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2018-2019学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(六)(2月份)含详细解答

1、已知集合 A(x,y)|y2x,B(x,y)|y,则 AB 为( ) A B1,2 C(1,2) D(1,2) 2 (5 分)复数 z 满足|z2+i|1,则|z|的最大值是( ) A B C+1 D1 3 (5 分)设实数 x,y 满足约束条件,则 z的最小值是( ) A B C D4 4 (5 分)运行如图所示的程序框图,若输入的 ai(i1,2,3,4)分别为 1,2,4,16, 则输出的值为( ) A25 B5.5 C5 D4 5 (5 分)已知 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列命题: 若 mn,n,m,则 ; 若 ,m,nm,则 n 或 n; 若 m,mn,n,

2、则 或 ; 若 m,nm,n,n,则 n 且 n; 其中正确命题的序号是( ) 第 2 页(共 26 页) A B C D 6 (5 分)已知在ABC 中,M,N 分别是边 ABAC 上的点,且2,3,BN 与 CM 相交于点 P,记 , ,用 , 表示的结果是( ) A+ B+ C+ D+ 7 (5 分)已知(x+) (2x1)5的展开式中各项系数和为 3,则(+x)dx ( ) A2+ B2+ C4+2 D4+4 8 (5 分) “双 11”促销活动中,某商场为了吸引顾客,搞好促销活动,采用“双色球”定 折扣的方式促销,即:在红、黄的两个纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各 5 个, 每

3、种颜色的 5 个球上标有 1,2,3,4,5 等 5 个数字,顾客结账时,先分别从红、黄的 两个纸箱中各取一球,按两个球的数字之和为折扣打折,如 1+23,就按 3 折付款,并 规定取球后不再增加商品按此规定,顾客享有 6 折及以下折扣的概率是( ) A B C D 9 (5 分)已知 x,y,z(0,1) ,且 log2xlog3ylog5z,则( ) Axyz Byxz Cyzx Dzxy 10(5 分) 已知函数 f (x) (e 是自然对数的底数) , 设 an, 数列an的前 n 项和为 Sn,则 S4037的值是( ) A2018 B2019 C D 11 (5 分)已知空间四边形

4、 ABCD,BAC,ABAC2,BD10,CD8,且 平面 ABC平面 BCD,则该几何体的外接球的表面积为( ) A64 B112 C96 D128 12 (5 分)已知抛物线 C:yx2,直线 l:ykx+2(k0)交 C 于 A,B 两点,M 是线段 第 3 页(共 26 页) AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线 交 C 于点 N若0,则 k 的值为( ) A B C D2 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 13 (5 分)已知数列an是等差数列,且 a2+a6+a7+2a1015,数列an的前 n 项和为 Sn, 则

5、S13 14(5 分) 已知函数 f (x) 3sinx+4cosx, x1, x20, , 则 f (x1) f (x2) 的最大值是 15 (5 分)已知动直线 l: (m+1)x+(m+2)ym30 与圆 C1: (x2)2+(y+1)236 交于 A,B 两点,以弦 AB 为直径的圆为 C2,则圆 C2的面积的最小值是 16 (5 分)已知函数 f(x)f()cosx+sinx,则曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处 的切线方程是 三、解答题(共三、解答题(共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (12 分)ABC 的

6、内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosA(bcosC+ccosB) a (1)求角 A; (2)若 a1,ABC 的周长为+1,求ABC 的面积 18 (12 分)随着银行业的不断发展,市场竞争越来越激烈,顾客对银行服务质量的要求越 来越高,银行为了提高柜员 员工的服务意识,加强评价管理,工作中让顾客对服务作出评价,评价分为满意、基本 满意、不满意三 种某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异,在下属的四个分行中随机 抽出 40 人(男女各 半)进行分析比较对 40 人一月中的顾客评价“不满意”的次数进行了统计,按男、女 分为两组,再将每 组柜员员工的月“不满意”次

