1、2019-2020 学年高二第二学期期中数学试卷学年高二第二学期期中数学试卷 一、单项选择题（共 8 小题） 1在复平面内，复数 z1+2i（i 为虚数单位）对应的点所在象限是（ ） A一 B二 C三 D四 2已知回归直线方程中斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程 为（ ） A 1.23x+0.08 B 0.08x+1.23 C 1.23x+4 D 1.23x+5 3已知随机变量 X 的分布列为 P（Xk） ，（k1，2，3，4），则 P（1X3） （ ） A B C D 4由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字，且 1，3 不相邻的六位数的个数是（ ） A
2、36 B72 C480 D600 5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，若两人各投篮 2 次，则两人各投中一次 的概率为（ ） A0.42 B0.2016 C0.1008 D0.0504 6设 aZ，且 0a16，若 42020+a 能被 17 整除，则 a 的值为（ ） A1 B4 C13 D16 7 在某市 2020 年 1 月份的高三质量检测考试中， 理科学生的数学成绩服从正态分布 N （98， 100），已知参加本次考试的全市理科学生约有 9450 人，如果某学生在这次考试中的数 学成绩是 108 分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ） 附：若 XN（，2），则 P（X
3、+）0.6826，P（2X+2） 0.9544 A1500 名 B1700 名 C4500 名 D8000 名 8函数 ，x（3，0）（0，3）的图象大致为（ ） A B C D 二、多项选择题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9若 ，则 x 的值为（ ） A4 B6 C9 D18 10若直线 是函数 f（x）图象的一条切线，则函数 f（x）可以是（ ） A Bf（x）x4 Cf（x）sinx Df（x）ex 11下列说法正确的有（ ） A任意两个复数都不能比大小 B若 za+bi（a
4、R，bR），则当且仅当 ab0 时，z0 C若 z1，z2C，且 z12+z220，则 z1z20 D若复数 z 满足|z|1，则|z+2i|的最大值为 3 12已知 的展开式中各项系数的和为 2，则下列结论正确的有（ ） Aa1 B展开式中常数项为 160 C展开式系数的绝对值的和 1458 D若 r 为偶数，则展开式中 xr和 xr1的系数相等 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分其中第 14 题共有 2 空，第一个空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空，每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13计算 14规定 ，其中 xR，mN*，且 ，这是排列数
5、 （n， mN*，且 mn）的一种推广则 ，则函数 的单调减区间 为 15 设口袋中有黑球、 白球共 7 个， 从中任取 2 个球， 已知取到白球个数的数学期望值为 ， 则口袋中白球的个数为 16已知（x+m） （2x1） 7a 0+a1x+a2x 2+a 3x 3+a 8x 8（mR），若 a 127，则 ai） 的值为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17已知 z1a+2i，z234i（其中 i 为虚数单位） （1）若 为纯虚数，求实数 a 的值； （2）若 （其中 是复数 z2的共轭复数），求实数 a 的
6、取值范围 18在 （n3，nN*）的展开式中，第 2，3，4 项的二项式系数依次成等差数 列 （1）求 n 的值； （2）求展开式中含 x2的项 19近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于 80 分的 学生为甲组，成绩低于 80 分的学生为乙组为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机 抽取了 60 名学生的成绩进行分析，数据如表所示的 22 列联表 甲组 乙组 合计 男生 3 女生 13 合计 40 60 （1） 将 22 列联表补充完整， 判断是否有 90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？ （2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 6 人，再从这 6 人中
7、随机抽取 2 人，求 至少有 1 人在甲组的概率 附：参考数据及公式： P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，na+b+c+d 20已知函数 f（x）x3+ax2a2x+1，aR （1）当 a1 时，求函数 f（x）在区间2，1上的最大值； （2）当 a0 时，求函数 f（x）的极值 21为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作 者被人们尊敬的称为最美逆行者，各地医务工作者主动支援湖北武汉现有 7 名医 学专家被随机分配到雷神山、火神山两家医院 （1）求
