1、2019201920202020 学年海南省高三年级第四次模拟考试学年海南省高三年级第四次模拟考试数学数学试卷试卷 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合|
2、 14AxNx ，0,1,4,9B ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. 0,1,2 B. 1 C. 1,2 D. 0,1 2. 复数 2 1i的虚部为（ ） A. -1 B. -2 C. i D. 2i 3. “1,1x ，xa恒成立”的充要条件是（ ） A. 1a B. 0a C. 2a D. 1a 4. 已知向量2,am ，1,2b ， 11 2 2 aab，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 1 2 C. 1 2 D. -1 5. 若函数 13 ( )sincos 22 f xxx在2 , 上单调递增，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 2 C. 7 3 D. 13 6 6.
3、 某校图书馆最近购买了 6 本不同的数学课外书，其中 2 本适合小学生，2 本适合初中生，2 本适合高中生. 一位老师随机借阅了其中 3 本，则这 3 本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生阅读的概率为（ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 8 15 D. 3 5 7. 已知函数 3 f xx， 2 3 log 4 af ， 4 4 log 5 bf ， 2 2 log 3 cf ，则a，b，c的大小关系为 （ ） A. cba B. abc C. cab D. acb 8. 已知双曲线C: 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点M为C的右支上一点，
4、且 12 MFMF， 21 3 3 MFMF，则双曲线C的离心率的最小值为（ ） A. 3 B. 31 C. 3 D. 51 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车 制造业的产能利用率的正常值区间为79%83%，称为“安全线”.如图是 2017 年第 3 季度到 2019 年第 4 季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ） A. 10 个季
5、度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有 5 个 B. 10 个季度中，汽车产能利用率的中位数为78.75% C. 2018 年 4 个季度的汽车产能利用率的平均数为79.9% D. 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是 2019 年第 4 季度 10. 对于 6 2 1 2x x 的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有 6 项 B. 展开式中的常数项是-240 C. 展开式中各项系数之和为 1 D. 展开式中的二项式系数之和为 64 11. 已知数列 n a的首项为 4，且满足 * 1 2(1)0 nn nananN ，则（ ） A. n a n 为等差数列 B. n a
6、为递增数列 C. n a的前n项和 1 (1) 24 n n Sn D. 1 2 n n a 的前n项和 2 2 n nn T 12. 已知抛物线C： 2 20ypx p的准线经过点1,1M ， 过C的焦点F作两条互相垂直的直线 1 l，2l， 直线 1 l与C交于A，B两点，直线 2 l与C交于D，E两点，则下列结论正确的是（ ） A. 2p B. ABDE的最小值为 16 C. 四边形ADBE的面积的最小值为 64 D. 若直线 1 l的斜率为 2，则90AMB 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 曲线 2 1 yx x 在点1,2处的切线方程为_. 14
7、. 已知 42 ， 3 cos 5 ，则sin2_. 15. 海南盛产各种名贵树木，如紫檀、黄花梨等.在实际测量单根原木材体积时，可以检量木材的实际长度 （检尺长）和小头直径（检尺径） ，再通过国家公布的原木材积表直接查询得到，原木材积表的部分数据如 下所示： 检尺径 （cm） 检尺长（m） 2.0 2.2 2.4 2.5 2.6 材积（ 3 m） 8 0.0130 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 10 0.0190 0.0220 0.0240 0.0250 0.0260 12 0.0270 0.0300 0.0330 0.0350 0.0370 14 0.0360 0