7、数分为 5 组:0,5) ,5,10) ,10,15) ,15,20) ,20, 25,得到 如下频数分布表 分组 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25 第 4 页(共 26 页) 女柜员 2 3 8 5 2 男柜员 1 3 9 4 3 (1) 在答题卡所给的坐标系中分别画出男、 女柜员员工的频率分布直方图; 分别求出男、 女柜员员工的月平均“不满意”次数的估计值,试根据估计值比较男、女柜员员工的满 意度谁高? (2)在抽取的 40 名柜员员工:中,从“不满意”次数不少于 20 的员工中随机抽取 3 人, 并用 X 表示随机抽取的 3 人中女柜员工的人数,求 X 的分布

8、列和数学期望 19 (12 分)如图,四边形 ABCD 是棱长为 2 的正方形E 为 AD 的中点,以 CE 为折痕把 DEC 折起,使点 D 到达点 P 的位置,且点 P 的射影 O 落在线段 AC 上 (1)求; (2)求二面角 PCEA 的余弦值 20 (12 分)已知 F1,F2为椭圆 E:+y21 的左、右焦点,过点 P(m,0) (m2) 的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T (1)求F1TF2面积的取值范围 (2)若有一束光线从点 F1射出,射在直线 l 上的 T 点上,经过直线 l 反射后,试问反射 光线是否恒过定点?若是,请求出该定点;若否,请说明理由 21 (12

9、分)已知函数 f(x)(x+1)ln(x+1)+2x+1 (1)求 f(x)的极值; (2)若存在 x0,使得 f(x)kx0(kZ)成立,求 k 的最小值 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M(1,2) ,曲线 C 的参数方 (其中 a 为参数) 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0(kR) (1)试写出曲线 C 的普通方程和曲线 l 的直角坐标方程 第 5 页(共 26 页) (2)设曲线 l 与曲线 C 交于 P,Q 两点,试求的值 选修选修

10、4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知 a,b 均为正实数 (1)若 ab3,求(a+b) (a3+b3)的最小值; (2)若 a2+b23,证明:a+b 第 6 页(共 26 页) 2018-2019 学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科) (六) (六) (2 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1 (5 分)已

11、知集合 A(x,y)|y2x,B(x,y)|y,则 AB 为( ) A B1,2 C(1,2) D(1,2) 【分析】可得出 B(x,y)|yx1,x1,而解可得,由于 x 1,从而可得出 AB 【解答】解:B(x,y)|yx1,x1 解得; x1; AB 故选:A 【点评】考查描述法的定义,交集的定义及运算,以及空集的定义 2 (5 分)复数 z 满足|z2+i|1,则|z|的最大值是( ) A B C+1 D1 【分析】根据复数的几何意义,结合点到圆的距离的最值问题进行求解即可 【解答】解:|z2+i|1 得|z(2i)|1, 则 z 的几何意义是以 C(2,1)为圆心,半径为 1 的圆,

12、 |z|的几何意义是圆上的点到原点的距离, 则最大值为|OC|+1+1, 故选:C 【点评】本题主要考查复数的几何意义,结合复数的几何意义转化为点与圆的最值问题 是解决本题的关键 第 7 页(共 26 页) 3 (5 分)设实数 x,y 满足约束条件,则 z的最小值是( ) A B C D4 【分析】由约束条件作出可行域,z的几何意义是(x,y)与(1,2)连线的斜 率,数形结合得到 z的最小值 【解答】解:由实数 x,y 满足约束条件,作出可行域如图,z的几 何意义是(x,y)与(1,2)连线的斜率 联立,解得 A(6,2) , z的最小值为 故选:B 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了

13、数形结合的解题思想方法,是中档题 4 (5 分)运行如图所示的程序框图,若输入的 ai(i1,2,3,4)分别为 1,2,4,16, 则输出的值为( ) 第 8 页(共 26 页) A25 B5.5 C5 D4 【分析】 分析程序的运行过程, 可得程序框图的功能是计算并输出的值, 由题意得出 k、 i 的值,计算即可得解 【解答】解:分析程序框图知, i1,k0 满足条件 i4,输入 a11,不满足条件 a14,i2 满足条件 i4,输入 a22,不满足条件 a24,i3 满足条件 i4,输入 a34,满足条件 a14,k4,i4 满足条件 i4,输入 a416,满足条件 a14,k20,i5

