件 C： “乙离子残留在体内的百分比不高于 5.5”发生的概 率 P（C）0.30 （1）根据所给的频率分布直方图估计各段频数（在答题卡填写两个频数分布表） ； （附：频数分布表） A 组实 验甲离 子残留 频数表 0， 1.5） 1.5， 2.5） 2.5， 3.5） 3.5， 4.5） 4.5， 5.5） 5.5， 6.5） 6.5， 7.5
8、） 7.5， 8.5） 8.5， 100 B 组实 验甲离 子残留 频数表 0， 1.5） 1.5， 2.5） 2.5， 3.5） 3.5， 4.5） 4.5， 5.5） 5.5， 6.5） 6.5， 7.5） 7.5， 8.5） 8.5， 100 （2）请估计甲离子残留百分比的众数和中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值 18 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边长分别等于 a，b，c，列举如下五个条件： asinBsinAcosA1；sinAsin2A；a2；ABC 的周 长等于 6 （1）请在中选择其中一个（仅选一个）条件作为依据，求角 A 的大小； （2）在（1）的结论的
9、基础上，再在中选择其中一个（仅选一个）作为添加条件， 求ABC 面积的最大值 19 （12 分）在如图的平面凹五边形 ABCDE 中，ACBE 于 C，ACCE3，BCDC5， DE4以 AC，CE 为折痕将平面 ABC，平面 CED 折起，使 B 与 D 重合后仍记作 B，得 到四面体 ACBE 第 5 页（共 25 页） （1）作出几何体 ACBE 的直观图（不需要写出作法） ； （2）在四面体 ACBE 中，平面 ABE 与 ACE 是否垂直？请证明你的判断； （3）求四面体 ACBE 外接球的体积 20 （12 分）函数 f（x）x2axa2lnx （1）若 a2，求曲线 yf（x）在
10、点 T（1，f（1） ）处的切线的方程； （2）若函数 f（x）有零点，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，以 C 的顶点为顶点的四 边形的面积等于 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知 A， B 是椭圆 C 上两点， 直线 AB 过右焦点 F2且倾斜角等于 45， 椭圆 C 在 A， B 处的两条切线相交于点 D，求ABD 外接圆的方程 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定
11、位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）如图的网格中的小正方边长等于一个单位长度，在网格中建立了如图的极坐标 系与直角坐标系（极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合） 曲线 M 的（分段）极坐 标方程是 （1）请在网格图中作出曲线 M（可以不写说明，直接作出图形） ； （2）倾斜角是锐角的直线 l 与曲线 M 相切并恰好有两个切点，求切线 l 的极坐标方程 第 6 页（共 2
12、5 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|2x3| （1）解不等式 f（x）1； （2）若x0使，求 a 的取值范围 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年云南省曲靖一中学年云南省曲靖一中高三（下）质检数学试卷（文科）高三（下）质检数学试卷（文科） （六）（六） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）集合 A0，1，
13、2，B20，log24，log20201，则 AB（ ） A0，1 B1，2 C0，2 D0，1，2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A0，1，2， B20，log24，log202011，2，0， AB0，1，2 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）i 表示虚数单位，复数 z（1+2i）2i 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：z（1+2i）2i（1+4i4）i43i， 复数
