1、已知集合 M1，0，1，N0，1，2，则 MN（ ） A1，0，1，2 B1，0，1 C1，0，2 D0，1 2 （5 分）复数 z在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）下列四个结论： 在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好； 某学校有男教师 60 名、女教师 40 名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽 取 20 名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样； 线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强； 在回归方程中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 增加 0.5 个单 位 其中正确
2、的结论是（ ） A B C D 4 （5 分）已知an是正项等比数列，若 a1是 a2，a3的等差中项，则公比 q（ ） A2 B1 C0 D1，2 5 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若，则向量 与 的夹角为（ ） A B C D 6 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行 B若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行 D若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行 7 （5 分）小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的一个路口，红灯的时间为 35 秒，绿 灯的
3、时间为 40 秒某天早上小明从家步行到学校，他在这个路口等待通过的时间不超过 第 2 页（共 23 页） 20 秒的概率是（ ） A B C D 8 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，O 是坐标原点，点 P 是抛物线 C 在第一象限内 的一点，若点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到抛物线 C 的焦点的距离的一半，则直线 OP 的 斜率为（ ） A B C2 D3 9 （5 分）设 f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时，f（x）x2x， 则 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为（ ） Axy10 Bx+y10 Cxy+10 Dx+y+10 10 （5 分）已
4、知函数，g（x）f（x）+x，若 g（x）有且仅有一个 零点，则 a 的取值范围是（ ） A （，1） B1，+） C （，0） D0，+） 11 （5 分）直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 C 的方程为 x2+y2+2x+4y+m0，则 m（ ） A3 B3 C D 12 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，BACBDC60，平面 ABC平面 DBC，当三棱 锥 ABCD 的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ） A5 B6 C7 D8 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x
5、，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为 14 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，Sn2（an+1） ，则 a4 15 （5 分）已知定点 A（0，2） ，点 B 在圆 C：x2+y24y320 上运动，C 为圆心，线 段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，则动点 P 的轨迹 E 的方程为 16（5 分） 关于函数 f （x） |sinx|+|cosx|的描述： 是 f （x） 的一个周期； ； f（x）在上单调递减；f（x）是偶函数其中正确命题的序号为 第 3 页（共 23 页） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出
6、文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）如图，在平面四边形中，AB14， （1）求对角线 BD 的长； （2）若四边形 ABCD 是圆的内接四边形，求BCD 面积的最大值 18（12 分） 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC 是边长为 2 的正三角形， D 是 CC1的中点，E 是 A1B1的中点 （1）证明：DE平面 A1BC； （2）求点 A 到平面 A1BC 的距离 19 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，短轴的一个端点到焦点 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）A，B 是椭圆 C 上的两点，线段 AB 的中点在直线上，求直线 AB 的斜率的取 值范围
7、 20 （12 分）工厂抽取了在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图 所示的频率分布直方图 （1）计算该样本的平均值 ，方差 s2； （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）若质量指标值在之内为一等品 （i）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品是否有 75%以上为一等品？ （ii）某天早上、下午分别抽检了 50 件产品，完成下面的表格，并根据已有数据，判断 是否有 95%的把握认为一等品率与生产时间有关？ 第 4 页（共 23 页） 一等品个数 非一等品个数 总计 早上 36 50 下午 26 50 总计 附： P（K2k0） 0.25 0.15 0.10 0.