14、 不满足条件 i4,退出循环,输出4 故选:D 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题,模拟程序的运行得程序框图的 功能是解题的关键,属于基础题 5 (5 分)已知 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列命题: 若 mn,n,m,则 ; 若 ,m,nm,则 n 或 n; 若 m,mn,n,则 或 ; 若 m,nm,n,n,则 n 且 n; 其中正确命题的序号是( ) A B C D 【分析】在中,由面面垂直的判定定理得 ;在中,n 有可能与 , 都不垂直; 第 9 页(共 26 页) 在中, 与 有可能相交但不垂直;在中, 由线面平行的性质定理得 n 且 n 【解答】

15、解:由 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,知: 在中,若 mn,n,m,则由面面垂直的判定定理得 ,故正确; 在中,若 ,m,nm,则 n 有可能与 , 都不垂直,故错误; 在中,若 m,mn,n,则 与 相交或平行,即 与 有可能相交但不垂直, 故错误; 在中,若 m,nm,n,n,则由线面平行的性质定理得 n 且 n, 故正确 故选:C 【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系,考查 运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 6 (5 分)已知在ABC 中,M,N 分别是边 ABAC 上的点,且2,3,BN 与 CM 相交于点 P,记 , ,用 ,

16、 表示的结果是( ) A+ B+ C+ D+ 【分析】本题要从两个线路去思考,最终得到关于基底的两个表达式,通过系数一致可 算出所设常数的值,最终得出结果 【解答】解:如图, 由题意,可知:, 设, 则有: 第 10 页(共 26 页) 又设, 则有: 通过比较,可得关于 , 的二元一次方程组: , 解此二元一次方程组,得, 将结果带入式,可得:, 故选:D 【点评】本题是一道十分典型的用基底去求一未知向量的表达式,这种题目的经典解法 就是从两个思路去计算,最终得出所设常数,从而算出结果本题属中档题 7 (5 分)已知(x+) (2x1)5的展开式中各项系数和为 3,则(+x)dx ( ) A

17、2+ B2+ C4+2 D4+4 【分析】将 x1 代入二项式可得出二项展开式各项的系数和,从而得出 a 的值,然后确 定函数在 0x2 上的图形,利用定积分的几何意义计算出定积分 的值,再利用定积分性质和公式可得出答案 【解答】解:令 x1 可知,二项式的展开式各项系数和为 a+13,得 a2, 令,则 y0,对等式两边平方并整理得 x2+y24, 所以,函数在 0x2 上的图象如下图所示, 第 11 页(共 26 页) 由定积分的几何意义可得, 因 此 , 故选:B 【点评】本题考查定积分的计算,考查二项式定理,考查定积分的几何意义与性质,考 查计算能力,属于中等题 8 (5 分) “双

18、11”促销活动中,某商场为了吸引顾客,搞好促销活动,采用“双色球”定 折扣的方式促销,即:在红、黄的两个纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各 5 个, 每种颜色的 5 个球上标有 1,2,3,4,5 等 5 个数字,顾客结账时,先分别从红、黄的 两个纸箱中各取一球,按两个球的数字之和为折扣打折,如 1+23,就按 3 折付款,并 规定取球后不再增加商品按此规定,顾客享有 6 折及以下折扣的概率是( ) A B C D 【分析】由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的所有事件总数为 25,满足条件 的事件可以通过列举得到事件数,根据古典概型公式得到结果 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型

19、,试验包含的所有事件共有含有 5525 个 等可能基本事件 则两数之和为6 的事件有(1,1) (1,2) (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,1) (2,2) (2,3) , (2,4) (3,1) (3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) , (5,1)共有 15 种结果, 故顾客享有 6 折及以下折扣的概率是, 故选:A 【点评】本题是一个古典概型问题,这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题,古 典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题可以列举出所有事件是一个 基础题 第 12 页(共 26 页) 9 (5 分)已知 x,y,z(0,1)

