1、已知集合 A（x，y）|y2x，B（x，y）|y，则 AB 为（ ） A B1，2 C（1，2） D（1，2） 2 （5 分）复数 z 满足|z2+i|1，则|z|的最大值是（ ） A B C+1 D1 3 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 z的最小值是（ ） A B C D4 4 （5 分）运行如图所示的程序框图，若输入的 ai（i1，2，3，4）分别为 1，2，4，16， 则输出的值为（ ） A25 B5.5 C5 D4 5 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题： 若 mn，n，m，则 ； 若 ，m，nm，则 n 或 n； 若 m，mn，n，
2、则 或 ； 若 m，nm，n，n，则 n 且 n； 其中正确命题的序号是（ ） 第 2 页（共 26 页） A B C D 6 （5 分）已知在ABC 中，M，N 分别是边 ABAC 上的点，且2，3，BN 与 CM 相交于点 P，记 ， ，用 ， 表示的结果是（ ） A+ B+ C+ D+ 7 （5 分）已知（x+） （2x1）5的展开式中各项系数和为 3，则（+x）dx （ ） A2+ B2+ C4+2 D4+4 8 （5 分） “双 11”促销活动中，某商场为了吸引顾客，搞好促销活动，采用“双色球”定 折扣的方式促销，即：在红、黄的两个纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各 5 个， 每
3、种颜色的 5 个球上标有 1，2，3，4，5 等 5 个数字，顾客结账时，先分别从红、黄的 两个纸箱中各取一球，按两个球的数字之和为折扣打折，如 1+23，就按 3 折付款，并 规定取球后不再增加商品按此规定，顾客享有 6 折及以下折扣的概率是（ ） A B C D 9 （5 分）已知 x，y，z（0，1） ，且 log2xlog3ylog5z，则（ ） Axyz Byxz Cyzx Dzxy 10（5 分） 已知函数 f （x） （e 是自然对数的底数） ， 设 an， 数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4037的值是（ ） A2018 B2019 C D 11 （5 分）已知空间四边形
4、 ABCD，BAC，ABAC2，BD10，CD8，且 平面 ABC平面 BCD，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A64 B112 C96 D128 12 （5 分）已知抛物线 C：yx2，直线 l：ykx+2（k0）交 C 于 A，B 两点，M 是线段 第 3 页（共 26 页） AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线 交 C 于点 N若0，则 k 的值为（ ） A B C D2 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知数列an是等差数列，且 a2+a6+a7+2a1015，数列an的前 n 项和为 Sn， 则
5、S13 14（5 分） 已知函数 f （x） 3sinx+4cosx， x1， x20， ， 则 f （x1） f （x2） 的最大值是 15 （5 分）已知动直线 l： （m+1）x+（m+2）ym30 与圆 C1： （x2）2+（y+1）236 交于 A，B 两点，以弦 AB 为直径的圆为 C2，则圆 C2的面积的最小值是 16 （5 分）已知函数 f（x）f（）cosx+sinx，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处 的切线方程是 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）ABC 的
6、内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosA（bcosC+ccosB） a （1）求角 A； （2）若 a1，ABC 的周长为+1，求ABC 的面积 18 （12 分）随着银行业的不断发展，市场竞争越来越激烈，顾客对银行服务质量的要求越 来越高，银行为了提高柜员 员工的服务意识，加强评价管理，工作中让顾客对服务作出评价，评价分为满意、基本 满意、不满意三 种某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异，在下属的四个分行中随机 抽出 40 人（男女各 半）进行分析比较对 40 人一月中的顾客评价“不满意”的次数进行了统计，按男、女 分为两组，再将每 组柜员员工的月“不满意”次