8、050 0.010 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 参考数据： 21 （12 分）已知函数，其中 a0 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：3f（x1）+f（x2）2 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多如果多 做，
9、则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2+2cos 30 （1）写出直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 M 的坐标为，若点 M 是曲线 C 截直线 l 所得线段的中点，求 l 的斜 率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； 第 5 页（共 23 页） （2）若对xR，f（x
10、）1 成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年云南师大附中高三 （下） 第八次月考数学试卷 （文学年云南师大附中高三 （下） 第八次月考数学试卷 （文 科） （科） （5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 M1，0，1，N0，1，2，则 MN（ ） A1，0，1，2 B1，0，1 C1，0，2 D0，1 【
11、分析】由题意和并集的运算直接求出 MN 即可 【解答】解：因为集合 M1，0，1，N0，1，2， 所以 MN1，0，1，2， 故选：A 【点评】本题考查并集及其运算，属于基础题 2 （5 分）复数 z在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方 差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标， 得到位置 【解答】解：z+i， 复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题， 在
12、解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具 3 （5 分）下列四个结论： 在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好； 某学校有男教师 60 名、女教师 40 名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽 取 20 名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样； 线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强； 第 7 页（共 23 页） 在回归方程中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 增加 0.5 个单 位 其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】根据回归分析的知识，对 4 个选项分别进行判断，即可得出正确的结论 【解答】解：对于，比较两个模型的
13、拟合效果，可以比较残差平方和的大小， 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，所以错误； 对于，总体是由差异比较明显的男教师和女教师两部分组成， 宜采用的抽样方法是分层抽样，因此正确； 对于，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，所以错误； 对于，回归方程中， 当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 增加 0.5 个单位，因此正确； 综上，以上正确的结论是 故选：D 【点评】本题考查了“残差”和相关指数的意义与应用问题，也考查了回归方程应用问 题，是基础题 4 （5 分）已知an是正项等比数列，若 a1是 a2，a3的等差中项，则公比 q（ ） A2 B1
14、C0 D1，2 【分析】由题意得，2a1a2+a3，结合等比数列的通项公式即可求解 【解答】解：由题意得，2a1a2+a3， q2+q20，解得 q2 或 q1， an是正项等比数列，q0， q1 故选：B 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用是，属于基 础试题 5 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若，则向量 与 的夹角为（ ） 第 8 页（共 23 页） A B C D 【分析】根据平面向量的数量积与模长和夹角公式，计算即可 【解答】解：由，得， 即， 设单位向量 与 的夹角为 ， 则有 1+44cos3， 解得， 又 0， 所以 故选：B 【点评】本题考查了
15、平面向量的数量积应用问题，是基础题 6 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行 B若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行 D若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行 【分析】由空间线、面的位置关系结合平面的基本性质及推论逐一判断即可得解 【解答】解：对于选项 A，考虑正方体过同一顶点的三个平面，可知 A 错误； 对于选项 B，考虑圆锥的两条母线与底面，可知 B 错误； 对于选项 C，若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则该平面内有两条相交直 线与另一
16、个平面平行，所以这两个平面平行，故 C 正确； 对于选项 D，当另一条直线不在该平面内时，结论成立；当另一条直线在该平面内时， 结论不成立，故 D 错误， 故选：C 【点评】本题考查了空间线、面的位置关系，属基础题 7 （5 分）小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的一个路口，红灯的时间为 35 秒，绿 灯的时间为 40 秒某天早上小明从家步行到学校，他在这个路口等待通过的时间不超过 20 秒的概率是（ ） 第 9 页（共 23 页） A B C D 【分析】由几何概型中的线段型得：，得解 【解答】解：记“小明在这个路口等待通过的时间不超过 20 秒”为事件 A， 由几何概型中的线段型可得：