20、,且 log2xlog3ylog5z,则( ) Axyz Byxz Cyzx Dzxy 【分析】可设 log2xlog3ylog5zk,从而可得出 x2k,y3k,z5k,从而得出 ,容易 31021556,且 k0,根据幂 函数单调性即可得出 【解答】解:设 log2xlog3ylog5zk; x2k,y3k,z5k; ,; 21585,31095,215323,56253; 31021556; 又 x,y,z(0,1) ; k0; ; 故选:B 【点评】考查对数的定义,对数式和指数式的互化,分数指数幂的运算,以及幂函数的 单调性 10(5 分) 已知函数 f (x) (e 是自然对数的底数

21、) , 设 an, 数列an的前 n 项和为 Sn,则 S4037的值是( ) A2018 B2019 C D 【分析】根据题意,由函数的解析式分析可得 f(),且 f(1) ,进而可得 f(x)+f()1,结合数列的通项公式可得 S4037f(1)+f(2) 第 13 页(共 26 页) +f(2019)+f()+f()+f()f(1)+f(2)+f()+f (3)+f()+f(2019)+f() ,进而分析可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(x),则 f(),且 f(1) , 则有 f(x)+f()+1, 又由 an, 则 S4037f(1)+f(2)+f(2019)+f()+f()

22、+f() f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(2019)+f() +2018; 故选:C 【点评】本题考查数列的求和以及数列与函数的关系,关键是分析 f(x)+f()的值 11 (5 分)已知空间四边形 ABCD,BAC,ABAC2,BD10,CD8,且 平面 ABC平面 BCD,则该几何体的外接球的表面积为( ) A64 B112 C96 D128 【分析】由题意画出图形,找出外接球的球心,求解三角形得到半径,代入球的表面积 公式求解 【解答】解:如图, 取 BC 中点 E,连接 AE 并延长至ABC 的外心 G, 在ABC 中,由BAC,ABAC2,可得 BECE3, 则 B

23、C6,又 BD10,CD8,则BCD 为以 BD 为斜边的直角三角形, 则 BD 中点 F 为BCD 的外心, 平面 ABC平面 BCD,过 F 作平面 BCD 的垂线,故 G 作平面 ABC 的垂线,两垂线相 交于 O, 第 14 页(共 26 页) O 为空间四边形 ABCD 的外接球的球心 在ABC 中,由,得 AG2 ,则 OF, 空间四边形 ABCD 的外接球的半径 ROD 空间四边形 ABCD 的外接球的表面积 S4112 故选:B 【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法,考查空间想象能力与思维能力,正确 找出外接球球心是关键,是中档题 12 (5 分)已知抛物线 C:yx2,

24、直线 l:ykx+2(k0)交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线 交 C 于点 N若0,则 k 的值为( ) A B C D2 【分析】把 ykx+2 代入 y2x2得 x2kx20 由韦达定理得 x1+x2k,x1x22, 求出 M 的坐标,进一步得到 N 点的坐标为,利用向量的数量积根式求出,根据已知列出 方程求出 k 的值 【解答】解:设 A(x1,x12) ,B(x2,x22) , 把 ykx+2 代入 yx2得 x2kx20 由韦达定理得 x1+x2k,x1x22, 所以 M(,+2) , 所以 N 点的坐标为(,) , 所以(x1,x12)

25、, (x2,x22)x1x2 (x1+x2)+(x1x2) 第 15 页(共 26 页) 2+ (x1+x2)22x1x20, 即2+4+(k2+4)0, 整理可得 3k4+20k2320 解得 k2,又 k0,故 k, 故选:C 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,解决的思路一般是将直线与圆锥 曲线方程联立,利用韦达定理;考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 13 (5 分)已知数列an是等差数列,且 a2+a6+a7+2a1015,数列an的前 n 项和为 Sn, 则 S13

26、 39 【分析】利用等差数列通项公式推导出 a1+6d3,由此能求出 S13 【解答】解:数列an是等差数列,且 a2+a6+a7+2a1015, a1+d+a1+5d+a1+6d+2(a1+9d)15, 整理得 a1+6d3, 数列an的前 n 项和为 Sn, 则 S13(a1+a13)13(a1+6d)13339 故答案为:39 【点评】本题考查等差数列的前 13 项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查 运算求解能力,是基础题 14 (5 分)已知函数 f(x)3sinx+4cosx,x1,x20,则 f(x1)f(x2)的最大值是 第 16 页(共 26 页) 9 【分析】本题先