8、7 名医学专家中恰有两人被分配到雷神山医院的概率； （2）若要求每家医院至少一人，设 X，Y 分别表示分配到雷神山、火神山两家 医院的人数，记 |XY|，求随机变量 的分布列和数学期望 E（） 22已知函数 f（x）（x1）ex，其中 e 是自然对数的底数 （1）求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2）设 g（x）x2+|f（x）|，求函数 g（x）的单调区间； （3）设 h（x）mf（x）lnx，求证：当 0m 时，函数 h（x）恰有 2 个不同零点 参考答案 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，
9、请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1在复平面内，复数 z1+2i（i 为虚数单位）对应的点所在象限是（ ） A一 B二 C三 D四 【分析】由复数 z 得到 z 的坐标得答案 解：z1+2i， 在复平面内，复数 z1+2i 对应的点的坐标为（1，2），所在象限是第二象限 故选：B 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 2已知回归直线方程中斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程 为（ ） A 1.23x+0.08 B 0.08x+1.23 C 1.23x+4 D 1.23x+5 【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程 解：
10、设回归直线方程为 1.23x+a 样本点的中心为（4，5）， 51.234+a a0.08 回归直线方程为 1.23x+0.08 故选：A 【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题 3已知随机变量 X 的分布列为 P（Xk） ，（k1，2，3，4），则 P（1X3） （ ） A B C D 【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于 3 和 2 时的概率，本 题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可 解： ， ， ， P（X2） P（X3） ， P（1X3） 故选：C 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是
11、正确利用分布列 的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在0，1 之间，概率和为 1，本题是一个基础题 4由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字，且 1，3 不相邻的六位数的个数是（ ） A36 B72 C480 D600 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，将 2、4、5、6 四个数全排列，四个数 排好后，有 5 个空位，在 5 个空位中任选 2 个，安排 1 和 3，由分步计数原理计算可得答 案 解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将 2、4、5、6 四个数全排列，有 A4424 种排法， ，四个数排好后，有 5 个空位，在 5 个空位中任选 2 个
12、，安排 1 和 3，有 A5220 种情 况， 则有 2420480 个符合题意的六位数； 故选：C 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，若两人各投篮 2 次，则两人各投中一次 的概率为（ ） A0.42 B0.2016 C0.1008 D0.0504 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式直接求解 解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7， 两人各投篮 2 次，则两人各投中一次的概率为： p 0.2016 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查 n 次独立重
13、复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计 算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6设 aZ，且 0a16，若 42020+a 能被 17 整除，则 a 的值为（ ） A1 B4 C13 D16 【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得 1+a 能被 17 整除，从而得出结论 解：设 aZ，且 0a16，若 42020+a161010+a（171）1010+a171010171009+171008 171007+（17）+1+a 能被 17 整除， 则 1+a 能被 17 整除， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题 7 在某市 2020 年 1 月份的高三质量检
14、测考试中， 理科学生的数学成绩服从正态分布 N （98， 100），已知参加本次考试的全市理科学生约有 9450 人，如果某学生在这次考试中的数 学成绩是 108 分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ） 附：若 XN（，2），则 P（X+）0.6826，P（2X+2） 0.9544 A1500 名 B1700 名 C4500 名 D8000 名 【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论 解：考试的成绩 服从正态分布 N（98，100）98，10， P（108）1P（108）1（ ）1（1）0.158 7， 即数学成绩优秀高于 108 分的学生占总人数的 15.87% 9