17、， 故选：D 【点评】本题考查了几何概型中的线段型，属基础题 8 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0） ，O 是坐标原点，点 P 是抛物线 C 在第一象限内 的一点，若点 P 到 y 轴的距离等于点 P 到抛物线 C 的焦点的距离的一半，则直线 OP 的 斜率为（ ） A B C2 D3 【分析】 设点 P 为 （x0，y0） ，由抛物线的定义知点 P 到抛物线 C 的焦点的距离为， 同时由题知这个距离也等于 2x0，可得，解得 x0，y0，即可得出 kOP 【解答】解：设点 P 为（x0，y0） ， 则由抛物线的定义知点 P 到抛物线 C 的焦点的距离为，同时由题知这个距离也等 于
18、2x0， 所以，解得，y0p， 于是 kOP2， 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 9 （5 分）设 f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时，f（x）x2x， 则 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为（ ） Axy10 Bx+y10 Cxy+10 Dx+y+10 【分析】由偶函数的定义可得 x0 时 f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由 点斜式方程可得所求切线方程 【解答】解：由 f（x）是（，0）（0，+）上的偶函数， 第 10 页（共 23 页） 当 x0 时，f（x）f（x）（x）2（x）x
19、2+x， 则 f（x）2x+1，可得 f（1）1，f（1）0， 故 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 y0（x+1） ，即 x+y+10， 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和函数的导数的运用：求切线方程，考查方程思 想和运算能力，属于基础题 10 （5 分）已知函数，g（x）f（x）+x，若 g（x）有且仅有一个 零点，则 a 的取值范围是（ ） A （，1） B1，+） C （，0） D0，+） 【分析】g（x）有且仅有一个零点等价于 f（x）x 有且仅有一个零点，然后根据图象 可得 a 的取值范围 【解答】解：如图，g（x）有且仅有一个零点等价于 f（x）x 有且仅有
20、一个零点， 结合 yf（x）的图象与 yx 的图象可知， 当 e0+a0，即 a1 时，yf（x）的图象与 yx 的图象有唯一交点， 故选：B 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和数形结合思想，属 基础题 11 （5 分）直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 C 的方程为 x2+y2+2x+4y+m0，则 m（ ） A3 B3 C D 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由题意知 C（1，2） ，C 为 AB 的中点，由点 差法得 kAB1，直线 l：yx1 与双曲线联立，解得或，所以 第 11 页（共 23 页） ，可得 m3 【
21、解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 x2+y2+2x+4y+m0，可得（x+1）2+（y+2）25m， C（1，2） ， C 为 AB 的中点， x1+x22，y1+y24， ， 相减可得（x1+x2） （x1x2）（y1+y2） （y1y2）0， 即（x1x2）（y1y2）0， kAB1， 直线直线 l：yx1， 联立方程组可得 解得或， 所以|AB|4， 5m（2）2， 可得 m3， 故选：A 【点评】本题考查了圆的方程，直线方程，直线和双曲线的关系，考查了运算求解能力， 属于中档题 12 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，BACBDC60，平面 ABC平面 DBC
22、，当三棱 锥 ABCD 的体积的最大值为时，其外接球的表面积为（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】由题意画出图形，可知当 ABAC，BDCD 时，三棱锥 ABCD 的体积最大， 第 12 页（共 23 页） 此时，ABC 与BDC 是等边三角形，再由三棱锥 ABCD 的体积的最大值为求 解外接球的半径，则外接球的表面积可求 【解答】解：如图，设球心 O 在平面 ABC 内的射影为 O1，在平面 BCD 内的射影为 O2， BC 的中点为 M， 则点 A 在截面圆 O1上运动，点 D 在截面圆 O2上运动，四边形 OO1MO2为正方形， 由图知，当 ABAC，BDCD 时，三棱锥 ABCD
23、的体积最大，此时，ABC 与BDC 是等边三角形， 设 BCa，则， 由，解得， ，DO21， 则球 O 的半径 R， 所求外接球的表面积为 S4R25， 故选：A 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档 题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值为 3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论 【解答】解：x，y 满足约束条件，的可行域如图，平移 z2x+y，当目标函 数经过（1，1）时取得最小值，z
24、2x+y 的最小值在点（1，1）处取得，所以 z 的最小值 第 13 页（共 23 页） 为 3 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 14 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，Sn2（an+1） ，则 a4 16 【分析】由数列的递推式和等比数列的通项公式，计算可得所求值 【解答】解：由 Sn2（an+1） ，得 Sn12（an1+1） ， 两式相减得 an2an2an1， 即 an2an1，由 a12（a1+1） ，得 a12， 可得 an2n， 所以 a416 故答案为：16 【点评】本题考查数列的通项公式和运用，
25、考查数列的递推式和化简运算能力，属于基 础题 15 （5 分）已知定点 A（0，2） ，点 B 在圆 C：x2+y24y320 上运动，C 为圆心，线 段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，则动点 P 的轨迹 E 的方程为 【分析】由题意画出图形，可知点 P 的轨迹 E 是以 A，C 的焦点的椭圆，求出 a，b 的值， 则答案可求 【解答】解：如图，由题意，得|PA|PB|， |PA|+|PC|PB|+|PC|r6|AC|4， 点 P 的轨迹 E 是以 A，C 的焦点的椭圆，其中 c2，a3， 椭圆方程为 第 14 页（共 23 页） 故答案为： 【点评】本题考查椭圆标准方程及其求法，考查