14、z（1+2i）2i 在复平面内对应的点的坐标为（4，3） ，位于第三象限 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）中共一大会址（现上海市兴业路 76 号） 、江西井冈山（中共革命根据地） 、贵州 遵义（遵义会议召开地） 、陕西延安（中共革命圣地）是中学生的几个重要的研学旅行地 （只是部分） 某中学在校学生 3000 人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研 学旅行的情况，随机调查了 500 名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共 有 40 人，到过井冈山研学旅行的 20 人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅
15、行的 恰有 10 人， 根据这项调查， 估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有 （ ） 第 8 页（共 25 页） 人 A240 B180 C120 D60 【分析】先求出 500 人中符合条件的人数，再按对应比例相等即可求解 【解答】解：因为 500 名学生中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有 40 人， 到过井冈山研学旅行的 20 人， 到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有 10 人； 故到过中共一大会址研学旅行的学生有 30 人； 所以：按照其所占比例可得：所求180； 故选：B 【点评】本题主要考查等可能事件的概率以及用样本估计总体，属于基础题目 4（5 分） 若A
16、BC 的内角 A， B， C 既成等差数列又成等比数列， 边长|AB|2， 则 （ ） A1 B C D 【分析】由题意可得此三角形为等边三角形，ABC60， 【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 既成等差数列又成等比数列，ABC60， 此三角形为等边三角形， tan（A）tan（6015）tan451， 故选：A 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，关键是判断此三角形为等边三角形， 属于基础题 5 （5 分）函数的大致图象是（ ） A B 第 9 页（共 25 页） C D 【分析】先求出函数的定义域，结合函数组的对应性进行判断即可 【解答】解：函数的定义域为x|x1，排除 D，
17、 当 x1 时，f（x）0 恒成立，排除 A， 当 x1 时，f（x）0 恒成立，排除 C， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的定义域，结合函数取值范围 和对应性是否一致是解决本题的关键比较基础 6 （5 分）我国南宋时期数学家秦九韶（12021261）在他的著作数书九章中提出了他 的一种算法，后人为了纪念他，就叫秦九韶算法算法的程序框图如图，已知 f（x） 4x4+2x3+3.5x22.6x+1.7，用秦九韶算法求得 f（5）（ ） A2826.2 B2827.2 C2828.2 D2829.2 【分析】直接利用秦九韶算法的应用求出结果 【解答】解：f（x）4x4
18、+2x3+3.5x22.6x+1.7， （ （ （4x+2）x+3.5）x2.6）x+1.7， 所以 v04， v145+222， v2225+3.5113.5， v3113.552.6564.9， v4564.95+1.72826.2 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用，秦九韶算法的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7 （5 分）曲线 ex2xlnxy0 在点（1，e）处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的面积等于 （ ） 第 10 页（共 25 页） A B C D 【分析】本题先将曲线方程改写为 yex2xlnx然后计算出 x1 时的一阶导
19、数值，即 为曲线 ex2xlnxy0 在点（1，e）处的切线 l 的斜率，写出切线 l 的方程，然后计算 出切线 l 在 x、y 轴上的截距，即可得到切线 l 与坐标轴围成的三角形的面积 【解答】解：由题意，曲线可写成 yex2xlnx 则 yex2lnx2， y|x1e2 曲线 ex2xlnxy0 在点（1，e）处的切线 l 的斜率即为 e2 切线 l 的方程为 ye（e2） （x1） 当 x0 时，y2；当 y0 时，x 切线 l 与坐标轴围成的三角形的面积为2 故选：C 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程，以及三角形面积的计算考查了转化思想， 定义法，直线方程的基础知识，逻辑思维能力
