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甘肃省2020届高三第二次诊断考试数学试题(文科)含答案解析

1、甘肃省甘肃省 2020 届高三第二次诊断考试数学试题(文)届高三第二次诊断考试数学试题(文) 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|1x2,B1,1,则 AB( ) Ax|1x1 B0,1 C1,0,1 D1,1 2若 iz(1i) (1+i) ,则 z( ) A2i B0 Ci D2i 3已知向量 = (1, 1), = (2,3),则| | =( ) A5 B1 C5 D25 4 定义在 R 上的奇函数 f (

2、x) , 当 x0 时, f (x) lgx, 则函数 f (x) 的零点个数为 ( ) A4 B3 C2 D1 5命题“x0,+) ,x22020cosx0”的否定为( ) A0 0,+ ),0 2 20200 0 B0 0,+ ),0 2 20200 0 C0 0,+ ),0 2 20200 0 来源:学科网 ZXXK D0 0,+ ),0 2 202000 62020 年冬奥会申办成功,让中国冰雪项目迎来了新的发展机会, “十四冬”作为北京冬 奥会前重要的练兵场,对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用某校对冰雪体育社团中 甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜(ga) 、爬犁速降及俯卧式爬

3、犁 6 个冬季体 育运动项目进行了指标测试(指标值满分为 5 分,分高者为优) ,根据测试情况绘制了如 图所示的指标雷达图则下面叙述正确的是( ) A甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标 B乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标 C甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标 D乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标 7记 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 a2+a410,S424,则 a1的值为( ) A9 B1 C9 D2 8在棱长均相等的四面体 OABC 中,M,N 分别是棱 OA,BC 的中点,则异面直线 MN 与 AB 所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 9兰州牛肉面是人们喜欢的快

4、餐之一现将体积为 1000cm3的面团经过第一次拉伸成长为 100cm 的圆柱型面条,再经过第二次对折拉伸成长为 2100cm 的面条,则经过五 次对折拉伸之后面条的截面直径是(单位:cm每次对折拉伸相等的长度,面条的粗细 是均匀的,拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计) ( )来源:Zxxk.Com A2 10 31 B2 5 16 C210 31 D2 5 8 10已知 F1、F2分别是双曲线: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左、右焦点,F1(2,0) , 若双曲线的左支上有一点 P, 满足|PF1|PF2|2, 则该双曲线的渐近线方程为 ( ) Ay3x B = 3 3 C = 3 D

5、 = 1 3 11定义在 R 上的函数 yf(x)在(,1上单调递减,且 f(x+1)是偶函数,则使 f (2x1)f(3)成立的 x 的取值范围是( ) A (1,+) B (,0)(2,+) C (0,1) D (,0) 12在“家校连心,立德树人重温爱国故事,弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中,王 老师组建了一个微信群,群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成已知该微信 群众男学生人数多于女生人数,女学生人数多于家长人数,家长人数多于教师人数,教 师人数多于讲解员人数,讲解员人数的两倍多于男生人数若把这 5 类人群的人数作为 一组数据,当该微信群总人数取最小值时,这组数据的中位数是( )

6、 A5 B6 C7 D8 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13已知函数 y2cosx 定义域为 3 ,值域为a,b,则 ba 14数列an中,已知1= 1,+ :1= 2,则 a6 15已知曲线 y4asinxcosx 在点(0,1)处的切线方程为 yx1,则( 6) = 16 “哪里有数,哪里就有美” (普洛克拉斯语) ,数学中到处充满着美的因素,闪烁着美的 光辉优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一,它的离心率为5;1 2 ,所以也称为 “黄金椭圆” , 若记黄金椭圆的左焦点为F, 右顶点为A, 上顶点为B, 则 = 三、

7、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题;题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题; 共共 60 分分 17已知 ABCD 是矩形,AD2AB,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点,PA平面 ABCD (1)求证:DF平面 PAF; (2)若在棱 PA 上存在一点 G,使得 EG平面 PFD,求 的值 18在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a+

8、b)cosC+ccosB0 (1)求角 C; (2)若ABC 的面积 = 83,其外接圆的半径 = 421 3 ,求ABC 的周长 19 某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响, 对温差与发芽率之间的 关系进行统计分析研究,记录了 6 天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如表: 日期 1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月4 日 1 月 5 日 1 月 6 日 温差 x(摄氏度) 10 11 12 13 8 9 发芽率 y(粒) 26 27 30 32 21 24 他们确定的方案是先从这 6 组数据中选出 2 组,用剩下的 4 组数据求回归方程,再用选 取的两组