15、45015.87%1500 故选：A 【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出 108 的概率 8函数 ，x（3，0）（0，3）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】求出函数的导数，利用导函数在（3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数 的单调性情况，进而结合选项得出答案 解： ， 当 x（3，0）时，f（x）0，此时 f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选 项 B，C； 当 x（0，3）时，f（x）可正可负，此时 f（x）有增有减，可排除选项 D 故选：A 【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及 数形结合思想，属于中档题
16、 一、选择题 9若 ，则 x 的值为（ ） A4 B6 C9 D18 【分析】由 ，利用组合数的性质即可得出 x3x8 或 x+3x828，解出即 可得出 解： ， x3x8 或 x+3x828， 解得：x4，或 9 故选：AC 【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10若直线 是函数 f（x）图象的一条切线，则函数 f（x）可以是（ ） A Bf（x）x4 Cf（x）sinx Df（x）ex 【分析】求得已知直线的斜率 k，对选项中的函数分别求导，可令导数为 k，解方程即可 判断结论 解：直线 的斜率为 k ， 由 f（x） 的导数为 f（x） ，即有切线的斜
17、率小于 0，故 A 不能选； 由 f（x）x4的导数为 f（x）4x3，而 4x3 ，解得 x ，故 B 可以选； 由 f（x）sinx 的导数为 f（x）cosx，而 cosx 有解，故 C 可以选； 由 f（x）ex的导数为 f（x）ex，而 ex ，解得 xln2，故 D 可以选 故选：BCD 【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础 题 11下列说法正确的有（ ） A任意两个复数都不能比大小 B若 za+bi（aR，bR），则当且仅当 ab0 时，z0 C若 z1，z2C，且 z12+z220，则 z1z20 D若复数 z 满足|z|1，则|z+2i
18、|的最大值为 3 【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可 解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以 A 不正确； 复数的实部与虚部都是 0 时，复数是 0，所以 B 正确； 反例 z11，z2i，满足 z12+z220，所以 C 不正确； 复数 z 满足|z|1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，2）的距离，它的最大 值为 3，所以 D 正确； 故选：BD 【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查 发现问题解决问题的能力，是基础题 12已知 的展开式中各项系数的和为 2，则下列结论正确的有（ ） Aa1 B展
19、开式中常数项为 160 C展开式系数的绝对值的和 1458 D若 r 为偶数，则展开式中 xr和 xr1的系数相等 【分析】由题意令 x1，可得 a 的值；二项式展开，分析可得结论 解：令 x1，可得 的展开式中各项系数的和为（1+a）12，a1， 故 A 正确； （1 ） （1 ）（64x 6192x4+240x2160+60x212x4+x6），故展开 式中常数项为160，故 B 不正确； 的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1 ） 的各系数和， 为（1+a） 361458，故 C 正确； 根据（1 ） （1 ）（64x 6192x4+240x2160+60x212x4+x6）， 可得若
20、r 为偶数，则展开式中 xr和 xr1的系数相等，故 D 正确， 故选：ACD 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，属于基础题 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分其中第 14 题共有 2 空，第一个空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空，每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13计算 35 【分析】先把 化为 C33，再根据组合数的性质， nm+ nm1Cn+1m，逐个化简，即可求 出 的值 解： mn+Cm1n mn+1， 原式 35 故答案为：35 【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出
21、错 14规定 ，其中 xR，mN*，且 ，这是排列数 （n， mN*，且 mn）的一种推广则 ，则函数 的单调减区间为 ， 【分析】直接由排列数公式展开求得 ；展开排列数公式，得到 f（x）的解析式，求 出导函数，再由导数小于 0 求得函数的单调减区间 解：由 ， 得 ； 函数 x（x1）（x3+1）x33x2+2x， f（x）3x26x+2 由 f（x）0，得 3x26x+20，解得 x 函数 的单调减区间为（ ， ） 故答案为： ；（ ， ） 【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中 档题 15 设口袋中有黑球、 白球共 7 个， 从中任取 2 个球，