7、数分为 5 组：0，5） ，5，10） ，10，15） ，15，20） ，20， 25，得到 如下频数分布表 分组 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20，25 第 4 页（共 26 页） 女柜员 2 3 8 5 2 男柜员 1 3 9 4 3 （1） 在答题卡所给的坐标系中分别画出男、 女柜员员工的频率分布直方图； 分别求出男、 女柜员员工的月平均“不满意”次数的估计值，试根据估计值比较男、女柜员员工的满 意度谁高？ （2）在抽取的 40 名柜员员工：中，从“不满意”次数不少于 20 的员工中随机抽取 3 人， 并用 X 表示随机抽取的 3 人中女柜员工的人数，求 X 的分布
8、列和数学期望 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 是棱长为 2 的正方形E 为 AD 的中点，以 CE 为折痕把 DEC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且点 P 的射影 O 落在线段 AC 上 （1）求； （2）求二面角 PCEA 的余弦值 20 （12 分）已知 F1，F2为椭圆 E：+y21 的左、右焦点，过点 P（m，0） （m2） 的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T （1）求F1TF2面积的取值范围 （2）若有一束光线从点 F1射出，射在直线 l 上的 T 点上，经过直线 l 反射后，试问反射 光线是否恒过定点？若是，请求出该定点；若否，请说明理由 21 （12
9、分）已知函数 f（x）（x+1）ln（x+1）+2x+1 （1）求 f（x）的极值； （2）若存在 x0，使得 f（x）kx0（kZ）成立，求 k 的最小值 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1，2） ，曲线 C 的参数方 （其中 a 为参数） 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0（kR） （1）试写出曲线 C 的普通方程和曲线 l 的直角坐标方程 第 5 页（共 26 页） （2）设曲线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，试求的值 选修选修
10、4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b 均为正实数 （1）若 ab3，求（a+b） （a3+b3）的最小值； （2）若 a2+b23，证明：a+b 第 6 页（共 26 页） 2018-2019 学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科） （六） （六） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已
11、知集合 A（x，y）|y2x，B（x，y）|y，则 AB 为（ ） A B1，2 C（1，2） D（1，2） 【分析】可得出 B（x，y）|yx1，x1，而解可得，由于 x 1，从而可得出 AB 【解答】解：B（x，y）|yx1，x1 解得； x1； AB 故选：A 【点评】考查描述法的定义，交集的定义及运算，以及空集的定义 2 （5 分）复数 z 满足|z2+i|1，则|z|的最大值是（ ） A B C+1 D1 【分析】根据复数的几何意义，结合点到圆的距离的最值问题进行求解即可 【解答】解：|z2+i|1 得|z（2i）|1， 则 z 的几何意义是以 C（2，1）为圆心，半径为 1 的圆，
12、 |z|的几何意义是圆上的点到原点的距离， 则最大值为|OC|+1+1， 故选：C 【点评】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的几何意义转化为点与圆的最值问题 是解决本题的关键 第 7 页（共 26 页） 3 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 z的最小值是（ ） A B C D4 【分析】由约束条件作出可行域，z的几何意义是（x，y）与（1，2）连线的斜 率，数形结合得到 z的最小值 【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件，作出可行域如图，z的几 何意义是（x，y）与（1，2）连线的斜率 联立，解得 A（6，2） ， z的最小值为 故选：B 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了
13、数形结合的解题思想方法，是中档题 4 （5 分）运行如图所示的程序框图，若输入的 ai（i1，2，3，4）分别为 1，2，4，16， 则输出的值为（ ） 第 8 页（共 26 页） A25 B5.5 C5 D4 【分析】 分析程序的运行过程， 可得程序框图的功能是计算并输出的值， 由题意得出 k、 i 的值，计算即可得解 【解答】解：分析程序框图知， i1，k0 满足条件 i4，输入 a11，不满足条件 a14，i2 满足条件 i4，输入 a22，不满足条件 a24，i3 满足条件 i4，输入 a34，满足条件 a14，k4，i4 满足条件 i4，输入 a416，满足条件 a14，k20，i5