8、.0400 0.0450 0.0470 0.0490 16 0.0470 0.0520 0.0580 0.0600 0.0630 18 0.0590 0.0650 0.0720 0.0760 0.0790 20 0.0720 0.0800 0.0880 0.0920 0.0970 22 0.0860 0.0960 0.1060 0.1110 0.1160 24 0.1020 0.1140 0.1250 0.1310 0.1370 若小李购买了两根紫檀原木， 一根检尺长为2m， 检尺径为10cm， 另一根检尺长为2.5m， 检尺径为20cm， 根据上表，可知两根原木的材积之和为_ 3 m. 16
9、. 一个封闭的正方体容器的外接球的表面积为 2 12m， 则其棱长为_m； 若该容器里面有 3 4m的水， 将该容器任意旋转，当容器里水面的高度最大时，水面对应的平面图形的周长为_m.（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2a.设F为线段AC上一点，2CFBF， 有下列条件： 2c ；2 3b ； 222 3ababc. 请从以上三个条件中任选两个，求CBF的大小和ABF的面积. 18. 已知数列 n b的前n项和为 n S，且 2 n Snn，在等
10、比数列 n a中， 11 ab， 48 ab. （）求 n b与 n a的通项公式； （）若 n b中去掉 n a的项后余下的项按原顺序组成数列 n c，求 n c的前 20 项和. 19. 近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大 棚， 种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰 10 天的销量数据如下 （单位： 枝） ： 615，575，625，590，600，600，570，615，580，630. （）求这 10 天红玫瑰销量的平均数x和方差 2 s； （）若这个大棚红玫瑰的日销量X服从正态分布 2 ,N ，其中
11、， 2 可分别用（）中的x和 2 s代 替，白玫瑰的日销量Y服从正态分布 2 280,40N，又已知红玫瑰的售价为 2 元/枝，白玫瑰的售价为 4 元 /枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过 1280 元的天数更多. 20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60BAPBAD，E是棱BC的中点， 2AFFP. （）证明：/PC平面DEF； （）设O是线段AB的中点，且PO平面ABCD，求二面角FDEA的余弦值. 21. 已知函数 lnf xxxax aR. （）讨论 f x在1,上的单调性； （）当1a 时，求 cosF xf xx在 3 , 22 上的零点个数. 22. 已知点O
12、为坐标原点，椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的右焦点为1,0F，P为椭圆C上一点，椭 圆C上异于P的两点A，B满足AFOBFO，当PF垂直于x轴时， 3 2 PF . （）求椭圆C的标准方程； （）设直线PA，PB分别与x轴交于点,0M m，,0N n，问：mn的值是否为定值？若是，请求出 mn的值；若不是，请说明理由. 天一大联考 20192020 学年海南省高三年级第四次模拟考试 数学答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1-5：DBACD 6-8：BCB 1.【答案】D 【命题意图】本题考查集合的运算. 【解析】阴影部分表示AB.0,1,2
13、,3A，0,1,4,9B ，0,1AB . 2.【答案】B 【命题意图】本题考查复数的运算和概念. 【解析】 2 12ii ，虚部为-2. 3.【答案】A 【命题意图】本题考查充分条件与必要条件的判断. 【解析】1,1x ，1x ，1a .反过来也成立，故充要条件为1a . 4.【答案】C 【命题意图】本题考查向量的坐标运算及数量积. 【 解 析 】 因 为a，b满 足 11 2 2 aab， 所 以 2 2 11 22422 2 aa bmm， 所 以 2 1 0 4 mm，所以 1 2 m . 5.【答案】D 【命题意图】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质. 【解析】由题得( )sin