20、和数学运算能力本题属中档题 8 （5 分）已知函数 f（x）（x1） （x2）（x10） （各个因式是 x 减去逐渐增大的自 然数构成的一次式） 如果一个大于 1 的整数除 1 和它本身外没有其它因数，则称这个数 为质数 在函数 f （x） 的全部零点中随机取两个数， 这两个数都是质数的概率等于 （ ） A B C D 【分析】在函数 f（x）的全部零点中随机取两个数，基本事件总数 n45，这两个 数都是质数包含的基本事件个数 m6，由此能求出这两个数都是质数的概率 【解答】解：函数 f（x）（x1） （x2）（x10）的全部零点有： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 其中质数有 2
21、，3，5，7， 在函数 f（x）的全部零点中随机取两个数，基本事件总数 n45， 这两个数都是质数包含的基本事件个数 m6， 这两个数都是质数的概率 P 故选：D 第 11 页（共 25 页） 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 9 （5 分）已知如图的多面体 ABCA1B1C1是正三棱柱，AB6，直线 m平面 ABB1A1，直 线 n平面 BCC1B1，下列选项中错误的是（ ） ABAC60，BAA190 BAA1等于恰当的长度时，A1BC1可以成为正三角形 Cm 与 n 所成的角可能等于 90 D多面体 ABCA1B1C1的全面积等于时，其体积
22、等于 9 【分析】A，由正三棱柱的性质即可判断； B，设 AA1x，则 A1BBC1，而 A1C16，若A1BC1为正三角形，则 x0， 不成立； C，由线面垂直的判定定理可知 AA1平面 A1B1C1，所以 AA1B1C1，当 mAA1，n B1C1时，mn； D，设 AA1x，由三棱柱的表面积和体积公式计算即可得解 【解答】解：对于 A 选项，因为 ABCA1B1C1是正三棱柱，所以BAC60，BAA1 90，即 A 正确； 对于 B 选项，设 AA1x，则 A1B，BC1，而 A1C16， 若A1BC1可以成为正三角形，则 x0，显然不成立，即 B 错误； 对于 C 选项，因为 ABCA
23、1B1C1是正三棱柱，所以 AA1平面 A1B1C1， 又 B1C1平面 A1B1C1，所以 AA1B1C1 当 mAA1，nB1C1时，mn，即 C 正确； 对于 D 选项，设 AA1x，则正三棱柱的全面积 S ， 第 12 页（共 25 页） 所以，正三棱柱的体积，即 D 正确 故选：B 【点评】本题考查空间中立体几何的综合，涉及空间中线面的位置关系、棱柱的表面积 和体积公式等，考查学生的空间立体感和灵活运用知识的能力，属于中档题 10 （5 分）已知双曲线的左、右两个焦点是 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲 线交于 A，B，C，D 四个点，若多边形 ABF2CDF1是正六边形，则
24、这个双曲线的离心率 等于（ ） A+1 B C D+1 【分析】利用已知条件，求出正六边形的一个顶点，代入双曲线方程转化求解双曲线的 离心率即可 【解答】解：双曲线的左、右两个焦点是 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲 线交于 A，B，C，D 四个点， 若多边形 ABF2CDF1是正六边形， 可得（c，）是正六边形的一个顶点，且在双曲线上，可得1， 所以，解得 e4e23e24e24，e1，解得 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 11 （5 分）给出下列四个命题： 函数 ysin|x|+cosx 的值域是； 函数在区间上单调递增；
25、函数 yxsinx 在实数集 R 上单调递增； 函数 yx2+sinx 在区间0，+）上单调递增 其中正确的命题是（ ） A B C D 【分析】，函数 ysin|x|+cosx 是偶函数，求出利用分类讨论法函数 y 的值域； 第 13 页（共 25 页） ，化函数 y2sin（x） ，判断 y 在区间上单调性即可； ，利用导数判断函数 yxsinx 在实数集 R 上单调递增； ，利用导数判断函数 yx2+sinx 是区间0，+）上单调增函数 【解答】解：对于，函数 ysin|x|+cosx 是偶函数， x0 时，ysinx+cosxsin（x+） ，则 y，； x0 时，ysinx+cosx
26、sin（x） ，则 y，； 所以函数 y 的值域是，正确； 对于，函数2sin（x） ， x0，时，x， 所以 y2sin（x）在区间上单调递增，正确； 对于，函数 yxsinx，则 y1cosx0 恒成立， 所以函数 yxsinx 在实数集 R 上单调递增，正确； 对于，函数 yx2+sinx，则 y2x+cosx 是定义域 R 上的单调增函数， 所以 y0 在区间0，+）上恒成立， 所以函数 yx2+sinx 在区间0，+）上单调递增，正确 综上知，正确的命题序号是 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题， 是中档题 12 （5 分）心脏曲线