9、数据进行检验 (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 1 粒,则认为得到的线 性回归方程是可靠的 请根据 1 月 2, 3, 4, 5 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程 (保 留两位小数) ,并检验此方程是否可靠 参考公式: = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 , = 20已知圆 E 与圆 F: (x2)2+y21 相外切,且与直线 x+10 相切 (1)记圆心 E 的轨迹为曲线 G,求 G 的方程; (2)过点 P(3,2)的两条直线 l1,l2与曲线 G 分别相交于点 A,B 和 C

10、,D,线段 AB 和 CD 的中点分别为 M,N如果直线 l1与 l2的斜率之积等于 1,求证:直线 MN 经过定 点 21已知函数 f(x)exx2+(2a5)x8a+5(aR) (1)当 a1 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 x0,2时,若不等式 f(x)2e2恒成立,求实数 a 的取值范围 (二)选考题;共(二)选考题;共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答并用题中选定一题作答并用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上 将所选题目对应的题号方框涂黑 按所涂题号进行评分, 不涂、 多涂均按所答第一题评分;将所选题目对应的题号方框涂黑 按所涂题号进行评分, 不

11、涂、 多涂均按所答第一题评分; 多答按所答第一题评分多答按所答第一题评分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 = + 2 2 = 2 + 2 2 (t 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 = 2 12 (1)求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标为(a,2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|4|PB|,求实数 a 的值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数() = 2 4 + 4 + 42 4 + 1

12、 (1)解不等式 f(x)f(2) ; (2)若关于 x 的不等式() 2 5 2在0,3上无解,求实数 t 的取值范围 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|1x2,B1,1,则 AB( ) Ax|1x1 B0,1 C1,0,1 D1,1 利用交集定义直接求解 集合 Ax|1x2,B1,1, AB1,1 故选:D 本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 2若 iz(1i) (1+i

13、) ,则 z( ) A2i B0 Ci D2i 直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可 iz(1i) (1+i)2,z= 2 = 2i 故选:D 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题 3已知向量 = (1, 1), = (2,3),则| | =( ) A5 B1 C5 D25 根据向量 , 的坐标即可求出 的坐标,然后即可得出| |的值 = (3, 4), | | = 5 故选:C 本题考查了向量坐标的减法运算, 根据向量的坐标求向量长度的方法, 考查了计算能力, 属于基础题 4 定义在 R 上的奇函数 f (x) , 当 x0 时, f (x) lgx, 则函数 f (x) 的零点个数

14、为 ( ) A4 B3 C2 D1 先利用奇函数的性质得到 f(0)0,又函数 f(x)在(0,+)上存在唯一零点 1,且 奇函数图象关于原点对称,所以函数 f(x)在(,0)上存在唯一零点1,故函数 f (x)在 R 上的零点个数为 3 个 奇函数 f(x)的定义域为 R,f(0)0, 当 x0 时,f(x)lgx,在(0,+)上单调递增,又 f(1)lg10, 函数 f(x)在(0,+)上存在唯一零点 1, 奇函数图象关于原点对称,函数 f(x)在(,0)上存在唯一零点1, 函数 f(x)在 R 上的零点个数为 3 个, 故选:B 本题主要考查了函数的奇偶性,以及对数函数的图象和性质,是中

15、档题 5命题“x0,+) ,x22020cosx0”的否定为( ) A0 0,+ ),0 2 20200 0 B0 0,+ ),0 2 20200 0 C0 0,+ ),0 2 20200 0 D0 0,+ ),0 2 202000 根据全称量词命题的否定是存在量词命题,写出即可 命题“x0,+) ,x22020cosx0”的否定为: x00,+) ,022020cosx00 故选:A 本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题,是基础题 62020 年冬奥会申办成功,让中国冰雪项目迎来了新的发展机会, “十四冬”作为北京冬 奥会前重要的练兵场,对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用某校对冰雪体育

16、社团中 甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜(ga) 、爬犁速降及俯卧式爬犁 6 个冬季体 育运动项目进行了指标测试(指标值满分为 5 分,分高者为优) ,根据测试情况绘制了如 图所示的指标雷达图则下面叙述正确的是( ) A甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标 B乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标 C甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标 D乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标 根据所给的雷达图逐个选项分析即可 A 选项,甲的滑轮指标为 4 分,雪地足球指标也为 4 分,故 A 错误; B 选项,甲的雪地足球指标为 4 分,乙的雪地足球指标也为 4 分,故 B 错误; C 选项,甲的爬犁速降指标为