14、3 f xx ，令22 232 kxk ，得 5 22 66 kxk ，令 1k ，得 713 66 x ，所以的最大值为13 6 . 6.【答案】B 【命题意图】本题考查古典概型的计算. 【解析】根据题意，从 6 本书中借阅 3 本的结果数为 3 6 C，这 3 本书恰好分别适合小学生、初中生、高中生 阅读的结果数为 111 222 C C C，所以所求概率为 111 222 3 6 2 5 C C C P C . 7.【答案】C 【命题意图】本题考查幂函数和对数函数. 【解析】因为 f x在, 上单调递增，又 1 2 2 42 2 4 log 44 5 loglog 5log 45 ， 4
15、94 9165 ，所以 1 2 23 34 4 5 ，所以 224 234 logloglog 345 ，所以cab. 8.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的性质和离心率. 【 解 析 】 设 12 MFF， 由 题 可 知, 6 4 ， 1 2cosMF， 2 2 sinMFc， 所 以 12 2 cos2 sin2MFMFcca，所以 11 cossin 2cos 4 c e a .因为 5 1 242 ，所以31e ，所以双曲线C的离心率的最小值为31. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 9. AC 10. CD 11. BD 12. ABD 9.【
16、答案】AC 【命题意图】本题考查统计图与样本的数字特征. 【解析】10 个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为 2018 年第 4 季度到 2019 年第 4 季度，共 5 个季度，A 正确；10 个季度中，汽车产能利用率的中位数为 79.6%78.5% 79.05% 2 ，B 错误；由图 可知， 2018年4 个季度的汽车产能利用率的平均数为 80.7%81.4%79.6%77.9% 79.9% 4 ， C 正确； 与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是 2018 年第 1 季度，与上一季度相差2.9%，而 2019 年第 4 季度与上一季度相差2.4%，D 错误. 10.【答案
17、】CD 【命题意图】本题考查二项式定理. 【解析】 展开式共有 7 项， 故 A 错误； 6 2 1 2x x 的通项为 666 3 66 2 1 (2 )( 1) 2 r rrrrrr CxC x x ， 当2r 时，展开式中的常数项为 242 6 ( 1) 2240C，故 B 错误；令1x ，则展开式中各项系数之和为 1，故 C 正 确；展开式中的二项式系数之和为 6 264，故 D 正确. 11.【答案】BD 【命题意图】本题考查数列的递推公式及错位相减法求数列的前n项和. 【解析】由 1 2(1)0 nn nana 得 1 2 1 nn aa nn ，所以 n a n 是以 1 1 4
18、 1 a a为首项，2 为公比的等比数 列 ， 故 A 错 误 ； 因 为 11 4 22 nn n a n ， 所 以 1 2n n an ， 显 然 递 增 ， 故 B 正 确 ； 因 为 231 1 22 22n n Sn ， 342 21 22 22n n Sn ，所以 2312 12222 nn n Sn 2 2 212 2 1 2 n n n ，故 2 (1)24 n n Sn ，故 C 错误；因为 1 11 2 22 n n nn an n ，所以 1 2 n n a 的前n项和 2 (1) 22 n nnnn T ，故 D 正确. 12.【答案】ABD 【命题意图】本题考查直线
19、与抛物线的位置关系. 【解析】由题可知1 2 p ，所以2p ，故 A 正确. 设直线 1 l的斜率为0k k ，则直线 2 l的斜率为 1 k .设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 33 ,D x y， 44 ,E x y， 直 线 1 l：1yk x， 直 线 2 l： 1 1yx k . 联 立 2 4 (1 ) yx yk x ， 消 去y整 理 得 2222 240kxkxk，所以 21 2 2 24 k x k x ， 12 1x x .所以 2 12 22 244 24A k xxp k B k . 同 理 2 2 34 2 1 24 244 1 k xxpk k D