22、已知取到白球个数的数学期望值为 ， 则口袋中白球的个数为 3 【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，算出取到白球的概率， 由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两 种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果 解：设口袋中有白球 n 个， 由题意知口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球， 取到白球的概率是 ， 每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种 结果， 符合二项分布， 2 ， n3 故答案为：3 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出
23、 现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题 16已知（x+m） （2x1） 7a 0+a1x+a2x 2+a 3x 3+a 8x 8（mR），若 a 127，则 ai） 的值为 43 【分析】先求出 m 的值，令 x0，可得 a02，在所给等式中，两边对 x 求导数，再 令 x1，可得要求式子的值 解：已知（x+m）（2x1）7a0+a1x+a2x2+a3x3+a8x8， 而 a11+m 1+14m27，m2 （x+2） （2x1）7 a0+a1x+a2x2+a3x3+a8x8 令 x0，可得 a02 等式两边对 x 求导数可得， （2x1） 7+ （x+2）
24、14 （2x1）6 a 1+2a2x+3a3x 2 +8a 8 x7， 再令 x1，可得 a1+2a2+3a3+8a8 43， 则 ai）a1+2a2+8a8）43， 故答案为：43 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，属于基础题 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17已知 z1a+2i，z234i（其中 i 为虚数单位） （1）若 为纯虚数，求实数 a 的值； （2）若 （其中 是复数 z2的共轭复数），求实数 a 的取值范围 【分析】（1）利用复数运算化简 ，要为
25、纯虚数，只需实部为零，虚部不为零 （2）化简 ，由 可得（a3） 2+4a2+4，即可求 a 的范围 解：（1）由 z1a+2i，z234i， 得 又因为 为纯虚数，所以 ， ， 所以， （2） ， 又因为 ，所以 ， 即，（a3）2+4a2+4， 解得， 【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力属于基础题 18在 （n3，nN*）的展开式中，第 2，3，4 项的二项式系数依次成等差数 列 （1）求 n 的值； （2）求展开式中含 x2的项 【分析】（1）由题意可得 2 ，由此求得 n 的值 （2）先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 2，求得 r 的值，即可求得
26、展开式中的含 x2的项 解：（1）在 （n3，nN*）的展开式中，第 2，3，4 项的二项式系数依 次成等差数列， 即 2 ，求得 n7，或 n2（舍去） （2）展开式的通项公式为 Tr+1 ，令 2，求得 r2， 可得展开式中含 x2的项为 T3 x 2 x2 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，属于基础题 19近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于 80 分的 学生为甲组，成绩低于 80 分的学生为乙组为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机 抽取了 60 名学生的成绩进行分析，数据如表所示的 22 列联表 甲组 乙
27、组 合计 男生 3 女生 13 合计 40 60 （1） 将 22 列联表补充完整， 判断是否有 90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？ （2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求 至少有 1 人在甲组的概率 附：参考数据及公式： P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，na+b+c+d 【分析】（1）根据题目所给的数据填写 22 列联表，计算 K 的观测值 K2，对照题目中 的表格，得出统计结论； （2）先计算出抽取的 6 人中甲组的人数和
28、乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即 可求出结果 解：（1）根据题目所给数据得到如下 22 的列联表： 甲组 乙组 合计 男生 27 3 30 女生 13 17 30 合计 40 20 60 根据列联表中的数据，可以求得：K2 14.7； 由于 14.72.706， 所以有 90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关； （2）因为甲组有 40 人，乙组有 20 人， 若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 6 人， 则抽取的 6 人中甲组有 4 人，乙组有 2 人， 从这 6 人中随机抽取 2 人，至少有 1 人在甲组的概率为 P1 ， 答：至少有 1 人在甲组的概率为 【点评】本题考查了独立