27、将函数 f(x)转化成正弦函数的形式,然后结合正弦函数的图象判断出 函数 f(x)在区间0,上的最大值和最小值,从而得出结果 【解答】解:由题意,可知:f(x)3sinx+4cosx5 (sinx+cosx)5sin(x+) , 其中 sin,cos sin,可知 sin, 对于函数 f(x)5sin(x+) ,可知: sinx 向左平移 个单位得到 sin(x+) ,再将 sin(x+)的图象沿 y 轴伸长到原来的 5 倍 得到 5sin(x+) 由题意,可知求 f(x1)f(x2)的最大值就是求函数 f(x)5sin(x+)在区间0, 上的最大值与最小值之差 又函数 f(x)5sin(x+

28、)在区间0,上的图象如下: 由图象可知,在区间0,上, 当 x时,f(x)取最大值 5, 当 x 时,f(x)取最小值 5sin(+)5sin4 在区间0,上,f(x1)f(x2)的最大值是 5(4)9 故答案为:9 【点评】本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识,本题要特别注意细节点 不能粗心大意属中档题 15 (5 分)已知动直线 l: (m+1)x+(m+2)ym30 与圆 C1: (x2)2+(y+1)236 交于 A,B 两点,以弦 AB 为直径的圆为 C2,则圆 C2的面积的最小值是 18 【分析】根据题意,由直线 l 的方程分析可得直线 l 恒过定点(1,2) ,设 M(

29、1,2) , 第 17 页(共 26 页) 分析圆 C1的方程可得圆心 C1的坐标以及半径 r, 分析可得当|AB|最小时, 圆 C2的面积的 最小;结合直线与圆的位置关系可得当 MC1与直线 l 垂直,即 M 为 AB 的中点时,|AB| 最小,求出此时的值,由圆的面积公式即可得答案 【解答】解:根据题意,直线 l: (m+1)x+(m+2)ym30 即 m(x+y1)+(x+2y 3)0, ,解可得,则直线 l 恒过定点(1,2) ,设 M(1,2) , 圆 C1: (x2)2+(y+1)236,圆心 C1为(2,1) ,半径 r6,|MC1| 3, 若直线 l 与圆 C1: (x2)2+

30、(y+1)236 交于 A,B 两点,以弦 AB 为直径的圆为 C2, 当|AB|最小时,圆 C2的面积的最小; 当 MC1与直线 l 垂直,即 M 为 AB 的中点时,|AB|最小, 此时3, 此时圆 C2的面积 S(3)218, 故答案为:18 【点评】本题考查直线与圆的方程,涉及直线过定点的问题,属于基础题 16 (5 分)已知函数 f(x)f()cosx+sinx,则曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处 的切线方程是 yx+1 【分析】求出 f()的值,求出 f(0)以及 f(0) ,求出切线方程即可 【解答】解:由题意得 f(0)f() , 又 f(x)f()sinx+cosx,

31、 将 x与 x0 代入, 得 f()f()+, f(0)f()0+1, 故 f()1,f(0)1, 故 f(0)f()1, 第 18 页(共 26 页) 故切线方程是:yx+1, 故答案为:yx+1 【点评】本题考查了求切线方程问题,考查导数的应用,是一道常规题 三、解答题(共三、解答题(共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosA(bcosC+ccosB) a (1)求角 A; (2)若 a1,ABC 的周长为+1,求ABC 的面积 【分析】 (1)由

32、已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求 cosA,进而可求 A; (2)由已知可求 b+c,然后结合余弦定理 cos,可求 bc,进而由ABC 的面积 s可求 【解答】解: (1)2cosA(bcosC+ccosB)a 由正弦定理可得,2cosA(sinBcosC+sinCcosB)sinA 2cosAsin(B+C)sinA, 即 2cosAsinAsinA, sinA0, cosA A 为三角形的内角, A; (2)a1,A, 又ABC 的周长为+1, b+c, 由余弦定理可得,cos, , bc, ABC 的面积 s2 【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式,余弦定理,三角形的面积公式等