20、E ， 从 而 2 2 1 841 6AD Ek k B ，当且仅当1k 时等号成立，故 B 正确. 因为 2 2 1 2 1 8 11 ADBE SABDEk k 四边形 2 2 1 3232k k ，当且仅当1k 时等号成立， 故 C 错误. 1122 1,11,1MA MBxyxy 1 2121212 11x xxxy yyy ， 将 12 3xx， 12 1x x 与 12 2yy， 12 4y y 代入上式，得0MA MB，所以90AMB，故 D 正确. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 10xy 14. 3 5 15. 0.111 16. 2；6
21、 2 13.【答案】10xy 【命题意图】本题考查导数的几何意义. 【解析】 2 1 2yx x ， 1 |1 x y ，切线方程为10xy . 14.【答案】 3 5 【命题意图】本题考查诱导公式. 【解析】由题意可得2 2 ， 3 sin2sincos 25 . 15.【答案】0.111 【命题意图】本题考查识表能力. 【解析】根据图表，检尺长为2m，检尺径为10cm的原木的材积为 3 0.019m，检尺长为2.5m，检尺径为 20cm的原木的材积为 3 0.092m，则材积之和为 3 0.111m. 16.【答案】2；6 2 【命题意图】本题考查几何体的外接球、球的表面积及空间几何体的截
22、面等综合内容. 【解析】设该容器的外接球的半径为R.根据题意，可得 2 412R，3R ，则正方体的对角线长为 2 3，正方体的棱长为 2.水的体积是正方体体积的一半，容器里水面的最大高度为对角线的一半.设球 心为O，则球心O为对角线的中点，且O为水面上一点，设正方体为 1111 ABCDABC D，则O为 1 BD的 中点，分别取 1 AA， 1 CC， 11 AB， 11 BC的中点G，H，E和F.可证 1 BDEF， 1 BDGE，进而可 证 1 BD 平面GEFH，平面GEFH即为水面所在的位置，进一步分析可知，水面对应的平面图形为正 六边形，边长为2，周长为6 2. 四、解答题：共
23、70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查正、余弦定理及三角形的面积. 【解析】 （解法一）选，则2ac，2 3b . 由余弦定理可得 222 1 cos 22 acb ABC ac . 又0,ABC， 2 3 ABC ， 6 AC . 在BCF中，由正弦定理可得 sinsin CFBF CBFC ， 2CFBF， 2 sin 2 CBF. 又 2 3 CBFCBA ， 4 CBF ， 5 12 ABFAFB ，2AFAB， 1 2 2sin1 26 ABF S . （解法二）选，2a，2 3b ， 222 3ababc，2c . 由余弦定理可得 222 3
24、 cos 22 abc C ab ， 又0,C， 6 C . 6 AC ， 2 3 ABCAC . 在BCF中，由正弦定理可得 sinsin CFBF CBFC ， 2CFBF， 2 sin 2 CBF. 又 2 3 CBFCBA ， 4 CBF ， 5 12 ABFAFB ，2AFAB， 1 2 2sin1 26 ABF S . （解法三）选，由余弦定理可得 222 3 cos 22 abc C ab ， 又0,C， 6 C . ac， 6 AC ， 2 3 ABCAC . 在BCF中，由正弦定理可得 sinsin CFBF CBFC ， 2CFBF， 2 sin 2 CBF. 又 2 3
25、CBFCBA ， 4 CBF ， 5 12 ABFAFB ，2AFAB， 1 2 2sin1 26 ABF S . 18.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的通项公式与前n项和. 【解析】 （） 2 n Snn， 当2n且 * nN时 1 2 nnn bSSn . 又 11 2bS也符合上式，2 n bn. 11 2ab， 48 16ab， 等比数列 n a的公比为 2， 2n n a . （） 1 2a ， 2 4a ， 3 8a ， 4 16a ， 5 32a ， 25 50b， 12201225125 cccbbbaaa 125 25 222S 5 2 2 1 2 2525 1 2
26、650 62588. 19.【命题意图】本题考查样本的数字特征和正态分布. 【解析】 （）由条件可知， 1 (615575625590600600570615580630) 10 x 600， 222222222 1 152525100030152030 10 s 400. （）由（）可知 2 600,20XN. 若红玫瑰的日销售额超过 1280 元，则需640600 2 20X . 若白玫瑰的日销售额超过 1280 元，则需320280 1 40Y . 根据正态分布的特征可知(640)(320)P XP Y， 即白玫瑰的日销售额超过 1280 元的概率更大，故预计今年白玫瑰的日销售额超过 1