17、 4 分,乙的爬犁速降指标为 4 分,故 C 正确, D 选项,乙的俯卧式爬犁指标为 5 分,甲的雪合战指标为 5 分,故 D 错误 故选:C 本题考查了统计图雷达图的识别和应用,属于基础题 7记 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 a2+a410,S424,则 a1的值为( ) A9 B1 C9 D2 设等差数列an的公差为 d,由 a2+a410,S424,可得 2a1+4d10,4a1+6d24,解 出即可得出 设等差数列an的公差为 d,a2+a410,S424, 2a1+4d10,4a1+6d24, 解得 a19 故选:A 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与

18、计算能力, 属于基础题 8在棱长均相等的四面体 OABC 中,M,N 分别是棱 OA,BC 的中点,则异面直线 MN 与 AB 所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 取 AB 中点 D,OB 中点 E,连结 OD、CD、ME、NE,推导出 ABCD,MEAB,且 ME= 1 2,NEOC,且 NE= 1 2 ,从而 MENE,且 MENE,再由 MEAB,得到 NME45是异面直线 MN 与 AB 所成角 取 AB 中点 D,OB 中点 E,连结 OD、CD、ME、NE, 在棱长均相等的四面体 OABC 中, ODAB,CDAB, ODCDD,AB平面 CDO, OC平面 CD

19、O,ABCD, M,N 分别是棱 OA,BC 的中点, MEAB,且 ME= 1 2 ,NEOC,且 NE= 1 2, ABOC,ABOC,MENE,且 MENE, NME45, MEAB,NME45是异面直线 MN 与 AB 所成角, 异面直线 MN 与 AB 所成角的大小为 45 故选:B 本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识,考查运算求解能力,是中档题 9兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一现将体积为 1000cm3的面团经过第一次拉伸成长为 100cm 的圆柱型面条,再经过第二次对折拉伸成长为 2100cm 的面条,则经过五 次对折拉伸之后面条的截

20、面直径是(单位:cm每次对折拉伸相等的长度,面条的粗细 是均匀的,拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计) ( ) A2 10 31 B2 5 16 C210 31 D2 5 8 由题意可知,经过五次对折拉伸成长为 16100cm 的面条,设经过五次对折拉伸之后面 条的截面直径是 d,再由圆柱的体积公式列式求解 面团经过第一次拉伸成长为 100cm 的圆柱型面条, 再经过第二次对折拉伸成长为 2100cm 的面条, 则经过五次对折拉伸成长为 16100cm 的面条 设经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是 d, 则 16 ( 2) 2 100 =1000,解得 d= 2 5 8 故选:D 本题考查圆

21、柱体积公式的应用,考查等比数列的通项公式,是基础的计算题 10已知 F1、F2分别是双曲线: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左、右焦点,F1(2,0) , 若双曲线的左支上有一点 P, 满足|PF1|PF2|2, 则该双曲线的渐近线方程为 ( ) Ay3x B = 3 3 C = 3 D = 1 3 利用双曲线的定义,求出 a,然后求解 b,即可求解双曲线的渐近线方程 F1、F2分别是双曲线: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左、右焦点,F1(2,0) ,可得 c 2, 若双曲线的左支上有一点 P,满足|PF1|PF2|2,所以 a1, 则 b= 3, 所以双曲线的渐近线方程为:y= 3

22、x 故选:C 本题考查双曲线的简单性质的应用, 双曲线的定义的应用, 是基本知识的考查, 基础题 11定义在 R 上的函数 yf(x)在(,1上单调递减,且 f(x+1)是偶函数,则使 f (2x1)f(3)成立的 x 的取值范围是( ) A (1,+) B (,0)(2,+) C (0,1) D (,0) 根据题意,分析可得 f(x)的图象关于直线 x1 对称,结合函数的单调性可得 f(x)在 1,+)上为增函数,据此可得 f(2x1)f(3)|2x2|31|,解可得 x 的取值 范围,即可得答案 根据题意,f(x+1)是偶函数,则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称, 若 yf(x)在