14、 不满足条件 i4，退出循环，输出4 故选：D 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，模拟程序的运行得程序框图的 功能是解题的关键，属于基础题 5 （5 分）已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列命题： 若 mn，n，m，则 ； 若 ，m，nm，则 n 或 n； 若 m，mn，n，则 或 ； 若 m，nm，n，n，则 n 且 n； 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】在中，由面面垂直的判定定理得 ；在中，n 有可能与 ， 都不垂直； 第 9 页（共 26 页） 在中， 与 有可能相交但不垂直；在中， 由线面平行的性质定理得 n 且 n 【解答】
15、解：由 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，知： 在中，若 mn，n，m，则由面面垂直的判定定理得 ，故正确； 在中，若 ，m，nm，则 n 有可能与 ， 都不垂直，故错误； 在中，若 m，mn，n，则 与 相交或平行，即 与 有可能相交但不垂直， 故错误； 在中，若 m，nm，n，n，则由线面平行的性质定理得 n 且 n， 故正确 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查 运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 6 （5 分）已知在ABC 中，M，N 分别是边 ABAC 上的点，且2，3，BN 与 CM 相交于点 P，记 ， ，用 ，
16、 表示的结果是（ ） A+ B+ C+ D+ 【分析】本题要从两个线路去思考，最终得到关于基底的两个表达式，通过系数一致可 算出所设常数的值，最终得出结果 【解答】解：如图， 由题意，可知：， 设， 则有： 第 10 页（共 26 页） 又设， 则有： 通过比较，可得关于 ， 的二元一次方程组： ， 解此二元一次方程组，得， 将结果带入式，可得：， 故选：D 【点评】本题是一道十分典型的用基底去求一未知向量的表达式，这种题目的经典解法 就是从两个思路去计算，最终得出所设常数，从而算出结果本题属中档题 7 （5 分）已知（x+） （2x1）5的展开式中各项系数和为 3，则（+x）dx （ ） A
17、2+ B2+ C4+2 D4+4 【分析】将 x1 代入二项式可得出二项展开式各项的系数和，从而得出 a 的值，然后确 定函数在 0x2 上的图形，利用定积分的几何意义计算出定积分 的值，再利用定积分性质和公式可得出答案 【解答】解：令 x1 可知，二项式的展开式各项系数和为 a+13，得 a2， 令，则 y0，对等式两边平方并整理得 x2+y24， 所以，函数在 0x2 上的图象如下图所示， 第 11 页（共 26 页） 由定积分的几何意义可得， 因 此 ， 故选：B 【点评】本题考查定积分的计算，考查二项式定理，考查定积分的几何意义与性质，考 查计算能力，属于中等题 8 （5 分） “双
18、11”促销活动中，某商场为了吸引顾客，搞好促销活动，采用“双色球”定 折扣的方式促销，即：在红、黄的两个纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各 5 个， 每种颜色的 5 个球上标有 1，2，3，4，5 等 5 个数字，顾客结账时，先分别从红、黄的 两个纸箱中各取一球，按两个球的数字之和为折扣打折，如 1+23，就按 3 折付款，并 规定取球后不再增加商品按此规定，顾客享有 6 折及以下折扣的概率是（ ） A B C D 【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件总数为 25，满足条件 的事件可以通过列举得到事件数，根据古典概型公式得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型
19、，试验包含的所有事件共有含有 5525 个 等可能基本事件 则两数之和为6 的事件有（1，1） （1，2） （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，1） （2，2） （2，3） ， （2，4） （3，1） （3，2） ， （3，3） ， （4，1） ， （4，2） ， （5，1）共有 15 种结果， 故顾客享有 6 折及以下折扣的概率是， 故选：A 【点评】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古 典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件是一个 基础题 第 12 页（共 26 页） 9 （5 分）已知 x，y，z（0，1）