27、280 元的天数更多. 20.【命题意图】本题考查线面位置关系及二面角的计算. 【解析】 （）如图，连接AC，交DE于点G，连接FG. 易知AGDCGE，所以2 AGAD GCEC . 由2AFFP可得2 AF FP ， 所以/PCFG. 又FG 平面DEF，PC 平面DEF，所以/PC平面DEF. （）因为PO平面ABCD，所以POAB，又O是线段AB的中点，所以PAPB. 因为60BAPBAD，故ABP，ABD均是等边三角形. 连接OD，易知POOD，ODAB. 如图，以O为原点，OA，OD，OP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 不妨设2AB ，则1,0,0A， 0,
28、3,0D， 0,0, 3P，1,0,0B ， 12 3 ,0, 33 F . 由ADBC，得 2, 3,0C ， 所以BC的中点 33 ,0 22 E ，所以 33 ,0 22 DE ， 12 3 ,3, 33 DF . 设平面DFE的一个法向量为 1111 ,nx y z，则 1 1 0 0 DF n DE n ，即 111 11 12 3 30 33 33 0 22 xyz xy . 得方程组的一组解为 1 1 1 1 3 5 3 3 x y z ，即 1 5 3 1, 3, 3 n . 又平面AED的一个法向量为 2 0,0,1n ， 所以 12 12 12 5 3 5 37 3 372
29、5 1 3 3 cos, n n n n nn . 因为二面角FDEA为锐角，所以二面角FDEA的余弦值为 5 37 37 . 21.【命题意图】本题考查导数的应用. 【解析】 （）因为 lnf xxxax，所以 ln1fxxa . 因为1,x，所以ln0x . 当10a，即1a 时， 0fx ， 所以 f x在1,上单调递增. 当10a，即1a 时，令 ln10fxxa ，得 1a xe . 当 1 1, a xe 时，0ln1xa，所以 0fx ， 当 1,a xe 时，ln1xa，所以 0fx ， 所以 f x在 1 1, a e 上单调递减，在 1,a e 上单调递增. 综上所述， 当
30、1a 时， f x在1,上单调递增； 当1a 时， f x在 1 1, a e 上单调递减， 在 1,a e 上单调递增. （）当1a 时， lncosF xxxxx ，则 lnsinFxxx. 设 lnsinh xxx，则 1 coshxx x . 当 3 , 22 x 时， 1 cos0hxx x ，所以 Fx在 3 , 22 上单调递增. 因为 33 1 ln0 22 F ，ln10 22 F ，所以存在 0 3 , 22 x ，使得 0 0Fx， 且在 0 , 2 x 上 0Fx ， F x单调递减，在 0 3 , 2 x 上 0Fx ， F x单调递增. 所以 0 F x为 F x在
31、 3 , 22 上的最小值. 又因为 333 ln10 222 F ，ln10 222 F ， 所以 F x在 3 , 22 上有 1 个零点. 22.【命题意图】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系. 【解析】 （）设椭圆半焦距为c，根据题意可得 22 1cab . 当PF重直于x轴时， 2 3 2 F b P a . 解得 2 4a ， 2 3b ，椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy . （）由AFOBFO，可得A，B关于x轴对称. 设 11 ,A x y， 11 ,B xy， 00 ,P x y，易知 10 xx， 10 yy， 0 xm. PAPM kk， 100 100 yyy xxxm . 100 0 10 xxy xm yy ， 100 0110 0 1010 xxyx yx y mx yyyy . 同理，得 0110 10 x yx y n yy . 2222 011001100110 22 101010 x yx yx yx yx yx y mn yyyyyy . 又 22 00 1 43 xy ， 22 11 1 43 xy ， 2 2 0 0 4 1 3 y x ， 2 2 1 1 4 1 3 y x . 22 22 01 10 2222 0110 2222 1010 4 14 1 33 4 yy yy x yx y mn yyyy ，为定值.