23、(,1上单调递减,则 f(x)在1,+)上为增函数, f(2x1)f(3)|2x2|31|, 解可得 x0 或 x2,即 x 的取值范围是(,0)(2,+) ; 故选:B 本题考查函数的单调性与对称性的综合应用,注意分析函数的对称轴,属于基础题 12在“家校连心,立德树人重温爱国故事,弘扬爱国主义精神社会课堂”活动中,王 老师组建了一个微信群,群的成员由学生、家长、老师和讲解员共同组成已知该微信 群众男学生人数多于女生人数,女学生人数多于家长人数,家长人数多于教师人数,教 师人数多于讲解员人数,讲解员人数的两倍多于男生人数若把这 5 类人群的人数作为 一组数据,当该微信群总人数取最小值时,这组

24、数据的中位数是( ) A5 B6 C7 D8 因为 5 个数不相等,要使总人数取最小,则 5 个数应是连续自然数,由最小数的 2 倍大 于最大数,进而可求最小数,确定所有数 要使 5 类人群的人数最小,则这 5 个数应是连续自然数,设为 x,x+1,x+2,x+3,x+4 由题意 2xx+4,所以 x4,又 xN,则 x小5,故这 5 个数是:5,6,7,8,9所以 中位数是 7, 故选:C 本题依托中位数考查学生分析解决实际问题的能力,属于能力方面的题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13已知函数 y2cosx 定义域为 3

25、,值域为a,b,则 ba 3 直接利用余弦函数的性质的应用单调性的应用求出结果 已知函数 ycosx 在 3 ,上单调递减,当 x= 3时,函数的 = 2 1 2 = 1, 当 x 时函数的 ymin2, 即 a2,b1, 所以 ba3 故答案为:3 本题考查的知识要点:余弦函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及 思维能力,属于基础题型 14数列an中,已知1= 1,+ :1= 2,则 a6 21 根据数列的递推关系式一步步求出结论 因为数列an中,已知1= 1,+ :1= 2, 所以:a625a525(24a4)16+a416+23a324(22a2)20+a220+ (21a

26、1)21 故答案为:21 本题主要考查数列对推关系式的应用,以及计算能力,属于基础题目 15已知曲线 y4asinxcosx 在点(0,1)处的切线方程为 yx1,则( 6) = 23 求得函数 y4asinxcosx 的导数,可代入 x0,可得切线的斜率,由已知切线方程,可 得 a 的方程,求得 a 的值,再由两角差的正切公式,计算可得所求值 y4asinxcosx 的导数为 y4acosx+sinx, 可得曲线在 x0 处的切线的斜率为 k4a, 由切线方程 yx1 可得 4a1,即 a= 1 4, 则 tan( 4 6)= 4 6 1+ 4 6 = 13 3 1+ 3 3 =23, 故答

27、案为:23 本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查两角差的正切公式的运用,考查方程思想和 运算能力,属于基础题 16 “哪里有数,哪里就有美” (普洛克拉斯语) ,数学中到处充满着美的因素,闪烁着美的 光辉优美椭圆就是数学花园中绽放的美丽花朵之一,它的离心率为5;1 2 ,所以也称为 “黄金椭圆” , 若记黄金椭圆的左焦点为 F, 右顶点为 A, 上顶点为 B, 则 = 0 本题先根据题意及椭圆的基础知识可设 a2, c= 5 1 然后转化 = ( ) ( ) ,进行向量运算及数量积的计算可得结果 由题意,可知 优美椭圆的的离心率 e= = 51 2 ,则 可设 a2,c= 5 1 根据题意画

28、图如下: 结合图象,可得 =( ) ( ) | |2 + b2+cacos180 a2c2ac 4(5 1)22(5 1) 0 故答案为:0 本题主要考查向量与椭圆的综合问题考查了转化思想,数形结合思想,以及逻辑推理 能力和数学运算能力,本题属中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题;题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题; 共共 60 分分 17已知 ABCD

29、是矩形,AD2AB,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点,PA平面 ABCD (1)求证:DF平面 PAF; (2)若在棱 PA 上存在一点 G,使得 EG平面 PFD,求 的值 (1)先由条件证得 AFFD、PAFD再根据直线和平面垂直的判定定理证得 DF平 面 PAF (2) 过点 E, 作 EHFD, 交 AD 于点 H, 再过 H 作 HGPD 交 PA 于 G, 可得平面 EHG 平面 PFD,从而证得 EG平面 PFD由条件求得 的值 (本题满分为 12 分) 解: (1)在矩形 ABCD 中,因为 AD2AB,点 F 是 BC 的中点,所以AFBDFC 45 所以AFD90,即