20、，且 log2xlog3ylog5z，则（ ） Axyz Byxz Cyzx Dzxy 【分析】可设 log2xlog3ylog5zk，从而可得出 x2k，y3k，z5k，从而得出 ，容易 31021556，且 k0，根据幂 函数单调性即可得出 【解答】解：设 log2xlog3ylog5zk； x2k，y3k，z5k； ，； 21585，31095，215323，56253； 31021556； 又 x，y，z（0，1） ； k0； ； 故选：B 【点评】考查对数的定义，对数式和指数式的互化，分数指数幂的运算，以及幂函数的 单调性 10（5 分） 已知函数 f （x） （e 是自然对数的底数
21、） ， 设 an， 数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4037的值是（ ） A2018 B2019 C D 【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得 f（），且 f（1） ，进而可得 f（x）+f（）1，结合数列的通项公式可得 S4037f（1）+f（2） 第 13 页（共 26 页） +f（2019）+f（）+f（）+f（）f（1）+f（2）+f（）+f （3）+f（）+f（2019）+f（） ，进而分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x），则 f（），且 f（1） ， 则有 f（x）+f（）+1， 又由 an， 则 S4037f（1）+f（2）+f（2019）+f（）+f（）
22、+f（） f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（2019）+f（） +2018； 故选：C 【点评】本题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析 f（x）+f（）的值 11 （5 分）已知空间四边形 ABCD，BAC，ABAC2，BD10，CD8，且 平面 ABC平面 BCD，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A64 B112 C96 D128 【分析】由题意画出图形，找出外接球的球心，求解三角形得到半径，代入球的表面积 公式求解 【解答】解：如图， 取 BC 中点 E，连接 AE 并延长至ABC 的外心 G， 在ABC 中，由BAC，ABAC2，可得 BECE3， 则 B
23、C6，又 BD10，CD8，则BCD 为以 BD 为斜边的直角三角形， 则 BD 中点 F 为BCD 的外心， 平面 ABC平面 BCD，过 F 作平面 BCD 的垂线，故 G 作平面 ABC 的垂线，两垂线相 交于 O， 第 14 页（共 26 页） O 为空间四边形 ABCD 的外接球的球心 在ABC 中，由，得 AG2 ，则 OF， 空间四边形 ABCD 的外接球的半径 ROD 空间四边形 ABCD 的外接球的表面积 S4112 故选：B 【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，正确 找出外接球球心是关键，是中档题 12 （5 分）已知抛物线 C：yx2，
24、直线 l：ykx+2（k0）交 C 于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线 交 C 于点 N若0，则 k 的值为（ ） A B C D2 【分析】把 ykx+2 代入 y2x2得 x2kx20 由韦达定理得 x1+x2k，x1x22， 求出 M 的坐标，进一步得到 N 点的坐标为，利用向量的数量积根式求出，根据已知列出 方程求出 k 的值 【解答】解：设 A（x1，x12） ，B（x2，x22） ， 把 ykx+2 代入 yx2得 x2kx20 由韦达定理得 x1+x2k，x1x22， 所以 M（，+2） ， 所以 N 点的坐标为（，） ， 所以（x1，x12）
25、， （x2，x22）x1x2 （x1+x2）+（x1x2） 第 15 页（共 26 页） 2+ （x1+x2）22x1x20， 即2+4+（k2+4）0， 整理可得 3k4+20k2320 解得 k2，又 k0，故 k， 故选：C 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解决的思路一般是将直线与圆锥 曲线方程联立，利用韦达定理；考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知数列an是等差数列，且 a2+a6+a7+2a1015，数列an的前 n 项和为 Sn， 则 S13