29、性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计 算能力的应用问题，是基础题目 20已知函数 f（x）x3+ax2a2x+1，aR （1）当 a1 时，求函数 f（x）在区间2，1上的最大值； （2）当 a0 时，求函数 f（x）的极值 【分析】（1）将 a1 代入，求导，求出函数在2，1上的单调性，进而求得最大值； （2）求导，分 a0 及 a0 两种情形讨论即可得出结论 解： （1）当 a1 时，f（x）x3+x2x+1，则 f（x）3x2+2x1（x+1） （3x1）， 令 f（x）0，解得2x1 或 ，令 f（x）0，解得 ， 函数 f（x）在 ， ， ， 单调递增，在 ， 单调
30、递减， 由于 f（1）2，f（1）2，故函数 f（x）在区间2，1上的最大值为 2； （2）f（x）3x2+2axa2（x+a） （3xa），令 f（x）0，解得 xa 或 ， 当 a0 时，f（x）3x20，所以函数 f（x）在 R 上递增，无极值； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 xa 或 ，令 f（x）0，解得 ， 函数 f（x）在（，a）， ， 单调递增，在 ， 单调递减， 函数 f（x）的极大值为 f（a）a2+1，极小值为 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运 算求解能力，属于基础题 21为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的
31、团结和伟大，特别是医护工作 者被人们尊敬的称为最美逆行者，各地医务工作者主动支援湖北武汉现有 7 名医 学专家被随机分配到雷神山、火神山两家医院 （1）求 7 名医学专家中恰有两人被分配到雷神山医院的概率； （2）若要求每家医院至少一人，设 X，Y 分别表示分配到雷神山、火神山两家 医院的人数，记 |XY|，求随机变量 的分布列和数学期望 E（） 【分析】（1）设7 名医学专家中恰有两人被分配到雷神山医院为事件 A，利用 组合数求出事件 A 的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后 根据古典概型即可求得概率； （2）随机变量 的所有可能取值为 1，3，5，然后利用组合数与古
32、典概型逐一求出每个 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望 解：（1） 设 7 名医学专家中恰有两人被分配到 雷神山 医院 为事件 A， 种， 7 名医学专家被随机分配到雷神山火神山两家医院，共有 27128 种等可能的基 本事件， P（A） 故 7 名医学专家中恰有两人被分配到雷神山医院的概率为 （2）每家医院至少 1 人共有 272126 种等可能的基本事件， 随机变量 的所有可能取值为 1，3，5， P （1） ； P （3） ； P （5） 的分布列为 1 3 5 P 数学期望 E（） 【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学 生对数据的分
33、析与处理能力，属于基础题 22已知函数 f（x）（x1）ex，其中 e 是自然对数的底数 （1）求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （2）设 g（x）x2+|f（x）|，求函数 g（x）的单调区间； （3）设 h（x）mf（x）lnx，求证：当 0m 时，函数 h（x）恰有 2 个不同零点 【分析】（1）利用导数求函数的在 x1 处切线的斜率，进而求出切线方程； （2）利用导数的正负求 g（x）的单调区间，当 g（x）0 时解得为函数的增区间，g （x）0 解得为函数的减区间，关键是由于 f（x）为分段函数，所以 g（x）也要进行分 段讨论； （3） 利用导数研究函数的单调性， 从而证
34、明函数的零点问题， 关键是求函数的单调性时， 导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围 解：（1）由 f（x）（x1）ex，得 f（x）ex+（x1）exxex，所以 f（1）e， 所以曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 ye（x1）； （2） ， ， ， ， 当 x1 时，g（x）2x+xexx （2+ex）0， 所以函数 g（x）的单调增区间为1，+），当 x1 时 g（x）x2（x1）ex，所以 g （x）2xxexx（2ex）， 令 g（x）0 得 0xln2；令 g（x）0，得 x0 或 ln2x1，所以函数的单调 增区间为（0，ln2）；单调减区间为（，0）和（l
35、n2，1） 综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和1，+）； 函数的单调减区间为（，0）和（ln2，1） （3） 证明： 由题意知， F （x） m （x1） exlnx 得 ， 令 h（x）mx2ex1（x0），当 时，h（x）（2mx+mx 2）ex0， 所以 h （x） 在 （0， +） 上单调递增， 又因为 h （1） me10， h （ln ） 10， 所以存在唯一的 ， ，使得 ， 当 x（0，x0）时，h（x0）0，所以在（0，x0）上单调递减，当 x（x0，+）时， h（x）0， 所以在（x0，+）上单调递增，故 x0是 h（x）mx2ex1（x0）的唯一极值点 令 t（x）lnxx1，当 x（1，+）， ，所以在（1，+）上单调 递减， 即当 x（1，+）时，t（x）t（1）0，即 lnxx1， 所以 ， 又因为 F（x0）F（1）0，所以 F（x）在（x0，+）上有唯一的零点， 所以函数 F（x）恰有两个零点 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题