30、 AFDF 又 PA平面 ABCD, 所以 PADF, 所以 DF平面 PAF(6 分) (2)过 E 作 EHFD 交 AD 于 H, 则 EH平面 PFD,且 AH= 1 4AD 再过 H 作 HGPD 交 PA 于 G, 所以 GH平面 PFD,且 AG= 1 4PA 所以平面 EHG平面 PFD, 所以 EG平面 PFD,从而点 G 满足 = 1 4 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用,考查了空间想象能力和推 理论证能力,属于中档题 18在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a+b)cosC+ccosB0 (1)求角 C; (2)若ABC

31、的面积 = 83,其外接圆的半径 = 421 3 ,求ABC 的周长 (1)由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子,由内角的范围和特殊 角的三角函数值求出角 C 的大小; (2)由(1)及已知可求 c,利用三角形的面积公式可求 ab32,根据余弦定理可求 a+b 12,即可求解ABC 的周长 (1)由题意知, (2a+b)cosC+ccosB0, 由正弦定理得:(2sinA+sinB) cosC+sinCcosB0, 则 2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB0, 即 sin(B+C)2sinAcosC, ABC 中,sin(B+C)sin(A)sinA0, 12

32、cosC,得 cosC= 1 2, 又 0C, C= 2 3 ; (2)C= 2 3 , = 421 3 ,及 c2RsinC, c47, 又 S= 1 2absin 2 3 = 1 2ab 3 2 =83, 可得 ab32, 又余弦定理 c2a2+b22abcosC, 可得 a2+b22abcos2 3 =(47)2,即 a2+b2+ab(a+b)2ab112, 又 ab32, a+b12, a+b+c12+47,即ABC 的周长为 12+47 本题考查正弦定理,两角和与差的正弦公式、余弦定理、三角形面积公式、三角形内角 和定理以及诱导公式的应用,考查转化思想,整体思想,化简、变形能力,属于

33、基础题 19 某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响, 对温差与发芽率之间的 关系进行统计分析研究,记录了 6 天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如表: 日期 1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月 4 日 1 月 5 日 1 月 6 日 温差 x(摄氏度) 10 11 12 13 8 9 发芽率 y(粒)来源:学*科*网 26 27 30 32 21 24 他们确定的方案是先从这 6 组数据中选出 2 组,用剩下的 4 组数据求回归方程,再用选 取的两组数据进行检验 (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率; (2)若由线性回归方程得到的估计数

34、据与实际数据的误差不超过 1 粒,则认为得到的线 性回归方程是可靠的 请根据 1 月 2, 3, 4, 5 日的数据求出 y 关于 x 的线性回归方程 (保 留两位小数) ,并检验此方程是否可靠 参考公式: = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 , = (1)从 6 组数据中任选 2 组数据,共有 15 个基本事件,求出这 2 组数据恰好是相邻两 天数据的事件数,再由古典概型概率计算公式求解; (2)由已知表格中的数据求得 与 的值,得到线性回归方程,分别取 x10、9 求得 y 值,计算与实际数据的误差得结论 (1)从 6 组数据中任选 2 组数据,共有 15 个基本事件,

35、来源:Z*xx*k.Com 记这 2 组数据恰好是相邻两天数据为事件 A 则 A 中有(1.1,1.2) , (1.2,1.3) , (1.3,1.4) , (1.4,1.5) , (1.5,1.6)共 5 个基本事件 故 P(A)= 5 15 = 1 3; (2) = 1 4(11 + 13 + 12 + 8) = 11, = 1 4 (27 + 30 + 32 + 21) = 27.5 = =1 =1 22 = (1127+1230+1332+821)41127.5 (121+169+144+64)4121 2.21, = =27.52.21113.19 所求线性回归方程为 y2.21x+

36、3.19 取 x10,得 y25.29,|25.2926|1, 取 x9,得 y23.08,|23.0824|1 故此线性回归方程是可靠的 本题考查古典概型及其概率的求法,考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是中档 题 20已知圆 E 与圆 F: (x2)2+y21 相外切,且与直线 x+10 相切 (1)记圆心 E 的轨迹为曲线 G,求 G 的方程; (2)过点 P(3,2)的两条直线 l1,l2与曲线 G 分别相交于点 A,B 和 C,D,线段 AB 和 CD 的中点分别为 M,N如果直线 l1与 l2的斜率之积等于 1,求证:直线 MN 经过定 点 (1)由题意设圆心 E 的坐标,由圆