27、 x2+y2x|y|40 的图象大致如图给出如下 4 个命题：曲线关于 x 轴对称；曲线上恰好有 6 个整点（纵坐标、横坐标都是整数的点） ；曲线围成的区 域的面积大于 8； 曲线上的点到原点距离的最大值等于 其中正确的命题是 （ ） A B C D 第 14 页（共 25 页） 【分析】由对称性的定义和图象的特征可判断，用特殊值法可判断，用分割法先 算出多边形 ABDC 的面积，再进行判断即可，根据曲线的对称性，只需要考虑第一象 限的情形，再利用基本不等式，算出曲线上的点到原点距离的最大值即可 【解答】解：由图可知，正确； 令 x0，则 y2；令 y0，则 x2；令 x2，则 y2， 有且仅
28、有 6 个整点（0，2） ， （2，0） ， （2，2）在曲线上，即正确； 如图所示， 由对称性可知，曲线围成的区域的面积大于 26128，即正确； 由曲线的对称性可知，曲线上的点到原点距离最大的点一定落在第一、四象限， 不妨考虑第一象限，则 x0，y0，所以有 x2+y2xy40，即 x2+y24+xy， 由基本不等式可得，所以，即 x2+y28， 所以曲线上的点到原点距离，即正确 故选：D 【点评】本题考查曲线的方程与轨迹问题，涉及特殊值法、放缩法、基本不等式的性质 等，考查学生知识迁移的能力和逻辑推理能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
29、 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 已知数列an的前 n 项和 Sn满足：， 则 a1 3 ， S10 120 【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和赋值法的应用求出结果 根据已知的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的和 【解答】解：当 n2 时，解得 a13 第 15 页（共 25 页） 由于， 当 n2 时， 所以得：， 整理得 an12n1， 故 an2n+1 所以120 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应 用，数列的前 n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 14 （5
30、 分）已知ABC 的三边长度|AB|2，|BC|3，|CA|4，则 【分析】先利用余弦定理求出 cosB，再代入数量积即可 【解答】解：因为ABC 的三边长度|AB|2，|BC|3，|CA|4， 所以：cosB； |BA|BC|cosB23（）； 故答案为： 【点评】本题考查向量的数量积的应用以及余弦定理，考查计算能力 15 （5 分）已知点 M 与点 A的距离的差的绝对值等于， 则点 M 的轨迹方程（化为最简）是 【分析】分析可知点 M 的轨迹是以 x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，可设双曲线的方程为 ，再根据已知条件建立关于 k 的方程，化简求出 k 的值，由此即可得到轨迹 方程 【解答】解
31、：由知，点 M 的轨迹为以 A，B 为焦 点的双曲线，焦距为 2c|AB|4，实轴长为， 故双曲新的离心率为，则双曲线的，两条渐近线互相垂直， 又在直线 yx 上， 第 16 页（共 25 页） 点 M 的轨迹是以 x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，可设双曲线的方程为， 则， 则， 移项，两边平方并整理可得，两边平方比较系数 可得 k1， 点 P 的轨迹方程为， 【点评】本题考查动点轨迹方程的求法，考查双曲线的定义，考查化简变形以及运算求 解能力，属于中档题 16 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长等于 2，与它的体对角线 B1D 垂直的截面 的面积的最大值等于 3 【分析】
32、当与它的体对角线 B1D 垂直的截面为正六边形时面积最大， 正六边形的边长为： ，由此能求出与它的体对角线 B1D 垂直的截面的面积的最大值 【解答】解：正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长等于 2， 如图，当与它的体对角线 B1D 垂直的截面为正六边形时面积最大， 正六边形的边长为：， 与它的体对角线 B1D 垂直的截面的面积的最大值为： 6（）23， 故答案为：3 【点评】本题考查当与正方体的体对角线垂直的截面的面积的最大值的求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