26、 39 【分析】利用等差数列通项公式推导出 a1+6d3，由此能求出 S13 【解答】解：数列an是等差数列，且 a2+a6+a7+2a1015， a1+d+a1+5d+a1+6d+2（a1+9d）15， 整理得 a1+6d3， 数列an的前 n 项和为 Sn， 则 S13（a1+a13）13（a1+6d）13339 故答案为：39 【点评】本题考查等差数列的前 13 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 14 （5 分）已知函数 f（x）3sinx+4cosx，x1，x20，则 f（x1）f（x2）的最大值是 第 16 页（共 26 页） 9 【分析】本题先
27、将函数 f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出 函数 f（x）在区间0，上的最大值和最小值，从而得出结果 【解答】解：由题意，可知：f（x）3sinx+4cosx5 （sinx+cosx）5sin（x+） ， 其中 sin，cos sin，可知 sin， 对于函数 f（x）5sin（x+） ，可知： sinx 向左平移 个单位得到 sin（x+） ，再将 sin（x+）的图象沿 y 轴伸长到原来的 5 倍 得到 5sin（x+） 由题意，可知求 f（x1）f（x2）的最大值就是求函数 f（x）5sin（x+）在区间0， 上的最大值与最小值之差 又函数 f（x）5sin（x+
28、）在区间0，上的图象如下： 由图象可知，在区间0，上， 当 x时，f（x）取最大值 5， 当 x 时，f（x）取最小值 5sin（+）5sin4 在区间0，上，f（x1）f（x2）的最大值是 5（4）9 故答案为：9 【点评】本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识，本题要特别注意细节点 不能粗心大意属中档题 15 （5 分）已知动直线 l： （m+1）x+（m+2）ym30 与圆 C1： （x2）2+（y+1）236 交于 A，B 两点，以弦 AB 为直径的圆为 C2，则圆 C2的面积的最小值是 18 【分析】根据题意，由直线 l 的方程分析可得直线 l 恒过定点（1，2） ，设 M（
29、1，2） ， 第 17 页（共 26 页） 分析圆 C1的方程可得圆心 C1的坐标以及半径 r， 分析可得当|AB|最小时， 圆 C2的面积的 最小；结合直线与圆的位置关系可得当 MC1与直线 l 垂直，即 M 为 AB 的中点时，|AB| 最小，求出此时的值，由圆的面积公式即可得答案 【解答】解：根据题意，直线 l： （m+1）x+（m+2）ym30 即 m（x+y1）+（x+2y 3）0， ，解可得，则直线 l 恒过定点（1，2） ，设 M（1，2） ， 圆 C1： （x2）2+（y+1）236，圆心 C1为（2，1） ，半径 r6，|MC1| 3， 若直线 l 与圆 C1： （x2）2+
30、（y+1）236 交于 A，B 两点，以弦 AB 为直径的圆为 C2， 当|AB|最小时，圆 C2的面积的最小； 当 MC1与直线 l 垂直，即 M 为 AB 的中点时，|AB|最小， 此时3， 此时圆 C2的面积 S（3）218， 故答案为：18 【点评】本题考查直线与圆的方程，涉及直线过定点的问题，属于基础题 16 （5 分）已知函数 f（x）f（）cosx+sinx，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处 的切线方程是 yx+1 【分析】求出 f（）的值，求出 f（0）以及 f（0） ，求出切线方程即可 【解答】解：由题意得 f（0）f（） ， 又 f（x）f（）sinx+cosx，
31、 将 x与 x0 代入， 得 f（）f（）+， f（0）f（）0+1， 故 f（）1，f（0）1， 故 f（0）f（）1， 第 18 页（共 26 页） 故切线方程是：yx+1， 故答案为：yx+1 【点评】本题考查了求切线方程问题，考查导数的应用，是一道常规题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosA（bcosC+ccosB） a （1）求角 A； （2）若 a1，ABC 的周长为+1，求ABC 的面积 【分析】 （1）由
32、已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求 cosA，进而可求 A； （2）由已知可求 b+c，然后结合余弦定理 cos，可求 bc，进而由ABC 的面积 s可求 【解答】解： （1）2cosA（bcosC+ccosB）a 由正弦定理可得，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）sinA 2cosAsin（B+C）sinA， 即 2cosAsinAsinA， sinA0， cosA A 为三角形的内角， A； （2）a1，A， 又ABC 的周长为+1， b+c， 由余弦定理可得，cos， ， bc， ABC 的面积 s2 【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式等