37、 E 与圆 F 外切可得圆心距减圆 F 的半径等于圆 E 的 半径,又由圆 E 与直线 x+10 相切可得圆的半径,整理可得圆 E 的轨迹方程; (2)由题意可得直线 AB,CD 的斜率存在且不为 0,设直线 AB 的方程 xm(y2)+3 my2m+3,与抛物线联立求出两根之和,进而求出 AB 的中点 M 的纵坐标,代入直线 AB 的方程可得 M 的横坐标,即求出 M 的坐标,同理将 m 换成 1 可得 N 的坐标,进而求 出直线 MN 的斜率,由点斜式方程求出直线 MN 的方程,整理可得直线 MN 恒过定点 (1)因为 x+10 在圆 F 的左边,设 E 的坐标为(x,y)所以 x1, 由

38、题意可得:( 2)2+ 21x+1,整理可得 y28x, 所以 G 的方程为:y28x; (2)由题意可知直线 l1,l2的斜率存在且不为 0, 设直线 l1的方程为:xm(y2)+3my2m+3,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立直线 l1与抛物线的方程 = 2 + 3 2= 8 整理可得 y28my+16m240, y1+y28m,所以 AB 的中点 M 的纵坐标为 yM4m,代入直线 l1的方程可得 M 的横坐标 xM4m22m+3,即 M 的坐标(4m22m+3,4m) , 同理可得 CD 的中点 N 的坐标,将 m 换成 1 ,即 N( 4 2 2 +3, 4 ) ,

39、 所以直线 MN 的斜率 kMN= 44 (422+3)( 4 2 2 +3) = 2 2(+1 )1 , 所以直线 MN 的方程:y4m= 2 2(+1 )1 x(4m22m+3), 所 以直线 MN 的方 程为 :y= 2 2(+1 )1 x 2 42;2:3 2(: 1 );1 + 42(: 1 );1 2(: 1 );1 = 2 2(: 1 );1 (x+1) , 所以直线 MN 恒过定点(1,0) 本题考查求轨迹方程,直线与抛物线的综合和直线恒过定点的判断,属于中档题 21已知函数 f(x)exx2+(2a5)x8a+5(aR) 来源:Z。xx。k.Com (1)当 a1 时,求函数

40、 f(x)的极值; (2)当 x0,2时,若不等式 f(x)2e2恒成立,求实数 a 的取值范围 (1)把 a1 代入后对函数求导,然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性,进 而可求函数的极值; (2)先对函数求导,结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论,然后由不等式的恒成 立问题转化为求解函数的最值问题,结合导数可求 (1)a1 时,f(x)exx23x3) ,f(x)ex(x2x6)ex(x+2) (x3) , 当 x3 或 x2 时,f(x)0,函数单调递增,当2x3 时,f(x)0,函 数单调递减, 故 f(x)的极大值 f(2)= 7 2,极小值 f(3)3e 3, (2)f

41、(x)ex(x+2a) (x3) ,x0,2, (i) 当2a0 即 a0 时, f (x) 在 (0, 2) 上单调递减, 由题意可得, f (2) (4a+1) e22e2,得 a 3 4,此时不成立; (ii)当 02a2 即1a0 时,f(x)在(0,2a)上单调递增, (2a,2)上 单调递减, 由题意有(0) = 5 8 2 2 (2) = 2(4 + 1) 22,得 522 8 3 4 ,由于5;2 2 8 1,故此时不成 立, (iii)当2a2 即 a1 时,f(x)在(0,2)上单调递增,由题意可得 f(0)2e2, 故 a 522 8 , 综上,a 的范围(,5;2 2

42、8 本题主要考查了 利用导数求解函数的极值, 及由不等式的恒成立问题求解参数的范围问 题,体现了分类讨论思想的应用 (二)选考题;共(二)选考题;共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答并用题中选定一题作答并用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上 将所选题目对应的将所选题目对应的题号方框涂黑 按所涂题号进行评分, 不涂、 多涂均按所答第一题评分;题号方框涂黑 按所涂题号进行评分, 不涂、 多涂均按所答第一题评分; 多答按所答第一题评分多答按所答第一题评分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 = + 2 2 = 2 + 2 2 (t 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 = 2