26、数形结合的解题思想方法，是基础题 16（5 分） 关于函数 f （x） |sinx|+|cosx|的描述： 是 f （x） 的一个周期； ； f （x） 在上单调递减； f （x） 是偶函数 其中正确命题的序号为 【分析】对 f（x）去绝对值，然后根据三角函数的图象与性质逐一判断 【解答】解：.|cosx|+|sinx|f（x） ， 正确； 由于周期为，故只需考虑一个周期的情况， 当时， 则，正确； f（x）的单调递增区间为，kZ，错误； f（x）|sin（x）|+|cos（x）|sinx|+|cosx|f（x） ，正确 故答案为： 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形
27、结合思想，属中档 题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）如图，在平面四边形中，AB14， （1）求对角线 BD 的长； （2）若四边形 ABCD 是圆的内接四边形，求BCD 面积的最大值 第 15 页（共 23 页） 【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，sinABD 的值，根据诱导 公式，两角和的正弦函数公式可求 sinADB 的值，由正弦定理可求得 BD 的值 （ 2 ） 由 已 知 可 求， 在 BCD 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 基 本 不 等 式
28、可 求 ，根据三角形的面积公式即可计算得解 【解答】解： （1）由于，可得：sinA，sinABD， 可得在ABD 中，sinADBsin（A+ABD） ）sin（A+ABD） ， 由正弦定理得， 可得 （2）由已知得，CA， 所以， 在BCD 中，由余弦定理可得 BC2+DC22BCDCcosCBD2169， 则，即， 所以， 当且仅当时取等号 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正弦函数公式， 正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查 了计算能力和转化思想，属于中档题 第 16 页（共 23 页） 18（12 分） 如图， 在
29、直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC 是边长为 2 的正三角形， D 是 CC1的中点，E 是 A1B1的中点 （1）证明：DE平面 A1BC； （2）求点 A 到平面 A1BC 的距离 【分析】 （1）设点 F 是 A1B 的中点，连接 FC，FE，推导出 EFBB1，且CD BB1，且，从而四边形 CFED 是平行四边形，进而 DECF由此能证明 DE平面 A1BC （2）由 CFDE3，且 BC2，由，能求出点 A 到平 面 A1BC 的距离 【解答】证明： （1）如图，设点 F 是 A1B 的中点，连接 FC，FE， E，F 分别是 A1B1，A1B 的中点， EFBB1，且 又在
30、平行四边形 BB1C1C 中，D 是 CC1的中点， CDBB1，且， CDEF，且 CDEF， 四边形 CFED 是平行四边形， DECF 又DE平面 A1BC，CF平面 A1BC， DE平面 A1BC 解： （2）由（1）得 CFDE3，且 BC2， 所以 又在A1BC 中，BC2，BC 边上的高为， 第 17 页（共 23 页） 所以 设点 A 到平面 A1BC 的距离为 d，则， 因为， 所以，解得， 所以点 A 到平面 A1BC 的距离为 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及点到平面的距离的计算， 其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，及合理利用“等体积法
31、”求解点 到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 19 （12 分）已知椭圆 C：的离心率，短轴的一个端点到焦点 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）A，B 是椭圆 C 上的两点，线段 AB 的中点在直线上，求直线 AB 的斜率的取 值范围 【分析】 （1）由题意求得 a，结合离心率求得 c，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （2）当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的中点在直线上，符合题意；当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx+m，将直线 AB 的方程与椭圆方程联立并 化简，得（2k2+1）x2+4kmx+2m220，利用根
32、与系数的关系结合判别式大于 0 及线段 AB 的中点在直线上得关于 k 的不等式，求解得答案 【解答】解： （1）由已知得椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为 ， 第 18 页（共 23 页） 解得，b1， 椭圆 C 的方程为； （2）当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的中点在直线上，符合题意； 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx+m，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 将直线 AB 的方程与椭圆方程联立并化简，得（2k2+1）x2+4kmx+2m220， 由韦达定理得， 16k2m24（2k2+1） （2m22）0，化简得 m22k2+1 由
33、线段 AB 的中点在直线上，得 x1+x21， 故，即 4km2k2+1，即， 代入 m22k2+1，得（2k2+1） （14k21）0， 解得或 因此，直线 AB 的斜率的取值范围是 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能 力，是中档题 20 （12 分）工厂抽取了在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图 所示的频率分布直方图 （1）计算该样本的平均值 ，方差 s2； （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）若质量指标值在之内为一等品 （i）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品是否有 75%以上为一等品？ （ii）某天早上、