33、知识的综 第 19 页（共 26 页） 合应用，属于中档试题 18 （12 分）随着银行业的不断发展，市场竞争越来越激烈，顾客对银行服务质量的要求越 来越高，银行为了提高柜员 员工的服务意识，加强评价管理，工作中让顾客对服务作出评价，评价分为满意、基本 满意、不满意三 种某银行为了比较顾客对男女柜员员工满意度评价的差异，在下属的四个分行中随机 抽出 40 人（男女各 半）进行分析比较对 40 人一月中的顾客评价“不满意”的次数进行了统计，按男、女 分为两组，再将每 组柜员员工的月“不满意”次数分为 5 组：0，5） ，5，10） ，10，15） ，15，20） ，20， 25，得到 如下频数分
34、布表 分组 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20，25 女柜员 2 3 8 5 2 男柜员 1 3 9 4 3 （1） 在答题卡所给的坐标系中分别画出男、 女柜员员工的频率分布直方图； 分别求出男、 女柜员员工的月平均“不满意”次数的估计值，试根据估计值比较男、女柜员员工的满 意度谁高？ （2）在抽取的 40 名柜员员工：中，从“不满意”次数不少于 20 的员工中随机抽取 3 人， 并用 X 表示随机抽取的 3 人中女柜员工的人数，求 X 的分布列和数学期望 【分析】 （1）分别列出女柜员、男柜员的频率分布表，再画出女柜员、男柜员的频率分 布直方图； 计算女柜员、男柜员员工的
35、月平均“不满意”次数，比较即可得出结论； （2）由题意知随机变量 X 的所有可能取值，计算它们的平均数，写出分布列，求出数学 期望值 【解答】解： （1）对于女柜员列出频率分布表如下， 分组 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20，25 女柜员 2 3 8 5 2 频率 0.1 0.15 0.4 0.25 .0.1 第 20 页（共 26 页） 对于男柜员列出频率分布表如下； 分组 0，5） 5，10） 10，15） 15，20） 20，25 男柜员 1 3 9 4 3 男柜员 0.05 0.15 0.45 0.2 0.15 分别画出女柜员和男柜员的频率分布直方图，如图所示；
36、设女柜员、男柜员员工的月平均“不满意”次数分别为 、 ， 则 （22.5+37.5+812.5+517.5+222.5）26013， （12.5+37.5+912.5+417.5+322.5）27513.75； 又 ，所以女柜员员工的满意度要高； （2）在抽取的女柜员员工中，月“不满意”次数不少于 20 的员工人数为 2 人， 在抽取的男柜员员工中，月“不满意”次数不少于 20 的员工人数为 3 人， 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2； 计算 P（X0），P（X1），P（X2）； 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为 E（X）0+1+2 【点评】本题考查了离散型随机变量
37、的分布列与数学期望的计算问题，也考查了频率分 布直方图的应用问题，是中档题 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 是棱长为 2 的正方形E 为 AD 的中点，以 CE 为折痕把 DEC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且点 P 的射影 O 落在线段 AC 上 第 21 页（共 26 页） （1）求； （2）求二面角 PCEA 的余弦值 【分析】 （1）利用 PO平面 ABC，结合三垂线定理作出 EC 的垂线 PF，OF，在AEC 中，求得 cosACE，以下就好解了； （2）由（1）已得平面角，利用第一步的计算结果，不难得解 【解答】解： （1）过点 P 作 PFCE 于 F，连接 F
38、O， 则 OFCE， 在 RtPEC 中， PE1，PC2，则 EC， PF， CF， 在AEC 中， cosACE， 在 RtOFC 中， CO， AOACCO2， ； （2）由（1）可知， PFO 即为二面角 PCEA 的平面角， 在 RtOFC 中， OF， cosPOF， 第 22 页（共 26 页） 二面角 PCEA 的余弦值为 【点评】此题考查了三垂线问题，解三角形，二面角等，难度适中 20 （12 分）已知 F1，F2为椭圆 E：+y21 的左、右焦点，过点 P（m，0） （m2） 的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T （1）求F1TF2面积的取值范围 （2）若有一束光线