33、骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小 第 17 页（共 25 页） 鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离 子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方 法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图所示的直方图： 根据频率分布直方图估计，事件 C： “乙离子残留在体内的百分比不高于 5.5”发生的概 率 P（C）0.30 （1）根据所给的频率分布直方图估计各段频数（在答题卡填写两个频数分布表） ；
34、 （附：频数分布表） A 组实 验甲离 子残留 频数表 0， 1.5） 1.5， 2.5） 2.5， 3.5） 3.5， 4.5） 4.5， 5.5） 5.5， 6.5） 6.5， 7.5） 7.5， 8.5） 8.5， 100 B 组实 验甲离 子残留 频数表 0， 1.5） 1.5， 2.5） 2.5， 3.5） 3.5， 4.5） 4.5， 5.5） 5.5， 6.5） 6.5， 7.5） 7.5， 8.5） 8.5， 100 （2）请估计甲离子残留百分比的众数和中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值 【分析】 （1）根据 P（C）0.30，求出 a，b 的值，利用频数频率总数即可求出每
35、 组的频数，填入表格即可 （2）由甲离子残留百分比直方图可知，甲离子残留百分比的众数是 4，中位数在3.5， 4.5）这组，设甲离子残留百分比的中位数为 x，所以 0.15+0.20+（x3.5）0.300.5， 即可解得 x 的值，取各个区间的中间值乘于该组数据的频率，再乘于组距，即可求得乙 离子残留百分比的平均值 第 18 页（共 25 页） 【解答】解： （1）事件 C： “乙离子残留在体内的百分比不高于 5.5”发生的概率 P（C） 0.30， 0.05+b+0.150.30， b0.1， a1（0.05+0.1+0.15+0.2+0.15）0.35， A 组实 验甲离 子残留 频数表
36、 0， 1.5） 1.5， 2.5） 2.5， 3.5） 3.5， 4.5） 4.5， 5.5） 5.5， 6.5） 6.5， 7.5） 7.5， 8.5） 8.5， 100 0 15 20 30 20 10 5 0 0 B 组实 验甲离 子残留 频数表 0， 1.5） 1.5， 2.5） 2.5， 3.5） 3.5， 4.5） 4.5， 5.5） 5.5， 6.5） 6.5， 7.5） 7.5， 8.5） 8.5， 100 0 0 5 10 15 35 20 15 0 （2）由甲离子残留百分比直方图可知，3.5，4.5）组的频数最大，取区间中点值，所以 甲离子残留百分比的众数是 4， 因为
37、0.15+0.200.350.5，而 0.15+0.20+0.300.650.5， 所以中位数在3.5，4.5）这组，设甲离子残留百分比的中位数为 x， 所以 0.15+0.20+（x3.5）0.300.5， 解得：x4， 所以甲离子残留百分比的中位数为 4， 乙离子残留百分比的平均值为： （30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15） 10.15+0.4+0.75+2.1+1.4+1.26 【点评】本题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估算众数、中位数、 平均值，是中档题 18 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边长分别等于 a，b，c
38、，列举如下五个条件： asinBsinAcosA1；sinAsin2A；a2；ABC 的周 长等于 6 （1）请在中选择其中一个（仅选一个）条件作为依据，求角 A 的大小； 第 19 页（共 25 页） （2）在（1）的结论的基础上，再在中选择其中一个（仅选一个）作为添加条件， 求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）选择，由二倍角公式及常见的三角函数值即可得解； （2）选择，由余弦定理结合基本不等式可得 bc4，再由三角形的面积公式即可求得 最大值 【解答】解： （1）不妨选择作为条件，则 sinA2sinAcosA， 又 A 为ABC 的内角， 故，即； （2）不妨选择作为条件，则由余弦定
39、理有， ， bcb2+c242bc4，当且仅当 bc 时取等号， bc4， ，即ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查三角函数有关公式与解三角形的综合，同时也涉及了基本不等式的运 用，考查运算能力，属于基础题 19 （12 分）在如图的平面凹五边形 ABCDE 中，ACBE 于 C，ACCE3，BCDC5， DE4以 AC，CE 为折痕将平面 ABC，平面 CED 折起，使 B 与 D 重合后仍记作 B，得 到四面体 ACBE （1）作出几何体 ACBE 的直观图（不需要写出作法） ； （2）在四面体 ACBE 中，平面 ABE 与 ACE 是否垂直？请证明你的判断； （3）求四面体 ACB