34、下午分别抽检了 50 件产品，完成下面的表格，并根据已有数据，判断 是否有 95%的把握认为一等品率与生产时间有关？ 一等品个数 非一等品个数 总计 早上 36 50 下午 26 50 总计 第 19 页（共 23 页） 附： P（K2k0） 0.25 0.15 0.10 0.050 0.010 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 参考数据： 【分析】 （1）用频率分布直方图数据可求平均值，方差 s2； （2）由公式 计算 k 的值，从而查表即可 【解答】解： （1）由频率分布直方图可得 +2100.24+2200.08+2300.02
35、200，s2（30）20.02+（20）20.09+（10）20.22+020.33+1020.24+202 0.08+3020.02150 （2） （i）由（1）得， 由图可得质量指标值在（185，215）之间的频率为 0.22+0.33+0.240.790.75， 所以有 75%以上为一等品 （ii）补全的表格如下 一等品个数 非一等品个数 总计 早上 36 14 50 下午 26 24 50 总计 62 38 100 由此得，所以有 95%的把握认为一 等品率与生产时间有关 故答案为： （1） 200，s2150 （2） （i）有 75%以上为一等品 （ii）有 95%的把握认为一等品率
36、与生产时间有关 【点评】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题 第 20 页（共 23 页） 21 （12 分）已知函数，其中 a0 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，证明：3f（x1）+f（x2）2 【分析】 （1）由利用导数研究函数的单调性得：当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调 递增；当 0a1 时，f（x）在上单调递增，在上 单调递减，在上单调递增 （2）由利用导数研究函数的极值得：令 h（x）xlnxx2，0x1，则只需证明3 h（x）2，由于 h（x）lnx0，故 h（x）在（0，1）上单调递减，所以 h（x） h（1）3 又当 0x1
37、 时，lnx11，x（lnx1）0，故 h（x）xlnxx2x（lnx1） 22，所以对任意的 0x1，3h（x）2得解 【解答】解： （1）由题得，其中 x0， 考察 g（x）x22x+a，x0，其中对称轴为 x1，44a 若 a1，则0， 此时 g（x）0，则 f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上单调递增； 若 0a1，则0， 此时 x22x+a0 在 R 上有两个根，且 0x11x2， 所以当 x（0，x1）时，g（x）0，则 f（x）0，f（x）单调递增； 当 x（x1，x2）时，g（x）0，则 f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（x2，+）时，g（x）0，则 f（x）0，f（
38、x）单调递增， 综上，当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 0a1 时，f（x）在上单调递增，在上单调递 减，在上单调递增 （2）证明：由（1）知，当 0a1 时，f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1+x22，x1x2 a， 所以 第 21 页（共 23 页） 令 h（x）xlnxx2，0x1， 则只需证明3h（x）2， 由于 h（x）lnx0， 故 h（x）在（0，1）上单调递减， 所以 h（x）h（1）3 又当 0x1 时，lnx11，x（lnx1）0， 故 h（x）xlnxx2x（lnx1）22， 所以对任意的 0x1，3h（x）2 综上，可得3f（x1）+f（x2）
39、2， 故命题得证 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值，属综合性较强的题型 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以
40、坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2+2cos 30 （1）写出直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 M 的坐标为，若点 M 是曲线 C 截直线 l 所得线段的中点，求 l 的斜 率 【分析】 （1）直接对 分类消参可得直线 l 的直角坐标方程； （2）求出点 M 的直角坐标，化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程，把 代入曲线 C 的直角坐标方程，得到 t2+2（sin+cos）t20，利用根与系数的关系列式 求解 l 的斜率 【解答】解： （1）当时，直线 l 的直角坐标方程为 x0； 第 22 页（共 23 页） 当时，直线 l 的直角坐标方
41、程为 yxtan+1； （2）点 M 的极坐标为，则点 M 的直角坐标为（0，1） ， 曲线 C 的极坐标方程为 2+2cos30，得 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2+2x30， 把代入曲线 C 的直角坐标方程， 化简得 t2+2（sin+cos）t20， 由 t1+t20，得 sin+cos0， tan1， 直线 l 的斜率为1 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中此时 t 的几何意义，是 中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|xa|+|x+2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对xR，f（x）1 成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入 f（x）中去绝对值，然后分别解不等式即可； （2）利用绝对值不等式的几何意义直接得结果 【解答】解： （1）当 a1 时， 因为 f（x）4， ，或，或， 解得或， 不等式的解集为：x|或； （2）f（x）|xa|+|x+2|表示数轴上的点到 a 和2 的距离之和， f（x）1 表示到 a 和2 的距离之和大于等于 1 恒成立， 则 a3 或 a1， 第 23 页（共 23 页） a 的取值范围为： （，31，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，正确的理解绝对 值不等式的几何意义很关键，属基础题