39、从点 F1射出，射在直线 l 上的 T 点上，经过直线 l 反射后，试问反射 光线是否恒过定点？若是，请求出该定点；若否，请说明理由 【分析】 （1）过点 P（m，0）的直线方程为 xty+m，t0，消 x 可得（t2+2）y2+2tmy+m2 20，根据直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T，可得 m2t2+2，即可求出点 T 的坐 标， 即可表示F1TF2面积 S|，根据 m 的范围即可求出面积的范围， （2）先求出入射光线的斜率，根据发射光线和入射光线的关系可得反射光线所在的直线 方程为 y（x+1） ，由于点 T 时定点，则反射光线恒过定点 【解答】解： （1）过点 P（m，0）的
40、直线方程为 xty+m，t0， 由，消 x 可得（t2+2）y2+2tmy+m220， 直线 l 与椭圆 E 有且只有一个交点 T， 4t2m24（m22） （t2+2）0，即 m2t2+2， yT xT+m 第 23 页（共 26 页） |F1F2|2c2， F1TF2面积 S|F1F2|yT|， m2， m2t2+24， t22， 01， 11+2， F1TF2面积的取值范围为，1） （2）由（1）可得 T（， ） ，F1（1，0） k， 反射光线的斜率为， 反射光线所在的直线方程为 y+（x） ，即 y（x+1） ， T（1，0） 点 T 的坐标唯一，则反射光线恒过定点（1，0） 【点评
41、】本题考查了直线和椭圆的位置关系，三角形的面积，物理中光学性质，考查运 算求解能力和转化与化归能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（x+1）ln（x+1）+2x+1 （1）求 f（x）的极值； （2）若存在 x0，使得 f（x）kx0（kZ）成立，求 k 的最小值 【分析】 （1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）分离参数 k，构造函数 F（x） ，求导，导数和函数的最值的关系即可求出 【解答】解： （1）f（x）ln（x+1）+3ln（x+1）lne 3，x1， 当 x+1e 3，即 x（e31，+）时，f（x）0，f（x）递增， 当 x+1e 3，即
42、x（1，e31）时，f（x）0，f（x）递减， 第 24 页（共 26 页） f 当 xe 31 时，f（x）有极大值 f（e31）e31，无极小值， （2）由 x0，k，令 tx+11，k， F（t）， 由 ylnt+t2，y，故 y 在1，+）递增，y（3）1ln30，y （4）22ln20， 故必然存在唯一的 a（3，4） ，使得 lnaa2， 故当 t（1，a） ，F（t）0，F（t）单调递减，t（a，+） ，F（t）0，F（t）递增， 故 F（t）minF（a）a+14，a3， 故 k4， 所以 k 的最小值为 5 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值和
43、最值，考 查数学转化思想方法、逻辑思维能力、灵活变形能力及推理运算能力，中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1，2） ，曲线 C 的参数方 （其中 a 为参数） 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0（kR） （1）试写出曲线 C 的普通方程和曲线 l 的直角坐标方程 （2）设曲线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，试求的值 【分析】 （1）直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果 （2）利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用向量的数
44、量积的运算，利用一元二次方 程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方（其中 a 为参数） 转换为直角坐标方程为：x2+y22， 曲线 l 的极坐标方程为 sinkcos0（kR） 转换为直角坐标方程为：ykx （2）曲线 l 与曲线 C 交于 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）两点， 第 25 页（共 26 页） 则：， 整理得：， 所以：，x1+x20， 则：，y1+y20， 所以：（x11） （x21）+（y12） （y22）3 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量 的数量级向量的数量积的运算，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运 算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b 均为正实数 （1）若 ab3，求（a+b） （a3+b3）的最小值； （2）若 a2+b23，证明：a+b 【分析】 （1）由 ab3，结合 a+b， （a3+b3）即可求解； （2）由可证明