33、知识的综 第 19 页(共 26 页) 合应用,属于中档试题 18 (12 分)随着银行业的不断发展,市场竞争越来越激烈,顾客对银行服务质量的要求越 来越高,银行为了提高柜员 员工的服务意识,加强评价管理,工作中让顾客对服务作出评价,评价分为满意、基本 满意、不满意三 种某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异,在下属的四个分行中随机 抽出 40 人(男女各 半)进行分析比较对 40 人一月中的顾客评价“不满意”的次数进行了统计,按男、女 分为两组,再将每 组柜员员工的月“不满意”次数分为 5 组:0,5) ,5,10) ,10,15) ,15,20) ,20, 25,得到 如下频数分

34、布表 分组 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25 女柜员 2 3 8 5 2 男柜员 1 3 9 4 3 (1) 在答题卡所给的坐标系中分别画出男、 女柜员员工的频率分布直方图; 分别求出男、 女柜员员工的月平均“不满意”次数的估计值,试根据估计值比较男、女柜员员工的满 意度谁高? (2)在抽取的 40 名柜员员工:中,从“不满意”次数不少于 20 的员工中随机抽取 3 人, 并用 X 表示随机抽取的 3 人中女柜员工的人数,求 X 的分布列和数学期望 【分析】 (1)分别列出女柜员、男柜员的频率分布表,再画出女柜员、男柜员的频率分 布直方图; 计算女柜员、男柜员员工的

35、月平均“不满意”次数,比较即可得出结论; (2)由题意知随机变量 X 的所有可能取值,计算它们的平均数,写出分布列,求出数学 期望值 【解答】解: (1)对于女柜员列出频率分布表如下, 分组 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25 女柜员 2 3 8 5 2 频率 0.1 0.15 0.4 0.25 .0.1 第 20 页(共 26 页) 对于男柜员列出频率分布表如下; 分组 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25 男柜员 1 3 9 4 3 男柜员 0.05 0.15 0.45 0.2 0.15 分别画出女柜员和男柜员的频率分布直方图,如图所示;

36、设女柜员、男柜员员工的月平均“不满意”次数分别为 、 , 则 (22.5+37.5+812.5+517.5+222.5)26013, (12.5+37.5+912.5+417.5+322.5)27513.75; 又 ,所以女柜员员工的满意度要高; (2)在抽取的女柜员员工中,月“不满意”次数不少于 20 的员工人数为 2 人, 在抽取的男柜员员工中,月“不满意”次数不少于 20 的员工人数为 3 人, 所以 X 的所有可能取值为 0,1,2; 计算 P(X0),P(X1),P(X2); 所以 X 的分布列为: X 0 1 2 P 数学期望为 E(X)0+1+2 【点评】本题考查了离散型随机变量

37、的分布列与数学期望的计算问题,也考查了频率分 布直方图的应用问题,是中档题 19 (12 分)如图,四边形 ABCD 是棱长为 2 的正方形E 为 AD 的中点,以 CE 为折痕把 DEC 折起,使点 D 到达点 P 的位置,且点 P 的射影 O 落在线段 AC 上 第 21 页(共 26 页) (1)求; (2)求二面角 PCEA 的余弦值 【分析】 (1)利用 PO平面 ABC,结合三垂线定理作出 EC 的垂线 PF,OF,在AEC 中,求得 cosACE,以下就好解了; (2)由(1)已得平面角,利用第一步的计算结果,不难得解 【解答】解: (1)过点 P 作 PFCE 于 F,连接 F

38、O, 则 OFCE, 在 RtPEC 中, PE1,PC2,则 EC, PF, CF, 在AEC 中, cosACE, 在 RtOFC 中, CO, AOACCO2, ; (2)由(1)可知, PFO 即为二面角 PCEA 的平面角, 在 RtOFC 中, OF, cosPOF, 第 22 页(共 26 页) 二面角 PCEA 的余弦值为 【点评】此题考查了三垂线问题,解三角形,二面角等,难度适中 20 (12 分)已知 F1,F2为椭圆 E:+y21 的左、右焦点,过点 P(m,0) (m2) 的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T (1)求F1TF2面积的取值范围 (2)若有一束光线