40、E 外接球的体积 【分析】 （1）直接作图即可； （2）显然平面 ABE平面 ACE，再利用面面垂直的判定定理证明即可； 第 20 页（共 25 页） （3）先求出球心，进而得到球的半径，由此求出外接球的体积 【解答】解： （1）作出折叠后的四面体 ACBE 的直观图如图所示， （2）平面 ABE平面 ACE，证明如下： 在五边形中， ACCE， ACCB， 这种垂直关系保持到四面体 ACBE 中， 且 CBCEC， 则 AC平面 BCE， AC 在平面 ACE 中， 平面 ACE平面 BCE， 又 CE3，BE4，BC5，满足勾股定理，则 BECE，则 BE平面 ACE， 又 BE 在平面
41、ABE 内， 平面 ABE平面 ACE； （3）已知 ACCB， 如图，取 AB 的中点 F，则， 由（2）知，BE平面 ACE，则 BEAE， F 是四面体 ACBE 外接球的球心，球半径为， 四面体 ACBE 外接球的体积为 【点评】本题考查直观图的画法，以及面面垂直的判定，外接球的体积求法，考查逻辑 推理能力以及运算求解能力，属于中档题 第 21 页（共 25 页） 20 （12 分）函数 f（x）x2axa2lnx （1）若 a2，求曲线 yf（x）在点 T（1，f（1） ）处的切线的方程； （2）若函数 f（x）有零点，求 a 的取值范围 【分析】本题第（1）题将 a2 代入后求出函
42、数 f（x）的一阶导数，并计算出 f（1） 和 f（1）的值，然后根据点斜式可得曲线 yf（x）在点 T（1，f（1） ）处的切线的方程； 第（2）题先求出函数 f（x）的一阶导数，计算出极值点的取值点，然后分 a0，a0 和 a0 三种情况分别讨论，根据题意有极小值必小于或等于 0，可计算出实数 a 的取值 范围 【解答】解： （1）由题意，若 a2，f（x）x22x4lnx 则 f（x）2x2 f（1）21244，f（1）124ln11 曲线 yf（x）在点 T（1，f（1） ）处的切线的方程为 y+14（x1） ，即：4x+y30 （2）由题意，f（x）x2axa2lnx，x0且 x0，
43、f（x）+ 则 f（x）2xa，x0 令 f（x）0，解得 x1，x2a 当 a0 时，f（x）x2在（0，+）上无零点，不符合题意，排除 当 a0 时，很明显 x10，x2a0 函数 f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增， 在 xa 处取得极小值 f（a）a2a2a2lnaa2lna 函数 f（x）有零点， f（a）a2lna0，解得 a1 当 a0 时，很明显 x10，x2a0 函数 f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， 在 x处取得极小值 f（）（） 2a （ ）a2ln（）a2ln（ ） 函数 f（x）有零点， 第 22 页（共 25 页） f（）a2
44、ln（）0，解得 a2 综上所述，可得实数 a 的取值范围为（，21，+） 【点评】本题主要考查函数在一点处的切线方程，以及含参数的函数已知在定义域上有 零点的情况下求出参数的取值范围，本题根据表达式采用参变量分离的方法行不通，可 采取根据导数找到极小值点，且极小值必小于或等于 0 的方法求出参数的取值范围考 查了转化思想，分类讨论思想，不等式的计算能力，逻辑推理能力和数学运算能力本 题属中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，以 C 的顶点为顶点的四 边形的面积等于 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 已知 A， B 是椭圆 C 上两点， 直线 AB 过右焦点 F2且倾斜角等于 4
45、5， 椭圆 C 在 A， B 处的两条切线相交于点 D，求ABD 外接圆的方程 【分析】 （1）由题意可得 ab，运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，可得 a， b，进而得到椭圆方程； （2）求得直线 AB 的方程，联立椭圆方程，求得交点 A，B 的坐标，以及椭圆在 A，B 处 的切线方程，解得 D 的坐标，设出圆的方程，解方程可得所求方程 【解答】解： （1）由椭圆的顶点分别为（a，0） ， （a，0） ， （0，b） ， （0，b） ，可得 2a2b2，即 ab， 又 e，a2b2c2，解得 a，bc1， 则椭圆方程为+y21； （2）直线 AB 过右焦点 F2（1，0）且倾斜角等于 45，可得直线 AB 的方程为 yx1， 代入椭圆方程可得 3x24x0，则交点 A（0，1） ，B（，） ， 椭圆 C 在 A 处的切线