39、从点 F1射出,射在直线 l 上的 T 点上,经过直线 l 反射后,试问反射 光线是否恒过定点?若是,请求出该定点;若否,请说明理由 【分析】 (1)过点 P(m,0)的直线方程为 xty+m,t0,消 x 可得(t2+2)y2+2tmy+m2 20,根据直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T,可得 m2t2+2,即可求出点 T 的坐 标, 即可表示F1TF2面积 S|,根据 m 的范围即可求出面积的范围, (2)先求出入射光线的斜率,根据发射光线和入射光线的关系可得反射光线所在的直线 方程为 y(x+1) ,由于点 T 时定点,则反射光线恒过定点 【解答】解: (1)过点 P(m,0)的

40、直线方程为 xty+m,t0, 由,消 x 可得(t2+2)y2+2tmy+m220, 直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T, 4t2m24(m22) (t2+2)0,即 m2t2+2, yT xT+m 第 23 页(共 26 页) |F1F2|2c2, F1TF2面积 S|F1F2|yT|, m2, m2t2+24, t22, 01, 11+2, F1TF2面积的取值范围为,1) (2)由(1)可得 T(, ) ,F1(1,0) k, 反射光线的斜率为, 反射光线所在的直线方程为 y+(x) ,即 y(x+1) , T(1,0) 点 T 的坐标唯一,则反射光线恒过定点(1,0) 【点评

41、】本题考查了直线和椭圆的位置关系,三角形的面积,物理中光学性质,考查运 算求解能力和转化与化归能力,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)(x+1)ln(x+1)+2x+1 (1)求 f(x)的极值; (2)若存在 x0,使得 f(x)kx0(kZ)成立,求 k 的最小值 【分析】 (1)先求导,再根据导数和函数单调性的关系即可求出; (2)分离参数 k,构造函数 F(x) ,求导,导数和函数的最值的关系即可求出 【解答】解: (1)f(x)ln(x+1)+3ln(x+1)lne 3,x1, 当 x+1e 3,即 x(e31,+)时,f(x)0,f(x)递增, 当 x+1e 3,即

42、x(1,e31)时,f(x)0,f(x)递减, 第 24 页(共 26 页) f 当 xe 31 时,f(x)有极大值 f(e31)e31,无极小值, (2)由 x0,k,令 tx+11,k, F(t), 由 ylnt+t2,y,故 y 在1,+)递增,y(3)1ln30,y (4)22ln20, 故必然存在唯一的 a(3,4) ,使得 lnaa2, 故当 t(1,a) ,F(t)0,F(t)单调递减,t(a,+) ,F(t)0,F(t)递增, 故 F(t)minF(a)a+14,a3, 故 k4, 所以 k 的最小值为 5 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求函数的极值和

43、最值,考 查数学转化思想方法、逻辑思维能力、灵活变形能力及推理运算能力,中档题 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M(1,2) ,曲线 C 的参数方 (其中 a 为参数) 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0(kR) (1)试写出曲线 C 的普通方程和曲线 l 的直角坐标方程 (2)设曲线 l 与曲线 C 交于 P,Q 两点,试求的值 【分析】 (1)直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果 (2)利用直线和曲线的位置关系式的应用,利用向量的数

44、量积的运算,利用一元二次方 程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解: (1)曲线 C 的参数方(其中 a 为参数) 转换为直角坐标方程为:x2+y22, 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0(kR) 转换为直角坐标方程为:ykx (2)曲线 l 与曲线 C 交于 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)两点, 第 25 页(共 26 页) 则:, 整理得:, 所以:,x1+x20, 则:,y1+y20, 所以:(x11) (x21)+(y12) (y22)3 【点评】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,向量 的数量级向量的数量积的运算,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运 算能力和转化能力,属于基础题型 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知 a,b 均为正实数 (1)若 ab3,求(a+b) (a3+b3)的最小值; (2)若 a2+b23,证明:a+b 【分析】 (1)由 ab3,结合 a+b, (a3+b3)即可求解; (2)由可证明